cosine नियम कैलकुलेटर

a² = b² + c² − 2bc·cos A cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc)

a, b, c

त्रिभुज की तीनों भुजाएँ, किसी भी इकाई में, बस तीनों एक ही इकाई में हों। भुजा a वह है जिसके सामने कोण A बैठता है, और बाक़ी दोनों का जोड़ा भी इसी ढंग से बनता है

A

भुजा a के सामने वाला कोण, यानी वही कोण जो नियम का यह रूप निकालता है। बाक़ी दोनों कोण इसी सूत्र से निकलते हैं, बस अक्षर आपस में बदल जाते हैं — इसीलिए पेज तीनों को अलग-अलग गिनता है, और इसीलिए तीनों का जोड़ हमेशा ठीक 180.00 नहीं बैठता

cos A

उस कोण का cosine, जो तीनों भुजाओं से सीधे मिल जाता है। इससे कोण निकालना अलग क़दम है, और वही क़दम जवाब को शून्य से 180 डिग्री के बीच रखता है — किसी भी भुजा-त्रिक के लिए cosine चाहे जो हो, कोण इसी पट्टी में बैठेगा

2bc

उस कोण पर मिलने वाली दोनों भुजाओं के गुणनफल का दुगुना। यही वह सुधार है जो पाइथागोरस प्रमेय में नहीं होता, और यही इसे हर उस त्रिभुज में चलाता है जहाँ कोई कोण समकोण न हो। समकोण पर यह पद शून्य हो जाता है, क्योंकि समकोण का cosine शून्य होता है, और तब नियम वापस प्रमेय ही बन जाता है — तीन-चार-पाँच की पंक्ति इसी की गवाही देती है

यह पेज तब खोलिए जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ पता हों और तीनों कोण चाहिए — चारों ओर से नापी गई ज़मीन का टुकड़ा, तीन लंबाइयों में कटी हुई पत्ती, या नक़्शे पर बना वह त्रिभुज जिसकी भुजाएँ तो नापी जा सकती हैं पर कोने दिखते नहीं। दो त्रिभुज वाले पेजों में यह अकेला है जिसे शुरू करने के लिए कोई कोण चाहिए ही नहीं, और यही वह हालत है जहाँ sine नियम ज़रा भी काम नहीं आता। कुछ बनाने से पहले यह जाँचने का भी यह सबसे तेज़ तरीक़ा है कि तीन लंबाइयाँ मिलकर त्रिभुज बना सकती हैं या नहीं: संख्याएँ भरिए, और या तो तीनों कोण लौट आएँगे या साफ़ बताया जाएगा कि कौन-सी भुजा बहुत लंबी है। अगर दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण पता हो, तो वह दूसरा रूप है जो त्रिभुज वाले पेज का है और उसी नियम पर दूसरे सिरे से पहुँचता है। और अगर कोणों के बजाय क्षेत्रफल चाहिए, तो उन्हीं तीन भुजाओं से हीरोन का सूत्र भी चलता है। जबकि एक भुजा और दो कोण, या दो भुजाएँ और बीच का न होकर किसी एक के सामने का कोण दिया हो, तो sine नियम वाला पेज सही है।

1. तीन-चार-पाँच का त्रिभुज, जिसमें एक कोण ठीक समकोण है

   1. पाँच लंबाई वाली भुजा के सामने वाला कोण लीजिए
   2. बाक़ी दोनों भुजाओं के वर्ग जोड़िए: 9 जमा 16 बराबर 25
   3. सुधार वाला पद है 2 गुणा 3 गुणा 4 गुणा उस कोण का cosine; पूरे व्यंजक को 25 के बराबर रखने पर cosine शून्य बचता है, इसलिए कोण 90 डिग्री है
   4. बाक़ी दो कोण उसी सूत्र से अक्षर बदलकर निकलते हैं, और 36.87 तथा 53.13 आते हैं

   ये पेज के अपने शुरुआती आँकड़े हैं, और वह त्रिभुज जिससे हर पाठक पहले मिल चुका है। यही वह हालत है जहाँ cosine नियम और पाइथागोरस प्रमेय एक ही बात कहते हैं: सुधार वाला पद ग़ायब हो जाता है क्योंकि समकोण का cosine शून्य होता है, और सूत्र वापस प्रमेय बन जाता है। दोनों न्यून कोण यह भी दिखाते हैं कि इस पेज पर भरोसा क्यों किया जा सकता है — वे जुड़कर ठीक 90 बनते हैं, और तीसरा कोण बिना किसी काट-छाँट के पूरा 90 है।

2. समबाहु त्रिभुज, जहाँ कुछ भी काट-छाँट में नहीं जाता

   1. तीनों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए तीनों कोण भी बराबर होंगे
   2. तीनों कोण जुड़कर 180 डिग्री बनाते हैं
   3. 180 बटा 3 ठीक 60 है, इसलिए हर आँकड़ा 60 छपता है और कहीं कोई दशमलव पीछे नहीं छूटता

   तीन बराबर भुजाएँ तीन बराबर कोण देती हैं, और चूँकि उन्हें मिलकर सीधा कोण बनाना है, हर एक ठीक साठ डिग्री का होता है — नीचे की तालिका में यह अकेली ऐसी पंक्ति है जिसके तीनों आँकड़े पूरे हैं और जिनमें कोई शून्य नहीं। यह सूत्र की जाँच का भी अच्छा मौक़ा है: यहाँ सुधार वाला पद 2 गुणा 5 गुणा 5 गुणा साठ का cosine बनता है, जो 25 होता है, और 25 जमा 25 घटा 25 बराबर 25 — यानी तीसरी भुजा का ही वर्ग। सूत्र ख़ुद से मेल खा रहा है।

3. थोथा कोण वाला त्रिभुज — भुजाएँ 2, 3 और 4

   1. सबसे लंबी भुजा के सामने वाला कोण लीजिए, क्योंकि थोथा वही हो सकता है
   2. बाक़ी दोनों भुजाओं के वर्ग जोड़िए: 4 जमा 9 बराबर 13
   3. इसमें से सबसे लंबी भुजा का वर्ग, 16, घटाइए तो माइनस 3 बचता है
   4. बाक़ी दोनों भुजाओं के गुणनफल के दुगुने, यानी 12, से भाग दीजिए तो cosine माइनस 0.25 आता है
   5. जिस कोण का cosine माइनस 0.25 हो वह 104.48 डिग्री है, और बाक़ी दोनों 28.96 तथा 46.57 पर आ जाते हैं

   सबसे लंबी भुजा के सामने वाला कोण ही थोथा होता है, और यह संयोग नहीं बल्कि नियम है: सबसे बड़ी भुजा सबसे बड़े कोण के सामने होती है, और जैसे ही कोई भुजा बाक़ी दोनों के वर्गों के जोड़ के वर्गमूल से बड़ी हो जाती है, उसके सामने वाला कोण 90 डिग्री पार कर जाता है। यहाँ 4 तेरह के वर्गमूल से बड़ा है, इसलिए उसके सामने वाला कोण 104.48 डिग्री निकलता है। यह भी देखिए कि तीनों आँकड़े जुड़कर कितना बनाते हैं: 180.01, यानी सीधे कोण से एक सौवाँ हिस्सा डिग्री ज़्यादा, क्योंकि हर एक अलग-अलग पूरा किया गया है। नीचे का अनुच्छेद ठीक इसी के बारे में है।

4. तीन भुजाएँ जो बस ठीक-ठीक बैठती हैं — 3, 4 और 7

   1. तीन जमा चार सात होते हैं, यानी ठीक सबसे लंबी भुजा के बराबर
   2. सुधार वाला पद अपने आख़िरी सिरे पर पहुँच जाता है, और सबसे लंबी भुजा के सामने वाले कोण का cosine माइनस एक बनता है
   3. जिस कोण का cosine माइनस एक हो वह 180 डिग्री है, और बाक़ी दोनों शून्य पर दब जाते हैं

   सात ठीक तीन जमा चार है, इसलिए त्रिभुज के लिए कोई जगह बचती ही नहीं: दोनों छोटी भुजाएँ सबसे लंबी के ऊपर सपाट पड़ जाती हैं और आकृति एक सीधी रेखा रह जाती है जिस पर कोने दब चुके हैं। यह वही किनारा है जिसे त्रिभुज असमिका जाने देती है, और इसे छापा जाता है, ठुकराया नहीं जाता, क्योंकि यह असली सीमा है — कोण सचमुच 0, 0 और 180 पर पहुँचते हैं। किसी भी छोटी भुजा को ज़रा-सा भी बढ़ा दीजिए और एक असली त्रिभुज पैदा हो जाता है, जिसके कोण भुजाओं के दूर होने के साथ बढ़ते जाते हैं; और घटा दीजिए तो पेज बता देता है कि इन भुजाओं वाला कोई त्रिभुज नहीं बनता।

तीन बातें साफ़ कह देनी चाहिए। पहली, तीनों कोण तीनों भुजाओं से अलग-अलग गिने जाते हैं और हर एक दो दशमलव तक पूरा किया जाता है, इसलिए उनका जोड़ अक्सर ठीक सीधे कोण के बजाय 180.01 या 179.99 बैठता है — दो-तीन-चार वाला त्रिभुज एक सौवाँ हिस्सा ज़्यादा दिखाता है, और दस-दस-उन्नीस दशमलव नौ निन्यानवे जैसा पतला त्रिभुज एक सौवाँ हिस्सा कम। दूसरा तरीक़ा यह हो सकता था कि दो कोण गिनकर तीसरा घटाकर निकाला जाए, जिससे जोड़ हमेशा ठीक 180.00 आता — पर वह दूसरी तरफ़ से समरूपता तोड़ देता: जिस त्रिभुज की दो भुजाएँ 3 और आधार 3.3 हो, उसके दोनों बराबर कोण असल में एक ही आँकड़े के हैं, और यह पेज उन्हें 56.63 और 56.63 छापता है, जबकि घटाकर निकालने वाला तरीक़ा उन्हीं दोनों को 56.63 और 56.64 छापता, क्योंकि वहाँ तीसरा कोण पहले ही पूरे किए हुए दो आँकड़ों में से घटाया जाता है। सौवें हिस्से डिग्री की यह खिसकन दोनों तरफ़ मौजूद है, और इस पेज ने वह चुनी है जो दो बराबर कोणों को दो अलग आँकड़े बनाकर नहीं दिखाती। दूसरी बात, तीनों भुजाओं को त्रिभुज असमिका पूरी करनी पड़ती है — हर भुजा बाक़ी दोनों के जोड़ से छोटी। जो भुजा इस शर्त को तोड़े, उसके लिए पेज जवाब देने से इनकार कर देता है, और जहाँ कोई भुजा बाक़ी दोनों के जोड़ के बिल्कुल बराबर हो वहाँ वह चलता है, जिससे 0, 0 और 180 डिग्री वाला सपाट त्रिभुज बनता है — यानी भुजाएँ 1, 1 और 5 कुछ नहीं बनातीं, पर 3, 4 और 7 एक रेखा बना देती हैं। तीसरी बात, यह पेज न कोई भुजा लौटाता है, न क्षेत्रफल। भुजाएँ ग़ायब नहीं हैं — वे वही तीन संख्याएँ हैं जो आपने भरीं, और उन्हीं से त्रिभुज पूरी तरह तय हो जाता है, इसलिए बताने को कुछ और बचता ही नहीं। क्षेत्रफल चाहिए तो वह इन्हीं तीन संख्याओं का एक और नतीजा है, और उसका अलग औज़ार है।

cosine नियम किस काम आता है?

उन दो कामों के लिए जो पाइथागोरस प्रमेय नहीं कर सकता। पहला, जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ पता हों और तीनों कोण चाहिए — यही इस पेज का काम है; प्रमेय कोण सिर्फ़ तब देता है जब कोई एक कोण पहले से समकोण हो, और बाक़ी हर त्रिभुज में वही अतिरिक्त सुधार वाला पद इसे चलाता है। दूसरा, जब दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण पता हो और तीसरी भुजा चाहिए — वह बग़ल वाला त्रिभुज पेज उसी तरह करता है। दोनों दिशाएँ एक ही समीकरण हैं, बस दोनों सिरों से पढ़ी हुई।

मेरे तीनों कोण 180 के बजाय 180.01 क्यों जुड़ते हैं?

क्योंकि हर कोण तीनों भुजाओं से अपने-आप गिना जाता है और फिर दो दशमलव तक पूरा किया जाता है, और तीन अलग-अलग पूरा करने ज़रूरी नहीं कि एक-दूसरे को काट दें। यह गड़बड़ी नहीं है और इसका यह मतलब भी नहीं कि त्रिभुज बन ही नहीं सकता; इसका मतलब बस यह है कि छपा हुआ हर आँकड़ा सही कोण से एक सौवें हिस्से डिग्री के भीतर है। दो-तीन-चार वाले त्रिभुज में यह साफ़ दिखता है: 28.96, 46.57 और 104.48 जुड़कर 180.01 बनाते हैं। यह भी देखिए कि खिसकन दोनों तरफ़ चलती है — कोई त्रिभुज 180.01 पर जाता है तो कोई 179.99 पर।

दूसरा तरीक़ा क्यों नहीं अपनाया गया, जिसमें जोड़ हमेशा ठीक 180 होता?

क्योंकि वह तरीक़ा दो कोण गिनकर तीसरा उन्हें 180 में से घटाकर निकालता है, और घटाने के लिए पहले से पूरे किए हुए आँकड़े इस्तेमाल करता है। नतीजा यह होता है कि जिन दो कोणों को असल में बिल्कुल बराबर होना चाहिए, वे दो अलग आँकड़ों की तरह छपने लगते हैं। जिस त्रिभुज की दो भुजाएँ 3 और आधार 3.3 हो, उसके दोनों बराबर कोण यह पेज 56.63 और 56.63 छापता है, जबकि वह तरीक़ा उन्हीं को 56.63 और 56.64 छापता — और जो पाठक दोनों कोणों को बराबर जानता है, उसके लिए दो मुख़्तलिफ़ आँकड़े साफ़ ग़लती लगते हैं, जबकि 180.01 सिर्फ़ पूरा करने की बात लगती है।

क्या तीन लंबाइयाँ हमेशा एक त्रिभुज बना लेती हैं?

नहीं। हर भुजा बाक़ी दोनों के जोड़ से छोटी होनी चाहिए — यही त्रिभुज असमिका है: दो कोनों के बीच सबसे छोटा रास्ता उन्हें सीधे जोड़ने वाली भुजा ही है, इसलिए तीसरे कोने से होकर घूमना उससे छोटा नहीं हो सकता। अगर कोई भुजा बाक़ी दोनों के जोड़ से लंबी हो, तो यह पेज उस इनपुट को ठुकरा देता है, बजाय कोई नामुमकिन कोण लौटाने के। और अगर वह बिल्कुल बराबर हो, तो त्रिभुज सपाट होकर सीधी रेखा बन जाता है और तीनों कोण 0, 0 तथा 180 आते हैं, जिन्हें यह पेज स्वीकार करता है, क्योंकि वह असली सीमा है, कोई ग़लती नहीं।

पता कैसे चलेगा कि त्रिभुज में थोथा कोण है?

सबसे लंबी भुजा को देखिए। अगर उसका वर्ग बाक़ी दोनों के वर्गों के जोड़ से बड़ा हो, तो उसके सामने वाला कोण थोथा है; अगर दोनों बराबर हों, तो वह कोण ठीक समकोण है; और अगर छोटा हो, तो तीनों कोण न्यून हैं। ऊपर के उदाहरणों में दो-तीन-चार वाला त्रिभुज थोथे की मिसाल है — सोलह बनाम तेरह — और थोथा हमेशा सबसे बड़ा कोण ही होता है, क्योंकि सबसे बड़ी भुजा सबसे बड़े कोण के सामने बैठती है।

इसे sine नियम के बजाय कब इस्तेमाल करूँ?

इसे तब लगाइए जब तीनों भुजाएँ पता हों, या दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण। sine नियम तब लगाइए जब एक भुजा और उसका सामने वाला कोण, साथ में कोई एक और जानकारी पता हो, क्योंकि भुजा और sine के अनुपात को यही जानकारी चाहिए। जहाँ दोनों पेज टकराते हैं वह है दो भुजाएँ और उनके बीच का न होकर किसी एक के सामने का कोण, और वहाँ sine नियम बेहतर औज़ार है — वही वह रूप भी है जिसमें त्रिभुज की दो अलग आकृतियाँ बन सकती हैं, जिसकी चिंता इस पेज को कभी नहीं करनी पड़ती।

• Law of Cosines — the relation between the three sides of a triangle and the cosine of one of its angles, and its reduction to the Pythagorean theorem — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the sine, cosine and tangent of an angle, their ranges, and why recovering an angle from a cosine gives a value between zero and one hundred and eighty degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• The Law of Cosines — the theorem worked through from first principles, with the side-angle-side and three-sides cases shown separately — Math is Fun (United Kingdom)