दूरी कैलकुलेटर

दूरी = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) क्षैतिज भुजा = x₂ − x₁ ऊर्ध्वाधर भुजा = y₂ − y₁

पहला बिंदु

एक x और एक y, वह बिंदु जहाँ से नाप रहे हैं। इसके निर्देशांक सादी संख्याएँ हैं, इसलिए वे ऋणात्मक, भिन्नात्मक या शून्य हो सकते हैं, और चुनने को कोई इकाई नहीं है

दूसरा बिंदु

वह बिंदु जहाँ तक नाप रहे हैं, उन्हीं नियमों के साथ। वह पहले के मुक़ाबले किसी भी दिशा में हो सकता है, ठीक ऊपर, नीचे, बाएँ या दाएँ भी

क्षैतिज भुजा

दूसरे x में से पहला x घटाकर, यानी एक बिंदु से दूसरे तक का बग़ल का क़दम। ऋणात्मक मान का मतलब है कि दूसरा बिंदु पहले के बाईं ओर है, और यही वह संख्या है जिसे ढाल का हिसाब अपना फैलाव बनाता

ऊर्ध्वाधर भुजा

दूसरे y में से पहला y घटाकर, यानी बिंदुओं के बीच का ऊपर की ओर क़दम। ऋणात्मक मान का मतलब है कि दूसरा बिंदु नीचे है। क्षैतिज भुजा के साथ मिलकर यह वह समकोण त्रिभुज बनाती है जिसका कर्ण दूरी है

दूरी

दोनों भुजाओं के वर्गों का जोड़ लेकर उसका वर्गमूल। यह कभी ऋणात्मक नहीं होती, और शून्य सिर्फ़ तब होती है जब दोनों बिंदु एक ही हों; चूँकि यह आम तौर पर वर्गमूल होती है, इसे चार दशमलव तक पूर्णांकित किया जाता है

इसे तब इस्तेमाल कीजिए जब दो बिंदु हों और उनके बीच का फ़ासला चाहिए, इस बात की परवाह किए बिना कि वह किस ओर जाता है। कोई दो नक़्शा-संदर्भ कितनी दूर हैं, दो खंभों के बीच की बाड़ कितनी लंबी होगी, किसी कमरे के आर-पार तिरछा तार खींचने में कितना तार लगेगा, कोई डिलीवरी अपने केंद्र से कितनी दूर है जब रास्ता सड़क के बजाय सीधी रेखा हो। किसी लंबे हिसाब में कुछ बिगड़ जाने पर जाँच के लिए भी यही पेज उठाया जाता है: किन्हीं भी दो नतीजों को समतल पर रखकर एक-दूसरे के मुक़ाबले नापा जा सकता है, और दस गुना हटा हुआ फ़ासला यह बताता है कि ऊपर की किसी कड़ी में चिह्न ग़लत लगा है। दोनों भुजाएँ दूसरी तरह के कामों में अपनी जगह बनाती हैं। अगर यह जानना हो कि फ़ासले का कितना हिस्सा बग़ल का है और कितना ऊपर का, तो वे सीधे यही बताती हैं, और चिह्नों के साथ बताती हैं, यानी दिशा भी और नाप भी। ढाल, कोण या दिशा निकालने से ठीक पहले आपको यही चाहिए होता है — दूरी वाला पेज इनमें से कोई नहीं देगा, मगर वे दोनों संख्याएँ थमा देता है जिन पर ये सब बने हैं। एक आदत बना लेने लायक़ है: जवाब पढ़ने से पहले दोनों भुजाओं का वर्ग मन में निकाल लीजिए। नौ और सोलह मिलकर पच्चीस, इसलिए 5 की दूरी सही है, और 50 की दूरी का मतलब होगा कि दशमलव की जगह खिसक गई है, कोई चौंकाने वाला नतीजा नहीं।

1. तीन बग़ल में और चार ऊपर

   1. क्षैतिज भुजा: 3 − 0 = 3
   2. ऊर्ध्वाधर भुजा: 4 − 0 = 4
   3. दोनों का वर्ग: 9 और 16
   4. जोड़कर वर्गमूल: √25 = 5

   वही जोड़ी जिसके साथ पेज खुलता है, और सबसे छोटा समकोण त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ पूर्ण संख्याएँ हैं। दो बातें ग़ौर करने लायक़ हैं। दोनों भुजाएँ वही संख्याएँ हैं जो आपने टाइप कीं, और ऐसा सिर्फ़ तब होता है जब एक बिंदु मूल बिंदु पर हो, और दूरी ठीक है, कोई पूर्णांकित वर्गमूल नहीं, जो इस पेज पर कम ही होता है। इस इनपुट को कसौटी की तरह इस्तेमाल कीजिए: यहाँ पेज 5 लौटाए तो हिसाब ठीक है और कहीं और कोई अजीब जवाब आए तो वह इनपुट का गुण है, कोई ख़राबी नहीं।

2. ऐसा विकर्ण जहाँ दूरी पूर्णांकित वर्गमूल है

   1. क्षैतिज भुजा: 5 − 1 = 4
   2. ऊर्ध्वाधर भुजा: 8 − 2 = 6
   3. दोनों का वर्ग: 16 और 36
   4. जोड़िए: 52, फिर वर्गमूल लीजिए, जो 7.21110255… है और पूर्णांकित होकर 7.2111 बनता है

   साफ़-सुथरा मामला नहीं बल्कि आम मामला। बावन कोई पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए जवाब अपरिमेय है और छपे हुए चार अंक उसकी शुरुआत हैं, पूरी संख्या नहीं। मुफ़्त की एक काम की जाँच: दूरी दोनों भुजाओं में से हर एक से लंबी होनी चाहिए, इसलिए 4 और 6 की भुजाओं के मुक़ाबले 7.2111 ठीक बैठता है, जबकि लंबी भुजा से छोटी कोई दूरी यह बताती कि वर्गमूल किसी और चीज़ पर लगा दिया गया।

3. वही दो बिंदु, उलटी दिशा से नापे हुए

   1. क्षैतिज भुजा: 0 − 3 = −3
   2. ऊर्ध्वाधर भुजा: 0 − 4 = −4
   3. दोनों का वर्ग: 9 और 16, क्योंकि वर्ग करने से चिह्न हट जाते हैं
   4. जोड़कर वर्गमूल: √25 = 5

   तीन-चार-पाँच वाला रेखाखंड, छोर बदले हुए, और एक साथ दो गुणों का सबसे साफ़ प्रदर्शन। दोनों भुजाएँ ऋणात्मक लौटती हैं क्योंकि अब दोनों फ़र्क़ उलटी दिशा में नापे जा रहे हैं, जबकि दूरी 5 पर वही रहती है, क्योंकि वर्ग करना चिह्नों को कोई नुक़सान पहुँचाने से पहले ही उन्हें फेंक देता है। दूरी के हमेशा धनात्मक होने की पूरी वजह यही है: वह एक लंबाई है, और उसे किस दिशा में नापा गया यह हिसाब में कहीं आता ही नहीं।

4. करोड़ों में नापी गई एक दूरी

   1. क्षैतिज भुजा: 6000000 − 0 = 6000000
   2. ऊर्ध्वाधर भुजा: 8000000 − 0 = 8000000
   3. दोनों का वर्ग करके जोड़िए: साठ लाख का वर्ग और अस्सी लाख का वर्ग मिलकर सौ लाख के वर्ग के बराबर होते हैं
   4. वर्गमूल लीजिए: एक करोड़

   तीन-चार-पाँच वाला त्रिभुज बीस लाख गुना बड़ा किया हुआ, और यही तब होता है जब वही निर्देशांक काग़ज़ के ग्राफ़ के बजाय मीटरों में खिंचे किसी नक़्शे-ग्रिड के लिए इस्तेमाल हों। संख्याओं के नाप से पेज पर कुछ नहीं बदलता — दोनों भुजाएँ इनपुट जितनी ही ठीक हैं और दूरी पूरी संख्या में आती है — और यह पंक्ति यही साफ़ करने के लिए है, क्योंकि जो पाठक बड़े निर्देशांकों से पूर्णांकन की उम्मीद करता है वह वरना इस ठीक जवाब पर शक़ करेगा।

5. दो बिंदु जो एक ही बिंदु हैं

   1. क्षैतिज भुजा: 2.5 − 2.5 = 0
   2. ऊर्ध्वाधर भुजा: ((−1.5) − (−1.5)) = 0
   3. दोनों का वर्ग: 0 और 0
   4. जोड़कर वर्गमूल: √0 = 0

   किसी बिंदु और उसी बिंदु के लिए शून्य दूरी सही जवाब है, और यही एकमात्र इनपुट है जो इसे ला सकता है, क्योंकि दो वर्गों का जोड़ सिर्फ़ तब शून्य होता है जब दोनों वर्ग शून्य हों। पेज इसे ख़ाली नतीजा नहीं मानेगा। इसे एक बार देख लेना ठीक है ताकि पहले कॉलम में आया शून्य ऐसा न लगे कि कोई ख़ाना भरा ही नहीं गया।

पेज एक समतल में और सिर्फ़ एक समतल में नापता है। तीसरे निर्देशांक का कोई ख़ाना नहीं है, इसलिए अंतरिक्ष में पड़े दो बिंदुओं के बीच की दूरी यहाँ से नहीं निकलेगी: उसके लिए तीसरे अक्ष का फ़र्क़ भी चाहिए और इस पेज के पास उसे रखने की जगह नहीं है। वैकल्पिक z ख़ानों वाला पेज सोचा गया था और ठुकरा दिया गया, क्योंकि जिस बिंदु के पास z हो और दूसरे के पास न हो, उसका कोई समझदार जवाब नहीं बनता, और बग़ल के दोनों निर्देशांक-पेजों को भी वही ख़ाने बढ़ाने पड़ते ताकि सब एक जैसे रहें। निर्देशांक बिना इकाई के हैं, इसलिए जवाब उसी में है जिसमें आपने नापा, और पेज मिली-जुली जोड़ी पकड़ नहीं सकता — एक बिंदु मीटर में और दूसरा मिलीमीटर में हो तो हिसाब ख़ुशी-ख़ुशी चलता रहेगा और ऐसी संख्या लौटाएगा जो ग़लत है, और पेज पर कुछ भी यह नहीं कहेगा। दोनों भुजाएँ दूरियाँ नहीं बल्कि चिह्न-सहित फ़र्क़ हैं, इसलिए ऋणात्मक छपने वाली भुजा सही है, सुधारने लायक़ कोई त्रुटि नहीं। दूरी ख़ुद चार दशमलव तक पूर्णांकित है और आम तौर पर अपरिमेय, इसलिए छपा हुआ मान वह जगह है जहाँ अंक रुक जाते हैं, पूरा जवाब नहीं। निर्देशांक माइनस एक अरब से एक अरब तक सीमित हैं, जो किसी भी ग्राफ़ से कहीं आगे है मगर मीटरों में नापे गए कुछ प्रक्षेपित निर्देशांक-तंत्रों के दायरे के अंदर भी है, और पेज ऐसे इनपुट हिसाब करने के बजाय ठुकरा देगा। आख़िर में, यह सीधी रेखा की दूरी है, किसी रास्ते की नहीं: अगर आपको सड़कों, दीवारों या किसी तटरेखा के साथ चलना हो, तो यहाँ की संख्या सबसे छोटा मुमकिन रास्ता है और असल में तय किए जा सकने वाले रास्ते से हमेशा छोटी ही होगी।

दूरी का सूत्र क्या है?

यह पाइथागोरस प्रमेय ही है जिसमें निर्देशांक भर दिए गए हों। दोनों x का फ़र्क़ और दोनों y का फ़र्क़ लीजिए, हर एक का वर्ग कीजिए, दोनों जोड़िए और वर्गमूल ले लीजिए। ये दोनों फ़र्क़ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण, इसलिए यह सूत्र रटने का कोई अलग नियम नहीं है — यह वही त्रिभुज वाला नियम है जो बिंदुओं के बीच के क़दमों पर लगाया गया हो। (0, 0) और (3, 4) के लिए यह √(9 + 16) है, यानी 5।

दोनों अतिरिक्त कॉलम कभी-कभी ऋणात्मक क्यों होते हैं?

क्योंकि वे अंतराल नहीं बल्कि दिशा-सहित क़दम हैं, और क़दम की एक दिशा होती है। क्षैतिज बदलाव दूसरे x में से पहला x घटाकर निकलता है, इसलिए वह ठीक तब ऋणात्मक होता है जब दूसरा बिंदु पहले के बाईं ओर हो; ऊर्ध्वाधर बदलाव तब ऋणात्मक होता है जब दूसरा बिंदु नीचे हो। पेज जान-बूझकर चिह्न रखता है। यही अकेली चीज़ बताती है कि दूसरा बिंदु किस ओर है, ढाल या दिशा के हिसाब को आगे यही चाहिए होता है, और दूरी ख़ुद चिह्नों को पूरी तरह नज़रअंदाज़ कर देती है क्योंकि वर्ग करना उन्हें हटा देता है।

क्या यह तीन आयामों के बिंदुओं पर भी चलता है?

नहीं, और पेज इसका दिखावा भी नहीं करता — भरने के लिए तीसरे निर्देशांक का ख़ाना ही नहीं है। तीन आयामों की दूरी के लिए तीसरे अक्ष का फ़र्क़ भी चाहिए, जिसे वर्गमूल लेने से पहले वर्गों के जोड़ में जोड़ना पड़ता है, और सिर्फ़ दो निर्देशांकों से पेज को तीसरे के लिए कोई मान गढ़ना पड़ेगा। आपके बिंदु अंतरिक्ष में हों तो इस पेज से दो आयामों की दूरी निकाल सकते हैं और फिर ऊँचाई का फ़र्क़ ख़ुद जोड़ सकते हैं, मगर पेज वह कदम आपके लिए नहीं उठाएगा।

निर्देशांक मीटर में हैं, सेंटीमीटर में या किसी और चीज़ में?

जो आप कहें। पेज उन्हें सादी संख्याएँ मानता है, जवाब पर कोई इकाई नहीं लगाता और चुनने के लिए कोई ड्रॉपडाउन नहीं देता, और यह जान-बूझकर है: किसी ग्राफ़ या नक़्शे-ग्रिड से आई निर्देशांकों की जोड़ी के साथ कोई इकाई तब तक नहीं आती जब तक आप यह तय न कर लें कि वह ग्रिड किसमें खिंचा था। आपकी संख्याएँ मीटर में हों तो दूरी मीटर में है, देशांतर के अंशों में हों तो दूरी अंशों में है, और उस आख़िरी को किलोमीटर में बदला नहीं जा सकता जब तक यह न पता हो कि आप ग्लोब पर कहाँ हैं।

क्या दूरी कभी ऋणात्मक या शून्य हो सकती है?

ऋणात्मक नहीं हो सकती, क्योंकि दोनों भुजाओं का वर्ग करना जोड़ने से पहले उनके चिह्न हटा देता है और किसी अऋणात्मक संख्या का वर्गमूल कभी ऋणात्मक नहीं होता। वह शून्य सिर्फ़ तब होती है जब दोनों भुजाएँ शून्य हों, यानी जब दोनों बिंदु एक ही बिंदु हों — यह असली जवाब है, कोई नाकाम हिसाब नहीं। अलग-अलग बिंदुओं की बाक़ी हर जोड़ी धनात्मक दूरी देती है, चाहे वे कितने ही पास हों।

बिना कैलकुलेटर जवाब की जाँच कैसे करूँ?

दोनों भुजाओं का वर्ग करके जोड़िए, फिर देखिए कि उस जोड़ का वर्गमूल किस संख्या का है। चार और छह से 16 और 36 मिलते हैं, यानी 52, और 7.2111 का वर्ग 52 के क़रीब है — इसलिए जवाब सही इलाक़े में है, भले ही 52 कोई पूर्ण वर्ग न हो। दो गुण जाँच को तेज़ बना देते हैं: दूरी हमेशा दोनों भुजाओं में से हर एक से लंबी होती है, क्योंकि समकोण त्रिभुज का कर्ण उसकी सबसे लंबी भुजा होता है, और वह हमेशा दोनों भुजाओं के जोड़ से छोटी होती है। इन सीमाओं से बाहर कुछ भी ग़लत है।

• Distance — the distance between two points in the plane, given as the square root of the sum of the squared coordinate differences, which is the formula this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
• Cartesian coordinates — the coordinate system in which a point is named by its perpendicular distances from a pair of axes, and the setting in which the two legs here are horizontal and vertical — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean theorem — the relation between the legs of a right triangle and its hypotenuse, which is what the distance formula is, since the two coordinate differences are the legs and the distance is the hypotenuse — Wolfram MathWorld (United States)