आयत कैलकुलेटर

A = l × w P = 2(l + w) d = √(l² + w²)

लंबाई

दो भुजाओं में से लंबी वाली, सेंटीमीटर में। पेज यह जाँचता नहीं कि यही लंबी है — दोनों खाने आपस में बदल देने पर भी वही तीन जवाब मिलते हैं, क्योंकि यहाँ का हर सूत्र लंबाई और चौड़ाई के साथ एक ही बरताव करता है

चौड़ाई

दूसरी भुजा, सेंटीमीटर में, लंबाई के समकोण पर। लंबाई के साथ मिलकर यह आयत को पूरी तरह तय कर देती है: आयत को दो स्वतंत्र संख्याएँ चाहिए, जबकि वर्ग को एक और त्रिभुज को तीन

क्षेत्रफल

आयत जितनी सतह घेरता है, वर्ग सेंटीमीटर में, यानी लंबाई गुणा चौड़ाई। तीनों नतीजों में यह अकेला है जो आकार के साथ-साथ उसके वर्ग के हिसाब से बढ़ता है — दोनों भुजाएँ दुगनी कीजिए तो क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है

परिमाप

चारों ओर का कुल फ़ासला, सेंटीमीटर में: लंबाई और चौड़ाई के जोड़ का दुगना, भुजाओं की दोनों जोड़ियों के लिए एक-एक बार। किनारे के साथ चलने वाली हर चीज़ के लिए यही माप चाहिए, और आकृति के बारे में यह सबसे कम बताता है, क्योंकि बहुत से अलग-अलग आयतों का परिमाप एक ही होता है

विकर्ण

एक कोने से सामने के कोने तक की सीधी दूरी, सेंटीमीटर में। यह लंबाई और चौड़ाई से बने समकोण त्रिभुज का कर्ण है, और आयत के अंदर बैठने वाली सबसे लंबी सीधी रेखा हमेशा यही होती है

l² + w²

दोनों वर्गों का जोड़, वर्गमूल लेने से पहले — बाद में नहीं। यह पाइथागोरस का प्रमेय उस रूप में है जिसमें आयत उसे इस्तेमाल करता है, और इसीलिए विकर्ण लंबाई से ज़रा बड़ा होता है पर लंबाई जमा चौड़ाई जितना कभी नहीं

चार दशमलव स्थान

हर नतीजा कितना चौड़ा लिखा जाता है। क्षेत्रफल और परिमाप तब ठीक होते हैं जब दोनों इनपुट ठीक हों, पर विकर्ण लगभग कभी नहीं: वह वर्गमूल है, इसलिए उसमें आम तौर पर अंकों की लंबी क़तार चलती रहती है और चार स्थान लिखने की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं

तीनों नतीजे एक ही चीज़ के बारे में तीन अलग व्यावहारिक सवालों का जवाब देते हैं, और यह जान लेना कि आपको कौन-सा चाहिए, आधा काम है। फ़र्श, पेंट, घास और कपड़ा क्षेत्रफल के हिसाब से बिकते हैं, इसलिए जब आयत एक सतह हो तो पढ़ने वाला स्तंभ यही है। किनारी, फ़्रेम, बाड़ और ट्रिम लंबाई के हिसाब से बिकते हैं, इसलिए वह परिमाप है — और यह जान लेना ज़रूरी है कि अकेला परिमाप आकृति नहीं बताता, इसलिए 4 गुणा 3 के कमरे और 7 गुणा 0 की पट्टी, दोनों में किनारी बराबर लगेगी, जो उतना ही सच है जितना बेकार। विकर्ण तब काम आता है जब आयत को किसी चीज़ के आर-पार या उसमें फ़िट करना हो: दरवाज़े का खुला हिस्सा, तस्वीर का फ़्रेम जिसका कोना सीधा करना हो, वह स्क्रीन जिसका नाप उसकी भुजाओं के बजाय उसके विकर्ण से बताया जाता है, या वह सबसे लंबी सीधी चीज़ जो किसी डिब्बे में लेटी रह सके। किसी आयत का कोना सचमुच सीधा है या नहीं, यह जाँचने का यह सबसे तेज़ तरीक़ा भी है — जिस चीज़ को आयत होना चाहिए उसके दोनों विकर्ण नापिए; अगर दोनों बराबर निकलें तो चारों कोण 90 अंश के हैं, और यही तरकीब बढ़ई कमरों पर और फ़्रेम बनाने वाले माउंट पर आज़माते हैं। इन तीनों में सबसे सीधा काम क्षेत्रफल और परिमाप का है; विकर्ण निकालना अकेला ऐसा नतीजा है जिसमें वर्गों का जोड़ लेकर उसका वर्गमूल लेना पड़ता है, और इसीलिए वही सबसे ज़्यादा छूट जाता है।

1. 4 गुणा 3 का आयत

   1. क्षेत्रफल: 4 × 3 = 12
   2. परिमाप: 2 × (4 + 3) = 14
   3. विकर्ण: √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

   यह वह इनपुट है जिसके साथ पेज खुलता है, और यह वह अकेला आयत है जिसके तीनों जवाब छोटे पूर्ण अंकों में आते हैं। यह 3-4-5 त्रिभुज को उसके कर्ण के साथ बीच से मोड़कर बना है, इसीलिए सब कुछ साफ़ निकलता है: इस आयत का विकर्ण उन सबसे पुराने पूर्ण-संख्या समकोण त्रिभुजों में से एक है जो जाने जाते हैं। अगर इस पेज की सिर्फ़ एक पंक्ति हाथ से जाँचनी हो, तो यही जाँचिए — इसका हर क़दम ऐसा अंकगणित है जो बिना कैलकुलेटर हो जाता है।

2. एक वर्ग, 5 गुणा 5

   1. क्षेत्रफल: 5 × 5 = 25
   2. परिमाप: 2 × (5 + 5) = 20
   3. विकर्ण: √(5² + 5²) = √50 = 7.0710678…, जो गोल करके 7.0711 होता है

   ऐसा आयत जिसकी दोनों भुजाएँ संयोग से बराबर हैं, यानी एक वर्ग — पर इसके लिए किसी दूसरे पेज की ज़रूरत नहीं: दोनों खानों में एक ही संख्या डालिए और तीनों सूत्र सही जवाब देते हैं। विकर्ण 5√2 है, और वह ऐसा वर्गमूल है जो कभी ख़त्म नहीं होता — इसीलिए बग़ल का वर्ग कैलकुलेटर भी 5 की भुजा पर वही 7.0711 छापता है। दो पेज, एक संख्या, और जान-बूझकर एक ही संख्या।

3. 6 गुणा 4 का आयत

   1. क्षेत्रफल: 6 × 4 = 24
   2. परिमाप: 2 × (6 + 4) = 20
   3. विकर्ण: √(36 + 16) = √52 = 7.2111025…, जो गोल करके 7.2111 होता है

   वह पंक्ति जिसे ऊपर वाली के सामने रखकर देखना चाहिए: यह आयत 5 गुणा 5 से लंबा और पतला है, यह ज़मीन ज़रा कम घेरता है — 24 बनाम 25 — और इसका परिमाप ठीक वही 20 है, पर विकर्ण 7.0711 के बजाय 7.2111। किनारा बराबर, आकृति अलग, और विकर्ण ही वह नतीजा है जिसे यह फ़र्क़ पकड़ता है। अकेला परिमाप आयत का कमज़ोर विवरण क्यों है, इसकी पूरी वजह यही है।

4. 5-12-13 वाला आयत

   1. क्षेत्रफल: 12 × 5 = 60
   2. परिमाप: 2 × (12 + 5) = 34
   3. विकर्ण: √(144 + 25) = √169 = 13

   इस पेज का दूसरा पूर्ण-संख्या समकोण त्रिभुज, और पहले से बड़ा। 5-12-13 वाला आयत 3-4-5 के साथ दूसरी जाँच के तौर पर याद रखने लायक है, क्योंकि यह इतना बड़ा है कि पैमाने की कोई ग़लती पकड़ में आ जाती है: 12 गुणा 5 मीटर का आयत एक वाजिब कमरा है, और उसका ठीक 13 मीटर का विकर्ण वह माप है जिसे सूत्र के बजाय फ़ीते से जाँचा जा सकता है।

5. बिना चौड़ाई वाला आयत

   1. क्षेत्रफल: 7 × 0 = 0
   2. परिमाप: 2 × (7 + 0) = 14
   3. विकर्ण: √(49 + 0) = 7

   शून्य चौड़ाई चलती है, और उसके तीनों नतीजे सही हैं तथा तीनों का मतलब अलग-अलग है। आयत चपटकर एक रेखाखंड बन चुका है: वह कोई क्षेत्र नहीं घेरता, इसलिए क्षेत्रफल 0 है; उसमें बोलने लायक कोई विकर्ण बचा ही नहीं, इसलिए विकर्ण लंबाई पर ही सिमटकर 7 रह जाता है; और परिमाप अब भी 2 × 7 = 14 है, यानी उस रेखाखंड के साथ जाने और वापस आने की दुगनी दूरी। बिना क्षेत्रफल वाली आकृति का परिमाप ग़लती जैसा लगता है, पर है नहीं।

पेज सिर्फ़ आयतों के लिए है: चार भुजाएँ, चार समकोण, आमने-सामने की भुजाएँ बराबर। जो समांतर चतुर्भुज आयत नहीं है, उसका आकार भी दो-अंदर-तीन-बाहर ही है पर विकर्ण दूसरा होता है, और बग़ल का समांतर चतुर्भुज वाला पेज वही सँभालता है। नतीजे सेंटीमीटर और वर्ग सेंटीमीटर में हैं, चाहे सूची में कोई भी इकाई चुनी हो, इसलिए इंच में डाली गई लंबाई सेंटीमीटर वाले जवाब के रूप में लौटती है, जिसे आपको ख़ुद बदलना होगा। चार दशमलव स्थान एक लिखने की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं: क्षेत्रफल और परिमाप तब ठीक होते हैं जब इनपुट ठीक हों, पर विकर्ण वर्गमूल है और उसके आख़िरी दो अंक तब तक मायने नहीं रखते जब तक इनपुट शुरू से ठीक न हों। पेज यह नहीं जाँचता कि दोनों इनपुट में से कौन-सा बड़ा है, और ज़रूरत भी नहीं — यहाँ हर सूत्र लंबाई और चौड़ाई के साथ सममित है, इसलिए दोनों बदल देने पर वही तीन जवाब मिलते हैं और कोई चेतावनी नहीं छपती। शून्य चौड़ाई चलती है और असली जवाब देती है, चाहे आकृति बिगड़ी हुई हो; पेज इसे ख़ाली खान नहीं मानता। यहाँ गोल कोनों वाला आयत, मुड़ी हुई सतह पर खींचा गया आयत, या पट्टे और बीम की मोटाई — जो एक तीसरा आयाम है और जिसके लिए इस पेज पर कोई खान नहीं — कुछ भी नहीं सँभाला जाता।

लंबाई की खान में कौन-सी भुजा डालूँ, इससे कुछ फ़र्क़ पड़ता है?

नहीं। इस पेज का हर सूत्र लंबाई और चौड़ाई के साथ एक ही बरताव करता है — क्षेत्रफल दोनों को गुणा करता है, परिमाप जोड़ता है, और विकर्ण दोनों का वर्ग करके जोड़ता है — इसलिए दोनों खाने बदल देने पर वही तीन जवाब मिलते हैं। पेज यह नहीं जाँचता कि कौन-सी बड़ी है, और ज़रूरत भी नहीं। अगर बड़ी संख्या पहले रखने से आपको सीधा रखना आसान लगता है, तो वह आदत है, शर्त नहीं।

विकर्ण लंबाई से बड़ा पर लंबाई जमा चौड़ाई से छोटा क्यों होता है?

क्योंकि वह उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है जो विकर्ण ने काटकर बनाया, इसलिए वह लंबाई के वर्ग और चौड़ाई के वर्ग के जोड़ का वर्गमूल है। वर्ग करके, जोड़कर, फिर मूल लेने पर जवाब हमेशा दोनों के बीच में आता है: किसी भी अकेली भुजा से बड़ा, क्योंकि मूल लेने से पहले कुछ धनात्मक जोड़ा गया है, और दोनों के जोड़ से छोटा, क्योंकि जोड़ का वर्ग वर्गों के जोड़ से बड़ा होता है। विकर्ण और लंबाई जमा चौड़ाई के बीच का यही फ़र्क़ वह है जो चारों ओर घूमने के बजाय बीच से काटकर बचता है।

दो अलग-अलग आयतों का परिमाप एक ही आ रहा है। यह कोई ख़राबी है?

नहीं, और तालिका इस घटना को दो बार दिखाने के लिए ही ऐसी सजाई गई है: 4 गुणा 3 और 7 गुणा 0 दोनों का परिमाप 14 है, और 5 गुणा 5 तथा 6 गुणा 4 दोनों का 20। परिमाप तय करता है कि आयत का किनारा कितना है, आकृति नहीं — बहुत से अलग-अलग आयतों का एक ही परिमाप होता है, और उनके क्षेत्रफल तथा विकर्ण अलग-अलग। आयत को पूरी तरह बताने के लिए दो संख्याएँ चाहिए, और यही वजह है कि यह पेज दो लेता है।

क्या इससे यह जाँचा जा सकता है कि कोना सीधा है?

हाँ, और यह सबसे पुरानी तरकीब है। जिस चीज़ को जाँचना हो उसके दोनों विकर्ण नापिए। अगर वे बराबर हैं तो चारों कोण समकोण हैं और वह आयत है; अगर बराबर नहीं हैं तो वह समांतर चतुर्भुज है या उसका कोई कोना मुड़ा हुआ है, और बड़ा विकर्ण अधिक कोण की तरफ़ पड़ता है। बड़े कमरे के लिए दो नापे हुए विकर्णों की तुलना करना 90 अंश का कोण नापने की कोशिश से आसान है, इसीलिए कारीगर यही तरीक़ा इस्तेमाल करते हैं।

शून्य चौड़ाई पर कुछ न देकर परिमाप 14 क्यों देता है?

क्योंकि चपटा आयत भी एक आकृति है, बस बिगड़ी हुई। उसे शून्य चौड़ाई तक दबाने पर वह 7 लंबा रेखाखंड बन जाता है, जो कोई क्षेत्र नहीं घेरता, इसलिए क्षेत्रफल 0 है और विकर्ण लंबाई पर ही सिमट जाता है। परिमाप के सूत्र को इससे फ़र्क़ नहीं पड़ता: लंबाई और चौड़ाई के जोड़ का दुगना यानी 7 का दुगना, जो रेखाखंड के साथ जाने और वापस आने की दूरी है — एक-एक बार उन दोनों लंबी भुजाओं के लिए जो अब एक-दूसरे पर पड़ी हैं। जवाब असली है, और पेज शून्य को ख़ाली खान नहीं, एक इनपुट मानता है।

यह वर्ग कैलकुलेटर से अलग कैसे है?

वर्ग वह आयत है जिसकी भुजाएँ बराबर हों, इसलिए यहाँ सब कुछ वर्ग पर भी चलता है — दोनों खानों में एक ही संख्या डालिए और तीनों जवाब सही आते हैं। फ़र्क़ सवाल की दिशा का है। यह पेज दो संख्याएँ लेता है और जवाब देता है; वर्ग वाला पेज भुजा, परिमाप या क्षेत्रफल में से कोई एक लेकर बाक़ी निकालता है, क्योंकि वर्ग में स्वतंत्रता की एक ही डिग्री है और आयत में दो। जब दोनों भुजाएँ मालूम हों तो यह पेज इस्तेमाल कीजिए, और जब एक माप मालूम हो और बाक़ी चाहिए तो वर्ग वाला पेज।

• Rectangle — the four-sided figure with right angles, with the area, the perimeter and the diagonal this page computes, and the note that the diagonal follows from the Pythagorean theorem — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean theorem — the relation the diagonal output rests on, that the square on the hypotenuse equals the sum of the squares on the other two sides, which for a rectangle is the length squared plus the width squared — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadrilateral — the family a rectangle belongs to, with the inclusion tree showing that every square is a rectangle and every rectangle is a parallelogram, which is why the square and parallelogram pages are the ones linked from here — Wolfram MathWorld (United States)