समलंब का क्षेत्रफल कैलकुलेटर
नतीजा
क्षेत्रफल
समलंब का क्षेत्रफल कैलकुलेटर दोनों समांतर भुजाएँ और उनके बीच की दूरी लेता है और बताता है कि आकृति कितनी सतह ढकती है, वर्ग सेंटीमीटर में। समलंब वह चतुर्भुज है जिसकी आमने-सामने की एक जोड़ी भुजाएँ समांतर होती हैं — वही दोनों आधार हैं, और बाक़ी सब उन्हीं से निकलता है। सूत्र है दोनों आधारों का औसत गुणा ऊँचाई, और औसत लेना ही वह हिस्सा है जिसे समझना चाहिए, क्योंकि यही बताता है कि यह पन्ना अपने दोनों पड़ोसियों से ज़्यादा सामान्य क्यों है। किसी समलंब की एक और प्रतिलिपि बनाकर उसे आधा घुमा दें और दोनों को किसी एक तिरछी भुजा पर जोड़ दें — जो बनता है वह एक समांतर चतुर्भुज है जिसका आधार दोनों आधारों का जोड़ है और जिसकी ऊँचाई वही रहती है। समलंब का हिस्सा उसका आधा है, और यह कहना वही है कि दोनों आधारों का औसत गुणा ऊँचाई। जब दोनों आधार बराबर हों तो औसत लेने से कुछ नहीं बदलता और सूत्र सिकुड़कर आधार गुणा ऊँचाई रह जाता है — यानी समांतर चतुर्भुज। जब उनमें से एक शून्य हो, तो औसत दूसरे का आधा रह जाता है और सूत्र त्रिभुज वाला बन जाता है। यानी समलंब कोई अजीब आकृति नहीं है जिसे अपना अलग नियम चाहिए था; यह सामान्य मामला है, और बाक़ी दो उसके दोनों सिरों पर उसी से निकलती हैं। टाइप करना शुरू करने से पहले एक बात जान लें, और वह हैरान करने लायक़ समय बचा देती है: कौन-सा आधार किस खाने में जाएगा, इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता। सूत्र बाक़ी सब करने से पहले दोनों को जोड़ देता है, इसलिए लंबी भुजा पर खड़ा समलंब और वही आकृति छोटी भुजा पर खड़ी हुई एक ही जवाब देते हैं, और ऊपरी आधार का निचले आधार से बड़ा होना कोई ग़लती नहीं — इसका मतलब बस यह है कि आकृति उलटी रखी है। जिस शब्द पर ध्यान देना ज़रूरी है वह है ऊँचाई। वह दोनों आधारों के बीच की लंबवत दूरी है, किसी भी तिरछी भुजा की लंबाई नहीं — ठीक उसी कारण से जो त्रिभुज वाले पन्ने पर भी है।
दोनों समांतर भुजाओं और उनके बीच की दूरी से समलंब का क्षेत्रफल
| ऊपरी आधार (cm) | निचला आधार (cm) | ऊँचाई (cm) | क्षेत्रफल (cm²) |
|---|---|---|---|
| 6 | 10 | 4 | 32 |
| 5 | 9 | 6 | 42 |
| 3 | 7 | 2 | 10 |
| 8 | 8 | 5 | 40 |
| 0 | 10 | 4 | 20 |
| 12 | 4 | 7 | 56 |
| 2 | 2 | 3 | 6 |
| 1 | 9 | 10 | 50 |
आठ समलंब और चार स्तंभ, और इनमें दो पंक्तियाँ ही वह वजह हैं जिसके लिए यह पन्ना मौजूद है। चौथी पंक्ति समांतर चतुर्भुज वाली रेखा है: दोनों आधार 8 और ऊँचाई 5 मिलकर 40 देते हैं, जो समांतर चतुर्भुज वाला पन्ना उसी आकृति के लिए छापता है — यानी यह तालिका और वह पन्ना उस पंक्ति पर मिलते हैं। पाँचवीं त्रिभुज वाली रेखा है: ऊपरी आधार 0, निचला आधार 10 और ऊँचाई 4 मिलकर 20 देते हैं, जो त्रिभुज वाला पन्ना 10 के आधार और 4 की ऊँचाई डालने पर देता है। दोनों पंक्तियाँ मिलकर कहती हैं कि समलंब सामान्य मामला है और बाक़ी आकृतियाँ उसके दोनों सिरे हैं। पहली पंक्ति वही जोड़ा है जिसके साथ पन्ना खुलता है, और छठी उसका आइना है: निचले आधार 4 पर ऊपरी आधार 12 वाली आकृति अपनी लंबी भुजा पर खड़ी है, और दोनों प्रविष्टियाँ आपस में बदलने पर भी 56 ही आता है — डालकर देखें और जवाब को बदलने से इनकार करते हुए देखें। सातवीं एक छोटा समांतर चतुर्भुज है, दोनों आधार 2 और ऊँचाई 3, जिसे यह सामान्य सूत्र बिना किसी ख़ास मामले के निपटा देता है। यहाँ हर मान पन्ना बनते समय उसके तीन इनपुट से नए सिरे से निकाला जाता है, सेंटीमीटर में, और चार दशमलव वही चार दशमलव हैं जो नतीजे का पैनल इस्तेमाल करता है।
फ़ॉर्मूला
क्षेत्रफल = (a + b) ÷ 2 × h
- a
- दोनों समांतर भुजाओं में से एक, सेंटीमीटर में। किसे a और किसे b कहते हैं, इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता — दोनों को जोड़ा जाता है, इसलिए उलटे क्रम में डालने पर भी वही जवाब आता है
- b
- दूसरी समांतर भुजा, सेंटीमीटर में। यह a से लंबी या छोटी हो सकती है; ऊपरी आधार का निचले आधार से बड़ा होना बस आकृति का उलटा रखा होना है
- h
- दोनों आधारों के बीच की लंबवत दूरी, सेंटीमीटर में — दोनों पर समकोण बनाते हुए नापी गई, कभी किसी तिरछी भुजा के साथ नहीं
- (a + b) ÷ 2
- दोनों आधारों का औसत, और पूरे सूत्र की चाबी। समलंब का क्षेत्रफल ऐसे बरतता है जैसे आकृति ऐसा आयत हो जिसकी चौड़ाई उसके दोनों आधारों का औसत हो
- दो
- भाजक, और यही वजह है कि इस पन्ने में बाक़ी दोनों आकृतियाँ समा जाती हैं। जब आधार बराबर हों तो आधा करना और औसत लेना एक-दूसरे को काट देते हैं और आधार गुणा ऊँचाई लौट आता है; जब एक आधार शून्य हो तो औसत दूसरे का आधा रह जाता है और त्रिभुज वाला आधा करना सामने आ जाता है
- क्षेत्रफल
- समलंब जितनी सतह घेरता है, वर्ग सेंटीमीटर में — हमेशा यही इकाई, चाहे ड्रॉपडाउन कुछ भी कहें
- चार दशमलव स्थान
- रीडिंग कितनी चौड़ी लिखी जाती है। पूरे सेंटीमीटर में दोनों आधारों के जोड़ को आधा करना ठीक-ठीक होता है, इसलिए दशमलव तभी आता है जब इनपुट में ख़ुद दशमलव हो
हर वह चीज़ जो समलंब जैसी दिखती हो और जिसका दाम या ढकाव क्षेत्रफल से लगता हो। छतें इसकी क्लासिक मिसाल हैं और यही वजह है कि हर कारीगर की ज़ुबान पर इस आकृति का नाम है: चार-ढलान वाली छत, बग़ल से दिखता गैबल सिरा, दो डॉरमर के बीच का समलंब — सब इसी सूत्र पर हैं, और छत का सामान वर्ग मीटर में मँगाया जाता है। ज़मीन दूसरी पुरानी मिसाल है। जिस टुकड़े की दो भुजाएँ समांतर हों और दो न हों, वह समलंब है, और जिसमें इससे ज़्यादा भुजाएँ हों उसे आम तौर पर समलंबों और त्रिभुजों में काट लिया जाता है — सर्वेयर कैलकुलेटर के आने से बहुत पहले से अनियमित ज़मीन इसी तरह नापते आए हैं। इन दोनों के अलावा यही आकृति वहाँ भी मिलती है जहाँ कोई चीज़ एक सिरे पर दूसरे से चौड़ी हो: पतला होता ड्राइववे, दो फैलती सड़कों के बीच का टुकड़ा, कोई ध्वनि-पैनल, चौड़ा होता डक्ट का हिस्सा, समलंब आकार की मेज़, बाँध का मुँह, जल निकासी की नाली। यह जानना भी काम का है, और उसका समलंब से कोई लेना-देना नहीं: चूँकि बराबर आधार वाला मामला समांतर चतुर्भुज देता है और शून्य आधार वाला त्रिभुज, यही एक सूत्र समांतर भुजाओं के जोड़े वाले हर चतुर्भुज का क्षेत्रफल समेट लेता है — इसलिए अगर आपको सिर्फ़ यही याद रहे, तो बाक़ी दो और आयत भी मुफ़्त में मिल जाते हैं। इसी मायने में यह पन्ना सामान्य वाला पन्ना है।
हल किए हुए उदाहरण
ऊपरी आधार 6, निचला आधार 10 और ऊँचाई 4
- दोनों आधार जोड़ें: 6 + 10 = 16
- औसत चौड़ाई के लिए आधा करें: 16 ÷ 2 = 8
- ऊँचाई से गुणा करें: 8 × 4 = 32
यही वह जोड़ा है जिसके साथ पन्ना खुलता है। यही वह पंक्ति भी है जिस पर दिखाया जा सकता है कि आधारों का क्रम मायने नहीं रखता: ऊपर वाले खाने में 10 और नीचे वाले में 6 डालें, फिर भी 32 ही आता है। दोनों को बाक़ी कुछ भी होने से पहले जोड़ दिया जाता है, इसलिए ये खाने असल में ऊपर और नीचे वाले नहीं हैं — वे सिर्फ़ दोनों समांतर भुजाएँ हैं।
ऊपरी आधार 12, निचला आधार 4 और ऊँचाई 7
- दोनों आधार जोड़ें: 12 + 4 = 16
- आधा करें: 16 ÷ 2 = 8
- ऊँचाई से गुणा करें: 8 × 7 = 56
ऐसा समलंब जिसका ऊपरी आधार निचले आधार से लंबा है — यह कोई ग़लती नहीं है और किसी भी मायने में अलग आकृति नहीं है, इसका मतलब बस यह है कि आकृति अपनी लंबी भुजा पर खड़ी है। चूँकि बाक़ी कुछ भी होने से पहले दोनों आधार जोड़ दिए जाते हैं, ऊपर 4 और नीचे 12 डालने पर भी वही 56 आता है। दोनों तरह से डालकर देखें और जवाब को बदलने से इनकार करते हुए देखें।
ऊपरी आधार 8 और निचला आधार 8
- दोनों आधार जोड़ें: 8 + 8 = 16
- आधा करें: 16 ÷ 2 = 8
- ऊँचाई से गुणा करें: 8 × 5 = 40
यह समांतर चतुर्भुज वाली पंक्ति है। जब दोनों आधार बराबर हों तो औसत लेने को कुछ बचता ही नहीं और सूत्र वही करता है जो समांतर चतुर्भुज वाला पन्ना करता है: आधार गुणा ऊँचाई, यानी 40। आधा करना और औसत लेना एक-दूसरे को ठीक-ठीक काट देते हैं, इसीलिए यह पन्ना उस पन्ने को शामिल करता है, उससे मुकाबला नहीं करता।
ऊपरी आधार 0 और निचला आधार 10
- दोनों आधार जोड़ें: 0 + 10 = 10
- आधा करें: 10 ÷ 2 = 5
- ऊँचाई से गुणा करें: 5 × 4 = 20
यह त्रिभुज वाली पंक्ति है, और सूत्र का दूसरा सिरा। ऊपरी आधार शून्य होने का मतलब है कि आकृति सिमटकर एक बिंदु बन गई है, यानी यह 10 आधार और 4 ऊँचाई वाला त्रिभुज है — और त्रिभुज वाला पन्ना ठीक इन्हीं दो संख्याओं के लिए 20 देता है। 0 और 10 का औसत 5 है, जो आधार का आधा है, और वह त्रिभुज वाला आधा करना ही दूसरी तरफ़ से आ रहा है।
ऊपरी आधार 1, निचला आधार 9 और ऊँचाई 10
- दोनों आधार जोड़ें: 1 + 9 = 10
- आधा करें: 10 ÷ 2 = 5
- ऊँचाई से गुणा करें: 5 × 10 = 50
बहुत चौड़े टुकड़े के ऊपर बैठी पतली पट्टी, और पतला होता टुकड़ा या चौड़ा होता डक्ट असल में ऐसा ही दिखता है। 1 और 9 का औसत 5 है, और 5 ही 0 और 10 का औसत भी है — यह ऊपर वाली पंक्ति की बात ही है, बस संख्याओं का दूसरा जोड़ा लेकर देखी गई। यहाँ किसी जगह दशमलव की ज़रूरत नहीं पड़ी और कुछ भी पूर्णांकित नहीं हुआ।
सीमाएँ
यह पन्ना क्षेत्रफल निकालता है और बस। यह परिमाप, तिरछी भुजाएँ, ऊँचाई या कोण नहीं देता, और क्षेत्रफल से किसी छूटी हुई नाप तक उलटी दिशा में भी नहीं जाता — अकेला क्षेत्रफल समलंब तय नहीं करता, इसलिए लौटकर जाने को कुछ है ही नहीं। यहाँ ऊँचाई का मतलब दोनों आधारों के बीच की लंबवत दूरी है, किसी तिरछी भुजा की लंबाई नहीं; अगर आपके पास एक ही नाप है और वह किसी तिरछे किनारे के साथ चलती है, तो वह इस खाने के लिए ग़लत संख्या है। दोनों आधार और ऊँचाई एक ही इकाई में होने चाहिए, और जवाब ड्रॉपडाउन चाहे कुछ भी कहें हमेशा वर्ग सेंटीमीटर में आता है, इसलिए इंच में नापी गई आकृति वर्ग सेंटीमीटर वाली संख्या लौटाती है जिसे वर्ग इंच में पढ़ने के लिए 6.4516 से भाग देना पड़ता है। आकृति में ठीक एक जोड़ी समांतर भुजाएँ होनी चाहिए: बिना समांतर भुजाओं वाले सामान्य चतुर्भुज को त्रिभुजों में बाँटना पड़ता है, और जिसमें समांतर भुजाओं के दो जोड़े हों वह समांतर चतुर्भुज है — यह पन्ना उसका भी हिसाब कर देगा, पर उसका अपना अलग पन्ना है। मुड़ी हुई सतह पर बना समलंब इसके दायरे से बाहर है, और समलंबी फलकों वाले ठोस का आयतन भी।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
- किस आधार को किस खाने में डालें, इससे कुछ फ़र्क़ पड़ता है?
- नहीं, और यह शुरू करने से पहले जान लेना काम का है। सूत्र बाक़ी कुछ भी करने से पहले दोनों को जोड़ देता है, इसलिए 6 का आधार और 10 का आधार किसी भी क्रम में टाइप करें, जवाब वही आता है। ऊपरी आधार का निचले से लंबा होना भी ग़लती नहीं — इसका मतलब बस यह है कि समलंब उलटा खड़ा है।
- ऊँचाई असल में क्या है?
- दोनों समांतर भुजाओं के बीच की लंबवत दूरी, जो दोनों पर समकोण बनाते हुए नापी जाती है। यह किसी भी तिरछी भुजा की लंबाई नहीं है, और जहाँ आकृति झुकी हो वहाँ तिरछी भुजा हमेशा इससे लंबी होती है। यह वही चेतावनी है जो त्रिभुज वाले पन्ने पर है, और उसी कारण से: तिरछी भुजा डालने पर बड़ा क्षेत्रफल आता है जो बिलकुल विश्वसनीय दिखता है।
- जब यह पन्ना समांतर चतुर्भुज समेट लेता है, तो उसका अलग पन्ना क्यों है?
- क्योंकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल चाहने वाले ज़्यादातर लोग उसे बराबर आधारों वाला समलंब नहीं मानते, और उन्हें वह कदम उठाने पर मजबूर करना बिना फ़ायदे का काम है। दोनों पन्ने ठीक-ठीक सहमत हैं: इसमें दोनों आधार 8 और ऊँचाई 5 डालें तो 40 आता है, जो समांतर चतुर्भुज वाला पन्ना उसी आकृति के लिए छापता है। यह ओवरलैप जानबूझकर है, और दोनों पन्नों की तालिका में एक पंक्ति इसी बिंदु पर बैठी है।
- अगर आधारों में से एक शून्य हो तो क्या होगा?
- तब समलंब सिमटकर एक बिंदु बन चुका है और वह त्रिभुज है, और जवाब सही है। ऊपरी आधार शून्य, निचला आधार 10 और ऊँचाई 4 डालने पर 20 आता है — वही 20 जो त्रिभुज वाला पन्ना 10 के आधार और 4 की ऊँचाई पर देता है, क्योंकि आकृति वही है। शून्य को असली मान माना जाता है, खाली खाना नहीं; खाना ख़ाली छोड़ना अलग बात है और तब कोई नतीजा दिखता ही नहीं।
- क्या क्षेत्रफल से कोई छूटा हुआ आधार निकाला जा सकता है?
- अकेले क्षेत्रफल से नहीं। क्षेत्रफल समलंब तय नहीं करता — एक ही क्षेत्रफल और बहुत अलग भुजाओं वाले अनगिनत समलंब होते हैं — इसलिए उलटी दिशा में हल करने को कुछ है ही नहीं। अगर आपको क्षेत्रफल, ऊँचाई और एक आधार पता हो, तो सूत्र को उलटकर दूसरा आधार निकल ही आता है, पर वह हाथ से किया जाने वाला हिसाब है, यह पन्ना जो सुविधा देता है वह नहीं।
- क्या यह समांतर भुजाओं के दो जोड़ों वाली आकृति पर भी काम करता है?
- हाँ, सही संख्या देता है, क्योंकि समांतर भुजाओं के दो जोड़ों वाली आकृति समांतर चतुर्भुज होती है — और यह सूत्र तो बराबर आधारों पर आधार गुणा ऊँचाई में सिमट जाता है, जो ठीक समांतर चतुर्भुज वाला मामला है। पर ऐसी आकृति का अपना अलग पन्ना है, और उसका इस्तेमाल आम तौर पर आयत को समलंब मानकर चलने से ज़्यादा साफ़ रहता है।
संदर्भ
- Trapezoid — the shape, the vocabulary of bases and legs, and the area formula this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
- Parallelogram — what a trapezoid becomes when its two bases are equal, and the base-times-height result it collapses into — Wolfram MathWorld (United States)
- Quadrilateral — the family this shape belongs to, and where the trapezoid sits in it relative to the parallelogram and the rectangle — Wolfram MathWorld (United States)