त्रिभुज की ऊँचाई कैलकुलेटर

ऊँचाई = 2 × क्षेत्रफल ÷ आधार

क्षेत्रफल

त्रिभुज जितनी सतह घेरता है, वर्ग सेंटीमीटर में। यह वही संख्या है जो क्षेत्रफल वाला पेज निकालकर देता है, और यहाँ शुरुआती मान बनकर लौटती है

आधार

वह भुजा जिसके सापेक्ष ऊँचाई नापी जाती है, सेंटीमीटर में। तीनों में से कोई भी भुजा चलेगी, बस जो ऊँचाई आप चाहते हैं वह उसी पर लंब हो

ऊँचाई

यह पेज जो निकालता है: आधार से सामने के कोने तक की लंब दूरी, सेंटीमीटर में। किसी भी तिरछी भुजा की लंबाई नहीं

दुगुना

दुगुना करने की वजह यहीं है। क्षेत्रफल का सूत्र आधार गुणा ऊँचाई को आधा करता है, इसलिए उस आधे को उलटने के लिए क्षेत्रफल को दो से गुणा करके आधार से भाग देना पड़ता है

2A ÷ b

पूरा हिसाब, जहाँ A क्षेत्रफल है और b आधार। क्षेत्रफल को पहले दो से गुणा करना, आधार को पहले आधा करने के बजाय, आख़िरी अंक को तब भी सही रखता है जब संख्याएँ पूरी न हों

चार दशमलव स्थान

रीडिंग कितनी चौड़ी छपती है। ऊँचाई सचमुच भिन्न हो सकती है — क्षेत्रफल 7.5 और आधार 6 देने पर ठीक 2.5 आता है, और क्षेत्रफल 1 और आधार 3 देने पर दो-तिहाई

सेंटीमीटर

जवाब की इकाई, चाहे ड्रॉपडाउन में कुछ भी चुना हो। यह लंबाई है, इसलिए क्षेत्रफल वाले पेज के उलट यहाँ बदलाव वर्ग में नहीं होता — इंच में दिया गया आधार भी ऊँचाई सेंटीमीटर में ही लौटाता है, और उसे इंच में पढ़ने के लिए 2.54 से भाग दीजिए

सीधा-सीधा इस्तेमाल वह है जहाँ क्षेत्रफल पहले से पता हो और कोई एक नाप चाहिए। ज़मीन इसका सबसे पुराना मामला है: प्लॉट का क्षेत्रफल दस्तावेज़ में या नाप की पर्ची में लिखा होता है, आधार सड़क या बाड़ की लाइन के साथ पड़ता है, और सवाल यह होता है कि प्लॉट अपने सबसे गहरे हिस्से में कितना पीछे तक जाता है। यह हिसाब ठीक वही है, और इसीलिए यह सूत्र जब से दोनों सूत्र मौजूद हैं, तब से क्षेत्रफल वाले सूत्र के साथ पढ़ाया जाता है। छत और बढ़ईगीरी का काम दूसरा परिवार जोड़ता है, जहाँ त्रिभुज का क्षेत्रफल दाम तय करने के लिए पहले ही निकाला जा चुका होता है और ऊँचाई काटने या निशान लगाने के लिए चाहिए — छत के ढाल की ऊँचाई उसकी चौड़ाई से, पतले पैनल की गहराई, या किसी चाप की जीवा से दूसरी तरफ़ तक की दूरी। ड्राइंग और CAD तीसरा मामला देते हैं: किसी ड्राइंग में त्रिभुज बना हो और उसका क्षेत्रफल लिखा हो, और उसमें से छूटी हुई ऊँचाई वापस निकालनी हो। और स्कूल वाला रूप भी है, जो रिश्ते को समझा जाता है। ऊँचाई निकालना एक बार उलटी दिशा में करके देख लीजिए: जिस त्रिभुज का क्षेत्रफल और आधार पता है, उसकी ऊँचाई निकालिए, और फिर उसे आकृति से मिलाइए — जो संख्या आती है वही चित्र में दिखती है, और इस पेज का क्षेत्रफल वाले पेज के साथ जोड़ा होने का मतलब यही है। एक ही सूत्र की दोनों दिशाएँ कम से कम एक बार सामने रख लेना काम का है, क्योंकि जो सूत्र उलटा चलाकर देख लिया गया हो, वह भूलना बहुत मुश्किल होता है।

1. क्षेत्रफल 30 और आधार 10

   1. क्षेत्रफल का दुगुना कीजिए: 2 × 30 = 60
   2. आधार से भाग दीजिए: 60 ÷ 10 = 6

   यही जोड़ी पेज खुलते ही भरी मिलती है, और यही पंक्ति इसे क्षेत्रफल वाले पेज से बाँधती है: आधार 10 और ऊँचाई 6 ही वह जोड़ी है जो वहाँ क्षेत्रफल 30 बनाती है। पहले एक पेज पर ये संख्याएँ चलाइए, फिर दूसरे पर मिलती संख्याएँ — आप वहीं लौट आएँगे, और यह सबसे सस्ती जाँच है कि सूत्र समझ में आ गया।

2. क्षेत्रफल 20 और आधार 5

   1. क्षेत्रफल का दुगुना कीजिए: 2 × 20 = 40
   2. आधार से भाग दीजिए: 40 ÷ 5 = 8

   वही त्रिभुज जिससे क्षेत्रफल वाला पेज समलंब की बात समझाता है: आधार 5 और ऊँचाई 8 देने पर 20 आता है, और जिस समलंब का ऊपरी आधार शून्य, निचला आधार 10 और ऊँचाई 4 हो, वहाँ भी 20 आता है। यहाँ कुछ भी ख़ास नहीं है — देखने में उलझी हुई जोड़ी, और जवाब पूरा-पूरा।

3. क्षेत्रफल 7.5 और आधार 6

   1. क्षेत्रफल का दुगुना कीजिए: 2 × 7.5 = 15
   2. आधार से भाग दीजिए: 15 ÷ 6 = 2.5

   ऐसा क्षेत्रफल जिसमें आधा आया हुआ है, और यही आम तौर पर आधे किए गए गुणनफल से मिलता है; आधार सम है। पहले दुगुना करने से भाग देने से पहले वह आधा पूरी संख्या बन जाता है, इसलिए जवाब ठीक 2.5 है, बाद में गोल करके वैसा दिखाया हुआ कोई आँकड़ा नहीं।

4. क्षेत्रफल 0 और आधार 5

   1. क्षेत्रफल का दुगुना कीजिए: 2 × 0 = 0
   2. आधार से भाग दीजिए: 0 ÷ 5 = 0

   क्षेत्रफल शून्य का मतलब है कि त्रिभुज अपने ही आधार पर पिचक गया और उसकी ऊँचाई बची ही नहीं। शून्य भरा हुआ मान है, ख़ाली ख़ाना नहीं, इसलिए यह असली जवाब है — और यह उस हालत से सचमुच अलग है जिसमें आधार शून्य हो, जिसे पेज मना कर देता है क्योंकि तब भाग देने के लिए कुछ बचता ही नहीं।

यह पेज क्षेत्रफल और आधार लेता है, बस इतना ही। यह त्रिभुज की तीन भुजाओं से नहीं चलता — उसी ऊँचाई तक पहुँचने का वह दूसरा रास्ता है और उसमें पहले क्षेत्रफल निकालना पड़ता है। यह न कोण देता है, न भुजाओं की लंबाई, और यहाँ आधार वह भुजा है जिसके सापेक्ष ऊँचाई नापी जाती है, बाक़ी दो में से कोई भी नहीं — तिरछी भुजा डालने पर ऊँचाई थोड़ी छोटी आती है और पेज पर कोई चेतावनी नहीं दिखती। आधार शून्य से बड़ा होना चाहिए: क्षेत्रफल शून्य चलता है और ऊँचाई शून्य लौटाता है, पर आधार शून्य का कोई जवाब नहीं है — अनंत तो बिलकुल नहीं — और पेज बहुत बड़ी संख्या छापने के बजाय साफ़ मना कर देता है। जवाब हमेशा सेंटीमीटर में आता है, चाहे ड्रॉपडाउन में कोई भी इकाई चुनी हो, और चूँकि ऊँचाई लंबाई है, बदलाव सीधा-सीधा होता है — इंच में दिया गया आधार सेंटीमीटर लौटाता है, और उसे इंच में पढ़ने के लिए 6.4516 से नहीं, 2.54 से भाग दीजिए। चार दशमलव स्थान दिखाने की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं, और ऊँचाई सचमुच भिन्न हो सकती है: क्षेत्रफल 1 और आधार 3 देने पर दो-तिहाई आता है, चार स्थानों तक लिखा हुआ। यहाँ न घुमावदार किनारा सँभाला जाता है, न गोले पर खींचा हुआ त्रिभुज, न ऐसी आकृति जिसका क्षेत्रफल आधार से किसी और तल में नापा गया हो।

यहाँ आधार कौन-सी भुजा है?

वह जिस पर ऊँचाई लंब होती है — और चूँकि ऊँचाई का लक्ष्य आप तय करते हैं, वही भुजा जिसके सापेक्ष आपने क्षेत्रफल नापा था। अगर क्षेत्रफल किसी सर्वे या ड्राइंग से आया है, तो आधार वही भुजा है जिससे उसने क्षेत्रफल नापा। यह जोड़ी उलटी बैठाना इस पेज से ग़लत जवाब निकालने का इकलौता तरीक़ा है जिसमें बाक़ी सब कुछ ठीक दिखता रहता है।

आधार को आधा करने के बजाय क्षेत्रफल को दुगुना क्यों किया जाता है?

दोनों रास्ते एक ही जवाब देते हैं, और कंप्यूटर पर दोनों उतने ही ठीक हैं: किसी संख्या को दुगुना करना और आधा करना, दोनों बिना त्रुटि होते हैं, इसलिए दोनों में एक ही भाग आता है और गोल करना आख़िर में एक बार होता है। पेज दुगुना इसलिए करता है क्योंकि सूत्र का रूप वही है — क्षेत्रफल का सूत्र आधार गुणा ऊँचाई को आधा करता है, और क्षेत्रफल को दो से गुणा करना उसी आधे को उलटता है। इससे भाग आख़िरी चरण बना रहता है, इसलिए गोल किया हुआ मान किसी और हिसाब में नहीं जाता।

क्या ऊँचाई आधार से लंबी निकल सकती है?

हाँ, और इसमें कुछ ग़लत नहीं है। किसी ऊँचे और पतले त्रिभुज का क्षेत्रफल, दुगुना करके छोटे आधार से भाग देने पर, बड़ी ऊँचाई देता है। ऊँचाई और आधार दो आज़ाद दिशाएँ हैं और कोई एक दूसरे को बाँधती नहीं — दोनों को जोड़ने वाला सिर्फ़ क्षेत्रफल है, और सूत्र जैसा है वैसा ही है।

अगर आधार शून्य हो तो?

पेज जवाब देने के बजाय मना कर देता है। आधार शून्य का मतलब है कि भाग शून्य से जा रहा है, और उस नतीजे का ईमानदार बखान यही है कि ऊँचाई है ही नहीं, यह नहीं कि ऊँचाई बहुत बड़ी है। क्षेत्रफल शून्य अलग मामला है और चलता है: जिस त्रिभुज का क्षेत्रफल नहीं, वह अपने आधार पर पिचका हुआ है, और उसकी ऊँचाई सचमुच शून्य है।

तीन भुजाओं वाला रूप कहाँ है?

उसका अपना पेज है। त्रिभुज का क्षेत्रफल तीन भुजाओं से निकालने में दूसरा सूत्र लगता है और एक वर्गमूल आता है, और एक बार क्षेत्रफल मिल जाने के बाद आप यहाँ किसी भी भुजा को आधार बनाकर लौट सकते हैं। दोनों पेज इसी क्रम में इस्तेमाल के लिए बने हैं, और ऊँचाई वाला पेज क्षेत्रफल वाले पेज का काम दोहराने की कोशिश नहीं करता।

इकाइयों से कुछ फ़र्क़ पड़ता है?

ड्रॉपडाउन यह बदलता है कि आप क्या डालते हैं, यह नहीं कि क्या निकलता है। रीडिंग हमेशा सेंटीमीटर में होती है। क्षेत्रफल वाले पेज के उलट यहाँ बदलाव वर्ग में नहीं होता, क्योंकि ऊँचाई लंबाई है: सेंटीमीटर के जवाब को इंच में पढ़ने के लिए 2.54 से भाग दीजिए। आधार इंच में डालकर जवाब को इंच मान लेना वह ग़लती है जिस पर नज़र रखनी है।

• Triangle Area — the formula this page runs backwards, and the parallelogram argument that shows why the factor of two is there in the first place — Wolfram MathWorld (United States)
• Altitude — the perpendicular from a vertex to the opposite side, which is exactly the quantity this page returns, and why a triangle has three of them — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — what a triangle is, the vocabulary of base and altitude, and the several ways its area and its altitudes can be arrived at — Wolfram MathWorld (United States)