sine नियम कैलकुलेटर

a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C sin B = b · sin A ÷ a C = 180° − A − B c = a · sin C ÷ sin A

a और A

वह भुजा जो पता है और उसके सामने वाला कोण। यही जोड़ी पूरे त्रिभुज का साझा अनुपात तय करती है, और इनमें से एक भी गायब हो तो यह नियम चलता ही नहीं

b

दूसरी भुजा, जो तय करती है कि इन टुकड़ों से एक त्रिभुज बनता है या दो। सारी अस्पष्ट स्थिति इसी बात पर टिकी है कि इसकी लंबाई भुजा a के मुक़ाबले कहाँ बैठती है — जब A न्यून हो तो दो हल a से बड़ी और a बटा sine A से छोटी b पर बनते हैं

B

भुजा b के सामने वाला कोण। इसका व्युत्क्रम sine लेने पर हमेशा शून्य से नब्बे डिग्री के बीच वाला न्यून कोण मिलता है, और यही वह कोण है जिससे तय होता है कि दूसरा हल बनेगा या नहीं: न्यून B जितना दिए हुए A से बड़ा निकलेगा, उतना ही पक्का कि उसका पूरक कोण भी एक असली त्रिभुज बनाता है

C और c

तीसरा कोण और तीसरी भुजा, दोनों B तय होने के बाद: कोण दोनों ज्ञात कोणों को सीधे कोण में से घटाकर, और भुजा उसी साझा अनुपात से। जवाब में इन्हीं दोनों को छोटे B वाले त्रिभुज के लिए छापा जाता है, और कोण को डिग्री में, भुजा को सेंटीमीटर में बताया जाता है

यह पेज तब खोलिए जब दो भुजाएँ पता हों और कोण उनके बीच का न हो — दो दिशाएँ और खाड़ी के आर-पार की दूरी, या सर्वेक्षण की ऐसी चाल जहाँ कोण दूर वाले सिरे पर बैठा हो — और बाक़ी त्रिभुज चाहिए। यह अकेला ऐसा भुजा-और-कोण वाला रूप है जिसे cosine नियम आराम से नहीं उठा सकता, और यह भी अकेला है जहाँ जवाब एक नाप के बजाय एक चुनाव हो सकता है; इसीलिए यहाँ सबसे ऊपर हलों की संख्या छपती है। अगर टुकड़े दो त्रिभुज बनाते हैं, तो यह तय करने से पहले कि आप किस त्रिभुज में खड़े हैं, सिर्फ़ भुजाएँ ही नहीं, कोण भी देखिए: ज़मीन पर नाप लेते समय आम तौर पर पता होता है कि सामने वाला कोना नुकीला है या थोथा, और वही एक बात त्रिभुज चुन देती है। अगर तीनों भुजाएँ पता हों, या दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण, तो cosine नियम वाला पेज सही औज़ार है और वहाँ कोई अस्पष्ट स्थिति ही नहीं होती। और अगर सिर्फ़ एक समकोण त्रिभुज की भुजा चाहिए, तो समकोण त्रिभुज वाला पेज दोनों से छोटा है।

1. दो भुजाएँ और एक खुला कोण — 6, 30 डिग्री और 8

   1. साझा अनुपात है भुजा a बटा sine A, यानी 6 बटा 0.5, जो 12 बनता है
   2. कोण B का sine है भुजा b बटा यही अनुपात, यानी 8 बटा 12, जो 0.6667 है
   3. जिस कोण का sine 0.6667 हो वह 41.81 डिग्री है — और उसका पूरक कोण 138.19 डिग्री का sine भी वही है, इसलिए दोनों उम्मीदवार हैं
   4. कोण C वह बचता है जो सीधे कोण में से छूटे: 180 में से 30 और 41.81 घटाइए, 108.19 बचता है
   5. भुजा c उसी अनुपात से आती है: 12 गुणा 108.19 डिग्री का sine, यानी 11.40

   ये पेज के अपने शुरुआती आँकड़े हैं, और अस्पष्ट स्थिति की सबसे पहचानी जाने वाली तस्वीर: दूसरी भुजा पहली से बड़ी है, इसलिए वह लंब को पार करके दोनों ओर झुक सकती है और फिर भी आकृति बंद हो जाती है। यहाँ दिखने वाले चारों आँकड़े उस त्रिभुज के हैं जो न्यून कोण B पर बना है, यानी उस त्रिभुज के जिसमें दूसरी भुजा आधार की ओर पीछे झुकती है। दूसरा त्रिभुज 41.81 डिग्री के पूरक कोण का इस्तेमाल करता है, जो 138.19 होता है, और वह नीचे की तालिका के आख़िरी ख़ाने में लिखा है; उसका तीसरा कोण इस 108.19 के बजाय सिर्फ़ 11.81 डिग्री का बचता है। एक ही तीन जानकारियों का जवाब दोनों हैं, और दोनों सही हैं।

2. वही कोण, पर छोटी दूसरी भुजा — 8, 30 डिग्री और 6

   1. साझा अनुपात है 8 बटा 30 डिग्री का sine, यानी 16
   2. कोण B का sine है 6 बटा 16, यानी 0.375
   3. जिस कोण का sine 0.375 हो वह 22.02 डिग्री है; उसका पूरक कोण 157.98 डिग्री रह जाता है, और उसमें कोण A के लिए जगह नहीं बचती, क्योंकि 30 जोड़ 157.98 पहले ही सीधे कोण से आगे निकल जाते हैं — इसलिए सिर्फ़ न्यून वाला रूप बचता है
   4. कोण C है 180 में से 30 और 22.02 घटाकर, यानी 127.98
   5. भुजा c है 16 गुणा 127.98 डिग्री का sine, यानी 12.61

   भुजाएँ आपस में बदलते ही अस्पष्टता ग़ायब हो जाती है: 6, 8 से छोटी है, इसलिए दूसरी जगह पर आकृति बंद ही नहीं हो पाती और सिर्फ़ एक त्रिभुज बचता है। बाक़ी कोई भी आँकड़ा अपनी क़िस्म नहीं बदलता, पर गिनती दो से एक हो जाती है — और यही सबसे ऊपर हलों की संख्या छापने की वजह है: एक ही तरह के तीन इनपुट, जवाब सिर्फ़ इस बात पर अलग, कि दोनों लंबाइयाँ एक-दूसरे के मुक़ाबले कहाँ बैठती हैं। यह भी देखिए कि बचने वाला त्रिभुज वह है जिसका कोण C 127.98 डिग्री का थोथा कोण है, क्योंकि छोटी दूसरी भुजा के साथ आकृति बंद करने के लिए और आगे तक खिंचना पड़ता है।

3. ठीक किनारे वाला हाल — 5, 30 डिग्री और 10

   1. साझा अनुपात है 5 बटा 30 डिग्री का sine, यानी 10
   2. कोण B का sine है 10 बटा 10, यानी ठीक 1
   3. sine का मान 1 होने पर कोण एक ही बचता है, 90 डिग्री, क्योंकि शून्य से 180 के बीच किसी और कोण का sine 1 नहीं होता
   4. कोण C है 180 में से 30 और 90 घटाकर, यानी 60, और भुजा c है 10 गुणा 60 डिग्री का sine, यानी 8.66

   दूसरी भुजा इतनी लंबी है कि वह ठीक एक ही बार पहुँचती है: वह तीसरी भुजा पर सीधी गिरती है और त्रिभुज समकोण बन जाता है, जिसमें B ठीक 90 डिग्री पर बैठता है। यही वह किनारा है जिसके ऊपर जाते ही कोई त्रिभुज नहीं बचता, और इसके नीचे उतरते ही दो बन जाते हैं — इसलिए इस आँकड़े को याद रखना काम का है: यहाँ से ज़रा भी लंबी भुजा पर दोनों हल साथ-साथ पैदा होते हैं, एक 90 डिग्री से ज़रा ऊपर और दूसरा ज़रा नीचे, और भुजा बढ़ने के साथ वे दूर-दूर होते जाते हैं। ठीक इसी आँकड़े पर हल एक ही है, और उसमें sine का मान बिना किसी काट-छाँट के पूरा 1 निकलता है।

4. कोण 90 डिग्री ख़ुद दिया हुआ, निकाला हुआ नहीं

   1. साझा अनुपात है 10 बटा 90 डिग्री का sine, जो 10 ही है
   2. कोण B का sine है 6 बटा 10, यानी 0.6, जिससे 36.87 डिग्री मिलता है
   3. कोण C है 180 में से 90 और 36.87 घटाकर, यानी 53.13
   4. भुजा c है 10 गुणा 53.13 डिग्री का sine, यानी 8

   यहाँ समकोण आपने ख़ुद दिया है, हिसाब ने उसे ढूँढा नहीं, और साझा अनुपात कर्ण बटा एक बन जाता है — यानी कर्ण ख़ुद। वहाँ से sine नियम दोनों न्यून कोण सीधे दे देता है, और तीसरी भुजा ठीक 8 निकलती है, जो साफ़-सुथरा आँकड़ा है क्योंकि यह तीन-चार-पाँच वाला त्रिभुज है, बस दुगुना किया हुआ। इस पूरे पेज की जाँच का यह अच्छा तरीक़ा है: जब भी समकोण के सामने वाली भुजा तीनों में सबसे लंबी हो, हर आँकड़ा पाइथागोरस प्रमेय से मेल खाना चाहिए, और यहाँ खाता बिल्कुल मिलता है।

तीन बातें साफ़-साफ़ कह देनी चाहिए। पहली, पैनल एक त्रिभुज छापता है, दो नहीं। जब हलों की संख्या 2 हो, तब उसके नीचे के चारों आँकड़े उस त्रिभुज के हैं जो न्यून कोण B पर बना है, और थोथा कोण वाला साथी पैनल में नहीं, नीचे की तालिका के आख़िरी ख़ाने में नाम लेकर मिलता है — पैनल के पास जवाब रखने की एक ही जगह है, दो को साथ-साथ दिखाने का कोई तरीक़ा नहीं, इसलिए छोटा कोण छापा जाता है और दूसरे की ओर इशारा कर दिया जाता है। दूसरी बात, इनकार दो अलग-अलग वजहों से होता है और दोनों जानने लायक़ हैं। अगर दूसरी भुजा इतनी लंबी हो कि उससे बना sine एक से बड़ा निकले, तो ऐसा त्रिभुज होता ही नहीं। और अगर sine एक से छोटा भी हो, पर निकला हुआ कोण B दिए हुए कोण A के साथ मिलकर 180° या उससे ज़्यादा बैठे, तो भी कोई त्रिभुज नहीं बनता — जैसे A = 120° के साथ बना B = 64.15° जोड़कर 184.15° हो जाता है, और 0.9 जैसा साधारण sine होने के बावजूद जवाब नहीं मिलता। कोण A के दोनों सिरे भी ठुकरा दिए जाते हैं: ठीक 0° और ठीक 180° पर पेज जवाब नहीं देता, क्योंकि शून्य कोण वाला त्रिभुज किसी त्रिभुज जैसा होता ही नहीं, और वहाँ साझा अनुपात शून्य से भाग देने पर आ जाता है। तीसरी बात, भुजा c दो दशमलव तक बताई जाती है, और यह पैमाना दोहरे परिशुद्धता के हिसाब से सुरक्षित है — सौ करोड़ सेंटीमीटर की भुजा पर भी जवाब 86,60,25,403.78 जैसा पूरा छपता है और उसके दोनों दशमलव असली होते हैं। कोणों का पैमाना दो दशमलव डिग्री है, और वह त्रिभुज के आकार से बदलता नहीं।

sine नियम की अस्पष्ट स्थिति क्या है?

यह वह हालत है जिसमें दो भुजाएँ और उनके बीच का न होकर किसी एक के सामने का कोण एक नहीं, दो अलग त्रिभुज बना देते हैं। दिया हुआ कोण एक भुजा की दिशा तय कर देता है, पर यह नहीं बताता कि दूसरी भुजा किस ओर झुकेगी — वह पीछे झुककर जल्दी मिल सकती है और छोटा त्रिभुज बना सकती है, या आगे झुककर देर से मिल सकती है और बड़ा त्रिभुज बना सकती है जिसमें वही कोण थोथा हो जाता है। दोनों त्रिभुज उन्हीं तीन जानकारियों से बनते हैं। यह पेज पहले गिनकर बता देता है कि कितने बनेंगे, और फिर न्यून कोण वाला हल निकालता है।

पता कैसे चलेगा कि एक त्रिभुज बनेगा या दो?

दो जाँच करनी पड़ती हैं। पहली, दूसरी भुजा गुणा दिए हुए कोण का sine, भाग पहली भुजा — अगर यह संख्या एक से बड़ी निकले तो कोई त्रिभुज नहीं बनता, क्योंकि किसी कोण का sine एक से बड़ा होता ही नहीं। दूसरी, जो न्यून कोण B निकलता है वह दिए हुए कोण A के साथ मिलकर 180 डिग्री से कम रहना चाहिए, वरना वह कोण इस त्रिभुज में समाता ही नहीं और फिर कोई त्रिभुज नहीं बचता — इस दूसरी जाँच के बिना 120 डिग्री जैसे कोण पर बना 64.15 डिग्री का कोण जोड़कर 184.15 डिग्री बैठता है, और 0.9 जैसा बिल्कुल साधारण sine होने पर भी जवाब ग़लत छपने लगता है। दोनों जाँच पार हो जाने पर, दूसरा हल तभी बनता है जब न्यून कोण B दिए हुए कोण A से बड़ा निकले; तब उसका पूरक कोण भी एक असली त्रिभुज बनाता है। जब A न्यून हो, यही बात सीधे भुजाओं पर देखी जा सकती है: दूसरी भुजा पहली से बड़ी हो पर पहली बटा sine A से छोटी रहे, तो दो हल बनते हैं।

कैलकुलेटर दोनों में से कौन-सा त्रिभुज दिखाता है?

छोटे कोण B वाला, यानी वह त्रिभुज जिसमें तीसरा कोण बड़ा बचता है। पैनल पहले हलों की संख्या छापता है और फिर उसी त्रिभुज के चार आँकड़े, और B का थोथा साथी उसके बग़ल वाली तालिका के आख़िरी ख़ाने में लिखा रहता है, इसलिए दोनों एक ही पेज पर मौजूद हैं। एक के बजाय दूसरा दिखाने की वजह यह है कि नतीजे के पैनल में जवाब रखने की एक ही जगह होती है, और बिना नाम दिए आठ आँकड़े एक साथ छाप देना एक को नाम लेकर छापने से बदतर है। दूसरे त्रिभुज की भुजा c भी यहाँ नहीं दिखती, क्योंकि वह पैनल में कहीं बैठती ही नहीं।

पेज ठीक 0 या 180 डिग्री के कोण पर इनकार क्यों कर देता है?

क्योंकि शून्य कोण वाला त्रिभुज त्रिभुज नहीं है — वह एक सीधी रेखा है जिस पर एक बिंदु पड़ा है, और शून्य कोण के सामने वाली भुजा भी शून्य ही होती। दोनों आँकड़े उसी किनारे पर बैठे हैं जहाँ यह आकृति ख़त्म हो जाती है, और ऐसे में शून्य कोण और शून्य भुजा छापने के बजाय यह कह देना ईमानदारी है कि यहाँ इस रूप से त्रिभुज नहीं बनता। इस सीमा के अंदर वाले कोण बिल्कुल ठीक हैं, बहुत क़रीब वाले भी, जहाँ त्रिभुज बहुत लंबा और बहुत पतला हो जाता है पर त्रिभुज बना रहता है।

sine नियम लगाऊँ या cosine नियम?

sine नियम तब लगाइए जब एक भुजा और उसका सामने वाला कोण दोनों पता हों और कोई एक और जानकारी भी, और cosine नियम तब जब तीनों भुजाएँ पता हों या दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण। असल फ़ैसला उस रूप पर होता है जिसमें दो भुजाएँ हों और कोण उनके बीच का न हो: वह इस पेज का रूप है, और वही वह रूप है जिसे cosine नियम बड़ी मुश्किल से उठाता है क्योंकि उसे द्विघात समीकरण हल करना पड़ता है। अस्पष्ट स्थिति भी इसी रूप में आती है, इसीलिए इस पेज का सबसे बड़ा जवाब हलों की गिनती है।

जवाब में भुजा की लंबाई सिर्फ़ दो दशमलव तक क्यों?

दो दशमलव इस पेज का पैमाना है — कोणों के लिए दो दशमलव डिग्री और भुजाओं के लिए दो दशमलव सेंटीमीटर — और यह पैमाना सौ करोड़ सेंटीमीटर तक के त्रिभुज पर भी टिका रहता है। यह देखने लायक़ है, क्योंकि दिखने में लगता है कि इतनी बड़ी संख्या में दशमलव कहीं खो जाएँगे; पर जवाब 86,60,25,403.78 जैसा पूरा छपता है और उसके दोनों दशमलव असली होते हैं, काग़ज़ पर लिखी संख्या के आगे-पीछे के अंकों की तरह नहीं। कोणों का पैमाना त्रिभुज के आकार से बदलता ही नहीं, क्योंकि सौवाँ हिस्सा डिग्री हर आकार में सौवाँ हिस्सा डिग्री ही रहता है।

• Law of Sines — the shared ratio of a side to the sine of the opposite angle, and the conditions under which the relation admits two triangles — Wolfram MathWorld (United States)
• Law of Cosines — the companion relation for three sides, and the shape of triangle this page cannot take — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the cases in which a triangle is not determined by its parts — Wolfram MathWorld (United States)
• The Law of Sines — the theorem worked through from first principles, including the ambiguous case and how the number of solutions follows from the lengths — Math is Fun (United Kingdom)