समबाहु त्रिभुज कैलकुलेटर

क्षेत्रफल = (√3 ÷ 4) × भुजा² परिमाप = 3 × भुजा ऊँचाई = (√3 ÷ 2) × भुजा

भुजा

तीनों भुजाओं में से किसी एक की लंबाई, सेंटीमीटर में। इस पेज पर यही अकेला इनपुट है, क्योंकि समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर और तीनों कोण 60° पर जमे होते हैं, जिससे तय करने को सिर्फ़ आकार बचता है

क्षेत्रफल

त्रिभुज जितनी जगह घेरता है, वह वर्ग सेंटीमीटर में, यानी √3 ÷ 4 गुणा भुजा का वर्ग। यह अचर लगभग 0.433 है, और इसे याद रखना काम का है: समबाहु त्रिभुज अपनी भुजा पर बने वर्ग के चार दशमलव भागों से कुछ ज़्यादा हिस्सा ढकता है

परिमाप

चारों ओर का पूरा फ़ासला, सेंटीमीटर में: तीन गुना भुजा, क्योंकि तीनों भुजाएँ एक ही हैं। यही अकेला नतीजा है जो भुजा के ठीक होने पर हमेशा ठीक-ठीक रहता है, और इसीलिए बाक़ी दोनों की तुलना इससे करनी चाहिए

ऊँचाई

किसी कोने से सीधे सामने वाली भुजा के बीच तक की दूरी, सेंटीमीटर में, यानी √3 ÷ 2 गुणा भुजा। इसे लंब भी कहते हैं, और किसी भी कोने से शुरू कीजिए तो यह रेखा वही रहती है, क्योंकि आकृति सममित है

√3

तीन का वर्गमूल, लगभग 1.7320508। यह क्षेत्रफल और ऊँचाई दोनों में आता है और यह पूर्णांकन की गड़बड़ नहीं है: त्रिभुज को आधा काटने पर जो समकोण त्रिभुज बचता है, उसकी तीनों भुजाएँ एक साथ पूर्ण संख्याएँ नहीं हो सकतीं, इसलिए यह अटपटी संख्या कहीं न कहीं निकलनी ही थी

चार दशमलव स्थान

हर नतीजा कितना चौड़ा लिखा जाता है। क्षेत्रफल और ऊँचाई में लगभग हमेशा √3 रहता है और इसलिए वे लगभग कभी पूरे नहीं होते; परिमाप ठीक-ठीक होता है, और उसे चार स्थानों तक छापना परिशुद्धता का दावा नहीं, बस एक तय चौड़ाई है

यह पेज हर उस चीज़ के लिए है जो समबाहु त्रिभुजों से बनी हो, और नाम से ज़्यादा चीज़ें ऐसी बनी होती हैं। छत की ट्रस, साइकिल का फ़्रेम, पुल की जाली और सामान रखने के ब्रैकेट — सब इन्हीं से बनते हैं, क्योंकि त्रिभुज अकेला ऐसा बहुभुज है जिसे भुजा की लंबाई बदले बिना किसी और तरह से दबाकर बिगाड़ा नहीं जा सकता — किसी वर्गाकार फ़्रेम को ज़रा-सा तिरछा धक्का दीजिए और वह चपटा हो जाता है, इसीलिए फाटक पर तिरछी टेक लगाई जाती है। अगर आप किसी चादर से त्रिभुज काट रहे हैं, तो क्षेत्रफल बताता है कि कितने कटेंगे और ऊँचाई बताती है कि कितनी क़तारें बनेंगी: नोक ऊपर रखकर पंक्तियों में जमाने पर दो पंक्तियाँ ठीक एक ऊँचाई जितनी ओवरलैप करती हैं, इसलिए ऊँचाई यहाँ क्षेत्रफल नहीं, पंक्तियों के बीच की दूरी है। अगर आप किसी पट्टी को मोड़कर आकृति बना रहे हैं, तो परिमाप वह पट्टी की लंबाई है जो जोड़ के लिए जगह छोड़ने से पहले चाहिए। और अगर आप किसी चित्र की जाँच कर रहे हैं, तो याद रखिए कि ऊँचाई की जगह त्रिभुज में तय है — वह आकृति को दो बराबर समकोण त्रिभुजों में काटती है और सामने वाली भुजा से ठीक उसके बीच में मिलती है — इसलिए जो ऊँचाई दो बराबर हिस्से न बनाए, उसका मतलब है कि चित्र का त्रिभुज समबाहु नहीं है, चाहे लिखा कुछ और हो। एक हिसाब की चेतावनी यहीं कहनी चाहिए, छोटे अक्षरों में नहीं: इस पेज पर छपी ऊँचाई पहले ही चार स्थानों तक पूर्णांकित है, इसलिए उसे हाथ से वापस गुणा करने पर क्षेत्रफल आख़िरी अंक भर हिल जाता है। पैनल पर छपे दोनों आँकड़े अपने-अपने ठीक हैं; अंक छपी हुई ऊँचाई से गुज़रने वाले उस चक्कर में खोता है, किसी भी सूत्र में नहीं। और अगर आपको शुद्ध क्षेत्रफल चाहिए, तो क्षेत्रफल छपी ऊँचाई से मिलाइए ही नहीं — पैनल पर क्षेत्रफल की अपनी पंक्ति उसी के लिए बैठी है।

1. छह की भुजा

   1. परिमाप: 3 × 6 = 18
   2. ऊँचाई: (√3 ÷ 2) × 6 = 5.196152…, जो चार स्थानों तक 5.1962 बनता है
   3. क्षेत्रफल: (√3 ÷ 4) × 36 = 15.588457…, जो चार स्थानों तक 15.5885 बनता है

   यह वही इनपुट है जिसके साथ पेज खुलता है, और यही वह पंक्ति है जिसे याद रखना चाहिए, क्योंकि इसी पर बाक़ी त्रिभुज वाले पेज मिलते हैं: तीनों भुजाएँ 6 वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस पेज पर 15.5885 है, और वही 15.5885 आधार 6 तथा भुजा 6 देने पर समद्विबाहु वाले पेज से भी निकलता है और 6, 6, 6 देने पर हीरोन वाले पेज से भी। एक ही आकृति तक तीन अलग रास्ते, और तीनों आख़िरी अंक तक सहमत। हिसाब का जाल भी यहीं दिखता है: 6 × 5.1962 ÷ 2 = 15.5886, जो ऊपर वाले क्षेत्रफल से एक अंक ऊपर है, और वह अंक ऊँचाई के पूर्णांकन में खोया है, किसी भी सूत्र में नहीं।

2. एक की भुजा

   1. परिमाप: 3 × 1 = 3
   2. ऊँचाई: (√3 ÷ 2) × 1 = 0.8660254…, जो 0.866 बनती है
   3. क्षेत्रफल: (√3 ÷ 4) × 1 = 0.4330127…, जो 0.433 बनता है

   इकाई त्रिभुज, और वही जिससे दोनों अचर याद रखने चाहिए: भुजा एक वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई 0.8660 होती है और क्षेत्रफल 0.4330। भुजा एक वाले वर्ग से मिलाइए, जिसका क्षेत्रफल 1 है: एक ही किनारे के लिए त्रिभुज उससे कुछ कम आधी जगह घेरता है, और √3 ÷ 4 कहाँ से आया यह समझने का यही सबसे साफ़ तरीक़ा है। तीनों में से दो आँकड़े पीछे के शून्य हटाकर छपते हैं, क्योंकि दोनों में चौथा दशमलव शून्य है।

3. दो की भुजा

   1. परिमाप: 3 × 2 = 6
   2. ऊँचाई: (√3 ÷ 2) × 2 = 1.7320508…, जो 1.7321 बनती है
   3. क्षेत्रफल: (√3 ÷ 4) × 4 = 1.7320508…, जो 1.7321 बनता है

   यह वह पंक्ति है जो ग़लती जैसी लगती है और ग़लती नहीं है: क्षेत्रफल और ऊँचाई दोनों 1.7321 छापते हैं। इस भुजा पर दोनों तीन का वर्गमूल ही हैं — भुजा का आधा होना ऊँचाई वाले भाग दो को काट देता है, और भुजा का वर्ग होना क्षेत्रफल वाले भाग चार को — पर एक 1.7321 वर्ग सेंटीमीटर है और दूसरा 1.7321 सेंटीमीटर। दो अलग राशियाँ हैं जिनका संख्यात्मक मान इस एक भुजा पर टकरा गया, और तालिका की किसी और भुजा पर ऐसा नहीं होता।

4. दस की भुजा

   1. परिमाप: 3 × 10 = 30
   2. ऊँचाई: (√3 ÷ 2) × 10 = 8.660254…, जो 8.6603 बनती है
   3. क्षेत्रफल: (√3 ÷ 4) × 100 = 43.301270…, जो 43.3013 बनता है

   दस सेंटीमीटर का त्रिभुज, यानी लगभग छत के ब्रैकेट जितना। 8.6603 की ऊँचाई भुजा का 86.6 प्रतिशत है, और यह अनुपात कभी नहीं बदलता: समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई हमेशा उसकी भुजा की 0.866 होती है, चाहे आकार कोई भी हो। अगर आप इन त्रिभुजों को नोक ऊपर रखकर पंक्तियों में जमा रहे हैं, तो पंक्तियों के बीच यही दूरी रखनी है, क्योंकि हर पंक्ति नीचे वाली को ठीक एक ऊँचाई जितना ढकती है।

5. शून्य की भुजा

   1. परिमाप: 3 × 0 = 0
   2. ऊँचाई: (√3 ÷ 2) × 0 = 0
   3. क्षेत्रफल: (√3 ÷ 4) × 0 = 0

   शून्य एक जायज़ इनपुट है, ख़ाली ख़ाना नहीं। शून्य भुजा वाला त्रिभुज सिकुड़कर एक बिंदु बन गया है और तीनों नाप शून्य हैं, इसलिए शून्यों की पंक्ति एक असली जवाब है। ख़ाना ख़ाली छोड़ना दूसरी बात है: उसमें कुछ न हो तो पेज कोई नतीजा ही नहीं दिखाता, क्योंकि काम करने को कुछ बचता ही नहीं।

यह पेज सिर्फ़ समबाहु त्रिभुज के लिए है: तीनों भुजाएँ बराबर और तीनों कोण 60°। जो त्रिभुज बस समद्विबाहु है, या समकोण है, या इस लंबाई की एक भुजा वाली कोई और आकृति है, उसे यह एक संख्या बता ही नहीं सकती, और पेज आपको उसके लिए समबाहु वाले आँकड़े दे देगा — यह कहने के बजाय कि जो आकृति आपके दिमाग़ में है वह कोई और है। अगर आपको किसी आम त्रिभुज की दो भुजाएँ पता हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल वाला पेज आधार और ऊँचाई लेता है और हीरोन वाला पेज तीनों भुजाएँ। नतीजे सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में हैं, चाहे इकाई वाली सूची में कुछ भी चुना हो, इसलिए इंच में डाली गई भुजा का जवाब सेंटीमीटर में आता है। चार दशमलव स्थान परिशुद्धता का दावा नहीं, छपाई की चौड़ाई है, और नापी हुई भुजा के लिए यह उदार है। ऊँचाई और क्षेत्रफल अलग-अलग छपते हैं: क्षेत्रफल बिना पूर्णांकित ऊँचाई से निकलता है, इसलिए छपी हुई ऊँचाई को हाथ से वापस गुणा करने पर चौथे दशमलव में एक अंक का फ़र्क़ आता है, और वह पूर्णांकन का फ़र्क़ है, दोनों में से किसी भी आँकड़े की ग़लती नहीं। पेज शुरू से आख़िर तक द्विआयामी है और उसमें किसी भौतिक त्रिभुज की मोटाई का कोई ख़ाना नहीं है, इसलिए यह न त्रिभुजाकार प्रिज़्म का आयतन बता सकता है, न त्रिभुजाकार पत्ती का वज़न।

समबाहु त्रिभुज के लिए एक ही नाप क्यों काफ़ी है?

क्योंकि आकृति शुरू से ही तय है। समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर और तीनों कोण 60° होते हैं, इसलिए चुनने को सिर्फ़ यह बचता है कि वह कितना बड़ा है, और भुजा की लंबाई वही तय कर देती है। आम त्रिभुज में यह आज़ादी ख़र्च नहीं हुई होती: एक भुजा से अनगिनत आकृतियाँ बनती हैं, और त्रिभुज तब बँधता है जब तीन भुजाएँ हों, या दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण।

ऊँचाई कैसे निकलती है, और √3 कहाँ से आता है?

किसी कोने से ऊँचाई खींचने पर त्रिभुज दो बराबर समकोण त्रिभुजों में कट जाता है। हर एक का कर्ण भुजा के बराबर और आधार भुजा का आधा होता है, इसलिए पाइथागोरस से ऊँचाई भुजा के वर्ग में से भुजा के वर्ग का चौथाई घटाकर उसका वर्गमूल बनती है, यानी √3 ÷ 2 गुणा भुजा। यह अटपटी संख्या पूर्णांकन की गड़बड़ नहीं है; बराबर भुजाओं वाली आकृति को आधा काटने पर जो बचता है, वही यह है।

छपी हुई ऊँचाई को आधार के आधे से गुणा करने पर ठीक वही क्षेत्रफल नहीं आता। क्यों?

क्योंकि पैनल पर ऊँचाई पहले ही चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित है, और क्षेत्रफल बिना पूर्णांकित ऊँचाई से निकलकर अपने आप अलग से पूर्णांकित हुआ है। भुजा 6 पर ऊँचाई 5.1962 छपती है, आधार का आधा 3 है, और गुणनफल 15.5886 बनता है, जबकि क्षेत्रफल 15.5885 छपता है। दोनों आँकड़े सही हैं; चौथा अंक आने-जाने के उस चक्कर में खोता है, किसी भी गणना में नहीं। शुद्ध क्षेत्रफल चाहिए तो क्षेत्रफल वाली पंक्ति पढ़िए, उसे दोबारा बनाइए नहीं।

भुजा के मुक़ाबले ऊँचाई कितनी होती है?

हमेशा भुजा की 0.866, यानी लगभग 86.6 प्रतिशत, चाहे त्रिभुज कितना भी बड़ा हो। यह उसी √3 ÷ 2 से निकलता है: भुजा बढ़ाने पर ऊँचाई भी उसी अनुपात में बढ़ती है, इसलिए दोनों के बीच का अनुपात कभी नहीं बदलता। त्रिभुजों को पंक्तियों में जमाते समय यही संख्या काम आती है, क्योंकि नोक ऊपर रखी हर पंक्ति नीचे वाली को ठीक एक ऊँचाई जितना ढकती है।

इसी भुजा वाले वर्ग से क्षेत्रफल की तुलना कैसी रहती है?

वर्ग बड़ा रहता है — भुजा 1 पर वर्ग का क्षेत्रफल 1 और त्रिभुज का लगभग 0.433। एक ही किनारे के लिए त्रिभुज कम सामग्री लेता है, पर उस क्षेत्रफल पर उसका परिमाप भी छोटा होता है, इसलिए यह तुलना तभी मायने रखती है जब उसे प्रति इकाई किनारा सामग्री के रूप में कहा जाए। असल में त्रिभुज चुनने की वजह क्षेत्रफल नहीं, कड़ापन है: त्रिभुज को भुजा की लंबाई बदले बिना मोड़ा नहीं जा सकता, वर्ग को जा सकता है।

क्या भुजा शून्य हो सकती है, और क्या यह ख़ाना ख़ाली छोड़ने जैसा ही है?

शून्य असली इनपुट है और तीनों नतीजे शून्य लौटते हैं, जो बिना आकार के त्रिभुज के लिए ईमानदार जवाब है। ख़ाली ख़ाना अलग बात है: कुछ डाले बिना पेज कोई नतीजा नहीं दिखाता, क्योंकि काम करने को कुछ ही नहीं होता। टाइप करते समय यह फ़र्क़ मायने रखता है, क्योंकि कोई संख्या दोबारा लिखने के लिए ख़ाना ख़ाली करने पर शून्यों की पंक्ति चमकनी नहीं चाहिए।

• Equilateral triangle — the three-sided regular polygon, with the height, the area and the 60-degree angles this page computes, and the split into two right-angled triangles that produces the square root of three — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the general case this page is the simplest member of, with the three-sides and two-sides-and-an-angle conditions that show why a general triangle needs more than one number to pin down — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — the family an equilateral triangle belongs to as the three-sided member, where the side count sets the angles: 60 degrees here, 108 in a pentagon and 135 in an octagon — Wolfram MathWorld (United States)