सिरा निकालने वाला कैलकुलेटर

दूसरे सिरे का x = 2 × (मध्यबिंदु x) − (ज्ञात सिरे का x) दूसरे सिरे का y = 2 × (मध्यबिंदु y) − (ज्ञात सिरे का y) आधा-फ़ासला = √((ज्ञात x − मध्यबिंदु x)² + (ज्ञात y − मध्यबिंदु y)²)

मध्यबिंदु

रेखाखंड के बीच वाले बिंदु का एक x और एक y। यह आपको दिया हुआ माना जाता है, निकाला नहीं जाता, इसलिए यह उसी रेखाखंड का सच्चा मध्यबिंदु होना चाहिए जो आपके दिमाग़ में है — पेज के पास यह जाँचने का कोई ज़रिया नहीं कि यह नहीं है।

ज्ञात सिरा

वह सिरा जो आपके पास पहले से है। यह रेखाखंड के दो सिरों में से एक होना चाहिए, रेखाखंड पर पड़ा कोई और बिंदु नहीं, क्योंकि नियम यह मानकर चलता है कि यह मध्यबिंदु से ठीक उतनी ही दूर है जितनी जवाब वाला बिंदु होगा।

दूसरा सिरा

जवाब, हर अक्ष के लिए एक निर्देशांक, हर एक चार दशमलव स्थानों तक। यह मध्यबिंदु से उतनी ही दूर है जितना ज्ञात सिरा, पर उलटी तरफ़ — इसलिए आम तौर पर यह आपके डाले हुए नंबरों की सीमा से बाहर पड़ता है।

मध्यबिंदु से किसी भी सिरे तक की दूरी

ज्ञात सिरे से मध्यबिंदु तक का फ़ासला, ठीक इन्हीं दो बिंदुओं से निकाला हुआ। यह पेज का अपने ऊपर अपना ही जाँचना है: निकाले गए सिरे को मध्यबिंदु से बराबर दूरी पर बैठना है, और इस संख्या को अपने नाप से मिलाना ही उलटे चिह्न को पकड़ता है।

चार दशमलव स्थान

हर संख्या कितनी चौड़ी छपती है, पीछे के शून्य भी गिने हुए। पूर्ण संख्याओं वाले निर्देशांक भी पीछे चार शून्य के साथ छपते हैं, और यह छपाई की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं।

सीधा-सीधा इस्तेमाल आकृति पूरी करना है: आपके पास किसी चीज़ का केंद्र है और एक किनारा, और आपको ठीक सामने वाला बिंदु चाहिए। किसी वृत्त का केंद्र और व्यास का एक सिरा दें तो उसी व्यास का दूसरा सिरा मिल जाता है — वही सवाल है, बस शब्द बदले हुए। जिस सर्वेयर ने किसी लाइन के बीच में खूँटा गाड़ा है और जानता है कि एक सिरा कहाँ पड़ा, उसे दूसरा सिरा चाहिए, और यह पेज ठीक वही है। ड्राइंग में भी यह आता है — लाइन का बीच और एक सिरा पता है, और सामने वाला सिरा चाहिए ताकि आईना या मिलती-जुलती चीज़ वहाँ रखी जा सके। दूसरा इस्तेमाल कम साफ़ दिखता है पर अक्सर ज़्यादा क़ीमती है: जाँच करना। कोई रेखाखंड लीजिए, उसका मध्यबिंदु निकालिए, वह और एक सिरा यहाँ डालिए — पेज को दूसरा सिरा लौटाना चाहिए। अगर नहीं लौटाता, तो मध्यबिंदु ग़लत था या रेखाखंड सीधा नहीं है, और दोनों ही हालत में आपने उस पर कुछ बनाने से पहले एक काम की बात पकड़ ली है। इस जाँच का सबसे तेज़ रूप यही आधा-फ़ासला वाली पंक्ति है, क्योंकि जिस आकृति के दो आधे आपस में न मिलें वह उस बिंदु के आसपास सममित नहीं है जिसे आप उसका मध्य समझ रहे थे। एक आदत जवाब पर भरोसा करना बहुत आसान बना देती है: नतीजा पढ़ने से पहले पूछिए कि नया बिंदु मध्यबिंदु के किस तरफ़ होना चाहिए। जवाब हमेशा उस सिरे की उलटी तरफ़ होता है जो आपने डाला, और ज्ञात सिरे की तरफ़ आया नतीजा चिह्न की ग़लती है, कोई अचरज नहीं।

1. डिफ़ॉल्ट जोड़ी, यानी मध्यबिंदु पेज का डिफ़ॉल्ट उलटा पढ़ा हुआ

   1. मध्यबिंदु का x दुगुना: 3 × 2 = 6, फिर ज्ञात x घटाया: 6 − 1 = 5
   2. मध्यबिंदु का y दुगुना: 5 × 2 = 10, फिर ज्ञात y घटाया: 10 − 2 = 8
   3. दूसरा सिरा (5, 8) है
   4. आधा-फ़ासला: (1, 2) से (3, 5) तक का अंतर √(4 + 9) = √13 = 3.6056

   वही रेखाखंड जिसके साथ मध्यबिंदु वाला पेज खुलता है, बस दूसरी दिशा में चलाया हुआ: उस पेज को (1, 2) और (5, 8) दीजिए तो वह (3, 5) लौटाता है, और यह पेज वहीं से शुरू होता है। दोनों पेजों का मेल खाना सबसे सस्ती जाँच है कि किसी भी सूत्र में चिह्न उलटा नहीं लगा, और यह किसी भी इनपुट पर काम करती है, सिर्फ़ इसी पर नहीं। 3.6056 वाला आधा-फ़ासला वही संख्या है जो मध्यबिंदु पेज उसी रेखाखंड के लिए छापता है, और यह संयोग नहीं — वह उन्हीं दो बिंदुओं से नापा गया वही अंतर है।

2. उस रेखाखंड का दूसरा सिरा जिसका मध्य मूल बिंदु है

   1. मध्यबिंदु का x दुगुना: 0 × 2 = 0, फिर ज्ञात x घटाया: 0 − 3 = −3
   2. मध्यबिंदु का y दुगुना: 0 × 2 = 0, फिर ज्ञात y घटाया: 0 − 4 = −4
   3. दूसरा सिरा (−3, −4) है
   4. आधा-फ़ासला: (3, 4) से मूल बिंदु तक का अंतर √(9 + 16) = 5

   मूल बिंदु पर मध्यबिंदु होने पर नियम सिर्फ़ चिह्न बदलने भर का रह जाता है, और यह देखने का सबसे साफ़ मामला है कि पेज करता क्या है: जवाब ज्ञात सिरे का मध्यबिंदु के आर-पार प्रतिबिंब है। इनपुट में कई शून्य होने पर चिह्न खो जाना भी आसान है, इसलिए नतीजा ग़लत लगे तो यही इनपुट उठाइए — यहाँ जवाब बाध्य है और पूर्णांकन के लिए कुछ बचा ही नहीं।

3. उलटे चतुर्थांश में पड़ा सिरा

   1. मध्यबिंदु का x दुगुना: (−2) × 2 = −4, फिर ज्ञात x घटाया: −4 − 4 = −8
   2. मध्यबिंदु का y दुगुना: 1 × 2 = 2, फिर ज्ञात y घटाया: 2 − (−3) = 5
   3. दूसरा सिरा (−8, 5) है
   4. आधा-फ़ासला: (4, −3) से (−2, 1) तक का अंतर √(36 + 16) = √52 = 7.2111

   यहाँ हर चिह्न कुछ कर रहा है, और दूसरी पंक्ति ही लोगों को फँसाती है: ऋणात्मक y घटाने पर जुड़ता है, इसलिए जवाब 5 मध्यबिंदु 1 के नीचे नहीं, ऊपर बैठता है। निकाला हुआ सिरा ज्ञात सिरे के ठीक तिरछे उलटे चतुर्थांश में पड़ता है, और यही आम ढंग है — मध्यबिंदु से गुज़रने वाला रेखाखंड एक ही बार में दोनों अक्षों पर एक तरफ़ से दूसरी तरफ़ चला जाता है।

4. ज्ञात सिरा जो ख़ुद मध्यबिंदु है

   1. मध्यबिंदु का x दुगुना: 2 × 2 = 4, फिर ज्ञात x घटाया: 4 − 2 = 2
   2. y के लिए भी वही: 4 − 2 = 2
   3. दूसरा सिरा (2, 2) है, यानी वही बिंदु जहाँ से शुरू किया था
   4. आधा-फ़ासला शून्य है, क्योंकि दोनों बिंदु एक ही जगह पड़े हैं

   शून्य लंबाई का रेखाखंड वह अकेला मामला है जहाँ जवाब मध्यबिंदु के दूसरी तरफ़ नहीं होता — जवाब मध्यबिंदु ही है, और ज्ञात सिरा भी वहीं है। यह सही जवाब है, कोई विकृत विफलता नहीं: अगर रेखाखंड के दोनों सिरे एक ही बिंदु हैं, तो वही बिंदु उसका मध्य भी है, और पेज के पास कहने को और कुछ नहीं। एक बार देख लेना इसलिए काम का है कि दोहराया हुआ निर्देशांक bug न पढ़ा जाए।

5. ज्ञात सिरे से बहुत दूर पड़ा मध्यबिंदु

   1. मध्यबिंदु का x दुगुना: 1000000 × 2 = 2000000, फिर ज्ञात x घटाया: 2000000 − 0 = 2000000
   2. मध्यबिंदु का y दुगुना: 0 × 2 = 0, फिर ज्ञात y घटाया: 0 − 0 = 0
   3. दूसरा सिरा (2000000, 0) है
   4. आधा-फ़ासला: मूल बिंदु से (1000000, 0) तक का अंतर 1000000

   वह मामला जो दिखाता है कि जवाब इनपुट की सीमा में बँधा नहीं है। डाली गई दोनों संख्याएँ मूल बिंदु से दस लाख के भीतर हैं, और जवाब बीस लाख दूर निकलता है — यहाँ मौजूद किसी भी संख्या से दूर, क्योंकि ज्ञात सिरा और जवाब मध्यबिंदु के आर-पार पड़े हैं, पास-पास नहीं। यहाँ कुछ भी overflow या अनुमान नहीं है: पूर्ण संख्याओं को दुगुना करना और घटाना इस आकार से बहुत आगे तक ठीक-ठीक रहता है।

पेज यह मानकर चलता है कि जिसे आप मध्यबिंदु कह रहे हैं वह सचमुच मध्यबिंदु है। यह जाँचता नहीं कि ज्ञात सिरा और निकाला हुआ सिरा उससे बराबर दूरी पर हैं — यह दूसरे को इस तरह बनाता है कि वे हों, जिसका मतलब है कि अंदर ग़लत मध्यबिंदु गया तो जवाब भी ठीक उतना ही ग़लत आएगा, और पेज को इसका पता नहीं चलेगा। अगर आपका मध्यबिंदु नापा हुआ नहीं, अंदाज़ा है, तो जवाब भी अंदाज़ा है। निर्देशांकों के साथ कोई इकाई नहीं चलती, और पेज न किसी इकाई का रूपांतरण करता है न उसे सँभालता है, इसलिए यह देख नहीं सकता कि मीटर वाला मध्यबिंदु और मिलीमीटर वाला सिरा आपस में मिला दिए गए थे। चारों इनपुट माइनस एक अरब से एक अरब तक सीमित हैं, लेकिन निकाला गया सिरा नहीं: वह तीन अरब तक पहुँच सकता है, और यह सही है, bug नहीं, क्योंकि दुगुना करके घटाना अपनी दी हुई संख्याओं से आगे निकल सकता है। जो निर्देशांक आपके डाले नंबरों की सीमा से बाहर आए, वह इस पेज पर सामान्य है। यह दूरी चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित है और अक्सर अपरिमेय होती है, इसलिए बहुत से इनपुट पर यह अनुमान है, और अपने नाप से हाथ से मिलाते समय आख़िरी अंक का मेल न खाना कोई गड़बड़ नहीं। आख़िर में, पेज एक बिंदु निकालता है और बस इतना ही: यह रेखाखंड की पूरी लंबाई नहीं देता, न उससे गुज़रने वाली रेखा की ढाल, न कोई तीसरा आयाम, इसलिए अंतरिक्ष में पड़े दो बिंदुओं का सवाल यहाँ पूरा नहीं होगा, चाहे तीन में से दो निर्देशांक पता हों।

सिरा निकालने का सूत्र क्या है?

मध्यबिंदु को दुगुना कीजिए और ज्ञात सिरा घटा दीजिए, हर अक्ष के लिए एक बार। अगर मध्यबिंदु 3 है और ज्ञात सिरा 1, तो दूसरा सिरा 6 में से 1, यानी 5। यह मध्यबिंदु के नियम को पलटा हुआ रूप है: मध्यबिंदु दोनों सिरों का औसत है, इसलिए दोनों सिरों का जोड़ दो गुना मध्यबिंदु होता है, और उसमें से एक घटा देने पर दूसरा बचता है। आख़िरी घटाव की दिशा के अलावा याद रखने को कुछ नहीं।

जवाब मेरे डाले हुए नंबरों की सीमा से बाहर क्यों आता है?

क्योंकि दोनों सिरे मध्यबिंदु के आर-पार पड़ते हैं, इसलिए जवाब उतना ही आगे निकलता है जितना आपका डाला हुआ सिरा उससे पीछे है। मूल बिंदु से दस लाख दूर मध्यबिंदु डालिए और मूल बिंदु पर ज्ञात सिरा, तो जवाब बीस लाख दूर आता है। यह overflow नहीं है और ग़लती भी नहीं — दुगुना करके घटाना किसी भी इनपुट से बड़ी संख्या बना सकता है; पेज की अपनी कोई ऊपरी सीमा नहीं है, सीमा बस इस पर है कि चारों ख़ानों में आप क्या टाइप कर सकते हैं।

पेज पर तीसरी संख्या किस काम की है?

वह पेज का अपने आप को जाँचना है। मध्यबिंदु दोनों सिरों से बराबर दूरी पर होता है, इसलिए ज्ञात सिरे से मध्यबिंदु तक का अंतर उतना ही होना चाहिए जितना मध्यबिंदु से अभी निकाले गए सिरे तक। पेज इन दोनों में से पहला अंतर छापता है, और अगर वह उस आधे रेखाखंड से मेल खाता है जो आपको पहले से पता था, तो जवाब सुसंगत है। दूसरे अंतर से मिलाना कुछ साबित नहीं करता, क्योंकि तब पेज अपना ही जवाब लेकर अपने ही जवाब को परख रहा होता।

क्या पेज जाँचता है कि मेरा मध्यबिंदु सचमुच मध्यबिंदु है?

नहीं, और वह जाँच नहीं सकता। पेज उस बिंदु को, जिसे आप मध्यबिंदु कहते हैं, अपनी शुरुआती सच्चाई मान लेता है और दूसरा सिरा इस तरह बनाता है कि वह बराबर दूरी पर बैठे — इसलिए अगर आपका डाला हुआ बिंदु रेखाखंड का सच्चा बीच नहीं था, तो जवाब भी ठीक उतना ही ग़लत होगा और पेज पर कुछ भी असामान्य नहीं दिखेगा। अंदाज़े से लिखा मध्यबिंदु अंदाज़े वाला सिरा ही देता है। आधा-फ़ासला वाली पंक्ति ही अकेला पकड़ है, और वह सिर्फ़ आपकी डाली हुई ज्यामिति के बारे में बताती है, दुनिया के बारे में नहीं।

क्या इसे अंतरिक्ष के बिंदुओं पर इस्तेमाल कर सकते हैं?

तभी, जब आप एक बार में एक अक्ष लेकर चलें। पेज पर हर बिंदु के लिए दो ही निर्देशांक वाले ख़ाने हैं, तीसरा नहीं, इसलिए तीन आयामों वाला सवाल जैसा है वैसा यहाँ डाला नहीं जा सकता। नियम को दो आयामों से कोई लेना-देना नहीं — हर अक्ष पर मध्यबिंदु को दुगुना कीजिए और ज्ञात सिरा घटाइए — इसलिए तीसरे निर्देशांक पर वही हिसाब आप ख़ुद कर सकते हैं, पर पेज वह न करेगा और नतीजा नहीं दिखाएगा।

अगर ज्ञात सिरा ही मध्यबिंदु हो तो?

तब जवाब वही बिंदु है, और आधा-फ़ासला शून्य। जिस रेखाखंड के दोनों सिरे एक ही बिंदु हों उसकी लंबाई नहीं होती, और उसका मध्य वही बिंदु होता है, इसलिए कुछ बिगड़ा नहीं है। यह वह अकेला मामला है जहाँ निकाला हुआ सिरा मध्यबिंदु के उलटी तरफ़ नहीं होता, और इसे एक बार देख लेना इसलिए काम का है कि दोहराया हुआ निर्देशांक गणना की विफलता न लगे।

• Midpoint — the point on a line segment equidistant from both endpoints, and the relation this page inverts to recover the far end from the middle and one end — Wolfram MathWorld (United States)
• Line segment — the part of a line bounded by two endpoints, where knowing the middle and one end determines the other end completely — Wolfram MathWorld (United States)
• Point — the coordinate pair the page takes in and gives back, and the reason no unit is attached to any of it — Wolfram MathWorld (United States)