समकोण त्रिभुज कैलकुलेटर

a² + b² = c² A + B = 90° sin A = a ÷ c tan A = a ÷ b क्षेत्रफल = a × b ÷ 2 परिमाप = a + b + c

a, b

दोनों भुजाएँ, यानी वे भुजाएँ जो समकोण पर मिलती हैं। पेज हर इनपुट को पहले इन्हीं दो में बदलता है और उसके बाद बाक़ी कुछ भी गिनता है, इसलिए कर्ण और कोण से शुरू होने वाला सवाल भी पहले दो भुजाओं में बदला जाता है

c

कर्ण, यानी समकोण के सामने वाली भुजा, जो तीनों में हमेशा सबसे लंबी होती है। यह इस पेज का मुख्य नतीजा है और इसे हमेशा नए सिरे से गिना जाता है, दोहराया नहीं जाता — भले ही आपने यही भुजा भरी हो। इसीलिए तीनों भुजाएँ कभी एक-दूसरे से उलटी नहीं पड़तीं

A, B

दोनों न्यून कोण। A वह है जो भुजा a के सामने बैठता है और B वह जो भुजा b के सामने; दोनों शून्य से नब्बे डिग्री के बीच रहते हैं, और मिलकर त्रिभुज के एक सौ अस्सी में से वह हिस्सा भर देते हैं जो समकोण ने नहीं लिया। पैनल पर दोनों का जोड़ हमेशा ठीक 90.00 आता है, क्योंकि दूसरा कोण पहले में से घटाकर निकाला जाता है, अलग से गिनकर नहीं

यह पेज तब खोलिए जब समकोण त्रिभुज की दो नापें पता हों और बाक़ी सब चाहिए: दोनों भुजाएँ, एक भुजा और कर्ण, या कोई भी एक भुजा और उसके साथ कोई भी न्यून कोण। यह समकोण त्रिभुजों वाला आम हल निकालने का औज़ार है, और पाइथागोरस वाले पेज से यह इस बात में अलग है कि यह सबसे ऊपर क्या दिखाता है — वह पेज छोटा सवाल हल करता है, सिर्फ़ छूटी हुई भुजा, जबकि यह पूरा त्रिभुज लौटाता है और कर्ण को सबसे ऊपर रखता है, चाहे आपने कौन-से दो ख़ाने भरे हों। यह त्रिभुज वाले पेज से भी अलग है, जो वही बात है बस समकोण के बिना: उसे दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण चाहिए, जबकि यहाँ उन्हीं दो संख्याओं से बहुत ज़्यादा निकल आता है, क्योंकि समकोण तीसरी जानकारी मुफ़्त में मिल जाती है। दोनों भुजाएँ बराबर होने पर वह समद्विबाहु का हाल बनता है, और उसका पेज उसी आकृति को अपने ढंग से बताता है।

1. दोनों भुजाएँ, 3 और 4

   1. दोनों भुजाएँ दी हुई हैं, इसलिए कर्ण पाइथागोरस प्रमेय से आता है: 9 जमा 16 बराबर 25, और 25 का वर्गमूल 5
   2. कोण A तीन लंबाई वाली भुजा के सामने बैठता है, इसलिए उसका tangent 3 बटा 4 है, जो 36.87 डिग्री देता है
   3. कोण B वह बचता है जो नब्बे में से छूटे, यानी 53.13
   4. क्षेत्रफल तीन गुणा चार का आधा है, और परिमाप तीनों भुजाओं का जोड़

   यह वह त्रिभुज है जिसके साथ पेज खुलता है, और पूरे अंकों वाले समकोण त्रिभुजों में सबसे छोटा — वही जिसके इर्द-गिर्द पाइथागोरस वाला पेज बना है, इसलिए दोनों पेज कर्ण, क्षेत्रफल और परिमाप पर आख़िरी दशमलव तक मेल खाते हैं। ध्यान दीजिए कि दोनों भुजाएँ भरने के बावजूद जवाब में दोबारा आती हैं: पैनल हमेशा सातों नापें छापता है, और पूरा त्रिभुज हल करने का वादा इसी की वजह है। दोनों कोण शून्य से नब्बे के बीच हैं और जुड़कर ठीक नब्बे बनाते हैं, 89.99 नहीं, क्योंकि दूसरा कोण बचे हुए हिस्से के रूप में निकाला जाता है।

2. एक भुजा और कर्ण, 6 और 10

   1. कर्ण और एक भुजा दी हुई हैं, इसलिए दूसरी भुजा दस का वर्ग घटा छह का वर्ग, उसका वर्गमूल है
   2. सौ में से छत्तीस घटाइए तो चौंसठ बचता है, जिसका वर्गमूल 8 है
   3. कोण दोनों भुजाओं से निकलते हैं: A का tangent 6 बटा 8 है
   4. अब तीनों भुजाएँ पता हैं, इसलिए क्षेत्रफल और परिमाप सीधा हिसाब हैं

   दूसरी भुजा उसी प्रमेय को उलटा पढ़कर निकलती है: सौ में से छत्तीस घटाने पर चौंसठ बचता है, और चौंसठ का वर्गमूल आठ। यह वह हाल है जहाँ पाइथागोरस प्रमेय जोड़ने के बजाय घटाता है, और यही वह हाल भी है जो दोनों ख़ाने उलटे क्रम में भरने पर बिगड़ता है — भुजा से छोटा कर्ण हो ही नहीं सकता, और पेज कोई आँकड़ा लौटाने के बजाय यह बता देता है। कोण तीन-चार-पाँच वाली पंक्ति से बिल्कुल मेल खाते हैं, क्योंकि छह-आठ-दस उसी त्रिभुज का दुगुना है।

3. एक भुजा और उसके सामने वाला कोण, 3 और 30 डिग्री

   1. कोण A भुजा a के सामने बैठता है, इसलिए तीस डिग्री का sine इस भुजा को कर्ण से जोड़ता है: भुजा कर्ण का आधा है
   2. तो कर्ण इस भुजा का दुगुना है, यानी 6
   3. दूसरी भुजा इस भुजा बटा तीस डिग्री का tangent है, करीब 5.2
   4. कोण B वह बचता है जो नब्बे में से छूटे, यानी 60

   यह तीस-साठ-नब्बे वाला त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ एक अनुपात तीन के वर्गमूल अनुपात दो में होती हैं, और यही वह पंक्ति है जो दिखाती है कि कौन-सा कोण कौन-सा है: A उस भुजा के सामने है जो आपने दी, इसलिए तीन लंबाई वाली भुजा ही तीस डिग्री के कोण के सामने बैठी है और छोटी है। वही भुजा भरकर कोण B साठ डिग्री डालिए, तो हर आँकड़ा बिल्कुल वही आता है — दोनों कोण एक ही आकृति बताते हैं, और यही जोड़ा पेज के अपने नक़्शे की जाँच है। भुजा, क्षेत्रफल और परिमाप दो दशमलव तक पूरे किए जाते हैं, इसीलिए 5.196 यहाँ 5.20 छपता है।

4. कर्ण और एक कोण, 10 और 30 डिग्री

   1. कर्ण पता है, इसलिए तीस डिग्री के सामने वाली भुजा कर्ण गुणा तीस का sine है, यानी 10 गुणा आधा
   2. दूसरी भुजा कर्ण गुणा तीस का cosine है, करीब 8.66
   3. कोण पहले से पता हैं: तीस और उसका पूरक साठ
   4. क्षेत्रफल पाँच गुणा 8.66 का आधा है, और परिमाप तीनों भुजाओं का जोड़

   यह ऊपर वाली पंक्ति की ही आकृति है, बस दुगुने आकार में — भुजाएँ 5, 8.66 और 10 हैं, जबकि वहाँ 3, 5.2 और 6 थीं, और दोनों का अनुपात हर जगह एक ही है, और यही मतलब है दो त्रिभुजों के कोणों का समान होना। यह भी देखिए कि कर्ण भरने के बावजूद छपता है: वह दोनों भुजाओं से नए सिरे से गिना जाता है, दोहराया नहीं जाता, इसीलिए पैनल की तीनों भुजाएँ हमेशा पाइथागोरस प्रमेय को ठीक-ठीक पूरा करती हैं और कभी एक-दूसरे से उलटी नहीं पड़ सकतीं। दो दशमलव तक पूरा करने की वजह से ही 8.6602 की जगह 8.66 छपता है।

चार बातें जान लेने लायक़ हैं। पहली, पाँच ख़ानों में से ठीक दो भरने हैं, और वे दो दोनों कोण नहीं हो सकते। एक ख़ाना कम जानकारी है, तीन ज़रूरत से ज़्यादा, और पेज इन दोनों हालतों में अलग-अलग बताता है कि दिक़्क़त क्या है। दो कोण गिनती पूरी कर देते हैं और फिर भी हल नहीं होते, क्योंकि दो कोण आकृति की शक्ल तय करते हैं, उसका आकार नहीं — तीस डिग्री और साठ डिग्री वाला त्रिभुज जितना बड़ा चाहें उतना बनाया जा सकता है, और हर बार भुजाएँ अलग होंगी। ऐसे में पेज साफ़ कहता है कि एक और भुजा जोड़िए। पैनल ख़ुद यह नहीं बताता कि उसे किस ख़ाने का इंतज़ार है, इसलिए गिनती का ध्यान आपको रखना है। दूसरी बात, दोनों न्यून कोण स्वीकार किए जाते हैं पर कोई भी शून्य या नब्बे नहीं हो सकता, क्योंकि समकोण त्रिभुज के दोनों न्यून कोण इन दोनों के बीच कहीं बैठते हैं; शून्य डिग्री पर दूसरी भुजा सिमटकर शून्य हो जाती और नब्बे डिग्री पर दूसरा कोण ही शून्य रह जाता। इसी वजह से शून्य लंबाई वाली भुजा भी ठुकरा दी जाती है, क्योंकि सिकुड़े हुए त्रिभुज का न क्षेत्रफल बचता है न परिमाप। और कर्ण भुजा से बड़ा होना ही चाहिए — अगर भुजा बटा कर्ण उलटा भर दिया गया हो, तो पेज यह कहता है कि दोनों संख्याएँ आपस में बदल दीजिए, बजाय कोई ऐसा आँकड़ा लौटाने के जो किसी असली आकृति का न हो। तीसरी बात, पेज हमेशा सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में जवाब देता है, चाहे आपने कुछ भी भरा हो — फ़ुट में भरी भुजा त्रिभुज हल होने से पहले सेंटीमीटर में बदल दी जाती है, और आठ लाख तथा पंद्रह लाख सेंटीमीटर वाली भुजाओं पर आँकड़े सत्रह लाख, छह खरब वर्ग सेंटीमीटर और चालीस लाख के रूप में लौटते हैं, भारतीय अंक-समूहों में लिखे हुए। चौथी बात, सात पंक्तियों में से दो पंक्तियाँ आम तौर पर आपके ही भरे हुए आँकड़ों की प्रतिध्वनि होती हैं, इसलिए कोई भुजा भरकर उसी भुजा को वापस छपा देखना पेज का हिसाब न लगा पाना नहीं है; वहाँ छपा आँकड़ा इकाई बदलने और पूरा करने से गुज़र चुका होता है, और नई जानकारी बाक़ी पंक्तियों में होती है।

पाँच ख़ानों में से कितने भरने हैं?

ठीक दो, और वे दो दोनों कोण नहीं हो सकते। दो भुजाएँ चलती हैं, एक भुजा और कर्ण चलता है, और कोई भी एक भुजा तथा उसके साथ कोई भी न्यून कोण चलता है। एक ख़ाना कम पड़ता है और तीन ज़रूरत से ज़्यादा; दोनों हालतों में पेज अलग-अलग बताता है कि दिक़्क़त क्या है। दो कोण भरने पर गिनती तो पूरी हो जाती है, पर हल नहीं निकलता, क्योंकि दो कोण सिर्फ़ आकृति की शक्ल बताते हैं, उसका आकार नहीं — एक ही तीस-साठ-नब्बे त्रिभुज जितना बड़ा चाहें बनाया जा सकता है। ऐसे में पेज कहता है कि एक और भुजा जोड़िए। पैनल ख़ुद यह नहीं दिखाता कि उसे कौन-से ख़ाने का इंतज़ार है, इसलिए यह गिनती आपको संभालनी है।

पैनल वही भुजा दोबारा क्यों छापता है जो मैंने भरी?

क्योंकि पेज का वादा यह है कि वह पूरा त्रिभुज देगा, और पैनल की सात पंक्तियाँ हमेशा एक ही रहती हैं — इसमें यह नहीं देखा जाता कि आपने कौन-से दो ख़ाने भरे। अगर पैनल अपनी शक्ल बदल-बदलकर सिर्फ़ नए आँकड़े दिखाता, तो हर बार पढ़ने का ढंग बदलना पड़ता और आकृति की पूरी तस्वीर कहीं एक जगह नज़र न आती। यह भी याद रखिए कि छपा हुआ आँकड़ा वही कच्चा इनपुट नहीं है: वह इकाई बदलने और दो दशमलव तक पूरा करने से गुज़र चुका होता है, और नई जानकारी बाक़ी पंक्तियों में होती है।

कोण A कौन-सा होता है?

कोण A उस भुजा के सामने बैठता है जिसे पेज भुजा a कहता है, और कोण B भुजा b के सामने। दोनों हमेशा जुड़कर ठीक नब्बे डिग्री बनाते हैं, क्योंकि एक सौ अस्सी में से नब्बे तो समकोण ने पहले ही ले लिए, और पेज दूसरा कोण पहले वाले में से घटाकर निकालता है, अलग से गिनकर नहीं। इसीलिए पैनल पर दोनों कोणों का जोड़ कभी 89.99 नहीं दिखेगा, जो इस तरह के पेज पर सबसे बुरी दिखने वाली चीज़ होती है।

जवाब किस इकाई में आते हैं?

हमेशा सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में, चाहे आपने कुछ भी भरा हो। ख़ानों के बग़ल में सेंटीमीटर, मीटर, मिलीमीटर, इंच या फ़ुट चुन सकते हैं और कोण डिग्री, रेडियन या ग्रेडियन में भर सकते हैं, पर त्रिभुज हल करने से पहले सब कुछ सेंटीमीटर में बदल दिया जाता है। इसका एक नतीजा यह है कि फ़ुट में भरी हुई भुजा भी जवाब में सेंटीमीटर में लौटती है, और आँकड़ा वही नहीं रहता जो आपने लिखा था।

इस पेज और पाइथागोरस वाले पेज में क्या फ़र्क़ है?

दोनों एक ही प्रमेय पर टिके हैं, पर सवाल अलग पूछते हैं। पाइथागोरस वाला पेज तीन भुजाओं में से दो लेता है और सिर्फ़ छूटी हुई भुजा लौटाता है। यह पेज पाँच नापों में से कोई भी दो लेता है और पूरा त्रिभुज लौटाता है — तीनों भुजाएँ, दोनों न्यून कोण, क्षेत्रफल और परिमाप — और सबसे ऊपर हमेशा कर्ण रखता है, चाहे वह आपने भरा हो या न भरा हो। जहाँ दोनों पेज एक ही इनपुट लेते हैं, वहाँ वे आख़िरी दशमलव तक एक ही जवाब देते हैं।

भुजा से छोटा कर्ण क्यों ठुकरा दिया जाता है?

क्योंकि ऐसा त्रिभुज बन ही नहीं सकता। कर्ण समकोण के सामने वाली भुजा है और हमेशा तीनों में सबसे लंबी होती है; कोई भुजा अपने ही त्रिभुज के कर्ण से बड़ी नहीं हो सकती। अगर दोनों ख़ाने उलटे भर दिए गए हों तो पेज यह बता देता है कि संख्याएँ आपस में बदल दीजिए, बजाय कोई ऐसा आँकड़ा लौटाने के जो किसी असली आकृति का न हो — असल में पाँच-पाँच या तीन-पाँच जैसी जोड़ी से कोई त्रिभुज नहीं बनता, और ऐसा ही हाल हर उस जोड़ी का है जिसमें कर्ण भुजा से बड़ा न हो।

• Right Triangle — the five measurements, which combinations determine the triangle, and the identities that relate them — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean Theorem — the relation between the three sides, with the converse and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Finding a Side in a Right-Angled Triangle — using the sine, cosine and tangent to solve for a side from one side and one angle — Math is Fun (United Kingdom)
• Pythagoras' Theorem — the theorem from first principles, with the converse and worked examples — Math is Fun (United Kingdom)