त्रिभुज क्षेत्रफल कैलकुलेटर

क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई ÷ 2

आधार

तीनों में से कोई भी एक भुजा, सेंटीमीटर में। कौन-सी चुनते हैं इससे फ़र्क़ नहीं पड़ता, बस ऊँचाई उसी भुजा के सापेक्ष नापी गई हो

ऊँचाई

आधार से सामने के कोने तक की लंब दूरी, सेंटीमीटर में — आधार पर समकोण बनाते हुए नापी गई, कभी किसी तिरछी भुजा के साथ नहीं

क्षेत्रफल

त्रिभुज जितनी सतह घेरता है, वर्ग सेंटीमीटर में। उस समांतर चतुर्भुज का आधा जिसका आधार और ऊँचाई वही हों

दो से भाग

भाजक, और यही वजह है कि सूत्र सिर्फ़ आधार गुणा ऊँचाई नहीं है। त्रिभुज उस समांतर चतुर्भुज का आधा है जो उसकी एक नक़ल को आधा घुमाकर जोड़ने से बनता है

आधार × ऊँचाई

उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, जो पहले निकाला जाता है और बाद में आधा किया जाता है। गुणा पहले और भाग बाद में करने से आख़िरी अंक तब भी सही रहता है जब संख्याएँ पूरी न हों

चार दशमलव स्थान

रीडिंग कितनी चौड़ी छपती है। ठीक गुणनफल का आधा भिन्न छोड़ सकता है — आधार 7 और ऊँचाई 5 देने पर 17.5 आता है, और आधा सेंटीमीटर का आधार चौथाई देता है

वर्ग सेंटीमीटर

जवाब की इकाई, चाहे ड्रॉपडाउन में कुछ भी चुना हो। क्षेत्रफल हमेशा वर्ग इकाइयों में होता है, इसलिए इंच में दिया गया आधार और ऊँचाई वर्ग सेंटीमीटर में लौटते हैं, और उसे वर्ग इंच में पढ़ने के लिए 6.4516 से भाग देना पड़ता है

यह पेज हर उस आकृति का क्षेत्रफल बताता है जो त्रिभुज है, चाहे वह किसी भी चीज़ की बनी हो और कैसे भी खींची गई हो। ज़मीन सबसे पुराना इस्तेमाल है: जो ज़मीन का टुकड़ा एक कोने पर आकर मिलता है वह त्रिभुज है, और जिसमें चार कोने हैं वह दो त्रिभुज हैं — इसीलिए ज़मीन नापने वाले जब से दस्तावेज़ बनते आ रहे हैं, तब से यही तरीक़ा चलाते हैं। छत, क्लैडिंग और शीशे का काम आज के इस्तेमाल हैं, और इनके साथ बिल भी आता है — छत का तिकोना सिरा, तिकोने काँच का टुकड़ा, धातु की चादर का टुकड़ा, हर एक का दाम प्रति वर्ग मीटर तय होता है, इसलिए ऑर्डर देने से पहले क्षेत्रफल सही होना चाहिए। तिरछा काटा हुआ कपड़ा और काग़ज़ भी वही हिसाब है, बस इकाई अलग, और नाव का पाल या पिरामिड का तिकोना फलक भी। यह और भी बहुत से कामों का दूसरा हिस्सा है। किसी भी बहुभुज को त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है, और एक बार यह आ जाए तो बाक़ी सब जोड़-घटाव है — इसीलिए यह सूत्र चतुर्भुजों, प्रिज़्मों और छतों के कैलकुलेटरों के अंदर भी मिलता है, और इसीलिए इसे अलग से पक्का कर लेना काम का है। और स्कूल वाला रूप भी है: समकोण त्रिभुज, समद्विबाहु त्रिभुज, और वे जो वर्गांकित काग़ज़ पर खींचे जाते हैं जहाँ आप ख़ुद ख़ाने गिनकर जवाब जाँच सकते हैं। वह जाँच एक बार कर लेना अच्छा है, क्योंकि गिनती और सूत्र का मेल खाते देख लेने के बाद आधा करने का नियम याद रखने की चीज़ नहीं रह जाता।

1. आधार 10 और ऊँचाई 6

   1. आधार को ऊँचाई से गुणा कीजिए: 10 × 6 = 60
   2. आधा कीजिए: 60 ÷ 2 = 30

   यही जोड़ी पेज खुलते ही भरी मिलती है, और यही पंक्ति समांतर चतुर्भुज से नाता जोड़ती है: वही आधार और वही ऊँचाई समांतर चतुर्भुज में डालिए तो 60 मिलता है, यानी ठीक इसका दुगुना। इस पेज से अगर एक ही संख्या याद रखनी हो तो यही रखिए — किसी और के बताए त्रिभुज के जवाब का अंदाज़ा लगाने का इससे तेज़ तरीक़ा नहीं है।

2. आधार 7 और ऊँचाई 4

   1. आधार को ऊँचाई से गुणा कीजिए: 7 × 4 = 28
   2. आधा कीजिए: 28 ÷ 2 = 14

   आम मामला: विषम आधार, सम ऊँचाई, और पूरा-पूरा जवाब। यहाँ कोई ख़ास आकृति नहीं है और कुछ भी सुविधाजनक कोण पर नापने की ज़रूरत नहीं पड़ी। असली त्रिभुज ज़्यादातर ऐसे ही दिखते हैं — ऊबड़-खाबड़ ज़मीन का टुकड़ा, छत का तिकोना सिरा, तिरछा काटा हुआ गत्ता — और सूत्र को इस बात से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता कि भुजाएँ बराबर नहीं हैं।

3. आधार 5 और ऊँचाई 8

   1. आधार को ऊँचाई से गुणा कीजिए: 5 × 8 = 40
   2. आधा कीजिए: 40 ÷ 2 = 20

   यह पंक्ति समलंब वाले पेज से मिलाने के लिए है। समलंब में ऊपरी आधार 0, निचला आधार 10 और ऊँचाई 4 डालिए तो वहाँ भी 20 आता है — वही 20, क्योंकि जिस समलंब का एक आधार शून्य हो वह त्रिभुज ही है। दोनों पेज एक ही आकृति के लिए एक ही संख्या छापते हैं, और दोनों के साथ होने का मतलब यही है।

4. आधार 12.5 और ऊँचाई 8

   1. आधार को ऊँचाई से गुणा कीजिए: 12.5 × 8 = 100
   2. आधा कीजिए: 100 ÷ 2 = 50

   नाप में दशमलव, जो फ़ीता आम तौर पर देता है। गुणा पहले होता है और आधा करना ठीक-ठीक बैठता है, इसलिए कोई पूर्णांकन की ग़लती अंदर आती ही नहीं — जवाब ठीक 50 है, 50.0000 से कुछ ज़्यादा नहीं।

5. आधार 20 और ऊँचाई 0

   1. आधार को ऊँचाई से गुणा कीजिए: 20 × 0 = 0
   2. आधा कीजिए: 0 ÷ 2 = 0

   ऊँचाई शून्य का मतलब है कि त्रिभुज अपने ही आधार पर पिचक गया है और अब एक रेखाखंड भर है। शून्य एक भरा हुआ मान है, इसलिए यह असली जवाब है, छूटा हुआ जवाब नहीं — पेज इसे उस हालत से अलग रखता है जिसमें ख़ाना ख़ाली छोड़ दिया जाए, क्योंकि तब हिसाब लगाने के लिए कुछ बचता ही नहीं और पेज कोई नतीजा नहीं दिखाता।

यह पेज आधार और उस पर लंब ऊँचाई लेता है, बस इतना ही। यह त्रिभुज की तीन भुजाओं से नहीं चलता — वह अलग हिसाब है, उसका अपना सूत्र है और अपना पेज। यह न परिमाप देता है, न कोण, न भुजाओं की लंबाई; और ऊँचाई कोई तिरछी भुजा नहीं है — अगर आपके पास त्रिभुज के किसी किनारे के साथ नापी गई लंबाई भर है, तो उसे पहले आधार पर लंब ऊँचाई में बदलना पड़ेगा, तभी वह यहाँ काम आएगी। जवाब हमेशा वर्ग सेंटीमीटर में आता है, चाहे ड्रॉपडाउन में कोई भी इकाई चुनी हो, और चूँकि यह क्षेत्रफल है, बदलाव भी वर्ग में होता है: इंच में डाला गया आधार और ऊँचाई वर्ग सेंटीमीटर में लौटते हैं, और उसे वर्ग इंच में पढ़ने के लिए 2.54 से नहीं, क़रीब 6.45 से भाग देना पड़ता है। चार दशमलव स्थान दिखाने की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं, और ठीक गुणनफल का आधा सचमुच भिन्न हो सकता है — आधार 7 और ऊँचाई 5 देने पर 17.5 आता है। दोनों ख़ानों में शून्य चलता है और जवाब शून्य आता है, जो सिकुड़े हुए त्रिभुज के लिए सही है और ख़ाली ख़ाने से अलग बात है। यहाँ न घुमावदार किनारा सँभाला जाता है, न गोले पर खींचा हुआ त्रिभुज, न सामग्री की मोटाई — यह सिर्फ़ सपाट, दो-आयामी आकृति है।

आधार कौन-सी भुजा होती है?

तीनों में से कोई भी, बस ऊँचाई उसी के सापेक्ष नापी गई हो। त्रिभुज में आधार-ऊँचाई की तीन जोड़ियाँ बनती हैं और तीनों एक ही क्षेत्रफल देती हैं — यह जाँच एक बार कर लेना अच्छा है: कोई त्रिभुज लीजिए, बारी-बारी हर कोने से क्षेत्रफल निकालिए, और तीनों जवाबों को मेल खाते देखिए। पेज को इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता कि आप कौन-सी जोड़ी चुनते हैं।

जवाब आधार गुणा ऊँचाई का आधा क्यों होता है?

क्योंकि त्रिभुज की दो नक़लें मिलकर समांतर चतुर्भुज बनाती हैं। त्रिभुज लीजिए, उसकी नक़ल बनाइए, नक़ल को आधा घुमाकर मिलती भुजा पर जोड़ दीजिए — जो आकृति बनती है उसका आधार वही, ऊँचाई वही, और क्षेत्रफल ठीक दुगुना होता है। त्रिभुज उसका आधा है। पूरा तर्क इतना ही है, और यह हर त्रिभुज पर चलता है, सिर्फ़ सुडौल आकृतियों पर नहीं।

क्या ऊँचाई की जगह तिरछी भुजा डाल सकते हैं?

नहीं, और यही वह ग़लती है जिसे रोकने के लिए यह पेज है। ऊँचाई आधार से सामने के कोने तक की लंब दूरी है, जो आधार पर समकोण बनाते हुए नापी जाती है। तिरछी भुजा उस दूरी से हमेशा लंबी होती है जब त्रिभुज एक तरफ़ झुका हो, इसलिए उसे डालने पर क्षेत्रफल बढ़ा हुआ आता है। दोनों संख्याएँ सिर्फ़ समकोण त्रिभुज में बराबर होती हैं, जहाँ एक भुजा वैसे ही आधार पर समकोण पर खड़ी होती है।

तीन भुजाओं वाला रूप कहाँ है?

उसका अपना पेज है। त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी तीन भुजाओं से निकालने में दूसरा सूत्र लगता है और आधा करने की जगह वर्गमूल आता है, इसलिए वह अलग औज़ार है। यह पेज जान-बूझकर एक ही काम करता है — इसी समूह के वृत्त और गोले वाले पेज भी यही चुनाव करते हैं: एक सवाल का जवाब देने वाला पेज उस पेज से आसान होता है जो पहले पूछे कि आपका मतलब कौन-सा सवाल था।

इकाइयों से कुछ फ़र्क़ पड़ता है?

इकाई का ड्रॉपडाउन यह बदलता है कि आप क्या डालते हैं, यह नहीं कि क्या निकलता है। रीडिंग हमेशा वर्ग सेंटीमीटर में होती है, और चूँकि यह क्षेत्रफल है, बदलाव वर्ग में होता है — इंच में नापा गया त्रिभुज वर्ग सेंटीमीटर में लौटता है, और उसे वर्ग इंच में पढ़ने के लिए 6.4516 से भाग दीजिए। फ़ुट में डालकर जवाब को वर्ग फ़ुट मान लेना वह ग़लती है जिस पर नज़र रखनी है।

अगर कोई एक संख्या शून्य हो तो?

जवाब शून्य आता है, और वह सही है: जिस त्रिभुज की ऊँचाई नहीं, वह अपने आधार पर पिचका हुआ है और कुछ नहीं घेरता। शून्य को असली मान माना जाता है, ख़ाली ख़ाना नहीं, इसलिए पेज नतीजा छापता है। ख़ाना ख़ाली छोड़ना अलग बात है — तब हिसाब लगाने के लिए कुछ होता ही नहीं और पेज कोई नतीजा नहीं दिखाता।

• Triangle Area — the half-base-times-height formula this page computes, with the parallelogram argument that shows why the halving is there — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — what a triangle is, the vocabulary of base and altitude, and the several ways its area can be arrived at — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — the shape two copies of a triangle make, whose area is exactly double, and the reason the divisor in the formula is two — Wolfram MathWorld (United States)