पाइथागोरस प्रमेय कैलकुलेटर

a² + b² = c² c = √(a² + b²) a = √(c² − b²) b = √(c² − a²) क्षेत्रफल = ab ÷ 2 परिमाप = a + b + c

a

समकोण बनाने वाली दो भुजाओं में से एक। किसी भी भुजा को a कहा जा सकता है, इसलिए दोनों भुजा-ख़ाने आपस में बदले जा सकते हैं — उनमें संख्याएँ आपस में बदल देने से जवाब में कुछ नहीं बदलता।

b

दूसरी भुजा। दोनों में से कौन भरते हैं और कौन ख़ाली छोड़ते हैं, इससे त्रिभुज पर कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता; b वाला ख़ाना बस वह है जिसे आपने a के लिए नहीं चुना।

c

कर्ण, यानी समकोण के सामने पड़ने वाली और तीनों में सबसे लंबी भुजा। ग़लती इसी एक ख़ाने में सबसे आसान है, क्योंकि यह बाक़ी भुजा-ख़ानों जैसा ही दिखता है — अगर पेज कहता है कि कर्ण आपकी दी हुई भुजा से लंबा होना चाहिए, तो दोनों संख्याएँ आपस में बदल गई हैं।

छूटी हुई भुजा

वह एक भुजा जिसे आपने ख़ाली छोड़ा, बाक़ी दो से निकाली हुई, और सबसे पहले दिखाई जाती है क्योंकि वही आपका सवाल थी। ध्यान रखिए कि यह भुजा भी हो सकती है और कर्ण भी, इस पर निर्भर कि आपने कौन-सा ख़ाना ख़ाली छोड़ा।

क्षेत्रफल

दोनों भुजाओं के गुणनफल का आधा, वर्ग सेंटीमीटर में। इसमें सिर्फ़ वे दो भुजाएँ लगती हैं: समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल में कर्ण कभी नहीं आता, और जाँच करते समय यह याद रखने लायक़ बात है।

परिमाप

तीनों भुजाओं का जोड़, सेंटीमीटर में। यह बिना पूर्णांकित लंबाइयों से निकाला जाता है, इसलिए आपके डाले हुए दोनों छपे हुए नंबरों और छपी हुई छूटी भुजा को जोड़ने पर आख़िरी अंक में फ़र्क़ आ सकता है।

दो दशमलव स्थान

तीनों आउटपुट कितने चौड़े छपते हैं। वर्गमूल से निकली भुजा अपरिमेय होती है, जब तक त्रिभुज संयोग से पूर्ण-संख्या त्रिक न हो, इसलिए अधिकतर इनपुट पर ये दो अंक काटने की जगह हैं, ख़त्म होने की नहीं।

यह हर उस मौक़े का पेज है जहाँ समकोण शामिल हो और कोई एक लंबाई छूटी हुई हो। दीवार से लगाई सीढ़ी, जहाँ नापी जा सकने वाली दो भुजाएँ दीवार और ज़मीन हैं और सीढ़ी कर्ण है। आयताकार खेत, जहाँ बाड़ के लिए विकर्ण चाहिए और दोनों भुजाएँ पहले से पता हैं। छत, जहाँ ढाल और फैलाव पता है और कड़ी की लंबाई नहीं। स्क्रीन, जहाँ विकर्ण बताया जाता है और भुजाएँ नहीं। जो भी चीज़ एक आयत और उसके विकर्ण तक सिमट जाए, वह इस पेज का काम है। और जब नक़्शे के ग्रिड पर निकाली गई किसी दूरी की जाँच करनी हो तब भी यही पेज उठाइए: दो बिंदुओं के बीच का क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर फ़ासला दोनों भुजाएँ हैं, और उनके बीच की सीधी दूरी कर्ण है — इसीलिए इसी उपवर्ग का दूरी वाला पेज और यह पेज एक ही हिसाब को दो अलग पोशाकों में ढोते हैं। दो आदतें जवाब पर भरोसा करना आसान बना देती हैं। कर्ण हमेशा सबसे लंबी भुजा होता है, इसलिए अगर छूटी हुई भुजा आपके डाले हुए कर्ण से लंबी निकले तो इसका मतलब है कि दोनों ख़ाने उलटे भर गए हैं। और छूटी हुई भुजा हमेशा बाक़ी दोनों के जोड़ से छोटी होती है, क्योंकि दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा तीसरे के रास्ते घूमकर जाने वाले किसी भी पथ से छोटी होती है; जो नतीजा इनमें से कोई भी बँध तोड़े, वह ग़लत है, चाहे हिसाब कैसा भी दिखे। जब तीनों भुजाएँ सामने हों तो क्षेत्रफल पर एक नज़र डाल लेना अच्छा रहता है — तीन और चार भुजाओं वाला त्रिभुज छह वर्ग इकाई ढकता है, और जो साठ ढके उसमें दशमलव कहीं ग़लत जगह पर है।

1. तीन और चार की भुजाएँ

   1. कर्ण छूटा हुआ है, इसलिए जोड़िए: 3² + 4² = 9 + 16 = 25
   2. वर्गमूल लीजिए: √25 = 5
   3. क्षेत्रफल: (3 × 4) ÷ 2 = 6
   4. परिमाप: 3 + 4 + 5 = 12

   वह इनपुट जिसके साथ पेज खुलता है, और सबसे छोटा समकोण त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ पूर्ण संख्याएँ हैं। यहाँ हर आँकड़ा ठीक-ठीक है, जो इसे कसौटी का मामला बनाता है: तीन, चार, पाँच, क्षेत्रफल छह और परिमाप बारह, और कहीं कुछ पूर्णांकित नहीं। पाठक को एक समकोण त्रिभुज याद रहना है तो यही रहे, क्योंकि उसी इकाई में किसी भी दूसरे जवाब की सबसे तेज़ जाँच यही है — नौ और सोलह मिलकर पच्चीस, और जो नतीजा इस पर न उतरे वह कहीं न कहीं बिगड़ा है।

2. पाँच और बारह की भुजाएँ

   1. कर्ण: 25 + 144 = 169
   2. वर्गमूल: √169 = 13
   3. क्षेत्रफल: (5 × 12) ÷ 2 = 30
   4. परिमाप: 5 + 12 + 13 = 30

   अगला पूर्ण-संख्या त्रिक, और एक ऐसा संयोग जिस पर ध्यान देना चाहिए, ग़लती समझना नहीं: क्षेत्रफल और परिमाप दोनों तीस हैं। यह इसी त्रिभुज का गुण है, कोई नियम नहीं, और यह ख़ुद साबित कर लेना आसान है कि नियम नहीं है — ऊपर वाले तीन-चार-पाँच त्रिभुज का क्षेत्रफल छह और परिमाप बारह है, जो बराबर नहीं हैं। समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल दोनों भुजाओं के गुणनफल का आधा है जबकि परिमाप तीनों का जोड़ है, और दोनों तभी मिलते हैं जब भुजाएँ संयोग से एक ख़ास समीकरण संतुष्ट करें।

3. एक भुजा और कर्ण, भुजा छूटी हुई

   1. छूटी हुई भुजा है, इसलिए घटाइए: 10² − 6² = 100 − 36 = 64
   2. वर्गमूल लीजिए: √64 = 8
   3. क्षेत्रफल: (6 × 8) ÷ 2 = 24
   4. परिमाप: 6 + 8 + 10 = 24

   वह दिशा जिसमें घटाव लगता है, और वही जो लोगों को फँसाती है क्योंकि दोनों क्रियाओं में सिर्फ़ एक चिह्न का फ़र्क़ है। यह दुगुना किया हुआ तीन-चार-पाँच त्रिभुज है, इसीलिए क्षेत्रफल और परिमाप फिर एक ही संख्या पर उतरते हैं — हर भुजा दुगुनी करने पर क्षेत्रफल चार गुना और परिमाप दुगुना होता है, और यहाँ दोनों आपस में मिल जाते हैं। पेज से जवाब पढ़ते समय देखिए कि छूटी हुई भुजा 8 कर्ण 10 से छोटी और भुजा 6 से बड़ी है, यानी ठीक वहीं बैठी है जहाँ बैठनी चाहिए।

4. दूसरी भुजा, किसी और जोड़ी से

   1. छूटी हुई भुजा है, इसलिए घटाइए: 169 − 144 = 25
   2. वर्गमूल: √25 = 5
   3. क्षेत्रफल: (5 × 12) ÷ 2 = 30
   4. परिमाप: 5 + 12 + 13 = 30

   वही त्रिभुज जो दूसरे उदाहरण में था, पर ख़ानों की किसी और जोड़ी से निकाला हुआ — यानी पेज का अपने ऊपर अपना ही जाँचना। पाँच-बारह-तेरह त्रिभुज या तो दोनों भुजाओं से हल होता है, जो दूसरा उदाहरण है, या भुजा और कर्ण से, जो यह है, और दोनों रास्तों को वही तीन भुजाएँ देनी हैं। ध्यान दीजिए कि यहाँ ख़ाली छोड़ा गया ख़ाना दूसरा है — जवाब फिर एक भुजा है, पर वह भुजा a है, भुजा b नहीं, और ऊपर वाले उदाहरण के मुक़ाबले दोनों भरने वाले ख़ानों की संख्याएँ आपस में बदली हुई हैं।

5. दोनों भुजाएँ बराबर

   1. कर्ण: 1 + 1 = 2
   2. वर्गमूल: √2 = 1.4142135…, जो पूर्णांकित होकर 1.41
   3. क्षेत्रफल: (1 × 1) ÷ 2 = 0.5
   4. परिमाप: 1 + 1 + 1.41421 = 3.41421…, जो पूर्णांकित होकर 3.41

   सबसे छोटा समद्विबाहु समकोण त्रिभुज, और यह मानक प्रदर्शन कि जवाब आम तौर पर पूर्ण संख्या नहीं होता। एक भुजा वाले वर्ग का विकर्ण दो का वर्गमूल है, ऐसी संख्या जो न कभी ख़त्म होती है न कभी दोहराती है, और किसी पूर्ण-संख्या त्रिभुज में भुजाओं का अनुपात एक अनुपात एक अनुपात दो का वर्गमूल नहीं होता — और ठीक इसीलिए प्रमेय के जवाब पूर्णांकित करने पड़ते हैं। यहाँ दिलचस्प आँकड़ा परिमाप है: यह अकेला ऐसा आउटपुट है जो बिना पूर्णांकित कर्ण पर टिका है, और इस इनपुट पर छपे हुए दोनों नंबरों में छपा हुआ 1.41 जोड़ने पर भी वही मान आता है — हालाँकि हर इनपुट पर नहीं।

6. आधा और एक दशमलव दो की भुजाएँ

   1. कर्ण: 0.25 + 1.44 = 1.69
   2. वर्गमूल: √1.69 = 1.3
   3. क्षेत्रफल: (0.5 × 1.2) ÷ 2 = 0.3
   4. परिमाप: 0.5 + 1.2 + 1.3 = 3

   भेस बदला हुआ पूर्ण-संख्या त्रिक: आधा, एक दशमलव दो और एक दशमलव तीन यानी पाँच-बारह-तेरह त्रिभुज जिसकी हर भुजा दस से भाग दी गई है, इसलिए दशमलव होने के बावजूद यह ठीक-ठीक है, पूर्णांकित नहीं। त्रिक बड़े आकार में भी चलते हैं, जिसका मतलब है कि ऐसे अनगिनत त्रिभुज हैं, और यह भी कि अजीब दिखने वाली दशमलव भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज भी साफ़-सुथरा निकल सकता है। यह यह भी साफ़ करता है कि दशमलव जवाब और पूर्णांकित जवाब एक चीज़ नहीं — यहाँ का 1.3 ठीक-ठीक है और ऊपर वाले उदाहरण का 1.41 नहीं, और पेज के पास यह बताने का कोई तरीक़ा नहीं कि आप किसे देख रहे हैं।

पेज एक भुजा हल करता है और साथ में क्षेत्रफल तथा परिमाप देता है। यह नहीं बताता कि भुजाएँ कोई पूर्ण-संख्या त्रिक बनाती हैं, न यह कि त्रिभुज समद्विबाहु है, न यह त्रिभुज किस तरह का है — और यह चूक नहीं, एक फ़ैसला है। यह सवाल कि भुजाओं का कोई जोड़ा पाइथागोरस त्रिक है या नहीं, इस पेज के अंदर से भरोसे के साथ जवाब नहीं दिया जा सकता, क्योंकि हल करने वाले तक पहुँचने से पहले संख्याएँ सेंटीमीटर में बदल चुकी होती हैं: तीन और चार इंच 7.62 और 10.16 बनकर आते हैं, और यह जानकारी कि मूल तीन-चार-पाँच पूर्ण संख्याओं का त्रिक था, रूपांतरण पहले ही फेंक चुका होता है। जो फ़ैसला इस पर बदल जाए कि उपयोगकर्ता ने कौन-सी इकाई चुनी, वह बिना किसी फ़ैसले से बुरा है, इसलिए पेज चुप रहता है और उस सवाल के लिए कोई अलग औज़ार सही जगह है। सब कुछ सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में बताया जाता है, चाहे ड्रॉपडाउन कुछ भी कहें, और रूपांतरण त्रिभुज हल होने के बाद नहीं, पहले होता है। वर्ग करना रैखिक नहीं है, इसलिए यह मूल इकाई में हल करके जवाब बदलने जैसा नहीं है, और इंचों में टाइप किया गया पूर्ण-संख्या त्रिक पूर्ण सेंटीमीटर नहीं देगा। छूटी हुई भुजा वर्गमूल से निकलती है और लगभग हर इनपुट पर अपरिमेय होती है, इसलिए दो दशमलव स्थान पूरा जवाब नहीं, कटा हुआ जवाब हैं — हालाँकि ख़ुद इनपुट ठीक-ठीक हो सकते हैं। क्षेत्रफल और परिमाप बिना पूर्णांकित लंबाइयों से निकाले जाते हैं, इसलिए स्क्रीन पर छपे नंबरों को जोड़कर उन्हें दोबारा बनाने पर आख़िरी अंक में फ़र्क़ आ सकता है। तीनों ख़ानों में से ठीक दो भरने होंगे: एक भरना इसलिए ठुकराया जाता है कि आकृति तय ही नहीं होती, और तीनों भरना इसलिए कि तीनों भुजाएँ एक-दूसरे को बाँधती हैं और जो जोड़ा आपस में न मिले उसके पीछे कोई त्रिभुज ही नहीं। शून्य लंबाई की भुजा स्वीकार नहीं होती, पड़ोस के वृत्त वाले पेज की त्रिज्या के उलट — शून्य भुजा वाला त्रिभुज होता ही नहीं, और उसका क्षेत्रफल तथा परिमाप दोनों अर्थहीन हो जाते। कर्ण उस भुजा से अनिवार्य रूप से लंबा होना चाहिए जो उसके साथ दी गई है, और जब नहीं होता तो पेज त्रुटि संदेश के बजाय आपसे दोनों संख्याएँ बदलने को कहता है; उस संदेश का मतलब यही है कि दोनों ख़ाने उलटे भर गए, जो इस आकृति की सबसे आम ग़लती है। आख़िर में, यह एक समतल त्रिभुज है जिसमें समकोण है, इसलिए तिर्यक त्रिभुज और गोले की सतह पर खींचे गए त्रिभुज प्रमेय की बात से बाहर हैं।

कौन-से दो ख़ाने भरने हैं, और कर्ण कैसे निकालें?

तीनों में से कोई भी दो। दोनों भुजाएँ, या एक भुजा और कर्ण — दोनों चलते हैं, और पेज यह देखकर तय करता है कि मामला कौन-सा है कि आपने कौन-सा ख़ाना ख़ाली छोड़ा। जो यह नहीं मानेगा वह है एक अकेला ख़ाना या तीनों एक साथ। एक भुजा से समकोण त्रिभुज तय नहीं होता, इसलिए हल करने को कुछ बचता ही नहीं, और तीनों उसे ज़रूरत से ज़्यादा तय कर देते हैं, क्योंकि कोई भी दो भुजाएँ तीसरी को पहले ही तय कर देती हैं और जो जोड़ा न मिले उसके पीछे कोई त्रिभुज नहीं।

कैसे पता चले कि जोड़ना है या घटाना?

यह इस पर निर्भर है कि आपने कौन-सा ख़ाना ख़ाली छोड़ा। अगर कर्ण छूटा हुआ है तो दोनों भुजाओं के वर्ग जोड़कर वर्गमूल लीजिए। अगर कोई भुजा छूटी है तो कर्ण के वर्ग में से ज्ञात भुजा का वर्ग घटाइए और बचे हुए का वर्गमूल लीजिए। यह चुनाव पेज इनपुट के आकार से ख़ुद कर लेता है, और यही इसे कैलकुलेटर के बजाय इस्तेमाल करने की मुख्य वजह है: दोनों मामलों में सिर्फ़ एक चिह्न का फ़र्क़ है, और इन्हें मिला देना ही ऐसा ग़लत जवाब देता है जो बिलकुल ठीक दिखता है।

पेज कह रहा है कि कर्ण भुजा से लंबा होना चाहिए। मैंने क्या ग़लत किया?

दोनों संख्याएँ ग़लत ख़ानों में हैं। कर्ण समकोण के सामने वाली भुजा है और हमेशा तीनों में सबसे लंबी होती है, इसलिए वह किसी भुजा से न छोटी हो सकती है न उसके बराबर। दोनों मान आपस में बदल देने से यह ठीक हो जाएगा। यह इस पेज की सबसे आम ग़लती है क्योंकि दोनों ख़ाने एक जैसे दिखते हैं — सादे टेक्स्ट ख़ाने पर कुछ भी नहीं लिखा होता कि किसमें लंबी भुजा आनी है, और 5, 5 और 3 भुजाओं वाला त्रिभुज होता ही नहीं।

मैंने पूर्ण संख्याएँ डालीं तो छूटी हुई भुजा में दशमलव क्यों आ गया?

क्योंकि किसी पूर्ण संख्या का वर्गमूल आम तौर पर पूर्ण संख्या नहीं होता। पूर्ण-संख्या समकोण त्रिभुज — तीन-चार-पाँच, पाँच-बारह-तेरह, आठ-पंद्रह-सत्रह — असली हैं और उनकी संख्या अनंत है, पर सब समकोण त्रिभुजों में वे एक छोटा-सा हिस्सा हैं। बाक़ी सब में छूटी हुई भुजा अपरिमेय होती है और दिखने वाले दो दशमलव वह जगह हैं जहाँ उसे काटा गया है। 7.62 वाला जवाब अनुमान है; 8 वाला ठीक-ठीक।

क्या पेज बताता है कि मेरा त्रिभुज 3-4-5 है?

नहीं, और यह जान-बूझकर कोशिश भी नहीं करता। हिसाब चलने तक लंबाइयाँ सेंटीमीटर में बदल चुकी होती हैं, इसलिए तीन और चार इंच के रूप में डाला गया त्रिभुज हल करने वाले तक 7.62 और 10.16 बनकर पहुँचता है — मूल भुजाएँ पूर्ण संख्याएँ थीं या नहीं, यह जानकारी सवाल पूछे जाने से पहले ही ग़ायब हो चुकी होती है। जो जाँच यह बदल दे कि कौन-सी इकाई चुनी गई थी, वह बिना जाँच के से बुरी है, इसलिए पेज भुजा हल करता है और वर्गीकरण किसी अलग औज़ार के लिए छोड़ देता है।

क्या क्षेत्रफल और परिमाप एक ही चीज़ हैं?

सिर्फ़ संयोग से, और पेज की अपनी तालिका में एक ऐसा ही संयोग मौजूद है: पाँच-बारह-तेरह त्रिभुज का क्षेत्रफल तीस वर्ग सेंटीमीटर और परिमाप तीस सेंटीमीटर है। दोनों अलग क़िस्म की राशियाँ हैं और बराबरी सिर्फ़ अंकों में है। समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल दोनों भुजाओं के गुणनफल का आधा है, परिमाप तीनों भुजाओं का जोड़ है, और ये इस त्रिभुज तथा गिने-चुने और त्रिभुजों के लिए ही मिल जाते हैं। दो पंक्तियाँ ऊपर वाले तीन-चार-पाँच त्रिभुज का क्षेत्रफल छह है जबकि परिमाप बारह।

क्या कोई भुजा शून्य हो सकती है?

नहीं। शून्य लंबाई की भुजा वाला त्रिभुज त्रिभुज ही नहीं है — तीनों बिंदु एक ही रेखा पर या एक ही जगह आ जाएँगे, और क्षेत्रफल तथा परिमाप दोनों का मतलब ख़त्म हो जाएगा। यह इसी उपवर्ग के वृत्त वाले पेज से असली फ़र्क़ है, जहाँ शून्य त्रिज्या एक जायज़ इनपुट है और एक बिंदु तक सिकुड़ा हुआ वृत्त बताती है। यहाँ शून्य भुजा ख़ाने पर ही ठुकरा दी जाती है, और ऋणात्मक लंबाई भी उसी तरह।

• Pythagorean theorem — the relation between the legs and the hypotenuse of a right triangle, with the history the introduction draws on: use in Babylonian calculations more than a millennium before Pythagoras, early Indian and Chinese sources, and the Zhoubi Suanjing dissection argument in which pieces around a central square establish the relation between the three side squares (Dauben 2007, Maor 2007) — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean triple — the whole-number side sets such as 3, 4, 5 that the page produces but deliberately does not identify, and the reason they are the exception rather than the rule — Wolfram MathWorld (United States)
• Right triangle — the shape the page solves, with the hypotenuse defined as the side opposite the right angle and therefore the longest of the three — Wolfram MathWorld (United States)