पेज ऊँचाई के बजाय भुजा क्यों माँगता है?

क्योंकि आधार और भुजा वह जोड़ी है जो आकृति को बाँधती है, और ऊँचाई उन्हीं से निकल आती है। तय लंबाई की दो भुजाएँ तय लंबाई के आधार के ऊपर एक ही बिंदु पर मिल सकती हैं, इसलिए चुनने को कुछ नहीं बचता। आधार और ऊँचाई उसी त्रिभुज के दो संख्याओं की दूसरी जोड़ी है, और पेज दोनों लेता तो आकृति ज़रूरत से ज़्यादा बँध जाती — आधार 6 और ऊँचाई 5 देने पर भुजा को √34 होना पड़ता, और पेज को तय करना पड़ता कि आपकी डाली तीन संख्याओं में से कौन ग़लत है।

दो कोण क्यों हैं, और क्या वे कभी बराबर होते हैं?

शीर्ष कोण दोनों भुजाओं के बीच है, ऊपर की नोक पर, और आधार कोण आधार तथा भुजा के बीच। दोनों अलग राशियाँ हैं और अलग सवालों का जवाब देती हैं: शीर्ष कोण बताता है कि आकृति कितनी नुकीली है, आधार कोण वह है जिसमें छत की ढाल या काटने का कोण बोला जाता है। दोनों बराबर सिर्फ़ समबाहु होने पर होते हैं, जब तीनों कोण 60 डिग्री होते हैं — इसीलिए पेज दोनों छापता है, एक संख्या को कोण कहकर नहीं।

दो भुजाओं से दोनों कोण कैसे निकालूँ?

त्रिभुज को उसके सममित अक्ष के साथ आधा काटिए। हर आधे हिस्से में एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण भुजा है और आधार आधार का आधा, इसलिए शीर्ष कोण के आधे का sine आधार के आधे बटा भुजा होता है। उसे दुगुना कीजिए और शीर्ष कोण मिल जाता है; आधार कोण वह है जो 180 डिग्री में से शीर्ष कोण निकालने के बाद बचे, उसे दो में बाँटा हुआ। पेज ठीक यही करता है, इसीलिए आधार का आधा 3 और भुजा 5 देने पर शीर्ष कोण 73.74 आता है, कोई अंदाज़े की संख्या नहीं।

कोण दो दशमलव में क्यों दिखते हैं और लंबाइयाँ चार में?

क्योंकि दोनों दो अलग मानकों से नापे जाते हैं। लंबाई ठीक-ठीक हो सकती है — 6 का आधार 6 ही है — और चार दशमलव इस साइट की लंबाई छापने की चौड़ाई है। कोण यहाँ arcsine से निकलता है, और चाँदा या काटने की मशीन एक डिग्री के सौवें हिस्से तक पढ़ती है, इसलिए कोण के तीसरे-चौथे दशमलव परिशुद्धता के लिबास में फ़्लोटिंग-पॉइंट का शोर ही होंगे। दो से आगे इस संख्या का कोई मतलब नहीं।

अगर भुजाएँ आधार के आर-पार पहुँचने के लिए बहुत छोटी हों तो क्या होता है?

पेज रुक जाता है और बता देता है, संख्या लौटाता नहीं। दोनों भुजाओं को आधार के ऊपर मिल पाना है, यानी उनकी लंबाइयों का जोड़ आधार से बड़ा होना चाहिए; न हो तो कोई त्रिभुज नहीं बनता। जहाँ उनका जोड़ आधार के ठीक बराबर हो, वह मामला पार जाने दिया जाता है, और वह एक सीधी रेखा में चपटे त्रिभुज को बताता है जिसका शीर्ष कोण 180 डिग्री और क्षेत्रफल शून्य होता है — यह असली जवाब है, कोई विफलता नहीं।

क्या आधार या भुजा शून्य हो सकती है?

दोनों स्वीकार हैं और दोनों के जवाब मायने रखते हैं। शून्य भुजा दोनों भुजाओं को एक बिंदु पर ले आती है और आधार सपाट फैला रहता है, तथा शून्य आधार दोनों भुजाओं को एक-दूसरे पर डाल देती है, जिससे ऊँचाई भुजा के बराबर, परिमाप भुजा का दुगुना और आधार कोण 90 डिग्री आता है। दोनों में से कोई भी ख़ाली ख़ाना छोड़ने जैसा नहीं है: ख़ाली ख़ाना कोई नतीजा ही नहीं दिखाता, क्योंकि काम करने को कुछ नहीं होता, जबकि शून्य ऐसी आकृति है जिसे बयान किया जा सकता है।

समद्विबाहु त्रिभुज कैलकुलेटर

नतीजा

12.0000 cm²

क्षेत्रफल

परिमाप: 16.0000 cm
ऊँचाई: 4.0000 cm
शीर्ष कोण: 73.74 °
आधार कोण: 53.13 °

समद्विबाहु त्रिभुज में चुनने को दो ही चीज़ें बचती हैं — आधार और भुजा — और यही दोनों डालकर आप पाँच नाप पा लेते हैं: क्षेत्रफल, परिमाप, ऊँचाई, शीर्ष कोण और आधार कोण। यह कैलकुलेटर बाक़ी दो त्रिभुज वाले पेजों के बीच में बैठता है, और वजह हिसाब की है। आम त्रिभुज में तीन आज़ादियाँ होती हैं — तीन भुजाएँ, या दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण — और आकृति तब तक नहीं बँधती जब तक उतनी संख्याएँ न मिलें। समबाहु त्रिभुज में एक भी आज़ादी नहीं होती, क्योंकि आकृति पहले से तय है और बचता है सिर्फ़ आकार। समद्विबाहु त्रिभुज में ठीक दो हैं: आधार और भुजा, और दोनों मिल जाने पर चुनने को कुछ नहीं बचता। तय लंबाई की दो भुजाएँ तय लंबाई के आधार के ऊपर एक ही बिंदु पर मिल सकती हैं, इसलिए ऊँचाई, दोनों कोण और क्षेत्रफल — सब उन्हीं से निकल आते हैं। यह वही आकृति है जो त्रिभुज को बीच से मोड़कर मिलती है, और मोड़ ही इसे हल करने का तरीक़ा भी है: सममित अक्ष के साथ काटने पर दो बराबर समकोण त्रिभुज बचते हैं, जिनमें हर एक का कर्ण भुजा, आधार आधार का आधा, और ऊँचाई पाइथागोरस से मिलती है। पेज का हर नतीजा उसी एक समकोण त्रिभुज से आता है। ऊँचाई उसकी तीसरी भुजा है, क्षेत्रफल आधार गुणा उस ऊँचाई का आधा है, और दोनों कोण भी उसी त्रिभुज से निकलते हैं — शीर्ष कोण का आधा वह कोण है जिसका sine आधार के आधे और भुजा का अनुपात है, और आधार कोण वह है जो 180° में से शीर्ष कोण निकालने के बाद बचता है, दोनों आधार कोणों में बराबर बाँटा हुआ। यह कि दोनों आधार कोण बराबर होते हैं, आकृति की परिभाषा है, कोई नतीजा नहीं, और किसी चित्र में आम तौर पर यही दिया होता है: एक आधार कोण अंकित कीजिए और दूसरा अपने आप पता चल जाता है। पेज दोनों कोण इसलिए छापता है कि वे अलग-अलग सवालों का जवाब देते हैं — शीर्ष कोण बताता है कि आकृति कितनी नुकीली है, और आधार कोण वह है जिसमें छत की ढाल या काटने का कोण असल में बोला जाता है। दो बातें शुरू में ही जान लेना काम आता है। पहली यह कि पाँच में से दो नतीजे कोण हैं, और वे भिन्न-भिन्न राशियाँ हैं, एक ही बात दो बार नहीं — सिर्फ़ तब बराबर होते हैं जब त्रिभुज समबाहु हो जाए, यानी तीनों कोण 60°। दूसरी यह कि लंबाई और कोण अलग-अलग चौड़ाई में छपते हैं: लंबाई चार दशमलव स्थानों तक, कोण दो तक।

डिफ़ॉल्ट आकृति से चपटी सीमा तक के समद्विबाहु त्रिभुज

आधार (cm)	भुजा (cm)	क्षेत्रफल (cm²)	ऊँचाई (cm)	शीर्ष कोण (°)	आधार कोण (°)
6	5	12	4	73.74	53.13
8	5	12	3	106.26	36.87
10	13	60	12	45.24	67.38
6	6	15.5885	5.1962	60	60
4	3	4.4721	2.2361	83.62	48.19
0	5	0	5	0	90
6	3	0	0	180	0

सात त्रिभुज, और पहली पंक्ति वही है जिसके साथ पेज खुलता है। परिमाप यहाँ जान-बूझकर कोई कॉलम नहीं है: वह आधार जमा दो गुना भुजा होता है, जो पहले दो कॉलम पहले ही दे रहे हैं, इसलिए उसका कॉलम एक तीसरी संख्या होती जिसे पाठक अपने मन में जोड़ सकता है। दो पंक्तियाँ इस पेज के बग़ल वाले पेजों से मिलने के जाँच-बिंदु हैं, और दोनों अलग इनपुट से उन्हीं आँकड़ों पर पहुँचती हैं: पहली पंक्ति, यानी आधार 6 और भुजा 5, क्षेत्रफल 12 और परिमाप 16 देती है, जो हीरोन वाला पेज 6, 5 और 5 भुजाओं पर लौटाता है; और चौथी पंक्ति, जिसमें आधार और भुजा दोनों 6 हैं, 15.5885 देती है, जो समबाहु वाला पेज भुजा 6 पर और हीरोन वाला पेज 6, 6, 6 पर लौटाता है। चौथी पंक्ति तालिका की अकेली ऐसी पंक्ति भी है जहाँ दोनों कोणों वाले कॉलम बराबर हैं, दोनों 60, और यही समबाहु त्रिभुज की पहचान है तथा यही वजह है कि बाक़ी हर जगह पेज दोनों कोण अलग-अलग छापता है। आधार बढ़ने के साथ शीर्ष कोण और आधार कोण वाले कॉलम साथ पढ़िए: आधार 4 और भुजा 3 पर शीर्ष कोण 83.62 है, डिफ़ॉल्ट आधार 6 और भुजा 5 पर 73.74, आधार 8 और भुजा 5 पर 106.26, और आधार 10 तथा भुजा 13 पर 45.24 — दोनों कॉलम हमेशा शीर्ष कोण को एक बार और आधार कोण को दो बार गिनकर 180 पर पहुँचते हैं, और किसी पंक्ति पर शक़ हो तो जाँच यही है। आख़िरी दो पंक्तियाँ सीमा के मामले हैं और दोनों असली जवाब हैं, विफलताएँ नहीं: आधार 0 और भुजा 5 लंबाई 5 की दोहरी रेखा है जिसका शीर्ष कोण 0 है, और आधार 6 तथा भुजा 3 वाला त्रिभुज पूरी तरह चपटा हो गया है, जिससे शीर्ष कोण 180 और क्षेत्रफल 0 मिलता है। इनमें से दूसरी ठीक किनारे पर है — आधार में एक दहाई और जोड़िए और पेज मना कर देता है। यहाँ हर संख्या पेज बनते समय उसके आधार और भुजा से सेंटीमीटर तथा डिग्री में दोबारा निकाली जाती है, और दशमलव की चौड़ाई वही है जो नतीजों का पैनल इस्तेमाल करता है — लंबाइयों के लिए चार, कोणों के लिए दो।

फ़ॉर्मूला

ऊँचाई = √(भुजा² − (आधार ÷ 2)²) क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई ÷ 2 परिमाप = आधार + 2 × भुजा शीर्ष कोण = 2 × asin((आधार ÷ 2) ÷ भुजा) आधार कोण = (180° − शीर्ष कोण) ÷ 2

आधार: असमान भुजा की लंबाई, यानी वह भुजा जिस पर दोनों बराबर भुजाएँ टिकी हैं, सेंटीमीटर में। इसे सीधा रखने से ही त्रिभुज बाएँ-दाएँ सममित होता है, और ऊँचाई इसी भुजा से नापी जाती है
भुजा: दो बराबर भुजाओं में से हर एक की लंबाई, सेंटीमीटर में। परिभाषा से दोनों एक ही हैं, इसलिए इनके लिए एक ही ख़ाना है, और हर भुजा उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है जो मोड़ने पर बनता है
क्षेत्रफल: त्रिभुज जितनी जगह घेरता है, वह वर्ग सेंटीमीटर में: आधार का आधा गुणा ऊँचाई। क्षेत्रफल आधार और भुजा से सीधे निकलता है, छपी हुई ऊँचाई से नहीं, इसलिए पैनल के अपने आँकड़े आख़िरी अंक तक आपस में मिलते हैं
परिमाप: चारों ओर का पूरा फ़ासला, सेंटीमीटर में: आधार जमा दो गुना भुजा। यही अकेला नतीजा है जिसमें न कोई वर्गमूल है न कोई त्रिकोणमिति, इसलिए दोनों इनपुट ठीक हों तो यह भी ठीक रहता है
ऊँचाई: शीर्ष से सीधे नीचे आधार के बीच तक की दूरी, सेंटीमीटर में, जो मोड़े हुए आधे हिस्से पर पाइथागोरस से निकलती है: भुजा का वर्ग घटा आधार के आधे का वर्ग, फिर वर्गमूल। यही वह रेखा भी है जिसके बारे में त्रिभुज सममित है, और इसीलिए यह ठीक आधार के बीच में गिरती है, किसी एक तरफ़ नहीं
शीर्ष कोण: दोनों भुजाओं के बीच का कोण, ऊपर की नोक पर, डिग्री में, और यही समद्विबाहु त्रिभुज का वह अकेला कोण है जो किसी दूसरे के साथ साझा नहीं होता। यह उस कोण का दुगुना है जिसका sine आधार के आधे और भुजा का अनुपात है, और त्रिभुज के चपटा होते जाने पर यह 180° की तरफ़ बढ़ता जाता है
आधार कोण: आधार और भुजा के बीच का कोण, डिग्री में। दोनों आधार कोण परिभाषा से बराबर होते हैं, इसलिए पेज दोनों के लिए एक ही संख्या छापता है, और वह इस तरह निकाली जाती है कि 180° में से शीर्ष कोण घटाने के बाद जो बचे उसे आधा कर दिया जाए
कोणों के दो दशमलव स्थान: कोण दो दशमलव स्थानों तक छपते हैं जबकि लंबाइयाँ चार तक, क्योंकि चाँदा एक डिग्री के सौवें हिस्से तक पढ़ पाता है और arcsine के पीछे के अंक किसी के नापे हुए नहीं, फ़्लोटिंग-पॉइंट का शोर हैं

यह पेज हर उस चीज़ के लिए है जो समद्विबाहु त्रिभुज पर बनी हो, और यह आकृति वहाँ आती है जहाँ किसी सपाट आधार पर कोई सममित नोक बैठती है। छत सबसे साफ़ मामला है: दोनों ढलान भुजाएँ हैं, फैलाव आधार है, और बढ़ई को जो चाहिए वह ढाल है — यानी आधार कोण — और दीवार की पट्टी से कठेर तक की ऊँचाई, जो इस पेज की ऊँचाई है। उसी त्रिभुज को बीच से काटिए तो कर्ण के रूप में राफ़्टर की लंबाई निकलती है, और इसीलिए मोड़ यहाँ चित्र की तरकीब नहीं, काम करने का तरीक़ा है। गैबल के सिरे, मंदिर के त्रिकोण, तीर की नोक, फ़नल का शंकु और तंबू का सामने वाला हिस्सा — सब वही आकृति हैं, बस नाम बदले हुए। धातु के काम और बढ़ईगीरी में आधार कोण वही है जिस पर काटने की मशीन सेट की जाती है, और शीर्ष कोण वह जिससे तैयार टुकड़ा जाँचा जाता है। यह पेज उस समय भी सही है जब आपने ऊँचाई की जगह आधार और एक ढलती भुजा नापी हो: छत, ढाल या तिरछी टेक पर पहुँच वही भुजा होती है, लंब नहीं। और यह उस समय भी काम आता है जब किसी चित्र में समद्विबाहु त्रिभुज का नाप उसकी सममिति पर लिखा हो — जैसे आधार और कुल ऊँचाई — क्योंकि यहाँ ऊँचाई नतीजा है, इनपुट नहीं, और दोनों बदले नहीं जा सकते: आधार और भुजा एक जोड़ी है, आधार और ऊँचाई दूसरी, और इनमें से सिर्फ़ एक इस पेज पर है। अगर आपका त्रिभुज समद्विबाहु नहीं है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल वाला पेज आधार और ऊँचाई लेता है और हीरोन वाला पेज तीनों भुजाएँ। एक बात और जोड़ देना ज़रूरी है, क्योंकि यही लोगों को सबसे ज़्यादा उलझाती है: यहाँ आधार के बदलते ही दोनों कोण उलटी दिशाओं में चलते हैं। आधार बड़ा कीजिए और शीर्ष कोण बढ़ता है जबकि आधार कोण घटता है, इसलिए एक ही त्रिभुज पर दोनों को एक साथ बड़ा होते देखने की उम्मीद मत कीजिए। साथ में तीनों कोणों का जोड़ हमेशा 180° ही रहता है, बस शीर्ष कोण एक बार और आधार कोण दो बार गिना जाता है, और जाँच का यही सबसे सस्ता तरीक़ा है।

हल किए हुए उदाहरण

आधार 6, भुजा 5
1. आधार का आधा: 6 ÷ 2 = 3
2. ऊँचाई: √(25 − 9) = √16 = 4
3. क्षेत्रफल: 6 × 4 ÷ 2 = 12
4. परिमाप: 6 + 2 × 5 = 16
5. शीर्ष कोण का आधा: asin(3 ÷ 5) = 36.8699…, इसलिए शीर्ष कोण 73.7398…, जो 73.74 बनता है
6. आधार कोण: (180 − 73.7398) ÷ 2 = 53.1301…, जो 53.13 बनता है
यह वही इनपुट है जिसके साथ पेज खुलता है, और इसी पर सबसे साफ़ हिसाब बैठता है: ऊँचाई ठीक 4 निकलती है, क्षेत्रफल ठीक 12 और परिमाप ठीक 16, और दशमलव सिर्फ़ दोनों कोणों में बचता है। ये भुजाएँ 6, 5 और 5 हैं, इसलिए यह इस बैच का दूसरा क्रॉस-चेक है — हीरोन वाला पेज यही तीन भुजाएँ लेकर वही क्षेत्रफल 12 और वही परिमाप 16 लौटाता है। एक त्रिभुज तक दो रास्ते, एक ही जवाब। 53.13 डिग्री का आधार कोण भी संयोग नहीं है: यह त्रिभुज मोड़ने पर 3-4-5 वाला समकोण त्रिभुज बचता है, और 53.13 वह कोण है जो 3 के फैलाव पर 4 की ऊँचाई क्षैतिज के साथ बनाती है — पेज का आधार कोण वाला कॉलम हर पंक्ति में यही नियम चलाता है।
आधार 6, भुजा 6
1. आधार का आधा: 6 ÷ 2 = 3
2. ऊँचाई: √(36 − 9) = √27 = 5.196152…, जो 5.1962 बनती है
3. क्षेत्रफल: 6 × 5.196152… ÷ 2 = 15.588457…, जो 15.5885 बनता है
4. परिमाप: 6 + 2 × 6 = 18
5. शीर्ष कोण का आधा: asin(3 ÷ 6) = 30, इसलिए शीर्ष कोण 60 और आधार कोण (180 − 60) ÷ 2 = 60
ऐसा समद्विबाहु त्रिभुज जिसका आधार और भुजाएँ संयोग से सब 6 हैं, यानी यह समबाहु हो गया — और पेज यह छिपाता नहीं, दिखाता है: दोनों कोण 60 डिग्री निकलते हैं, जो इस आकृति की पहचान है। 15.5885 का क्षेत्रफल इस बैच का तीसरा क्रॉस-चेक है, जो समबाहु वाले पेज के भुजा 6 और हीरोन वाले पेज के 6, 6, 6 से मिलता है। यह तालिका की अकेली पंक्ति भी है जहाँ दोनों कोणों वाले कॉलम बराबर हैं, क्योंकि शीर्ष कोण आधार कोण के बराबर तभी होता है जब तीनों 60 हों।
आधार 8, भुजा 5
1. आधार का आधा: 8 ÷ 2 = 4
2. ऊँचाई: √(25 − 16) = √9 = 3
3. क्षेत्रफल: 8 × 3 ÷ 2 = 12
4. परिमाप: 8 + 2 × 5 = 18
5. शीर्ष कोण का आधा: asin(4 ÷ 5) = 53.1301…, इसलिए शीर्ष कोण 106.2602…, जो 106.26 बनता है
6. आधार कोण: (180 − 106.2602) ÷ 2 = 36.8699…, जो 36.87 बनता है
डिफ़ॉल्ट से ज़्यादा चपटा त्रिभुज — वही भुजाएँ, लंबा आधार — और दोनों कोण उलटी दिशाओं में चलते हैं, यही देखने वाली बात है। शीर्ष कोण 73.74 से 106.26 पहुँच गया और हर आधार कोण 53.13 से 36.87, और दोनों आँकड़े अब भी उसी नियम से बँधे हैं कि तीनों कोणों का जोड़ 180 होता है। क्षेत्रफल 12 पर ही टिका रहा जबकि परिमाप बढ़कर 18 हो गया, और यह याद दिलाता है कि आधार खींचने से त्रिभुज चपटा होता है, ज़्यादा जगह नहीं घेरता। 3-4-5 वाला समकोण त्रिभुज इसी में छिपा है: आधार का आधा 4, ऊँचाई 3 और भुजा 5।
आधार 10, भुजा 13
1. आधार का आधा: 10 ÷ 2 = 5
2. ऊँचाई: √(169 − 25) = √144 = 12
3. क्षेत्रफल: 10 × 12 ÷ 2 = 60
4. परिमाप: 10 + 2 × 13 = 36
5. शीर्ष कोण का आधा: asin(5 ÷ 13) = 22.6198…, इसलिए शीर्ष कोण 45.2397…, जो 45.24 बनता है
6. आधार कोण: (180 − 45.2397) ÷ 2 = 67.3801…, जो 67.38 बनता है
इस बैच का दूसरा 5-12-13 वाला आधा हिस्सा: आधार का आधा 5, ऊँचाई 12 और भुजा 13, इसलिए अंदर बैठा समकोण त्रिभुज वही है जिससे हीरोन वाला पेज दूसरी तरफ़ से मिलता है। दोनों कोणों के सिवा सब कुछ पूरा-पूरा निकलता है। 45.24 डिग्री का शीर्ष कोण समकोण के आधे से ज़रा-सा ज़्यादा है, और यह आकृति की अच्छी जाँच है: आधार 10 और भुजा 13 वाला त्रिभुज समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के क़रीब है पर ठीक वह नहीं, और आधार को 13 गुणा √2 तक ले जाने पर शीर्ष कोण ठीक 90 हो जाता।
आधार 0, भुजा 5
1. आधार का आधा: 0 ÷ 2 = 0
2. ऊँचाई: √(25 − 0) = 5
3. क्षेत्रफल: 0 × 5 ÷ 2 = 0
4. परिमाप: 0 + 2 × 5 = 10
5. शीर्ष कोण का आधा: asin(0 ÷ 5) = 0, इसलिए शीर्ष कोण 0 और आधार कोण (180 − 0) ÷ 2 = 90
आधार शून्य, जो जायज़ है और ख़ाली ख़ाना छोड़ने जैसा नहीं है। दोनों भुजाएँ एक-दूसरे पर पड़ जाती हैं, इसलिए आकृति लंबाई 5 की दोहरी रेखा बन जाती है: ऊँचाई 5, परिमाप 10, क्षेत्रफल शून्य और शीर्ष कोण सिकुड़कर कुछ नहीं बचा। 90 डिग्री का आधार कोण इसकी ईमानदार पढ़ाई है — आधार की कोई लंबाई नहीं है, इसलिए उसके और भुजा के बीच का कोण परंपरा से समकोण माना जाता है। इसीलिए पेज शून्य आधार को असली इनपुट मानता है, नामंज़ूर नहीं करता: सारा हिसाब परिभाषित है और जवाब सिकुड़ी हुई आकृति को ठीक-ठीक बताते हैं।
आधार 6, भुजा 3
1. आधार का आधा: 6 ÷ 2 = 3
2. ऊँचाई: √(9 − 9) = 0
3. क्षेत्रफल: 6 × 0 ÷ 2 = 0
4. परिमाप: 6 + 2 × 3 = 12
5. शीर्ष कोण का आधा: asin(3 ÷ 3) = 90, इसलिए शीर्ष कोण 180 और आधार कोण (180 − 180) ÷ 2 = 0
ठीक सीमा, और यह पार जाने दी जाती है: दोनों भुजाएँ सिरे से सिरा जोड़ने पर आधार जितनी ही लंबी हैं, इसलिए त्रिभुज चपटा होकर एक सीधी रेखा बन गया। शीर्ष कोण 180 डिग्री है, यानी पूरी तरह चपटी नोक का माप, और दोनों आधार कोण सिकुड़कर शून्य हो गए। यहाँ कुछ भी NaN नहीं है — हिसाब का हर पद परिभाषित है, ठीक 1 का arcsine भी। उसी भुजा के साथ आधार 6.2 कर दीजिए और पेज मना कर देता है, क्योंकि तब दोनों भुजाएँ एक-दूसरे तक पहुँच ही नहीं सकतीं और कोई त्रिभुज बनता ही नहीं।

सीमाएँ

यह पेज सिर्फ़ समद्विबाहु त्रिभुज के लिए है: ठीक दो भुजाएँ बराबर, यानी भुजाएँ, जो असमान आधार पर टिकी हैं। जो त्रिभुज विषमबाहु है उसे तीनों भुजाएँ चाहिए और वह हीरोन वाले पेज का काम है; जो समकोण है उसका अपना पेज है, और समबाहु त्रिभुज इस पेज का सिर्फ़ एक ख़ास मामला है, तब जब उसका आधार और भुजाएँ बराबर दिए जाएँ। दोनों भुजाओं को एक-दूसरे तक पहुँचना है: अगर भुजा का दुगुना आधार से कम है, तो कोई त्रिभुज नहीं बनता और पेज संख्या लौटाने के बजाय यही कह देता है। वह ठीक मामला जहाँ भुजा का दुगुना आधार के बराबर है, पार जाने दिया जाता है और वह एक सीधी रेखा में चपटे त्रिभुज को बताता है, जिसकी ऊँचाई और क्षेत्रफल शून्य तथा शीर्ष कोण 180 डिग्री होता है। पेज आधार और भुजा लेता है, आधार और ऊँचाई नहीं, इसलिए दूसरे ढंग से नापे गए चित्र में पहले ऊँचाई को आधार के आधे पर पाइथागोरस लगाकर भुजा में बदलना पड़ेगा। नतीजे सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में हैं, चाहे इकाई वाली सूची में कुछ भी चुना हो, और कोण डिग्री में हैं, रेडियन का कोई विकल्प नहीं है। लंबाई के चार और कोण के दो दशमलव स्थान परिशुद्धता का दावा नहीं, छपाई की चौड़ाई हैं; फ़ीते से नापे गए त्रिभुज पर ऊँचाई और क्षेत्रफल ही ऐसे आँकड़े हैं जिनके आख़िरी अंक का कुछ मतलब हो सकता है, और वे भी इस पर निर्भर हैं कि आधार और भुजा कितने ठीक नापे गए थे। पेज द्विआयामी है और उसमें मोटाई का कोई ख़ाना नहीं, इसलिए यह न त्रिभुजाकार प्रिज़्म का आयतन दे सकता है, न किसी गस्सेट का वज़न।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

पेज ऊँचाई के बजाय भुजा क्यों माँगता है?: क्योंकि आधार और भुजा वह जोड़ी है जो आकृति को बाँधती है, और ऊँचाई उन्हीं से निकल आती है। तय लंबाई की दो भुजाएँ तय लंबाई के आधार के ऊपर एक ही बिंदु पर मिल सकती हैं, इसलिए चुनने को कुछ नहीं बचता। आधार और ऊँचाई उसी त्रिभुज के दो संख्याओं की दूसरी जोड़ी है, और पेज दोनों लेता तो आकृति ज़रूरत से ज़्यादा बँध जाती — आधार 6 और ऊँचाई 5 देने पर भुजा को √34 होना पड़ता, और पेज को तय करना पड़ता कि आपकी डाली तीन संख्याओं में से कौन ग़लत है।
दो कोण क्यों हैं, और क्या वे कभी बराबर होते हैं?: शीर्ष कोण दोनों भुजाओं के बीच है, ऊपर की नोक पर, और आधार कोण आधार तथा भुजा के बीच। दोनों अलग राशियाँ हैं और अलग सवालों का जवाब देती हैं: शीर्ष कोण बताता है कि आकृति कितनी नुकीली है, आधार कोण वह है जिसमें छत की ढाल या काटने का कोण बोला जाता है। दोनों बराबर सिर्फ़ समबाहु होने पर होते हैं, जब तीनों कोण 60 डिग्री होते हैं — इसीलिए पेज दोनों छापता है, एक संख्या को कोण कहकर नहीं।
दो भुजाओं से दोनों कोण कैसे निकालूँ?: त्रिभुज को उसके सममित अक्ष के साथ आधा काटिए। हर आधे हिस्से में एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण भुजा है और आधार आधार का आधा, इसलिए शीर्ष कोण के आधे का sine आधार के आधे बटा भुजा होता है। उसे दुगुना कीजिए और शीर्ष कोण मिल जाता है; आधार कोण वह है जो 180 डिग्री में से शीर्ष कोण निकालने के बाद बचे, उसे दो में बाँटा हुआ। पेज ठीक यही करता है, इसीलिए आधार का आधा 3 और भुजा 5 देने पर शीर्ष कोण 73.74 आता है, कोई अंदाज़े की संख्या नहीं।
कोण दो दशमलव में क्यों दिखते हैं और लंबाइयाँ चार में?: क्योंकि दोनों दो अलग मानकों से नापे जाते हैं। लंबाई ठीक-ठीक हो सकती है — 6 का आधार 6 ही है — और चार दशमलव इस साइट की लंबाई छापने की चौड़ाई है। कोण यहाँ arcsine से निकलता है, और चाँदा या काटने की मशीन एक डिग्री के सौवें हिस्से तक पढ़ती है, इसलिए कोण के तीसरे-चौथे दशमलव परिशुद्धता के लिबास में फ़्लोटिंग-पॉइंट का शोर ही होंगे। दो से आगे इस संख्या का कोई मतलब नहीं।
अगर भुजाएँ आधार के आर-पार पहुँचने के लिए बहुत छोटी हों तो क्या होता है?: पेज रुक जाता है और बता देता है, संख्या लौटाता नहीं। दोनों भुजाओं को आधार के ऊपर मिल पाना है, यानी उनकी लंबाइयों का जोड़ आधार से बड़ा होना चाहिए; न हो तो कोई त्रिभुज नहीं बनता। जहाँ उनका जोड़ आधार के ठीक बराबर हो, वह मामला पार जाने दिया जाता है, और वह एक सीधी रेखा में चपटे त्रिभुज को बताता है जिसका शीर्ष कोण 180 डिग्री और क्षेत्रफल शून्य होता है — यह असली जवाब है, कोई विफलता नहीं।
क्या आधार या भुजा शून्य हो सकती है?: दोनों स्वीकार हैं और दोनों के जवाब मायने रखते हैं। शून्य भुजा दोनों भुजाओं को एक बिंदु पर ले आती है और आधार सपाट फैला रहता है, तथा शून्य आधार दोनों भुजाओं को एक-दूसरे पर डाल देती है, जिससे ऊँचाई भुजा के बराबर, परिमाप भुजा का दुगुना और आधार कोण 90 डिग्री आता है। दोनों में से कोई भी ख़ाली ख़ाना छोड़ने जैसा नहीं है: ख़ाली ख़ाना कोई नतीजा ही नहीं दिखाता, क्योंकि काम करने को कुछ नहीं होता, जबकि शून्य ऐसी आकृति है जिसे बयान किया जा सकता है।

संदर्भ

Isosceles triangle — the two-equal-sides case, with the axis of symmetry, the equal base angles and the height that this page computes from the base and a leg — Wolfram MathWorld (United States)
Triangle — the general case the isosceles triangle is a constrained member of, including the rule that the three angles always add to 180 degrees, which is what the base angle is worked out from — Wolfram MathWorld (United States)
Equilateral triangle — the one isosceles triangle whose apex angle equals its base angles, both 60 degrees, and the case where the two figures this page prints separately come out the same — Wolfram MathWorld (United States)

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त्रिभुज क्षेत्रफल कैलकुलेटरआधार का आधा गुणा उस पर खींची लंब ऊँचाई।हीरोन के सूत्र कैलकुलेटरतीन भुजाओं से त्रिभुज का क्षेत्रफल, हीरोन के सूत्र से।समबाहु त्रिभुज कैलकुलेटरसमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल, ऊँचाई और परिमाप।समकोण त्रिभुज कैलकुलेटरदो भुजाओं या भुजा-कोण से समकोण त्रिभुज हल करें।

समद्विबाहु त्रिभुज कैलकुलेटर

नतीजा

डिफ़ॉल्ट आकृति से चपटी सीमा तक के समद्विबाहु त्रिभुज

फ़ॉर्मूला

हल किए हुए उदाहरण

आधार 6, भुजा 5

आधार 6, भुजा 6

आधार 8, भुजा 5

आधार 10, भुजा 13

आधार 0, भुजा 5

आधार 6, भुजा 3

सीमाएँ

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

संदर्भ

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