दो भुजाओं और एक कोण से त्रिभुज की तीसरी भुजा कैसे निकालें?

कोसाइन नियम लगाइए: तीसरी भुजा a² + b² − 2ab × cos C का वर्गमूल है, जहाँ C आपकी ज्ञात दोनों भुजाओं के बीच का कोण है। तीन और चार भुजाओं के बीच समकोण हो तो cosine शून्य है और जवाब √25 = 5 आता है। 60 डिग्री पर cosine 0.5 है, सुधार वाला पद 12 बनता है, और तीसरी भुजा √13 यानी क़रीब 3.6056 — उन्हीं दो भुजाओं से साफ़ कम।

पेज कैसे तय करता है कि त्रिभुज न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण है?

तीनों कोणों में सबसे बड़े कोण से। 90 डिग्री से नीचे त्रिभुज न्यूनकोण है, ठीक 90 पर समकोण, और 90 से ऊपर अधिककोण। सबसे बड़ा कोण हमेशा सबसे लंबी भुजा के सामने पड़ता है, इसलिए वही जाँच भुजाओं पर भी की जा सकती है: छोटी दोनों का वर्ग करके उनका जोड़ सबसे लंबी के वर्ग से मिलाइए — बराबर यानी समकोण, बड़ा यानी न्यूनकोण, छोटा यानी अधिककोण। पाँच, पाँच और 8.6603 भुजाएँ 120 डिग्री का कोण और एक अधिककोण त्रिभुज देती हैं।

दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण पूरा त्रिभुज क्यों तय कर देते हैं?

क्योंकि दोनों भुजाएँ परकार की दो टाँगों की तरह खुलने को आज़ाद हैं, और कोण तय करता है कि वे आख़िर में कितनी खुलेंगी। कोण तय होते ही उन दोनों आज़ाद सिरों के बीच एक ही फ़ासला मुमकिन बचता है, इसलिए तीसरी भुजा तय हो गई, और तीन भुजाएँ होने पर कोण भी तय हो गए। इसीलिए अकेली दो भुजाएँ काफ़ी नहीं हैं — तीन और चार क़रीब शून्य से लेकर छह वर्ग सेंटीमीटर तक कुछ भी ढक सकती हैं, सबसे ज़्यादा समकोण पर — और इसीलिए अकेले तीन कोण भी काफ़ी नहीं हैं, क्योंकि वे आकृति तय करते हैं, नाप नहीं।

यहाँ क्षेत्रफल का कौन-सा सूत्र लगता है?

ज्ञात दोनों भुजाओं के गुणनफल का आधा, गुणा उनके बीच के कोण की sine: A = ½ × a × b × sin C। यह वही आधार-गुणा-ऊँचाई वाला आम सूत्र है, बस ऊँचाई की जगह कुछ और बैठा दिया गया है, क्योंकि किसी एक भुजा के ऊपर की ऊँचाई दूसरी भुजा गुणा बीच के कोण की sine होती है। तीन और चार समकोण पर ½ × 12 × 1 = 6 वर्ग सेंटीमीटर देते हैं; वही दोनों भुजाएँ 60 डिग्री पर 5.1962 देती हैं, क्योंकि sin 60 है 0.866।

कोण 0 या 180 डिग्री हो तो क्या होता है?

त्रिभुज एक रेखा में चपटा हो जाता है और पेज फिर भी जवाब देता है: तीन और चार भुजाओं के बीच 0 का कोण हो तो तीसरी भुजा एक, एक कोण 180 डिग्री और बाक़ी दो 0। वर्गीकरण अधिककोण आता है, जो उस नियम से मेल खाता है कि 90 से ऊपर कुछ भी अधिककोण है, हालाँकि चपटा त्रिभुज असली आकृति नहीं, ह्रासमान मामला है। एक ही जोड़ा शुरू में ही ठुकरा दिया जाता है: दो बराबर भुजाएँ और 0 का कोण, जहाँ तीसरी भुजा शून्य होती और कुछ बचता ही नहीं।

क्या मैं इस पेज को समकोण त्रिभुज के लिए इस्तेमाल कर सकता हूँ?

हाँ, और पेज आपको बता भी देगा: तीन और चार तथा 90 का कोण डालिए तो क़िस्म समकोण आती है। हिसाब साफ़-सुथरे ढंग से सिमट जाता है, क्योंकि 90 डिग्री का cosine शून्य है और कोसाइन नियम a² + b² = c² पर उतर आता है। अगर आप हर बार समकोण त्रिभुज ही हल करते हैं तो इस उपवर्ग का पाइथागोरस वाला कैलकुलेटर दोनों भुजाएँ सीधे लेता है और त्रिकोणमिति छोड़ देता है — पर जब आपको पक्का न हो कि कोण ठीक सीधा है, तब यही पेज लीजिए।

त्रिभुज कैलकुलेटर

नतीजा

5.0000 cmसमकोण

भुजा c

कोण A: 36.87 °
कोण B: 53.13 °
क्षेत्रफल: 6.0000 cm²
परिमाप: 12.0000 cm

त्रिभुज कैलकुलेटर दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण लेता है और पूरा त्रिभुज निकाल देता है: तीसरी भुजा, बाक़ी दोनों कोण, क्षेत्रफल और परिमाप। ये तीन संख्याएँ — दो भुजाएँ और उनके बीच बैठा कोण — त्रिभुज को पूरी तरह तय कर देती हैं, और यह बात साफ़ शब्दों में कहने लायक़ है क्योंकि यह अपने आप से साफ़ नहीं है: अकेली दो भुजाएँ परकार की दो टाँगों की तरह खुलती-बंद होती रह जाती हैं, और उन्हें बंद करने वाली चीज़ यही कोण है। यहाँ से रास्ता कोसाइन नियम से जाता है, जो तीसरी भुजा सीधे दे देता है, और उसके बाद बचे हुए दोनों कोणों के लिए साइन नियम, या दूसरी बार वही कोसाइन नियम। तीन और चार भुजाएँ, बीच में समकोण: तीसरी भुजा पाँच, कोण 36.87 और 53.13, क्षेत्रफल छह वर्ग सेंटीमीटर और परिमाप बारह। बीच का कोण बदलिए तो उसके साथ सब कुछ बदल जाता है, सिवाय उन दो भुजाओं के जिनसे आपने शुरू किया: वही तीन और चार 60 डिग्री पर तीसरी भुजा 3.6056 देते हैं और क्षेत्रफल 5.1962, और 120 डिग्री पर तीसरी भुजा 6.0828 — लंबी भुजा, क्योंकि 120 डिग्री का cosine ऋणात्मक है और सुधार वाला पद जोड़ में से घटता नहीं, जुड़ता है। दोनों कोण जिस चीज़ पर सहमत रहते हैं वह क्षेत्रफल है: sin 60 और sin 120 दोनों 0.866 हैं, इसलिए दोनों त्रिभुज ठीक 5.1962 वर्ग सेंटीमीटर ढकते हैं, चाहे उनकी तीसरी भुजाएँ अलग-अलग हों। जो चीज़ यह पेज हिसाब के ऊपर जोड़ता है वह नतीजे का नाम है। तीनों कोणों में सबसे बड़ा कोण तय करता है कि त्रिभुज किस क़िस्म का है: 90 डिग्री से नीचे त्रिभुज न्यूनकोण है, ठीक 90 डिग्री पर समकोण, और 90 से ऊपर अधिककोण। यही वर्गीकरण जवाबों के नीचे छपता है, और यही वह सवाल है जिसका जवाब इस उपवर्ग के बाक़ी पेज नहीं देते — तीन भुजाएँ या आधार और ऊँचाई आपको त्रिभुज का नाप बताते हैं, और यह पेज उसकी आकृति भी बता देता है। भुजाएँ सामने होने पर यह नियम जाँचना आसान है: सबसे बड़ा कोण सबसे लंबी भुजा के सामने पड़ता है, इसलिए त्रिभुज ठीक तब समकोण होता है जब छोटी दोनों भुजाओं के वर्गों का जोड़ सबसे लंबी भुजा के वर्ग के बराबर हो, और वह जोड़ उससे ऊपर है या नीचे — यही न्यूनकोण त्रिभुज को अधिककोण से अलग करता है। पाँच, पाँच और पाँच भुजाओं वाला त्रिभुज न्यूनकोण है क्योंकि उसके तीनों कोण 60 हैं; दस, दस और 17.3205 भुजाओं वाले में एक कोण 120 का है और वह अधिककोण है; और पाँच, पाँच तथा 7.0711 भुजाओं वाले में बराबर भुजाओं के बीच समकोण है। इस पेज का कोण वाला ख़ाना डिग्री, रेडियन और ग्रेडियन तीनों लेता है, और जो दो कोण यह छापता है वे हमेशा डिग्री में होते हैं, चाहे आपने कुछ भी डाला हो — त्रिभुज दोनों तरह एक ही आकृति रहता है, और जवाब उस इकाई में छापना जो आपने नहीं लिखी, उसे किसी चित्र से मिलाना और मुश्किल ही करता। अगर आपके पास दो भुजाओं की जगह तीन भुजाएँ हैं तो हीरोन के सूत्र वाला कैलकुलेटर लीजिए, जो उन्हें सीधे लेता है; अगर आधार और लंब ऊँचाई है तो त्रिभुज क्षेत्रफल वाला पेज उसी क्षेत्रफल तक का छोटा रास्ता है; और अगर ज्ञात कोण समकोण है तो पाइथागोरस प्रमेय वाला पेज उसी मामले के लिए बना है।

इस पेज की बताई तीन क़िस्म के त्रिभुज

त्रिभुज	कब	इसका अर्थ
न्यूनकोण	तीनों कोण 90° से कम	हर कोना नुकीला है। सबसे लंबी भुजा सबसे चौड़े कोण के सामने पड़ती है, और छोटी दोनों भुजाओं का वर्ग करके जोड़ने पर सबसे लंबी के वर्ग से बड़ा जोड़ मिलता है — त्रिभुज अपनी भुजाओं के हिसाब से चौड़ा और बौना है।
समकोण	एक कोण ठीक 90°	एक कोना सीधा है, और वहाँ मिलती दोनों भुजाएँ एक-दूसरे पर लंब हैं। छोटी दोनों भुजाओं के वर्गों का जोड़ ठीक सबसे लंबी के वर्ग के बराबर होता है, जो पाइथागोरस प्रमेय है, और कोसाइन नियम अपना सुधार वाला पद खो देता है।
अधिककोण	एक कोण 90° से ज़्यादा	एक कोना सीधे कोण से चौड़ा है, और उसके सामने वाली भुजा बाक़ी दोनों में से किसी से भी लंबी है। कोसाइन नियम का सुधार वाला पद ऋणात्मक होता है, इसलिए वह घटने के बजाय जोड़ में जुड़ता है, और भुजाओं के किसी तय जोड़े के लिए क्षेत्रफल उससे छोटा निकलता है जितना समकोण देता।

यह वही वर्गीकरण है जो इस पेज पर हर जवाब के नीचे छपता है, और यही वजह है कि यहाँ तीन पंक्तियाँ हैं, एक अकेली संख्या नहीं। जाँच हमेशा तीनों कोणों में सबसे बड़े कोण से होती है, और चूँकि सबसे बड़ा कोण सबसे लंबी भुजा के सामने बैठता है, वही जाँच भुजाओं पर भी चलाई जा सकती है: छोटी दोनों भुजाओं के वर्ग जोड़िए और सबसे लंबी के वर्ग से मिलाइए। बराबर आए तो समकोण वाली पंक्ति, बड़ा आए तो न्यूनकोण वाली, और छोटा आए तो अधिककोण वाली। समकोण वाली पंक्ति ही रट लेने लायक़ है, क्योंकि वह पाइथागोरस प्रमेय है, और मौक़े पर कोना सीधा है या नहीं यह जाँचने का आम तरीक़ा तीन-चार-पाँच त्रिभुज है।

दो भुजाओं और उनके बीच के कोण से बने त्रिभुज

भुजा a (cm)	भुजा b (cm)	कोण C (°)	भुजा c (cm)	कोण A (°)	कोण B (°)	क्षेत्रफल (cm²)
3	4	90	5	36.87	53.13	6
5	5	60	5	60	60	10.8253
5	12	90	13	22.62	67.38	30
6	8	90	10	36.87	53.13	24
7	8	60	7.5498	53.41	66.59	24.2487
10	10	120	17.3205	30	30	43.3013
5	5	90	7.0711	45	45	12.5
4	4	30	2.0706	75	75	4

आठ त्रिभुज, और जिन दो कॉलमों को साथ पढ़ना है वे कोण और तीसरी भुजा हैं। पहली, तीसरी और चौथी पंक्ति समकोण त्रिभुज हैं, इसीलिए उनकी तीसरी भुजाएँ पूरी संख्याओं में आती हैं — 5, 13 और 10 — और इसीलिए उनके बग़ल के दोनों कोण वही जानी-पहचानी जोड़ियाँ हैं, 36.87 और 53.13, तथा 22.62 और 67.38। दूसरी पंक्ति वह अकेला कोण है जो तीसरी भुजा को मजबूर कर देता है: दो बराबर भुजाएँ 60 डिग्री पर समबाहु त्रिभुज देती हैं, इसलिए तीसरी भुजा आपकी दी हुई दोनों के बराबर हो जाती है और तीनों कोण 60। आठवीं पंक्ति वही बराबर भुजाएँ बहुत पतले कोण पर हैं — चार और चार, 30 डिग्री — जहाँ तीसरी भुजा गिरकर 2.0706 रह जाती है और बचे हुए दोनों कोण खुलकर 75-75 हो जाते हैं। छठी पंक्ति अधिककोण मामला है: दस की दो भुजाएँ 120 डिग्री पर, जहाँ तीसरी भुजा 17.3205 दी हुई दोनों में से किसी से भी लंबी है — 90 डिग्री से ऊपर के कोण की पहचान — और जहाँ क्षेत्रफल 43.3013 उन 50 से छोटा है जो यही दो भुजाएँ समकोण पर ढकतीं। सातवीं पंक्ति दो बराबर भुजाओं के बीच समकोण है, वह समद्विबाहु समकोण त्रिभुज जिसकी तीसरी भुजा पाँच गुणा दो का वर्गमूल है। यहाँ हर ख़ाना पेज बनते समय उसकी अपनी पंक्ति से दोबारा निकाला जाता है, सेंटीमीटर, डिग्री और वर्ग सेंटीमीटर में।

फ़ॉर्मूला

c = √(a² + b² − 2ab × cos C) A = ½ × a × b × sin C A + B + C = 180°

a, b: आपकी ज्ञात दो भुजाएँ, सेंटीमीटर में। ये आपस में बदली जा सकती हैं — पेज को फ़र्क़ नहीं पड़ता कि किसे a कहते हैं और किसे b, और दोनों बदल देने पर सिर्फ़ छपे हुए दोनों कोण आपस में बदल जाते हैं। दोनों शून्य से बड़ी होनी चाहिए, क्योंकि शून्य भुजा वाला त्रिभुज बनता ही नहीं
C: ज्ञात दोनों भुजाओं के बीच का कोण, डिग्री, रेडियन या ग्रेडियन में। इसे बीच का कोण इसलिए कहते हैं कि यह आपकी दी हुई दोनों भुजाओं से घिरा है, और यही अकेला कोण है जो यह पेज आपसे पूछता है। यह 0 से 180 डिग्री तक कुछ भी हो सकता है; ठीक 0 या 180 पर त्रिभुज एक रेखा में चपटा हो जाता है और पेज फिर भी जवाब देता है, एक कोण 0 और दूसरा 180
c: तीसरी भुजा, सेंटीमीटर में, कोण C के सामने वाली। यह कोसाइन नियम से निकलती है, जो पाइथागोरस प्रमेय ही है बस उन त्रिभुजों के लिए एक सुधार वाला पद जोड़कर जिनमें समकोण नहीं है: जब C 90 डिग्री होता है तो cosine शून्य होता है और वह पद उड़ जाता है, जिससे a² + b² = c² बचता है। यह पेज का मुख्य जवाब है क्योंकि बाक़ी हर पाठ इसी पर टिका है
A, B: वे दो कोण जो आपने नहीं दिए, डिग्री में। दोनों उसी कोसाइन नियम को अब पूरी तरह ज्ञात त्रिभुज पर दोबारा लगाकर निकाले जाते हैं, तीसरी भुजा को पूर्णांकित करने से पहले लेकर, और फिर ये दोनों C के साथ आख़िरी दशमलव तक जोड़कर 180 देते हैं। जो त्रिभुज बहुत क़रीब-क़रीब समकोण है वह कोणों को दो दशमलव तक पूर्णांकित करने पर ठीक 90 पर उतर सकता है और समकोण बताया जा सकता है — वर्गीकरण उन संख्याओं से बनता है जो पेज छापता है, उन संख्याओं से नहीं जो उनके पीछे हैं
½ × a × b × sin C: क्षेत्रफल, वर्ग सेंटीमीटर में: ज्ञात दोनों भुजाओं के गुणनफल का आधा, गुणा उनके बीच के कोण की sine। यह क्षेत्रफल का सूत्र उस मामले तक सिमटा हुआ है जहाँ कोण पता है, क्योंकि जो ऊँचाई वरना चाहिए होती वह b × sin C ही है — इसीलिए वही तीन और चार समकोण पर छह वर्ग सेंटीमीटर देते हैं और 60 डिग्री पर सिर्फ़ 5.1962, भुजाएँ बदले बिना
A + B + C = 180°: कोणों का जोड़, और यही वर्गीकरण को मुमकिन बनाता है: तीनों कोण पता होने पर सबसे बड़ा कोण तय करता है कि त्रिभुज न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण है, और सबसे बड़ा कोण हमेशा सबसे लंबी भुजा के सामने पड़ता है। वर्गीकरण पेज के छापे हुए दो कोण पढ़ता है और तीसरे को 180 में से उन्हें घटाकर निकालता है, इसलिए बैज स्क्रीन पर पड़ी संख्याओं को जाँच रहा है — पूर्णांकन समेत — और उनसे किसी पूर्णांकन की बहाने टकरा नहीं सकता

यह पेज तब लीजिए जब आपके पास दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण हों, और जो कुछ मौक़े पर नापा या तय किया जाता है उसमें यही आम हालत है: किसी भूखंड की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोना, ज्ञात कोण पर मिलती दो टेकनुमा छड़ें, ढाल और फैलाव से बताई गई छत की कड़ी, किसी कोने से काटा गया कपड़े का त्रिभुज। यही पेज तब भी सही है जब सवाल त्रिभुज के नाप का नहीं, उसकी आकृति का हो — कहीं कोना सीधा है या नहीं, कोई त्रिभुज न्यूनकोण है या नहीं, तीन भुजाओं का कोई जोड़ा अधिककोण त्रिभुज बना भी सकता है या नहीं। चूँकि पेज क़िस्म छापता है, यह वही जाँच पूरी कर देता है जो राजमिस्त्री तीन-चार-पाँच से करता है: तीन और चार भुजाएँ तथा 90 का कोण डालिए तो जवाब समकोण आता है; वही भुजाएँ 92 के कोण के साथ डालिए तो अधिककोण आता है, और तीसरी भुजा तब तक समकोण के लिए ज़रूरत से लंबी हो चुकी होती है। जब तीन भुजाएँ हों और कोण कोई न हो तो हीरोन के सूत्र वाला कैलकुलेटर लीजिए, जो ठीक उलटी दिशा है। जब आधार और लंब ऊँचाई हो तो त्रिभुज क्षेत्रफल वाला पेज लीजिए, क्योंकि उसे त्रिकोणमिति की ज़रूरत ही नहीं। जब कोण समकोण पता हो और सीधा a² + b² = c² वाला रास्ता चाहिए, या समकोण त्रिभुज में एक भुजा और कर्ण दिए हों, तो पाइथागोरस वाला पेज लीजिए। और जब त्रिभुज में कोई ख़ास सममिति हो तो समबाहु या समद्विबाहु वाले पेज लीजिए, क्योंकि वे कम संख्याएँ लेते हैं और कोण पूछे बिना दे देते हैं।

हल किए हुए उदाहरण

तीन और चार की भुजाएँ, समकोण पर
1. 90° का cosine 0 है, इसलिए सुधार वाला पद उड़ जाता है: c = √(3² + 4²) = √25 = 5
2. क्षेत्रफल: ½ × 3 × 4 × sin 90° = ½ × 12 × 1 = 6
3. परिमाप: 3 + 4 + 5 = 12
4. कोण A, जो 3 वाली भुजा के सामने है: cos A = (4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5) = 32 ÷ 40 = 0.8, इसलिए A = 36.87°
5. कोण B: 180 − 90 − 36.87 = 53.13°
6. सबसे बड़ा कोण 90° है, इसलिए पेज समकोण त्रिभुज बताता है
तीन-चार-पाँच त्रिभुज, और वह पंक्ति जिसके लिए यह वर्गीकरण रखा गया है: पेज समकोण पहचानकर बता देता है, आपको जाँचने के लिए छोड़ता नहीं। 36.87 और 53.13 यही जोड़ी हर तीन-चार-पाँच त्रिभुज में आती है और, उसी हिसाब के दूसरे सिरे पर, उस समचतुर्भुज में भी जिसके विकर्ण छह और आठ हैं। यह सबसे साफ़ सबूत भी है कि कोसाइन नियम के अंदर पाइथागोरस प्रमेय बैठा है: 90 डिग्री पर सुधार वाला पद शून्य है और दोनों सूत्र एक ही बात कहते हैं।
पाँच और पाँच की भुजाएँ, 60 डिग्री पर
1. 60° का cosine 0.5 है: c = √(25 + 25 − 2 × 5 × 5 × 0.5) = √(50 − 25) = √25 = 5
2. तीसरी भुजा आपकी दी हुई दोनों के बराबर निकलती है, इसलिए तीनों भुजाएँ पाँच हैं
3. क्षेत्रफल: ½ × 5 × 5 × sin 60° = 12.5 × 0.866025… = 10.8253
4. परिमाप: 5 + 5 + 5 = 15
5. तीन बराबर भुजाएँ तीन बराबर कोण छोड़ती हैं: (180 − 60) ÷ 2 = 60, इसलिए पेज दोनों बचे कोणों के लिए 60 छापता है
6. सबसे बड़ा कोण 60° है, इसलिए पेज न्यूनकोण त्रिभुज बताता है
दो बराबर भुजाएँ और 60 डिग्री का कोण — यही अकेला मामला है जहाँ तीसरी भुजा उन्हीं के बराबर होने को मजबूर है और त्रिभुज समबाहु निकलता है; 60 डिग्री वही कोण है जिस पर समद्विबाहु त्रिभुज का आधार ठीक अपनी दोनों बराबर भुजाओं जितना लंबा हो जाता है। इस उपवर्ग का समबाहु त्रिभुज वाला कैलकुलेटर वही आकृति एक अकेली भुजा से हल करता है, क्योंकि तीनों भुजाएँ बराबर होने पर कहने को कुछ बचता ही नहीं; यहाँ मज़ा यह देखने में है कि तीसरी भुजा पाँच पर आ गिरती है, बताई नहीं जाती। 10.8253 वही आँकड़ा है जो उस समचतुर्भुज में आता है जिसकी भुजा पाँच और कोण 60 है, और यह संयोग नहीं: वह समचतुर्भुज इन्हीं दो त्रिभुजों से बना है, और 2 × 10.8253 उसका 21.6506 वर्ग सेंटीमीटर होता।
सात और आठ की भुजाएँ, 60 डिग्री पर
1. 60° का cosine 0.5 है: c = √(49 + 64 − 2 × 7 × 8 × 0.5) = √(113 − 56) = √57 = 7.549834… → 7.5498
2. क्षेत्रफल: ½ × 7 × 8 × sin 60° = 28 × 0.866025… = 24.2487
3. परिमाप: 7 + 8 + 7.5498 = 22.5498
4. कोण A, जो 7 वाली भुजा के सामने है: cos A = (64 + 57 − 49) ÷ (2 × 8 × 7.5498) = 72 ÷ 120.797 = 0.596, इसलिए A = 53.41°
5. कोण B: 180 − 60 − 53.41 = 66.59°
6. सबसे बड़ा कोण 66.59° है, इसलिए पेज न्यूनकोण त्रिभुज बताता है
आम मामला, और वह पंक्ति जो पढ़ने लायक़ है अगर आप देखना चाहें कि जब कुछ भी ख़ास न हो तो पेज क्या करता है: अलग-अलग लंबाई की दो भुजाएँ, 60 डिग्री का कोण, और तीन गोल-मटोल नहीं दिखने वाले जवाब। तीसरी भुजा 7.5498 सात से लंबी और आठ से छोटी है, और पहले से इसके बारे में इतना ही कहा जा सकता है — 60 डिग्री के कोण के सामने वाली भुजा उसे घेरने वाली दोनों भुजाओं के बीच ही रहती है, और जो दो कोण आपने नहीं दिए वे बचे हुए 120 डिग्री को अपने सामने की भुजाओं के अनुपात में बाँटते हैं: छोटी भुजा सात को छोटा हिस्सा मिलता है, 53.41 बनाम 66.59। क्षेत्रफल 24.2487 उन 24 वर्ग सेंटीमीटर के क़रीब है पर उतना नहीं जितना समलंब वाला पेज चार और भुजाओं के किसी और जोड़े से निकालता है, और यह लगभग-मेल इस बात की याद दिलाता है कि गोल संख्याएँ इनपुट से आती हैं, सूत्र से नहीं।
दस और दस की भुजाएँ, 120 डिग्री पर
1. 120° का cosine −0.5 है: c = √(100 + 100 − 2 × 10 × 10 × (−0.5)) = √(100 + 100 + 100) = √300 = 17.320508… → 17.3205
2. क्षेत्रफल: ½ × 10 × 10 × sin 120° = 50 × 0.866025… = 43.3013
3. परिमाप: 10 + 10 + 17.3205 = 37.3205
4. दो बराबर भुजाएँ दो बराबर कोण छोड़ती हैं: (180 − 120) ÷ 2 = 30, दोनों
5. सबसे बड़ा कोण 120° है, इसलिए पेज अधिककोण त्रिभुज बताता है
एक अधिककोण त्रिभुज, और वह मामला जहाँ कोसाइन नियम का सुधार वाला पद घटने के बजाय बढ़ता है: 120 डिग्री का cosine ऋणात्मक है, इसलिए उसे घटाने पर जोड़ में इज़ाफ़ा होता है और तीसरी भुजा आपकी दी हुई दोनों भुजाओं से लंबी निकलती है — 10 के सामने 17.3205। यही 90 डिग्री से ऊपर के कोण की पहचान है, और वर्गीकरण ठीक यही पढ़ रहा है। क्षेत्रफल 43.3013 उन 50 वर्ग सेंटीमीटर से छोटा है जो यही दो भुजाएँ समकोण पर ढकतीं, यानी कोण को 90 से आगे बढ़ाने पर सामने की भुजा लंबाई में मिलती है और क्षेत्रफल में गँवाई जाती है — वही सौदा जो समचतुर्भुज वाला पेज उसे झुकाते समय करता है, और यही वजह है कि पेज क़िस्म ख़ुद बता देता है बजाय इसके कि आप संख्याओं से अंदाज़ा लगाइए।

सीमाएँ

यह पेज एक त्रिभुज दो भुजाओं और उनके बीच के कोण से हल करता है, और तीन ज्ञात भागों के बाक़ी पाँच जोड़ों में से कोई नहीं हल करता। इसे तीन भुजाएँ दीजिए तो उसके पास करने को कुछ नहीं है; हीरोन के सूत्र वाला कैलकुलेटर वे लेता है और क्षेत्रफल देता है, और कोण तब किसी दूसरे क़दम से आने पड़ते हैं जो यह पेज नहीं उठाता। दो कोण और एक भुजा दीजिए तो भी यह मदद नहीं करेगा, हालाँकि भीतर-भीतर वह ठीक यही हिसाब लगाता है। यह उलटी दिशा में नहीं चलता: क्षेत्रफल या परिमाप से उस त्रिभुज तक कोई रास्ता नहीं है जिसने उन्हें बनाया, और एक तय क्षेत्रफल के अनगिनत आकार हो सकते हैं। आउटपुट सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में हैं, चाहे इनपुट किसी भी इकाई में डाला गया हो, और दोनों कोण हमेशा डिग्री में छपते हैं भले ही आपने रेडियन या ग्रेडियन लिखा हो — इकाई चुनने वाला ड्रॉपडाउन यह तय करता है कि आपका कोण कैसे पढ़ा जाए, यह नहीं कि जवाब कैसे लिखे जाएँ। वही ड्रॉपडाउन वह अकेला जाल भी है जिसका नाम लेना ज़रूरी है: 60 रेडियन 60 डिग्री नहीं होते, और पेज जो इकाई चुनी गई है उसी के हिसाब से त्रिभुज गिना देगा, यह बताने के बजाय कि यह संख्या कोण के लिए बहुत बड़ी है। दोनों भुजाएँ शून्य से बड़ी होनी चाहिए, इसलिए शून्य भुजा वाला त्रिभुज ठुकरा दिया जाता है; पर ठीक 0 या 180 डिग्री का कोण स्वीकार होता है और 0, 180 तथा 0 कोणों वाला एक चपटा त्रिभुज बनाता है, जिसे पेज अधिककोण बताता है — हिसाब से एकदम ठीक और व्यवहार में लगभग कभी वह नहीं जो किसी को चाहिए था, और पेज यह चेतावनी नहीं देता कि आकृति बिखर चुकी है। दो बराबर भुजाएँ और 0 का कोण जवाब देने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि तब तीसरी भुजा भी शून्य होती और बचता ही कुछ नहीं। जवाबों के नीचे छपी क़िस्म उन कोणों से तय होती है जो छपे हैं, दो दशमलव तक पूर्णांकित, इसलिए जिस त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण 89.999 डिग्री है वह समकोण बताया जाता है — स्क्रीन पर पड़ी संख्याओं की ईमानदार पढ़ाई, और इस बात की याद दिलाहट कि वर्गीकरण उतना ही सटीक है जितना प्रदर्शन, उससे ज़्यादा नहीं। पेज यह भी नहीं जाँचता कि आपकी तीन संख्याएँ कोण की सीमा से आगे किसी त्रिभुज को बताती हैं या नहीं, क्योंकि कोई भी दो धनात्मक भुजाएँ और सीमा के भीतर कोई भी कोण हमेशा बताते हैं। लंबाइयों पर चार दशमलव और कोणों पर दो दशमलव इस उपवर्ग के साथ साझा प्रदर्शन चौड़ाइयाँ हैं, सटीकता के दावे नहीं। यहाँ कटाई या नुक़सान का कोई हिसाब नहीं है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

दो भुजाओं और एक कोण से त्रिभुज की तीसरी भुजा कैसे निकालें?: कोसाइन नियम लगाइए: तीसरी भुजा a² + b² − 2ab × cos C का वर्गमूल है, जहाँ C आपकी ज्ञात दोनों भुजाओं के बीच का कोण है। तीन और चार भुजाओं के बीच समकोण हो तो cosine शून्य है और जवाब √25 = 5 आता है। 60 डिग्री पर cosine 0.5 है, सुधार वाला पद 12 बनता है, और तीसरी भुजा √13 यानी क़रीब 3.6056 — उन्हीं दो भुजाओं से साफ़ कम।
पेज कैसे तय करता है कि त्रिभुज न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण है?: तीनों कोणों में सबसे बड़े कोण से। 90 डिग्री से नीचे त्रिभुज न्यूनकोण है, ठीक 90 पर समकोण, और 90 से ऊपर अधिककोण। सबसे बड़ा कोण हमेशा सबसे लंबी भुजा के सामने पड़ता है, इसलिए वही जाँच भुजाओं पर भी की जा सकती है: छोटी दोनों का वर्ग करके उनका जोड़ सबसे लंबी के वर्ग से मिलाइए — बराबर यानी समकोण, बड़ा यानी न्यूनकोण, छोटा यानी अधिककोण। पाँच, पाँच और 8.6603 भुजाएँ 120 डिग्री का कोण और एक अधिककोण त्रिभुज देती हैं।
दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण पूरा त्रिभुज क्यों तय कर देते हैं?: क्योंकि दोनों भुजाएँ परकार की दो टाँगों की तरह खुलने को आज़ाद हैं, और कोण तय करता है कि वे आख़िर में कितनी खुलेंगी। कोण तय होते ही उन दोनों आज़ाद सिरों के बीच एक ही फ़ासला मुमकिन बचता है, इसलिए तीसरी भुजा तय हो गई, और तीन भुजाएँ होने पर कोण भी तय हो गए। इसीलिए अकेली दो भुजाएँ काफ़ी नहीं हैं — तीन और चार क़रीब शून्य से लेकर छह वर्ग सेंटीमीटर तक कुछ भी ढक सकती हैं, सबसे ज़्यादा समकोण पर — और इसीलिए अकेले तीन कोण भी काफ़ी नहीं हैं, क्योंकि वे आकृति तय करते हैं, नाप नहीं।
यहाँ क्षेत्रफल का कौन-सा सूत्र लगता है?: ज्ञात दोनों भुजाओं के गुणनफल का आधा, गुणा उनके बीच के कोण की sine: A = ½ × a × b × sin C। यह वही आधार-गुणा-ऊँचाई वाला आम सूत्र है, बस ऊँचाई की जगह कुछ और बैठा दिया गया है, क्योंकि किसी एक भुजा के ऊपर की ऊँचाई दूसरी भुजा गुणा बीच के कोण की sine होती है। तीन और चार समकोण पर ½ × 12 × 1 = 6 वर्ग सेंटीमीटर देते हैं; वही दोनों भुजाएँ 60 डिग्री पर 5.1962 देती हैं, क्योंकि sin 60 है 0.866।
कोण 0 या 180 डिग्री हो तो क्या होता है?: त्रिभुज एक रेखा में चपटा हो जाता है और पेज फिर भी जवाब देता है: तीन और चार भुजाओं के बीच 0 का कोण हो तो तीसरी भुजा एक, एक कोण 180 डिग्री और बाक़ी दो 0। वर्गीकरण अधिककोण आता है, जो उस नियम से मेल खाता है कि 90 से ऊपर कुछ भी अधिककोण है, हालाँकि चपटा त्रिभुज असली आकृति नहीं, ह्रासमान मामला है। एक ही जोड़ा शुरू में ही ठुकरा दिया जाता है: दो बराबर भुजाएँ और 0 का कोण, जहाँ तीसरी भुजा शून्य होती और कुछ बचता ही नहीं।
क्या मैं इस पेज को समकोण त्रिभुज के लिए इस्तेमाल कर सकता हूँ?: हाँ, और पेज आपको बता भी देगा: तीन और चार तथा 90 का कोण डालिए तो क़िस्म समकोण आती है। हिसाब साफ़-सुथरे ढंग से सिमट जाता है, क्योंकि 90 डिग्री का cosine शून्य है और कोसाइन नियम a² + b² = c² पर उतर आता है। अगर आप हर बार समकोण त्रिभुज ही हल करते हैं तो इस उपवर्ग का पाइथागोरस वाला कैलकुलेटर दोनों भुजाएँ सीधे लेता है और त्रिकोणमिति छोड़ देता है — पर जब आपको पक्का न हो कि कोण ठीक सीधा है, तब यही पेज लीजिए।

संदर्भ

Triangle — the three-sided figure this page solves, including the angle sum, the classification into acute, right and obtuse, and the relation between the largest angle and the longest side — Wolfram MathWorld (United States)
Acute Triangle — the case where all three angles are below a right angle, which is the first of the three grades this page reports — Wolfram MathWorld (United States)
Obtuse Triangle — the case where one angle is above a right angle, where the correction term in the law of cosines is negative and the third side comes out longer than either of the sides given — Wolfram MathWorld (United States)

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