राइज़ ओवर रन कैलकुलेटर

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) θ = arctan(m) ढाल % = m × 100

ढाल (m)

ढाल, यानी ऊँचाई बटा फैलाव: रेखा दाईं ओर हर इकाई चलने पर कितना चढ़ती है। इसकी कोई इकाई नहीं होती, क्योंकि यह एक दूरी को दूसरी से भाग देकर बनती है। धनात्मक का मतलब है कि x बढ़ने के साथ रेखा ऊपर जाती है, ऋणात्मक का मतलब नीचे, और 0 का मतलब क्षैतिज। यही इस पेज का मुख्य जवाब है, और यही अकेला पाठ है जो दोनों बिंदु आपस में बदल देने पर भी वही रहता है, क्योंकि बदलने पर ऊँचाई और फैलाव दोनों का चिह्न पलट जाता है और दो ऋणात्मक संख्याओं का अनुपात वही अनुपात रहता है

y में बदलाव (Δy) = y₂ − y₁

ऊँचाई, यानी दोनों y मानों का अंतर और ढाल का अंश। यह अपना चिह्न बनाए रखती है: y को 5 से 1 तक ले जाने पर ऊँचाई −4 होती है, और वही माइनस का चिह्न ढाल को ऋणात्मक बनाता है। यह वही संख्या है जो दोनों बिंदुओं के बीच की लंबवत दूरी नापने पर मिलती, और इसे पेज पर इसलिए छापा जाता है कि ढाल हाथ से जाँची जा सके

x में बदलाव (Δx) = x₂ − x₁

फैलाव, यानी दोनों x मानों का अंतर और ढाल का हर। यह दोनों बिंदुओं के बीच की क्षैतिज दूरी है, और बाएँ-से-दाएँ पढ़ने पर व्यवहार में कभी ऋणात्मक नहीं होती, चाहे पेज घटाने से जो चिह्न आए वही रखता हो। यह 0 नहीं हो सकती: शून्य फैलाव यानी खड़ी रेखा, जिसकी ढाल होती ही नहीं, और पेज शून्य से भाग देने के बजाय रुक जाता है। यहाँ जोड़ी की बात मायने रखती है — x₁ का साथी y₁ है और x₂ का y₂, और चारों संख्याओं को ऐसे बिंदुओं में उलझा देना जो आपने नापे ही नहीं थे, किसी और रेखा की ढाल बता देता है

θ = arctan(m)

ढाल कोण, डिग्री में, यानी रेखा क्षैतिज से जो कोण बनाती है, दो दशमलव तक। यह ढाल के arctangent से निकलता है, इसीलिए यह हमेशा −90 और 90 के बीच रहता है और हर 180 डिग्री पर दोहराता है: दोनों बिंदुओं से जाती रेखा दोनों दिशाओं में आगे बढ़ती रहती है, और कोण उसकी दिशा बताता है, किसी एक टुकड़े की नहीं। 0.5 की ढाल 26.57 डिग्री देती है, 1 की ढाल 45, और 10 की तेज़ ढाल 84.29 — रेखा जैसे-जैसे खड़ी होती जाती है कोण 90 की ओर सरकता है, मगर उस तक पहुँचता कभी नहीं

ढाल % = m × 100

वही ढाल प्रतिशत ढाल की तरह, दो दशमलव तक: ऊँचाई, फैलाव के कितने प्रतिशत के बराबर है। 0.5 की ढाल 50 प्रतिशत ढाल है, 1 की ढाल 100 प्रतिशत, और वह हल्की 1-में-12 रेखा 8.33 प्रतिशत। प्रतिशत कोण नहीं है और दोनों में उलझना आसान है: 100 प्रतिशत ढाल सिर्फ़ 45 डिग्री होती है, क्योंकि ढाल ऊँचाई को फैलाव से नापती है जबकि कोण उसे कर्ण से नापता है

इसे तब लीजिए जब आपके पास दो बिंदु हों, जिसका व्यवहार में मतलब है निर्देशांक और नापे गए मान नहीं: साइट प्लान पर सर्वे किए गए दो स्थान, किसी ग्राफ़ से पढ़े गए दो मान, किसी चित्र से उठाए गए दो कोने, x और y मानों की सारणी के दो नमूने। यह पेज उस सवाल का जवाब देता है जो दो बिंदुओं के बीच की दूरी के ठीक बाद आता है, और वह जवाब उसी रूप में देता है जिस रूप में गणित में रेखा बताई जाती है — ढाल, जिससे रेखा का समीकरण सीधे निकल आता है। नीचे की ओर जाती रेखा के लिए भी यही ईमानदार पेज है, क्योंकि ढाल का चिह्न यहाँ हटाया नहीं जाता, छापा जाता है। ऊँचाई-प्रतिशत वाला कैलकुलेटर तब लीजिए जब ऊँचाई और फैलाव पहले ही अलग-अलग दूरियों की तरह नाप लिए गए हों और सवाल वह हो जो मौक़े पर लिखा जाता है — प्रति फुट एक इंच की गिरावट, प्रति मीटर दो सेंटीमीटर की चढ़ाई — क्योंकि वह पेज निर्देशांकों का घटाव छोड़कर सीधे वे दो संख्याएँ लेता है। जब आपको दोनों बिंदुओं के बीच की लंबाई चाहिए, उनसे जाती रेखा की दिशा नहीं, तो दूरी वाला कैलकुलेटर लीजिए; उस रेखाखंड के ठीक बीच का बिंदु चाहिए तो मध्यबिंदु वाला; और जब मध्यबिंदु तथा एक सिरा पता हो और दूसरा सिरा चाहिए तो सिरा निकालने वाला। चारों मिलकर उसी रेखाखंड की चार बातें बताते हैं — उसकी लंबाई, उसकी जगह, उसकी दिशा, और वह कहाँ ख़त्म होता है।

1. बिंदु (0, 0) और (4, 2)

   1. ऊँचाई: 2 − 0 = 2
   2. फैलाव: 4 − 0 = 4
   3. ढाल: 2 ÷ 4 = 0.5
   4. ढाल कोण: arctan(0.5) = 26.565…° → 26.57
   5. प्रतिशत ढाल: 0.5 × 100 = 50%

   यही डिफ़ॉल्ट पंक्ति है और हाथ से जाँचने में सबसे आसान, क्योंकि मूल बिंदु से शुरू करने पर ऊँचाई दूसरे बिंदु का y बन जाती है और फैलाव उसका x। 0.5 की ढाल का मतलब है हर इकाई आगे के बदले आधी इकाई ऊपर, जो इतनी हल्की है कि चलते हुए पता भी न चले — सुलभ ढलान क़रीब 1-में-12 होती है, इसकी छठाई। तीनों पाठ एक-दूसरे से उसी तरह मेल खाते हैं जैसा पेज चाहता है: 0.5, 26.57 डिग्री और 50 प्रतिशत एक ही ढाल के तीन रूप हैं, और इनमें से अकेला फैलाव 4 ही है जिसे आप फ़ीते से नाप सकते।

2. बिंदु (1, 2) और (5, 8)

   1. ऊँचाई: 8 − 2 = 6
   2. फैलाव: 5 − 1 = 4
   3. ढाल: 6 ÷ 4 = 1.5
   4. ढाल कोण: arctan(1.5) = 56.309…° → 56.31
   5. प्रतिशत ढाल: 1.5 × 100 = 150%

   कोई भी बिंदु मूल पर नहीं, जो आम मामला है और यही दिखाता है कि पेज निर्देशांक पढ़ने के बजाय घटाता क्यों है: दोनों बिंदु मूल से ऊपर और दाईं ओर हैं, और अकेला कोई निर्देशांक ऊँचाई या फैलाव नहीं है। 150 प्रतिशत ढाल वह पाठ है जो लोगों को चौंकाता है, क्योंकि सौ से ऊपर का प्रतिशत नामुमकिन लगता है — है नहीं, और इसका मतलब बस इतना है कि रेखा जितना आगे बढ़ती है उससे ज़्यादा ऊपर चढ़ती है। 56.31 डिग्री का ढाल कोण जाँच है: 1 से ऊपर की हर ढाल 45 डिग्री से तेज़ है और उससे नीचे की हर ढाल उससे हल्की।

3. बिंदु (0, 0) और (12, 1)

   1. ऊँचाई: 1 − 0 = 1
   2. फैलाव: 12 − 0 = 12
   3. ढाल: 1 ÷ 12 = 0.08333… → 0.0833
   4. ढाल कोण: arctan(0.08333…) = 4.763…° → 4.76
   5. प्रतिशत ढाल: 0.08333… × 100 = 8.33%

   हल्की ढाल, और वह पंक्ति जो ऊँचाई-प्रतिशत वाले कैलकुलेटर से उसी संख्या पर मिलती है: यहाँ बारह पर एक की ऊँचाई 8.33 प्रतिशत है, और वहाँ प्रति फुट दौड़ पर एक इंच की ऊँचाई 8.33 प्रतिशत — एक ही अनुपात दो तरह लिखा हुआ, एक बार दो बिंदुओं से और एक बार दो नापी गई दूरियों से। यही अनुपात कई भवन संहिताओं में सुलभ ढलान की मानक अधिकतम सीमा है, और इसे 0.0833 की ढाल या 4.76 डिग्री के कोण की तरह पढ़ना वह है जो यह पेज जोड़ता है — कोण छोटा है, और ठीक इसीलिए ढाल प्रतिशत में बताई जाती है: 4.76 डिग्री पर निशाना लगाना मुश्किल है, और 1-में-12 नापना आसान।

4. बिंदु (2, 5) और (7, 1)

   1. ऊँचाई: 1 − 5 = −4
   2. फैलाव: 7 − 2 = 5
   3. ढाल: −4 ÷ 5 = −0.8
   4. ढाल कोण: arctan(−0.8) = −38.659…° → −38.66
   5. प्रतिशत ढाल: −0.8 × 100 = −80%

   नीचे की ओर जाती रेखा, और यही वजह है कि पेज अनुपात के साथ-साथ ऊँचाई भी छापता है: माइनस का चिह्न ऊँचाई से आता है, इसलिए जिस पाठक ने सिर्फ़ −0.8 देखा हो वह यह नहीं बता सकता कि फैलाव उलटी दिशा में लिया गया था या नहीं। फैलाव धनात्मक 5 ही रहता है, क्योंकि वह दाईं ओर की दूरी है, और चिह्न सिर्फ़ लंबवत दिशा ढोती है। बाएँ से दाएँ पढ़ने पर यह रेखा हर मीटर आगे के बदले अस्सी सेंटीमीटर गिरती है — ऐसा ही आँकड़ा किसी निकास की ढलान या सीढ़ी की सीढ़ी-वाहक में लिखा जाता है, और चिह्न हटा देने पर वही आँकड़ा सीधे भटका देता।

यह पेज दो बिंदुओं से सीधी रेखा की ढाल निकालता है, और बस वही। यह दो से ज़्यादा बिंदुओं पर कोई रेखा नहीं बैठाता, यह नहीं बताता कि रेखा किसी अक्ष को कहाँ काटती है, और रेखा का समीकरण नहीं देता, चाहे वह जो ढाल छापता है वह उसका पहला आधा हिस्सा हो। यह उलटी दिशा में नहीं चलता: अकेली ढाल किसी रेखा की नहीं, किसी दिशा की बात है, और 0.5 ढाल वाली अनगिनत रेखाएँ हैं — आपको एक बिंदु भी चाहिए, और वही काम बिंदु-ढाल रूप करता है, उन्हीं संख्याओं के साथ जो यह पेज बनाता है। चारों निर्देशांक सिर्फ़ संख्याएँ हैं और उनकी कोई इकाई नहीं होती, इसलिए न बदलने को कुछ है न चुनने को: अगर आपके बिंदु मीटर में हैं तो ढाल मीटर प्रति मीटर है और फैलाव मीटर, और पेज इनमें से किसी पर नाम नहीं लगाएगा। इसी वजह से यह इकाइयाँ मिला देने पर चेतावनी भी नहीं दे सकता — x मीटर में और y सेंटीमीटर में डालिए तो वह फिर भी भाग दे देगा और ढाल सौ गुना बड़ी आएगी, बिना कोई संकेत दिए कि कुछ गड़बड़ है। खड़ी रेखा जवाब देने के बजाय ठुकरा दी जाती है, क्योंकि खड़ी रेखा की ढाल होती ही नहीं; अगर आपके दोनों बिंदुओं का x एक ही है तो जाँच लीजिए कि वे सचमुच दो अलग बिंदु हैं, क्योंकि दो एक जैसे बिंदु भी वही इनकार देते हैं। क्षैतिज रेखा का जवाब मिलता है, ढाल और कोण दोनों 0 के साथ। दोनों बिंदु आपस में बदल देने पर ढाल और कोण वही रहते हैं, क्योंकि दोनों अंतर एक साथ चिह्न बदलते हैं, मगर निर्देशांकों को ग़लत बिंदुओं में जोड़ देना — x₁ का साथ y₂ — चुपचाप किसी और रेखा की बात करने लगता है, और इसे इस पेज का कोई जाँच पकड़ नहीं सकता, क्योंकि कोई भी चार संख्याएँ किसी न किसी रेखा के निर्देशांक होती हैं। यहाँ कुछ भी वर्गीकृत नहीं होता: हल्की और तेज़ सापेक्ष फ़ैसले हैं और पेज उनमें से कोई नहीं करता। ढाल चार दशमलव तक छपती है और कोण तथा प्रतिशत दो तक, जो इस उपवर्ग के बाक़ी पेजों के साथ साझा प्रदर्शन चौड़ाइयाँ हैं, सटीकता के दावे नहीं; 0.0833 की ढाल पूर्णांकित 1-में-12 है, और एक मीटर के फैलाव पर सेंटीमीटर तक सटीक कोई सर्वे आख़िरी अंक को जायज़ नहीं ठहराता।

दो बिंदुओं से ढाल कैसे निकालें?

y मानों को घटाकर ऊँचाई निकालिए, x मानों को घटाकर फैलाव, और भाग दीजिए: ढाल (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) है। बिंदु (0, 0) और (4, 2) ऊँचाई 2 और फैलाव 4 देते हैं, इसलिए ढाल 0.5। इससे फ़र्क़ नहीं पड़ता कि आप किसे पहला बिंदु कहते हैं, क्योंकि बदलने पर दोनों अंतरों का चिह्न पलट जाता है और दो माइनस कट जाते हैं — मगर यह फ़र्क़ ज़रूर पड़ता है कि x₁ का साथ y₁ ही हो।

ढाल को डिग्री में कैसे बदलें?

ढाल का arctangent लीजिए। 0.5 की ढाल 26.57 डिग्री देती है, 1 की ढाल 45 डिग्री, और 10 की ढाल 84.29 डिग्री। कोण हमेशा −90 और 90 के बीच उतरता है, क्योंकि arctangent रेखा की दोनों दिशाओं में फ़र्क़ नहीं करता — आपके दोनों बिंदुओं से जाती रेखा दोनों तरफ़ आगे बढ़ती है, और कोण उसकी ढलान बताता है, उसके साथ-साथ इशारा नहीं करता।

ऋणात्मक ढाल का क्या मतलब है?

कि बाएँ से दाएँ पढ़ने पर रेखा नीचे की ओर जाती है। बिंदु (2, 5) और (7, 1) पाँच के फैलाव पर चार नीचे गिरते हैं, इसलिए ढाल −0.8 और ढाल कोण −38.66 डिग्री है। माइनस का चिह्न ग़लती नहीं है और पेज निरपेक्ष मान नहीं लेता: यही फ़र्क़ है ऊपर चढ़ती ढलान और दूर गिरते नाले के बीच, जो उन्हीं संख्याओं से बनने वाली उलटी बनावटें हैं। फैलाव धनात्मक ही रहता है; चिह्न सिर्फ़ ऊँचाई ढोती है।

क्या 100 प्रतिशत ढाल और 90 डिग्री का कोण एक ही है?

नहीं, और ढालों में सबसे आम उलझन यही है। 100 प्रतिशत ढाल का मतलब है ऊँचाई फैलाव के बराबर, यानी ढाल 1 — और वह 45 डिग्री होती है, 90 नहीं। ढाल ऊँचाई की तुलना फैलाव से करती है, जबकि कोण उसकी तुलना ख़ुद ढलवाँ दूरी से करता है। 100 प्रतिशत से तेज़ होना बिल्कुल मुमकिन है: 1.5 की ढाल 150 प्रतिशत ढाल है और सिर्फ़ 56.31 डिग्री, और कोण 90 के क़रीब तभी पहुँचता है जब ढाल अनंत की ओर जाए।

अगर दोनों बिंदुओं का x एक ही हो तो क्या होता है?

तब रेखा खड़ी है और उसकी ढाल होती ही नहीं। फैलाव 0 है और भाग अनिर्धारित, इसलिए पेज अनंत छापने के बजाय यह बात कह देता है — खड़ी रेखा की ढाल कोई बहुत बड़ी संख्या नहीं बल्कि संख्या का न होना है। अगर आपका मतलब दो अलग बिंदु थे तो x मान जाँच लीजिए; और अगर रेखा सचमुच खड़ी है तो दूरी वाला कैलकुलेटर उनके बीच की लंबाई देता है, जो खड़ी रेखा में होती तो है।

यह ऊँचाई-प्रतिशत वाले कैलकुलेटर से कैसे अलग है?

दोनों वही संख्या निकालते हैं, अलग-अलग इनपुट से। यह पेज दो बिंदु लेता है और निर्देशांक ख़ुद घटाता है; ऊँचाई-प्रतिशत वाला कैलकुलेटर ऊँचाई और फैलाव को दो ऐसी दूरियों की तरह लेता है जो आपने पहले ही नाप ली हैं, और मौक़े पर ढाल इसी तरह लिखी जाती है — प्रति फुट एक इंच की गिरावट, प्रति मीटर दो सेंटीमीटर की चढ़ाई। यहाँ बिंदु (0, 0) और (12, 1) 8.33 प्रतिशत देते हैं, वही आँकड़ा जो वह पेज प्रति फुट एक इंच की ऊँचाई के लिए देता है। ध्यान रहे कि वहाँ के दोनों ख़ाने एक ही इकाई के नहीं हैं — ऊँचाई इंच में और फैलाव फुट में पढ़ा जाता है — इसलिए वही अनुपात वहाँ 1 और 1 के रूप में डाला जाता है, 1 और 12 के रूप में नहीं।

• Slope — the rise over the run, with the sign conventions for lines that fall as well as rise, and the relation between the slope, the angle of inclination and the grade — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the straight line through two points, whose direction is the slope this page computes and whose other properties follow from it — Wolfram MathWorld (United States)
• Point-Slope Form — where the slope from two points is used next: the equation of the line through them, which needs a slope and one point — Wolfram MathWorld (United States)