हीरोन के सूत्र कैलकुलेटर

अर्ध-परिमाप s = (a + b + c) ÷ 2 क्षेत्रफल A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) परिमाप P = a + b + c

भुजा a

तीन भुजाओं में से पहली की लंबाई, सेंटीमीटर में। तीनों ख़ाने आपस में बदले जा सकते हैं — किसे a कहा और किसे b, इससे जवाब में कुछ नहीं बदलता — इसलिए जिस क्रम में नापा हो उसी में डाल दीजिए

भुजा b

दूसरी भुजा की लंबाई, सेंटीमीटर में। बाक़ी दो के साथ इसे त्रिभुज असमिका पूरी करनी है: हर भुजा बाक़ी दो के जोड़ से छोटी होनी चाहिए, वरना ये तीन लंबाइयाँ मिलकर त्रिभुज ही नहीं बना सकतीं

भुजा c

तीसरी भुजा की लंबाई, सेंटीमीटर में। सबसे लंबी भुजा किसी भी ख़ाने में डालिए और फिर अर्ध-परिमाप पढ़ लीजिए: उसे सबसे लंबी भुजा से बड़ा होना है, और यह अकेली तुलना तीनों जोड़ दोबारा करने से तेज़ जाँच है

अर्ध-परिमाप

त्रिभुज के चारों ओर की आधी दूरी, सेंटीमीटर में: तीनों भुजाएँ जोड़कर दो से भाग। इसे नतीजे के तौर पर छापा जाता है, काम की बीच वाली संख्या मानकर छिपाया नहीं जाता, क्योंकि सूत्र इसी के नाम पर बना है और यही यह भी बताता है कि तीनों भुजाएँ मिल सकती हैं या नहीं

क्षेत्रफल

त्रिभुज जितनी जगह घेरता है, वह वर्ग सेंटीमीटर में, और वह अर्ध-परिमाप तथा उससे हर भुजा को घटाकर बची तीनों संख्याओं के गुणनफल का वर्गमूल है। यह इस पेज का अकेला नतीजा है जिसे तीनों इनपुट चाहिए: परिमाप उन्हें सिर्फ़ जोड़ता है और अर्ध-परिमाप उस जोड़ को सिर्फ़ आधा करता है

परिमाप

चारों ओर की पूरी दूरी, सेंटीमीटर में: तीनों भुजाओं का जोड़। यह इसलिए मौजूद है कि जब एक राशि दूसरी के भीतर का एक क़दम हो तो दोनों में उलझना आसान है, और क्योंकि किनारे की पट्टी या फ़्रेम इसी हिसाब से ख़रीदी जाती है

√

वर्गमूल, जो चारों गुणकों के गुणनफल पर लगता है। लगभग हर त्रिभुज का क्षेत्रफल अपरिमेय निकलता है, इसलिए जो भुजाओं का त्रिक पूरी संख्या दे — जैसे 3, 4, 5 से 6 — वह नियम नहीं, अपवाद है, और उस पर ध्यान देना बनता है

यह पेज तब निकालिए जब आपने तीनों भुजाएँ नापी हों और ऊँचाई नहीं, और व्यवहार में यही ज़्यादातर होता है। ज़मीन सबसे पुराना मामला है: सीधी सीमाओं वाला खेत ज़ंजीर से भुजाएँ नापकर ही survey होता है, और क्षेत्रफल उन्हीं से सीधे निकल आता है — किसी भी अनियमित टुकड़े को त्रिभुजों में बाँटिए और हर एक को यहाँ से गुज़ार दीजिए। चादर जैसी सामग्री दूसरा मामला है: त्रिभुजाकार गस्सेट, कोने की शेल्फ़ या पाल उसके तीन किनारों से ही बोले जाते हैं, और क्षेत्रफल ही बताता है कि कितनी चादर लगेगी और वज़न कितना बढ़ेगा। स्कूल के काम में यह तब रास्ता देता है जब ऊँचाई नापना मुश्किल हो या वह आकृति के बाहर गिरती हो, जो हर अधिक कोण वाले त्रिभुज के साथ होता है: सबसे चौड़े कोने से डाला गया लंब सामने वाली भुजा के पार जाकर गिरता है, इसलिए उसे सामग्री के ऊपर नापा ही नहीं जा सकता। यह पेज तब भी ईमानदार रास्ता है जब त्रिभुज कहीं और से आई तीन लंबाइयों से दिया हो — किसी CAD फ़ाइल, कटिंग लिस्ट या किनारों पर नाप लिखे चित्र से — क्योंकि तब बदलने को कुछ नहीं और दोबारा नापने को भी कुछ नहीं। दो बातें ध्यान में रखिए। पहली, तीनों भुजाओं का बंद हो पाना ज़रूरी है: अगर सबसे लंबी भुजा बाक़ी दो के जोड़ से भी लंबी हो, तो कोई त्रिभुज नहीं है और पेज नंबर लौटाने के बजाय यही कह देता है, क्योंकि हिसाब को ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल चाहिए होता। दूसरी, असली नाप कभी असमिका को ठीक-ठीक नहीं छूती। जिस खेत की भुजाएँ 10, 4 और 6 मीटर बताई गई हों वह त्रिभुज नहीं हो सकता, पर वही खेत सेंटीमीटर तक नापने पर 10.01, 3.99 और 6.00 जैसा कुछ देगा और क्षेत्रफल बहुत छोटा आएगा — यह हिसाब आपको बता रहा है कि तीनों बिंदु लगभग एक सीधी रेखा में हैं, यह नहीं कि सूत्र फ़ेल हुआ।

1. भुजाएँ 3, 4 और 5

   1. परिमाप: 3 + 4 + 5 = 12
   2. अर्ध-परिमाप: 12 ÷ 2 = 6
   3. तीनों अंतर: 6 − 3 = 3, 6 − 4 = 2, 6 − 5 = 1
   4. क्षेत्रफल: √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6

   3-4-5 वाला त्रिभुज, वही जिससे बनाने के काम में हर समकोण बैठाया जाता है, और यह सबसे साफ़ मामला है जहाँ जवाब पूरी संख्या निकलता है। यह इस पेज और त्रिभुज के क्षेत्रफल वाले पेज के बीच का जाँच-बिंदु भी है: वहाँ आधार 3 और ऊँचाई 4 से 6 आता है, यहाँ तीन भुजाओं से 6। एक ही त्रिभुज, इनपुट के दो जोड़े, एक ही क्षेत्रफल। वर्गमूल का ठीक-ठीक निकल आना इस त्रिक का गुण है, सूत्र का नहीं — बाक़ी लगभग हर त्रिक अपने पीछे अपरिमेय संख्या छोड़ जाता है।

2. भुजाएँ 6, 5 और 5

   1. परिमाप: 6 + 5 + 5 = 16
   2. अर्ध-परिमाप: 16 ÷ 2 = 8
   3. तीनों अंतर: 8 − 6 = 2, 8 − 5 = 3, 8 − 5 = 3
   4. क्षेत्रफल: √(8 × 2 × 3 × 3) = √144 = 12

   समद्विबाहु त्रिभुज, आधार 6 और दोनों भुजाएँ 5 — यानी बग़ल वाले समद्विबाहु पेज की डिफ़ॉल्ट आकृति, और वह भी वही 12 तथा वही परिमाप 16 लौटाता है। यह इस बैच का दूसरा क्रॉस-चेक है: समद्विबाहु पेज अपना क्षेत्रफल आधार और भुजा से निकालता है, यह पेज तीन भुजाओं से, और दोनों आख़िरी अंक तक मिलते हैं। ध्यान दीजिए कि अर्ध-परिमाप 8 सबसे लंबी भुजा 6 से ख़ूब बड़ा है — यही जाँच है कि ये तीन लंबाइयाँ बंद हो जाती हैं।

3. भुजाएँ 6, 6 और 6

   1. परिमाप: 6 + 6 + 6 = 18
   2. अर्ध-परिमाप: 18 ÷ 2 = 9
   3. तीनों अंतर: 9 − 6 = 3, तीनों बार
   4. क्षेत्रफल: √(9 × 3 × 3 × 3) = √243 = 15.588457…, जो 15.5885 बनता है

   समबाहु वाला मामला, और 15.5885 तक पहुँचने का तीसरा रास्ता: समबाहु पेज इसे भुजा 6 से निकालता है, समद्विबाहु पेज आधार 6 और भुजाओं 6 से, और यह पेज तीनों भुजाओं 6 से। तीन पेज, एक ही त्रिभुज के तीन बयान, हर बार एक ही क्षेत्रफल। √243 यानी 9√3, और यहीं वह √3 आता है जिसे समबाहु पेज अपने स्थिरांक में लिए चलता है।

4. भुजाएँ 5, 12 और 13

   1. परिमाप: 5 + 12 + 13 = 30
   2. अर्ध-परिमाप: 30 ÷ 2 = 15
   3. तीनों अंतर: 15 − 5 = 10, 15 − 12 = 3, 15 − 13 = 2
   4. क्षेत्रफल: √(15 × 10 × 3 × 2) = √900 = 30

   वह पंक्ति जो आँख पकड़ लेती है: क्षेत्रफल 30 है और परिमाप 30। ये एक ही राशि नहीं हैं और एक ही इकाई में भी नहीं हैं — एक वर्ग सेंटीमीटर है और दूसरा सेंटीमीटर — बस इस एक त्रिभुज में दोनों बार एक ही संख्या आ गई। 5-12-13 एक पाइथागोरस त्रिक है, यानी यह समकोण त्रिभुज है, और समकोण त्रिभुजों के पूरी संख्या पर उतरने की संभावना सबसे ज़्यादा होती है क्योंकि उनकी भुजाओं के वर्ग भी पूरी संख्याएँ होते हैं।

5. भुजाएँ 9, 10 और 17

   1. परिमाप: 9 + 10 + 17 = 36
   2. अर्ध-परिमाप: 36 ÷ 2 = 18
   3. तीनों अंतर: 18 − 9 = 9, 18 − 10 = 8, 18 − 17 = 1
   4. क्षेत्रफल: √(18 × 9 × 8 × 1) = √1296 = 36

   दूसरी पंक्ति जहाँ क्षेत्रफल और परिमाप एक ही संख्या छापते हैं, और यह त्रिभुज समकोण नहीं है: 9 का वर्ग जमा 10 का वर्ग 181 होता है, जबकि 17 का वर्ग 289 है। यानी 36 और 36 का मेल किसी समकोण से नहीं आ रहा, और यही इसे देखने लायक़ बनाता है। एक ही तालिका में दो पंक्तियों का ऐसा करना ही पहली को नियम जैसा दिखाता है, और यह दूसरी इस बात का सबूत है कि वह नियम नहीं है।

6. भुजाएँ 1, 1 और 2

   1. परिमाप: 1 + 1 + 2 = 4
   2. अर्ध-परिमाप: 4 ÷ 2 = 2
   3. तीनों अंतर: 2 − 1 = 1, 2 − 1 = 1, 2 − 2 = 0
   4. क्षेत्रफल: √(2 × 1 × 1 × 0) = √0 = 0

   ठीक सीमा का मामला, और इसे नामंज़ूर करने के बजाय पार जाने दिया जाता है: 1 जमा 1 ठीक 2 होता है, इसलिए त्रिभुज चपटा होकर एक सीधी रेखा बन गया है जिसमें दोनों छोटी भुजाएँ सिरे से सिरा जुड़ी हैं। क्षेत्रफल सचमुच शून्य है और परिमाप सचमुच 4, इसलिए यहाँ शून्य आना सही जवाब है, किसी विफलता का चिह्न नहीं। तीसरी भुजा को 2.1 कीजिए और पेज मना कर देता है, क्योंकि तब दोनों छोटी भुजाएँ एक-दूसरे तक पहुँच ही नहीं सकतीं और कोई त्रिभुज नहीं बनता।

तीनों संख्याओं से त्रिभुज बन पाना ज़रूरी है: हर भुजा बाक़ी दो के जोड़ से छोटी हो। न हो तो पेज रुक जाता है और यही बता देता है, कोई संख्या लौटाता नहीं, क्योंकि सूत्र को ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल चाहिए होता। जहाँ सबसे लंबी भुजा बाक़ी दो के जोड़ के ठीक बराबर हो, वह मामला पार जाने दिया जाता है और शून्य क्षेत्रफल देता है, जो एक सीधी रेखा में चपटे त्रिभुज के लिए ईमानदार जवाब है। नतीजे सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में हैं, चाहे इकाई वाली सूची में कुछ भी चुना हो, इसलिए इंच में डाली गई भुजाएँ सेंटीमीटर वाला जवाब लौटाती हैं। चार दशमलव स्थान परिशुद्धता का दावा नहीं, छपाई की चौड़ाई हैं, और तीन नापी हुई भुजाओं में हर एक की अपनी अनिश्चितता क्षेत्रफल में उतरती है — मिलीमीटर तक नापे गए त्रिभुज का क्षेत्रफल तीसरे दशमलव पर आसानी से शक़ के घेरे में हो सकता है, इसलिए छपे आख़िरी अंक को मायनेदार मत पढ़िए। हीरोन का सूत्र बहुत पतले त्रिभुजों के साथ ख़राब साथी भी है: जब कोई भुजा बाक़ी दो के जोड़ के लगभग बराबर हो, तो चारों गुणकों में एक बहुत छोटा रह जाता है और वर्गमूल नापों में पहले से मौजूद गोलाई को बढ़ा देता है, इसलिए पतली पट्टी जैसे त्रिभुज के क्षेत्रफल को अनुमानित ही मानिए, चाहे पैनल कितने भी अंक छापे। यह पेज द्विआयामी है और इसमें किसी भौतिक त्रिभुज की मोटाई का कोई ख़ाना नहीं, इसलिए यह न प्रिज़्म का आयतन दे सकता है, न किसी प्लेट का वज़न।

आधार गुणा ऊँचाई के आधे के बजाय यह क्यों इस्तेमाल करूँ?

क्योंकि ऊँचाई नापना मुश्किल है और तीनों भुजाएँ आसान। ऊँचाई किसी कोने से सामने वाली भुजा पर डाला गया लंब होती है, इसलिए उसे नापने के लिए त्रिभुज के सहारे गुनिया टिकाना पड़ता है, और अधिक कोण वाले त्रिभुज में वह आकृति के बाहर ही गिरती है। हर भुजा पर फ़ीता चलाने में इतनी सावधानी नहीं चाहिए, और हीरोन का सूत्र उन तीन नापों को क्षेत्रफल में बदल देता है, बिना कहीं ऊँचाई लाए। अगर आधार और ऊँचाई पहले से मौजूद हैं तो त्रिभुज के क्षेत्रफल वाला पेज लीजिए: वहाँ हिसाब छोटा है।

अर्ध-परिमाप क्या है और यह दिखता क्यों है?

यह परिमाप का आधा है — तीनों भुजाएँ जोड़कर दो से भाग — और यही वह राशि है जिसके इर्द-गिर्द हीरोन का सूत्र लिखा गया है: क्षेत्रफल s गुणा s घटा a, गुणा s घटा b, गुणा s घटा c के गुणनफल का वर्गमूल होता है। इसे काम की बीच वाली संख्या मानकर छिपाने के बजाय छापा जाता है क्योंकि यह जाँच का काम भी करता है। अगर अर्ध-परिमाप सबसे लंबी भुजा से बड़ा न हो, तो ये तीन लंबाइयाँ त्रिभुज नहीं बना सकतीं, और वह अकेली तुलना तीनों अंतर निकालने से ज़्यादा तेज़ है।

अगर तीन भुजाओं से त्रिभुज बन ही न सके तो क्या होता है?

पेज रुक जाता है और बता देता है, कोई संख्या लौटाता नहीं। तीन लंबाइयाँ तभी बंद हो सकती हैं जब हर एक बाक़ी दो के जोड़ से छोटी हो; ऐसा न हो तो वर्गमूल के भीतर के चारों गुणकों में से एक ऋणात्मक निकलता है और कोई वास्तविक क्षेत्रफल नहीं होता। संदेश सबसे लंबी भुजा का नाम लेता है और बताता है कि बाक़ी दो का जोड़ कितना है, जिससे आप देख सकें कि नाप कितनी बाहर है। अकेला मामला जो पार जाने दिया जाता है वह ठीक सीमा है, जहाँ सबसे लंबी भुजा बाक़ी दो के जोड़ के बराबर है: वह त्रिभुज सचमुच एक सीधी रेखा में चपटा हो चुका है और उसका शून्य क्षेत्रफल असली जवाब है।

यह नाम कहाँ से आया?

सिकंदरिया के हीरोन से, जिन्होंने पहली सदी में यह सूत्र लिखा, और इसीलिए यह आज भी रोज़ काम आने वाले सबसे पुराने नतीजों में गिना जाता है। यह ज़मीन नापने के लिए लिखा गया था, जहाँ किसी टुकड़े की ठीक तीन भुजाएँ ही नापने की ज़ंजीर देती है और ऊँचाई नहीं देती। कभी-कभी इसे उसी व्यक्ति के नाम पर Hero's formula भी कहा जाता है, क्योंकि स्रोतों में यह नाम दोनों तरह लिखा मिलता है।

कुछ त्रिभुजों में क्षेत्रफल और परिमाप एक ही संख्या निकलते हैं। क्या यह कोई नियम है?

नहीं, और तालिका दिखा देती है कि क्यों नहीं। 5-12-13 त्रिभुज का क्षेत्रफल 30 है और परिमाप 30, और 9-10-17 का 36 तथा 36 — पर ये अलग-अलग राशियाँ अलग-अलग इकाइयों में हैं, वर्ग सेंटीमीटर बनाम सेंटीमीटर, और यह बराबरी पूरी तरह इस पर निर्भर है कि लंबाइयाँ किस इकाई में थीं। उसी त्रिभुज को मीटर में नापिए तो परिमाप सौ गुना गिर जाएगा और क्षेत्रफल दस हज़ार गुना, और दोनों संख्याएँ अलग-अलग रास्ते चल देंगी। यह जान लेना काम का है, इससे पहले कि कोई इस संयोग को त्रिभुजों का गुण मान बैठे।

अगर भुजाएँ फ़ीते से नापी हों तो क्षेत्रफल कितना भरोसेमंद है?

चार दशमलव जितना भरोसेमंद नहीं, और पतले त्रिभुजों पर ग़लती बढ़ती जाती है। हर नापी हुई भुजा अपनी अनिश्चितता चारों गुणकों में ले जाती है, और जब कोई भुजा बाक़ी दो के जोड़ के लगभग बराबर हो, तो एक गुणक बहुत छोटा रह जाता है और वर्गमूल आपके आँकड़ों में पहले से मौजूद गोलाई को बढ़ा देता है। जवाब को नाप के हिसाब से गोल कीजिए: भुजाएँ मिलीमीटर तक ठीक हों तो क्षेत्रफल लगभग तीन सार्थक अंकों तक ठीक है, चाहे पैनल उसके बाद कुछ भी छापे।

• Heron's formula — the area of a triangle from its three side lengths by way of the semiperimeter, which is the whole of what this page computes, including the proof and the note on the degenerate case — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the general case, with the triangle inequality that decides whether three lengths can close, and the base-and-height area formula that the triangle area page beside this one uses — Wolfram MathWorld (United States)
• Semiperimeter — the half-sum of the sides that Heron's formula is written around, and which doubles as the cheapest test of whether three lengths form a triangle at all — Wolfram MathWorld (United States)