समलंब कैलकुलेटर

A = ((a + b) ÷ 2) × h P = a + b + c + d x = (c² − d² + Δ²) ÷ (2Δ) h = √(c² − x²)

a, b

दोनों समांतर भुजाएँ, सेंटीमीटर में — यानी आधार। इनमें से कोई भी लंबी हो सकती है; पन्ना इनके अंतर से काम करता है और यह नहीं देखता कि आप किसे ऊपरी आधार कहते हैं। इनका औसत, (a + b) ÷ 2, ऊँचाई से गुणा होकर क्षेत्रफल देता है, और पूरा पन्ना इसी सूत्र पर टिका है

c, d

दोनों भुजाएँ, सेंटीमीटर में: यानी वे भुजाएँ जो समांतर नहीं हैं। इनकी लंबाई तय करती है कि आकृति बनती है या नहीं, क्योंकि दोनों को मिलकर आधारों के अंतर को पाटना पड़ता है। इनका बराबर होना ज़रूरी नहीं — 5 और 4 भुजाओं वाला समलंब बिलकुल आम है — और जब ये बराबर हों तो आकृति समद्विबाहु कहलाती है और ऊँचाई सीधे भुजा के वर्ग में से आधे अंतर का वर्ग घटाकर उसका वर्गमूल होती है

Δ

दोनों आधारों का अंतर, |b − a|, सेंटीमीटर में। यह उस त्रिभुज का आधार है जिसे दोनों भुजाएँ और दोनों आधार मिलकर घेरते हैं, और यही वह राशि है जो तय करती है कि आप तीन हालतों में से किसमें हैं: भुजाएँ जितना पाट सकें उससे कम, ठीक उसी हद पर, या उनकी पहुँच से ज़्यादा। जब यह 0 हो — यानी दोनों आधार बराबर हों — तो आकृति समांतर चतुर्भुज हो जाती है और चार भुजाएँ ऊँचाई तय करना बंद कर देती हैं, इसीलिए पन्ना जवाब देने के बजाय त्रुटि बताता है

x

ऊँचाई आधारों के अंतर पर कहाँ पड़ती है, सेंटीमीटर में: यानी अंतर के एक सिरे से लंब के पाद तक की दूरी। यह उस त्रिभुज पर कोसाइन नियम लगाने से निकलती है जिसकी भुजाएँ c, d और Δ हैं, और पन्ना इसका इस्तेमाल सिर्फ़ ऊँचाई तक पहुँचने के लिए करता है। यह 0 से Δ तक की सीमा के बाहर भी हो सकती है — ऐसा तब होता है जब कोई भुजा छोटे आधार के सिरे से बाहर की ओर झुकी हो; तब भी आकृति समलंब ही रहती है और हिसाब काम करता रहता है

h

ऊँचाई, सेंटीमीटर में: दोनों समांतर आधारों के बीच की लंबवत दूरी, और वही संख्या जो क्षेत्रफल के सूत्र को चाहिए। यह c² − x² का वर्गमूल निकलती है और चार दशमलव स्थानों तक छपती है। चूँकि यह एक अंतर का वर्गमूल है, जिस मामले में भुजाएँ आधारों का अंतर पाट नहीं सकतीं वही वह मामला है जिसमें मूल के नीचे की संख्या ऋणात्मक हो जाती — इसीलिए पन्ना पहले त्रिभुज-असमिका जाँचता है, बजाय इसके कि वर्गमूल कोई बेतुका मान बना दे

A, P

क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में और परिमाप सेंटीमीटर में। क्षेत्रफल आधारों के औसत का ऊँचाई से गुणा है, जो उनके योग के आधे का ऊँचाई से गुणा होने के बराबर है — एक समलंब और उतनी ही ऊँचाई वाला आयत तब बराबर ज़मीन ढकते हैं जब आयत की चौड़ाई दोनों आधारों का औसत हो। परिमाप चारों भुजाओं का जोड़ है और उसमें ऊँचाई कहीं नहीं आती

इस पन्ने का इस्तेमाल तब करें जब आपके पास चारों किनारे हों। ज़मीन के लिए यही आम हालत है: ऐसा टुकड़ा जिसकी दो भुजाएँ समांतर हैं और दो नहीं, जिसे फ़ीते से चारों ओर घूमकर नापा जाता है — वहाँ समांतर भुजाएँ और बाक़ी भुजाएँ नापना आसान होता है और लंबवत ऊँचाई नहीं, क्योंकि उसके लिए पूरे टुकड़े को पार करके चलना पड़ता, जो ढलान पर या फ़सल के बीच से शायद ही हो पाए। यही हालत ऐसे पैनल की भी है जो ऐसी ड्रॉइंग से काटा गया हो जिसमें चार किनारे हों और ऊँचाई न हो, और ऐसी आकृति की जाँच की भी है जो किसी और ने तय की हो: चारों भुजाएँ डालें और देखें कि वे समलंब बनाती भी हैं या नहीं। उस जाँच के लिए तालिका की सातवीं पंक्ति देखें — आधार 10 और 4 पर भुजाएँ 4 और 2 ऊँचाई 0 देती हैं, क्योंकि 6 का अंतर ठीक उतना ही है जितना दोनों भुजाएँ जोड़कर बनाती हैं और आकृति चपटी दब चुकी है। किसी भी भुजा को इससे छोटा कर दें और पन्ना इसके बजाय त्रुटि बताता है। जब आपके पास दोनों आधार और ऊँचाई हों पर भुजाएँ न हों, तो समलंब का क्षेत्रफल कैलकुलेटर इस्तेमाल करें, क्योंकि वह ठीक यही जोड़ा लेता है और बीच का कदम छोड़ देता है। जब दोनों आधार बराबर हों तो समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल कैलकुलेटर इस्तेमाल करें, क्योंकि तब आकृति समांतर चतुर्भुज होती है और इस पन्ने की चार भुजाएँ उसे तय करना बंद कर देती हैं। और जब छोटा आधार 0 हो तो त्रिभुज क्षेत्रफल कैलकुलेटर इस्तेमाल करें — त्रिभुज एक ऐसा समलंब है जिसका एक आधार शून्य है, और नीचे की तालिका की चौथी पंक्ति इसी तरह निकला 6-8-10 समकोण त्रिभुज है, जिसका क्षेत्रफल 24 है।

1. आधार 4 और 10, भुजाएँ 5 और 5

   1. आधारों का अंतर: 10 − 4 = 6
   2. भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए हर एक आधा लेती है: 6 ÷ 2 = 3
   3. ऊँचाई: √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4
   4. आधारों का औसत: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. क्षेत्रफल: 7 × 4 = 28
   6. परिमाप: 4 + 10 + 5 + 5 = 24

   वही पंक्ति जिसके साथ पन्ना खुलता है, और वही जिसे हाथ से जाँचना चाहिए, क्योंकि ये संख्याएँ 3-4-5 त्रिभुज का दूसरा रूप हैं: 5 की भुजा और अंतर का आधा 3 मिलकर ठीक 4 की ऊँचाई देते हैं। ऊँचाई ही वह अकेली राशि है जिसे चारों भुजाओं से पढ़ा नहीं जा सकता, और पूरा पन्ना इसी के लिए है। क्षेत्रफल की तुलना उसी ऊँचाई और 7 चौड़ाई वाले आयत से कीजिए — यानी आधारों के औसत से — और आपको वही 28 वर्ग सेंटीमीटर मिलेगा; यह देखने का सबसे साफ़ तरीक़ा है कि सूत्र योग को आधा क्यों करता है और कोई और चाल नहीं चलता।

2. आधार 7 और 10, भुजाएँ 5 और 4

   1. आधारों का अंतर: 10 − 7 = 3
   2. भुजाएँ बराबर नहीं हैं, इसलिए अंतर बराबर हिस्सों में नहीं बँटता: (25 − 16 + 9) ÷ (2 × 3) = 18 ÷ 6 = 3
   3. ऊँचाई: √(25 − 9) = √16 = 4
   4. आधारों का औसत: (7 + 10) ÷ 2 = 8.5
   5. क्षेत्रफल: 8.5 × 4 = 34
   6. परिमाप: 7 + 10 + 5 + 4 = 26

   एक विषमबाहु समलंब, जिसमें दोनों भुजाओं की लंबाई अलग है और ऊँचाई अंतर के बीचोंबीच नहीं, कहीं और पड़ती है। यहाँ जवाब यह निकलता है कि 4 सेंटीमीटर वाली भुजा दोनों आधारों के दाएँ सिरों के बीच सीधी खड़ी है — दूरी x पूरे 3 के बराबर आती है, इसलिए दूसरी भुजा का उसमें कोई हिस्सा नहीं — और असमान भुजाओं की जोड़ी यही करती है; फिर ऊँचाई उसी भुजा की लंबाई के बराबर निकलती है। ऊँचाई यहाँ भी ठीक 4 ही आती है, इसलिए इस पंक्ति और पहली पंक्ति की ऊँचाई एक है पर क्षेत्रफल अलग — 28 और 34 वर्ग सेंटीमीटर — सिर्फ़ इसलिए कि उनके आधार अलग हैं। यह याद दिलाता है कि समलंब की चारों भुजाएँ मिलकर काम करती हैं: यहाँ 4 की एक ही ऊँचाई दो अलग-अलग आधार-जोड़ों पर बैठी है, इसलिए क्षेत्रफल चारों मिलकर तय करती हैं, अकेली ऊँचाई नहीं।

3. आधार 0 और 10, भुजाएँ 6 और 8

   1. आधारों का अंतर: 10 − 0 = 10
   2. असमान भुजाएँ: (36 − 64 + 100) ÷ (2 × 10) = 72 ÷ 20 = 3.6
   3. ऊँचाई: √(36 − 12.96) = √23.04 = 4.8
   4. आधारों का औसत: (0 + 10) ÷ 2 = 5
   5. क्षेत्रफल: 5 × 4.8 = 24
   6. परिमाप: 0 + 10 + 6 + 8 = 24

   समलंब का लिबास पहने हुए त्रिभुज: एक आधार 0 होने पर आकृति सिमटकर त्रिभुज बन जाती है, और यहाँ की संख्याएँ 6-8-10 समकोण त्रिभुज हैं, जिसका 24 वर्ग सेंटीमीटर वही जवाब है जो त्रिभुज क्षेत्रफल कैलकुलेटर देता है। यह हिसाब याद दिलाता है कि समलंब के सूत्र के अंदर त्रिभुज का सूत्र बैठा है — एक आधार शून्य होने पर आधारों का औसत दूसरे आधार का आधा बन जाता है, जो ठीक त्रिभुज वाला गुणक है। जिस आकृति की एक भुजा की लंबाई शून्य हो, उसका परिमाप बाक़ी तीन का जोड़ है, और यहाँ वह भी 24 निकलता है — यह इन संख्याओं का इत्तफ़ाक़ है, कोई नियम नहीं।

4. आधार 4 और 10, भुजाएँ 4 और 2

   1. आधारों का अंतर: 10 − 4 = 6
   2. दोनों भुजाएँ जोड़कर 4 + 2 = 6, ठीक उतना ही जितना अंतर
   3. ऊँचाई: भुजाएँ बस-बस अंतर पाट पाती हैं, इसलिए ऊँचाई 0 है
   4. आधारों का औसत: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. क्षेत्रफल: 7 × 0 = 0
   6. परिमाप: 4 + 10 + 4 + 2 = 20

   यह उस हद पर है जहाँ तक पन्ना लेता है, और यही वजह है कि वह वर्गमूल निकालने से पहले भुजाएँ जाँचता है। यहाँ दोनों भुजाएँ जोड़कर ठीक उतनी ही होती हैं जितना आधारों का अंतर, इसलिए दोनों लंबे आधार के साथ चपटी पड़ जाती हैं, दोनों आधार एक-दूसरे पर आ जाते हैं और आकृति कुछ भी नहीं घेरती। पन्ना मना करने के बजाय 0 बताता है, क्योंकि ये चार भुजाएँ सचमुच एक आकृति बताती हैं — बस चपटी हुई। किसी भी भुजा को एक सेंटीमीटर छोटा कर दें और ऐसा कोई समलंब ही नहीं बचता, और पन्ना उसी मामले को त्रुटि बताता है, इस आधार पर कि वर्गमूल के नीचे का ऋणात्मक अंक कोई ऊँचाई नहीं होती।

यह पन्ना समलंब की चार भुजाओं से उसका क्षेत्रफल, परिमाप और ऊँचाई निकालता है, और कुछ नहीं। यह कोण, विकर्ण, मध्य-खंड की लंबाई या आधारों पर ऊँचाई की जगह नहीं बताता — ये सब चार भुजाएँ तय तो करती हैं, पर पन्ना उन्हें छापता ही नहीं; और समलंब का विकर्ण तो इसी त्रिभुज-गणित का दूसरा दौर माँगता है जो पन्ना भीतर ही कर रहा है। यह उलटी दिशा में काम नहीं करता: क्षेत्रफल से उन भुजाओं तक कोई रास्ता नहीं जो उसे बनाती हैं, क्योंकि एक तय क्षेत्रफल वाले अनगिनत समलंब होते हैं। इनपुट चाहे किसी भी इकाई में डाले गए हों, नतीजे सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में ही आते हैं, क्योंकि हिसाब से पहले ड्रॉपडाउन हर भुजा को सेंटीमीटर में बदल देते हैं। पन्ना यह मान लेता है कि आकृति ऐसा समलंब है जिसमें ठीक एक जोड़ी समांतर भुजाएँ हैं और आपने जिन दो भुजाओं को आधार बताकर डाला है वही समांतर जोड़ी है — आधार और भुजा आपस में बदल दें तो पन्ना किसी दूसरी आकृति की ऊँचाई निकालेगा और कोई त्रुटि नहीं बताएगा, क्योंकि जो चार संख्याएँ आधारों के अंतर के साथ मिलकर वैध त्रिभुज बनाती हैं वे हर हाल में कोई जवाब दे ही देती हैं। दोनों आधार ऐसी लंबाइयाँ मानी जाती हैं जो ऋणात्मक नहीं हो सकतीं। दोनों आधार बराबर हों तो पन्ना जवाब देने के बजाय त्रुटि बताता है, जो जानबूझकर है पर जानने लायक़ है: तब आकृति समांतर चतुर्भुज होती है और उसकी ऊँचाई सचमुच उसकी चार भुजाओं से तय नहीं होती, इसलिए कोई संख्या लौटाने वाला पन्ना उसे गढ़ रहा होता। त्रुटि संदेश के अलावा पन्ना यह नहीं बताता कि आप तीन सीमांत मामलों में से किसमें हैं: ऊँचाई 0 वाला चपटा समलंब तो जवाब बनकर आता है, जबकि अंतर पाट न पाने वाली भुजाएँ ठुकरा दी जाती हैं, और दोनों के बीच का फ़र्क़ एक ही भुजा पर एक सेंटीमीटर का है। चार दशमलव स्थान एक प्रदर्शन-चौड़ाई है जो इस उपश्रेणी के बाक़ी क्षेत्रफल पन्नों के साथ साझा है, सटीकता का दावा नहीं — नज़दीकी सेंटीमीटर तक नापी गई भुजा ऊँचाई को चौथे दशमलव से ज़्यादा खिसका देती है। यहाँ किसी अपव्यय, कटाई या ऊबड़-खाबड़ ज़मीन का हिसाब नहीं है, इसलिए जो क्षेत्रफल मिलता है वह बताई गई आकृति का क्षेत्रफल है, मँगाने लायक़ सामग्री की मात्रा नहीं।

चार भुजाओं से समलंब का क्षेत्रफल कैसे निकालें?

पहले ऊँचाई निकालें, फिर आधारों का औसत लेकर गुणा करें। दोनों आधारों का अंतर कुछ Δ होता है; वह अंतर दोनों भुजाओं के साथ मिलकर एक त्रिभुज बनाता है, और समलंब की ऊँचाई उसी त्रिभुज की ऊँचाई होती है। आधार 4 और 10 तथा भुजाएँ 5 और 5 के लिए: अंतर 6 है, हर भुजा उसका 3 लेती है, ऊँचाई √(25 − 9) = 4 है, आधारों का औसत 7 है, और क्षेत्रफल 28 वर्ग सेंटीमीटर है।

पन्ना चार भुजाओं के कुछ समूहों को क्यों ठुकरा देता है?

क्योंकि चार भुजाओं के ज़्यादातर समूह समलंब बनाते ही नहीं। दोनों भुजाओं को मिलकर आधारों के अंतर को पाट पाना चाहिए, ठीक वैसे ही जैसे त्रिभुज की दो छोटी भुजाओं को सबसे लंबी भुजा पाटनी पड़ती है। आधार 10 और 4 का अंतर 6 है, इसलिए भुजाएँ 4 और 2 बस-बस पहुँचती हैं — ऊँचाई 0 — जबकि भुजाएँ 3 और 2 उस 6 को पाट ही नहीं सकतीं और ऐसी कोई आकृति नहीं बनती। पन्ना वर्गमूल से ऋणात्मक संख्या लौटाने के बजाय यही बताता है।

अगर दोनों आधारों की लंबाई बराबर हो तो क्या होगा?

तब आकृति समांतर चतुर्भुज हो जाती है और उसकी चार भुजाएँ उसे तय करना बंद कर देती हैं। भुजाएँ 5, 5, 6 और 6 एक ऐसा आयत भी बताती हैं जिसकी ऊँचाई 5 है, और लगभग चपटा लेटा हुआ कोई रूप भी — चार भुजाएँ वही, क्षेत्रफल अलग। यह पन्ना आपके लिए कोई एक चुनने के बजाय त्रुटि बताता है। समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल कैलकुलेटर इसके बजाय आधार और ऊँचाई लेता है और वह सवाल सीधे हल कर देता है।

समद्विबाहु समलंब क्या है और वह काम कैसे आसान कर देता है?

वह जिसकी दोनों भुजाएँ बराबर हों। तब आधारों का अंतर दोनों भुजाओं में बराबर बँट जाता है, इसलिए हर भुजा और अंतर का आधा मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, और ऊँचाई √(भुजा² − (Δ ÷ 2)²) होती है। आधार 4 और 10 तथा बराबर भुजाओं के साथ Δ 6 है, उसका आधा 3, और 5 की भुजा √(25 − 9) = 4 देती है। तालिका की पहली पंक्ति यही मामला है, और उसकी आकृति सममित होती है — दोनों आधार-कोण बराबर और दोनों विकर्ण भी।

क्या त्रिभुज समलंब का कोई विशेष रूप है?

गणित के हिसाब से हाँ, जब आधारों में से एक 0 हो। तब आधारों का औसत बचे हुए आधार का आधा बन जाता है और क्षेत्रफल का सूत्र आधा आधार गुणा ऊँचाई हो जाता है, जो त्रिभुज का सूत्र है। ऊपरी आधार 0, भुजाएँ 6 और 8 तथा निचला आधार 10 डालें और पन्ना 24 वर्ग सेंटीमीटर लौटाता है, वही जवाब जो त्रिभुज क्षेत्रफल कैलकुलेटर 6-8-10 त्रिभुज के लिए देता है। त्रिभुज को समलंब मानना है या नहीं, यह परिभाषा का सवाल है, पर सूत्र को इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता।

ऊँचाई चारों भुजाओं में से एक क्यों नहीं है?

क्योंकि समलंब में वह भुजा है ही नहीं — वह दोनों समांतर आधारों के बीच की लंबवत दूरी है और आकृति के भीतर रहती है, उसकी सीमा पर नहीं। यही वह अकेली राशि है जो किनारे पर फ़ीता घुमाकर नहीं मिलती, और इसीलिए यह पन्ना काम आता है: वह ऊँचाई उन चार भुजाओं से निकालता है जिन्हें आप नाप सकते हैं। ऊँचाई छोटी भुजा के बराबर सिर्फ़ उस सीमांत हालत में होती है जिसमें वह भुजा दोनों आधारों पर लंब खड़ी हो।

• Trapezoid — the four-sided figure with one pair of parallel sides that this page describes, including the area formula based on the average of the bases and the relations between the sides and the height — Wolfram MathWorld (United States)
• Isosceles Trapezoid — the case where the two legs are equal, where the base difference splits evenly and the height is the square root of the leg squared minus half the difference squared — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the figure the two legs and the difference between the bases form, and the source of the triangle inequality that decides whether four given sides describe a trapezoid at all — Wolfram MathWorld (United States)