मध्यबिंदु कैलकुलेटर

मध्यबिंदु x = (x₁ + x₂) ÷ 2 मध्यबिंदु y = (y₁ + y₂) ÷ 2 आधी लंबाई = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) ÷ 2

पहला सिरा

रेखाखंड का एक छोर, एक x और एक y की शक्ल में। दोनों में से कोई भी छोर पहले डाला जा सकता है — जोड़ी आपस में बदल देने पर मध्यबिंदु नहीं बदलता, क्योंकि जोड़ में क्रम का कोई मतलब नहीं होता

दूसरा सिरा

दूसरा छोर, उन्हीं नियमों के साथ। कोई छोर दूसरे से बड़ा होना ज़रूरी नहीं, इसलिए दूसरा x पहले से छोटा हो सकता है और कोई भी निर्देशांक ऋणात्मक हो सकता है

मध्यबिंदु

दोनों औसत, हर अक्ष के लिए एक, चार दशमलव तक पूर्णांकित। यही जवाब है, और यह हमेशा दोनों सिरों के बीच ही पड़ता है — मध्यबिंदु उनसे बाहर निकले तो कहीं कोई ऋणात्मक चिह्न छूट गया है

आधी लंबाई

मध्यबिंदु से किसी भी सिरे तक की दूरी, जो पूर्णांकित मध्यबिंदु से नहीं बल्कि सीधे दोनों सिरों से निकाली जाती है। दोनों सिरों के लिए यह एक ही संख्या है, और यही वह जाँच है जिसके लिए यह पंक्ति मौजूद है

चार दशमलव स्थान

वह चौड़ाई जिसमें पेज की हर संख्या लिखी जाती है, सटीकता का दावा नहीं। निर्देशांक अपने पीछे के शून्यों के साथ छपते हैं, और आधी लंबाई अकसर ऐसा वर्गमूल होती है जो कभी ख़त्म नहीं होता, इसलिए चार जगह वही हैं जहाँ उसे काटा जाता है

मध्यबिंदु तब काम आता है जब कुछ ऐसा दो जानी-पहचानी चीज़ों के बीच बराबर दूरी पर बैठाना हो। नक़्शे पर दो शहरों के ठीक बीच में, किसी व्यास का केंद्र, वह बिंदु जहाँ सर्वेयर खूँटा गाड़ता है, उस दीवार का बीच जिस पर कुछ टाँगना है, किसी चार्ट पर दो बिंदुओं के बीच का संतुलन-बिंदु। हर मामले में आपके पास दोनों छोर होते हैं और बीच में जो पड़ता है वह चाहिए होता है, और हर निर्देशांक का औसत निकाल लेना ही वह कर देता है। किसी वृत्त का केंद्र निकालने का यह सबसे तेज़ तरीक़ा भी है, जब आपके पास उस पर पड़े दो बिंदु आमने-सामने हों, क्योंकि वृत्त का केंद्र किसी भी व्यास का मध्यबिंदु होता है। पेज का दूसरा आधा हिस्सा वह है जिसे लोग इस्तेमाल करना भूल जाते हैं। मध्यबिंदु बस कोई नियम से निकली दो संख्याएँ नहीं हैं; वह एक ऐसा बिंदु है जो दोनों सिरों से बराबर दूरी पर है, और आधी लंबाई वाला आउटपुट आपको यहीं मौक़े पर जाँच लेने देता है। अगर आपने रेखाखंड को फ़ुटे से नापा था तो पूरी लंबाई आपको पता ही है, और उसका आधा वही होना चाहिए जो पेज छापता है। जब न हो, तो ग़लती जवाब में नहीं इनपुट में है, और सबसे आम वजह चिह्न होता है: y का माइनस 7 और y का 7, इन दोनों का फ़र्क़ चौदह है, शून्य नहीं, और दूसरे सिरे में छूटा हुआ माइनस पूरे जवाब को सात ऊपर या नीचे खिसका देता है और वह फिर भी बिल्कुल सामान्य दिखता रहता है।

1. वही रेखाखंड जिसके साथ पेज खुलता है, एक से पाँच तक और दो से आठ तक

   1. x का औसत: (1 + 5) ÷ 2 = 3
   2. y का औसत: (2 + 8) ÷ 2 = 5
   3. मध्यबिंदु (3, 5) है
   4. आधी लंबाई: x का फ़र्क़ 4 है और y का 6, इसलिए पूरी लंबाई √(16 + 36) = √52 = 7.2111 है और उसका आधा 3.6056

   वही जोड़ी जो पेज खुलते ही सामने आती है, और आँख से जाँच लेने के लिए अच्छी है। दोनों औसत पूर्ण संख्याएँ हैं, इसलिए दोनों निर्देशांक ठीक हैं, जबकि आधी लंबाई एक वर्गमूल है और इसलिए पूर्णांकित — पूरे पेज की एक ठीक तस्वीर। (1, 2) से (5, 8) तक चलने का मतलब है चार बग़ल में और छह ऊपर; मध्यबिंदु पहले सिरे से दो बग़ल में और तीन ऊपर है, और (3, 5) यही है, तथा 3.6056 की आधी लंबाई उसी दो बटा तीन क़दम का विकर्ण है।

2. तीन-चार-पाँच वाला रेखाखंड, जहाँ हर संख्या ठीक है

   1. x का औसत: (0 + 3) ÷ 2 = 1.5
   2. y का औसत: (0 + 4) ÷ 2 = 2
   3. मध्यबिंदु (1.5, 2) है
   4. x का फ़र्क़ 3 है और y का 4, इसलिए पूरी लंबाई √(9 + 16) = 5 है और आधी लंबाई 2.5

   तीन-चार-पाँच वाला त्रिभुज इस पूरे बैच में बार-बार आता है क्योंकि यह सबसे छोटा समकोण त्रिभुज है जिसकी तीनों भुजाएँ पूर्ण संख्याएँ हैं, और यहाँ वह दो बार फ़ायदा देता है: पूरी लंबाई ठीक 5 और आधी लंबाई ठीक 2.5, इसलिए पेज पर कुछ भी पूर्णांकित नहीं है। जब आपको शक़ हो कि कोई अजीब जवाब पूर्णांकन की वजह से है या नहीं, तो इसे कसौटी की तरह इस्तेमाल कीजिए — इस इनपुट पर वह पूर्णांकन का नतीजा हो ही नहीं सकता। पीछे के शून्य की एक और शक्ल भी ग़ौर कीजिए: x-निर्देशांक 1.5 है और 1.5000 बनकर छपता है, जो चार जगहों का करार है, यह दावा नहीं कि जवाब चार जगहों तक जाना-पहचाना है।

3. दो छोर जो मूल बिंदु के आमने-सामने हैं

   1. x का औसत: (4 + (−4)) ÷ 2 = 0
   2. y का औसत: ((−7) + 7) ÷ 2 = 0
   3. मध्यबिंदु मूल बिंदु है, (0, 0)
   4. x का फ़र्क़ −8 है और y का 14, इसलिए लंबाई √(64 + 196) = √260 = 16.1245 है और आधी 8.0623

   शून्य मध्यबिंदु एक असली जवाब है, ख़ाली ख़ाना नहीं। यहाँ की जोड़ी मूल बिंदु के आर-पार सममित है, इसलिए मूल बिंदु ठीक उनके बीच में है और दोनों निर्देशांक 0.0000 बनकर लौटते हैं। यही शून्य पेज पर हर ऐसे रेखाखंड के लिए आता है जिसके दोनों छोर एक-दूसरे के प्रतिबिंब हों, जो कोई अनोखा मामला नहीं बल्कि एक बड़ा परिवार है। फ़र्क़ निकालते समय चिह्न का बर्ताव भी देखिए: ऋणात्मक निर्देशांक घटाने का मतलब जोड़ना है, इसलिए y का फ़र्क़ 14 है, हालाँकि दोनों y के मान 7 और माइनस 7 हैं।

4. ऐसा मध्यबिंदु जो टेढ़े-मेढ़े सिरों से पूर्ण संख्या पर उतरता है

   1. x का औसत: ((−3) + 7) ÷ 2 = 2
   2. y का औसत: (4 + (−2)) ÷ 2 = 1
   3. मध्यबिंदु (2, 1) है
   4. x का फ़र्क़ 10 है और y का −6, इसलिए लंबाई √(100 + 36) = √136 = 11.6619 है और आधी 5.831

   यहाँ दोनों फ़र्क़ सम हैं, और इसीलिए कुछ बेतुके दिखने वाले निर्देशांकों का औसत पूर्ण संख्याओं पर उतर आता है। दस बग़ल में और छह नीचे, इससे 5.831 की आधी लंबाई आती है, जो ऐसा वर्गमूल है जो कभी ख़त्म नहीं होता, इसलिए यह वह मामला भी है जो चार जगहों पर काटने का काम दिखाता है। इस पंक्ति को हाथ से जाँचना हो तो छपी हुई आधी लंबाई का वर्ग कीजिए: 5.831 का वर्ग 34.0 है और 5.8309 का 33.999 — जिस 34 का वर्ग ठीक जवाब देता है उसके काफ़ी पास, और चार अंकों से मिलने वाली इससे बेहतर पुष्टि नहीं हो सकती।

5. दो सिरे जो एक ही बिंदु हैं

   1. x का औसत: (2.5 + 2.5) ÷ 2 = 2.5
   2. y का औसत: ((−1.5) + (−1.5)) ÷ 2 = −1.5
   3. मध्यबिंदु वही बिंदु है जिससे आपने शुरू किया था
   4. दोनों फ़र्क़ शून्य हैं, इसलिए लंबाई 0 है और आधी लंबाई भी 0

   शून्य लंबाई का रेखाखंड, जिसका जवाब पेज ईमानदारी से देता है: किसी बिंदु और उसी बिंदु का मध्यबिंदु वही बिंदु है, और आधी लंबाई शून्य। बस यही एक तरह का इनपुट है जो तीसरी पंक्ति में 0 छपवा सकता है, क्योंकि शून्य आधी लंबाई के लिए दोनों छोरों का एक होना ज़रूरी है। इसे एक बार देख लेना ठीक है ताकि जिस पेज पर तीन संख्याएँ दिखें और उनमें एक शून्य हो, वह छूटा हुआ मान न लगे — यहाँ कुछ भी निकालना बाक़ी नहीं रहा।

पेज उस रेखाखंड का मध्यबिंदु लौटाता है जिसका आपने बयान किया, और उसके बारे में इसके अलावा कुछ नहीं। यह उन दोनों बिंदुओं से जाती रेखा नहीं देता, इसलिए न ढाल बताएगा, न अंतःखंड, न उस रेखा का समीकरण, और न ही रेखाखंड की पूरी लंबाई देता है — तीसरी पंक्ति उसका आधा है, इसलिए पूरी लंबाई चाहिए हो तो आधी लंबाई को दुगना कर लीजिए। निर्देशांक बिना इकाई के हैं, और किसी भी आउटपुट पर कोई इकाई नहीं लगती। आपके बिंदु फ़ुट में हों तो जवाब फ़ुट में हैं, ग्रिड के ख़ाने हों तो ग्रिड के ख़ाने, मगर पेज किसी चीज़ को किसी में बदलेगा नहीं और अगर आप एक छोर पर मीटर तथा दूसरे पर मिलीमीटर मिला दें तो चेतावनी भी नहीं देगा। बिना इकाई वाले पेज के साथ यह असली ख़तरा है: वह यह नहीं देख सकता कि (1, 2) और (5000, 8000) शायद एक ही रेखाखंड हैं जो दो अलग इकाइयों में लिखे गए हैं, और जो मध्यबिंदु वह लौटाएगा वह एक गुणक से ग़लत होगा। निर्देशांक माइनस एक अरब से एक अरब तक सीमित हैं। यह सीमा गणित की नहीं बल्कि अंकगणित की वजह से है, और त्रुटि का संदेश यह भी बता देगा कि कौन-सा ख़ाना इसे तोड़ रहा है, मगर इसका मतलब यह है कि यह पेज किसी महाद्वीपीय सर्वेक्षण या मीटरों में लिखी किसी उपग्रह-कक्षा के निर्देशांकों का औज़ार नहीं है। आख़िर में, आधी लंबाई चार दशमलव तक पूर्णांकित है और अकसर अपरिमेय होती है, इसलिए ज़्यादातर इनपुट के लिए वह एक निकट मान है; हाथ से जाँचते समय आख़िर में दो से गुणा करने पर वही पूर्णांकन आगे चलेगा, और इसीलिए दुगनी की हुई आधी लंबाई पूरी लंबाई से आख़िरी एक-दो अंकों में अलग हो सकती है।

मध्यबिंदु का सूत्र क्या है?

हर निर्देशांक का अलग-अलग औसत निकाल लीजिए। मध्यबिंदु का x दोनों x को जोड़कर आधा करने पर आता है, और मध्यबिंदु का y दोनों y को जोड़कर आधा करने पर, और इसीलिए जवाब हमेशा दोनों सिरों के बीच ही पड़ता है — एक-एक अक्ष पर, तल में कहीं और नहीं। (1, 2) और (5, 8) सिरों के लिए यह 3 और 5 देता है, क्योंकि 1 तथा 5 का औसत 3 है और 2 तथा 8 का 5। पहले के पीछे कोई दूसरा नियम छिपा नहीं है: दो संख्याओं का औसत निकालना आते हो तो मध्यबिंदु भी निकाल लेंगे।

पेज दोनों निर्देशांकों के अलावा तीसरी संख्या क्यों छापता है?

क्योंकि दो निर्देशांकों की जाँच नहीं हो सकती और आधी लंबाई की हो सकती है। हर बिंदु के निर्देशांक होते हैं, इसलिए ग़लत मध्यबिंदु भी संख्याओं की एक ऐसी जोड़ी है जो बिल्कुल ठीक लगती है और अपने बारे में कुछ बताती नहीं। आधी लंबाई मध्यबिंदु से किसी भी सिरे तक की दूरी है, और परिभाषा से ये दोनों दूरियाँ बराबर होती हैं — इसलिए आपने जो लंबाई नापी थी उसके आधे से इसकी तुलना करना ऐसी जाँच है जो या तो उसी वक़्त पास हो जाती है या फ़ेल। अकसर यह वही संख्या होती है जो असल में चाहिए थी: किसी चीज़ के बीच से उसके किनारे तक की दूरी।

क्या निर्देशांकों की कोई इकाई होती है?

नहीं, और जवाब की भी नहीं। पेज आपकी संख्याओं को सादे निर्देशांक मानता है, और यह जान-बूझकर है: किसी निर्देशांक-तल की अपनी कोई इकाई नहीं होती, और जो कैलकुलेटर आपको ग्राफ़ का कोई आँकड़ा डालने से पहले सेंटीमीटर या इंच चुनने पर मजबूर करे, वह ऐसी इकाई गढ़ रहा होता जो आपके पास कभी थी ही नहीं। आपके बिंदु मीटर में बने किसी नक़्शे से आए हों तो आउटपुट को मीटर पढ़िए; अगर वे देशांतर और अक्षांश हैं तो आधी लंबाई को डिग्री पढ़िए, जो किलोमीटर में कोई दूरी नहीं है और यह जाने बिना कि आप ग्लोब पर कहाँ हैं, किलोमीटर में बदली भी नहीं जा सकती।

क्या मध्यबिंदु रेखाखंड से बाहर हो सकता है?

नहीं, और जवाब जाँचते समय यह जानना काम का है। दो संख्याओं का मध्यबिंदु उनका औसत होता है, और औसत उन संख्याओं के दायरे से बाहर कभी नहीं जाता जिनसे वह बना है, इसलिए रेखाखंड का मध्यबिंदु हमेशा उसके दोनों छोरों के बीच ही होता है — सीमा पर सिर्फ़ तब, जब दोनों छोर बराबर हों। अगर पेज कोई ऐसा बिंदु लौटाए जो आपके दोनों सिरों के बीच न हो, तो इनपुट ग़लत है, हिसाब नहीं। आम वजह छूटा हुआ माइनस होता है।

अगर दोनों सिरे एक ही बिंदु हों तो क्या होता है?

आपको वही बिंदु वापस मिलता है और आधी लंबाई शून्य आती है, जो सही जवाब है, कोई त्रुटि नहीं। एक बिंदु और वह ख़ुद मिलकर शून्य लंबाई का रेखाखंड बनाते हैं, और उस रेखाखंड का मध्यबिंदु वही बिंदु है। यही एकमात्र इनपुट है जो तीसरी पंक्ति में शून्य ला सकता है, क्योंकि शून्य आधी लंबाई के लिए दोनों फ़र्क़ों का शून्य होना ज़रूरी है। पेज शिकायत नहीं करेगा, क्योंकि शिकायत की कोई बात ही नहीं है।

जवाब में कितने दशमलव आते हैं?

चार, और पीछे के शून्य हटाए नहीं जाते बल्कि छापे जाते हैं, इसलिए (1, 2) और (5, 8) का मध्यबिंदु 3.0000 और 5.0000 पढ़ा जाता है। वे शून्य प्रदर्शन की चौड़ाई के बारे में बताते हैं, निश्चितता के बारे में नहीं: निर्देशांक ठीक 3 है, और पेज उसे इस तरह छापता है ताकि संख्याओं का कॉलम सीधा रहे। जो अकसर निकट मान होती है वह आधी लंबाई है, क्योंकि ज़्यादातर इनपुट पर वह वर्गमूल होती है, और चार जगह वही हैं जहाँ पेज उसे लिखना बंद कर देता है।

अगर मैं दोनों सिरे आपस में बदल दूँ तो मध्यबिंदु वही रहेगा?

हाँ। जोड़ में क्रम का कोई मतलब नहीं होता, इसलिए 1 और 5 का औसत वही है जो 5 और 1 का, और यही हर दूसरे ख़ाने पर भी लागू होता है। सिरे बदलने पर बदलने वाली अकेली चीज़ आधी लंबाई में लगने वाले दोनों फ़र्क़ों का चिह्न है — और चूँकि फ़र्क़ जोड़े जाने से पहले वर्ग किए जाते हैं, आधी लंबाई भी वही निकलती है। जोड़ियाँ बेधड़क बदलिए; पेज पर कुछ भी इस पर नहीं टिका कि आपने किस छोर को पहला कहा।

• Midpoint — the point on a line segment equidistant from both endpoints, with the coordinate formula for it and the property that the midpoint of a diameter is the centre of a circle — Wolfram MathWorld (United States)
• Line segment — the part of a line bounded by two endpoints, and the object whose midpoint this page returns — Wolfram MathWorld (United States)
• Point — the coordinate pair this page takes in and gives back, and the reason a coordinate-plane problem carries no unit unless the axes were drawn with one — Wolfram MathWorld (United States)