वर्ग का क्षेत्रफल कैलकुलेटर

A = s × s = s²

s

भुजा की लंबाई, सेंटीमीटर में: चारों में से कोई भी, क्योंकि चारों बराबर हैं। यही इस पेज को चाहिए वाला अकेला इनपुट है, और यह ऋणात्मक नहीं हो सकता। यह शून्य से लेकर एक अरब सेंटीमीटर तक कुछ भी हो सकता है, यानी दस हज़ार किलोमीटर — यह सीमा इसलिए है कि गुणा करने पर संख्या कंप्यूटर की सटीक गिनती की हद में रहे, इसलिए नहीं कि इतना बड़ा वर्ग कल्पना से बाहर है

A

वर्ग का क्षेत्रफल, cm² में: भुजा गुणा भुजा। यह चार दशमलव स्थानों तक छपता है, इस उपवर्ग के बाक़ी क्षेत्रफल पेजों जितनी ही चौड़ाई में, ताकि एक ही आकृति का जवाब यहाँ, वर्ग कैलकुलेटर पर और आयत कैलकुलेटर पर एक जैसा पढ़ा जाए

s × s

गुणा, घात लिखने के बजाय खोलकर लिखा हुआ, ताकि दोनों गुणक एक ही संख्या के रूप में दिखें। यही वजह है कि क्षेत्रफल भुजा के वर्ग के हिसाब से बढ़ता है: दुगुनी लंबी भुजा चार गुना क्षेत्रफल देती है, तिगुनी नौ गुना, और आधी की गई भुजा चौथाई। यह इस पेज की सबसे काम की बात है, क्योंकि इसका मतलब यह है कि भुजा का मोटा-मोटी अंदाज़ा क्षेत्रफल का भी मोटा-मोटी अंदाज़ा दे देता है

cm²

वह इकाई जिसमें जवाब छपता है: एक cm² उस वर्ग जितनी सतह है जिसकी हर भुजा एक सेंटीमीटर हो, इसलिए ऐसे 25 वर्ग 5 भुजा वाले वर्ग को ठीक-ठीक भर देते हैं — पाँच पंक्तियाँ, हर पंक्ति में पाँच। छोटा-सा ² कोई सजावट नहीं है: यही निशान बताता है कि संख्या के साथ इकाई का भी वर्ग हुआ है, और इसीलिए 25 cm² का क्षेत्रफल 20 cm के परिमाप जैसी कोई राशि नहीं है, चाहे दोनों एक ही सेंटीमीटर से बने हों

m²

जवाब क्या बनता है जब भुजा मीटर में नापी गई हो: 2 मीटर की भुजा 4 m² देती है, 3 की 9। यह पेज सेंटीमीटर में काम करता है, इसलिए मीटर में डाली गई भुजा गुणा करने से पहले सेंटीमीटर में बदल दी जाती है और जवाब cm² में लौटता है — 4 m² यानी 40,000 cm²। उलटी तरफ़, cm² से m² बनाने में सौ से नहीं, दस हज़ार से भाग जाता है, क्योंकि दोनों नापें बदलनी पड़ती हैं

यह पेज तब लीजिए जब आपने किसी चौकोर चीज़ की एक भुजा नाप ली हो और जानना हो कि वह कितनी सतह ढँकती है: कोई टाइल, काँच का फलक, प्लाईवुड की शीट, ज़मीन का टुकड़ा, मेज़ की ऊपरी सतह, कपड़े का चौकोर टुकड़ा। फ़ीते से क्षेत्रफल तक का यह सबसे छोटा रास्ता है, और ऊपर दी गई तालिका का मतलब यह है कि उसकी आठों नापों का जवाब पहले से स्क्रीन पर है। यह वह पेज भी है जो किसी और का बताया हुआ अंक जाँचने के काम आता है। चूँकि पूरा गणित एक ही गुणा है, ग़लत लगता हुआ क्षेत्रफल कुछ ही सेकंड में हाथ से जाँचा जा सकता है — भुजा 5 के लिए 25 cm² बताया जाना सही है, और भुजा 10 के लिए 25 बताया जाना ग़लत, क्योंकि 10 × 10 = 100 होता है। m² में बताए गए किसी भी क्षेत्रफल पर यह जाँच कर लेनी चाहिए, क्योंकि cm² और m² के बीच का गुणक दस हज़ार है और इस पूरे परिवार के हिसाबों में सबसे आम ग़लती दशमलव का ग़लत जगह खिसक जाना है। भुजा के बजाय परिमाप या विकर्ण आपके पास हो, या चारों पढ़तें एक ही जगह चाहिए, तो वर्ग कैलकुलेटर लीजिए। और जब दोनों भुजाएँ अलग-अलग हों तो आयत कैलकुलेटर लीजिए, जो असली कमरों और शीटों की आम हालत है — यह पेज मान लेता है कि भुजाएँ बराबर हैं, और 5 तथा 6 भुजा वाला आयत 30 cm² ढँकता है, 25 नहीं।

1. 5 सेंटीमीटर भुजा वाला वर्ग

   1. भुजा को ख़ुद से गुणा कीजिए: 5 × 5 = 25
   2. जवाब है 25 cm²

   यही वह पंक्ति है जो पेज खुलते ही भरी दिखती है, और यही वह है जिससे किसी भी शक़ वाले क्षेत्रफल को जाँचा जा सकता है: गणित एक ही गुणा है, इसलिए इसे पेज के बिना भी जाँचा जा सकता है। यही वह पंक्ति भी है जो इस उपवर्ग के दो और औज़ारों से मिलती है — भुजा 5 डालने पर वर्ग कैलकुलेटर 25 का क्षेत्रफल लौटाता है, और लंबाई 5 तथा चौड़ाई 5 डालने पर आयत कैलकुलेटर वही 25 लौटाता है, और यह देखने का सबसे साफ़ तरीक़ा यही है कि वर्ग ऐसा आयत है जिसकी दोनों भुजाएँ संयोग से बराबर निकलीं।

2. 2.5 सेंटीमीटर भुजा वाला वर्ग

   1. भुजा को ख़ुद से गुणा कीजिए: 2.5 × 2.5 = 6.25
   2. जवाब है 6.25 cm²

   एक दशमलव वाली भुजा से दो दशमलव वाला क्षेत्रफल निकलता है, और यह इस उदाहरण का संयोग नहीं: वर्ग करने पर दशमलव स्थानों की संख्या दुगुनी हो जाती है, इसलिए मिलीमीटर तक पढ़ी गई नाप सेंटीमीटर में दो दशमलव स्थानों वाला क्षेत्रफल लौटाती है। यह यह भी दिखाता है कि पेज जो चार दशमलव छापता है वह दिखाने की चौड़ाई है, सटीकता का दावा नहीं — 6.25 सटीक है, और लंबे जवाब पर जो दो शून्य पेज लगाता, वे ज़्यादा सटीकता नहीं हैं। अगर कोई सामग्री काटनी हो, तो 6.25 और 6.3 cm² का फ़र्क़ किनारे की एक पतली-सी धार है, और दोनों उस 2.5 जितने ही भरोसेमंद हैं जो आपने नापा।

3. 12 सेंटीमीटर भुजा वाला वर्ग

   1. भुजा को ख़ुद से गुणा कीजिए: 12 × 12 = 144
   2. जवाब है 144 cm²

   बारह इसलिए आम नाप है क्योंकि एक मीटर उससे पूरे-पूरे बँट जाता है, और 12 सेंटीमीटर भुजा वाली चौकोर टाइल जानी-पहचानी चीज़ है। संख्या ख़ुद भी ध्यान देने लायक़ है: 144 एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए उसका वर्गमूल वापस वही भुजा देता है जिससे आपने शुरू किया था। उसी तालिका में तुलना भी मौजूद है: भुजा 10 से 100 आता है, यानी भुजा पर दो सेंटीमीटर ज़्यादा — पाँचवाँ हिस्सा ज़्यादा — क्षेत्रफल में लगभग आधा और जोड़ देते हैं, और यही वृद्धि का नियम दो ऐसी नापों पर दिखता है जिन्हें आँखों से देखा जा सकता है।

4. 0.5 सेंटीमीटर भुजा वाला वर्ग

   1. भुजा को ख़ुद से गुणा कीजिए: 0.5 × 0.5 = 0.25
   2. जवाब है 0.25 cm²

   आधे सेंटीमीटर की भुजा चौथाई वर्ग सेंटीमीटर का क्षेत्रफल देती है, और यह पहली बार देखकर चौंकाता है: जवाब इनपुट से छोटा हो गया, जबकि इस पेज का हर दूसरा उदाहरण उसे बड़ा करता है। नियम वही है — एक से छोटी संख्या को ख़ुद से गुणा करने पर वह हमेशा सिकुड़ती है — और इसका व्यावहारिक नतीजा यह है कि छोटी चीज़ों का क्षेत्रफल सचमुच बहुत छोटा होता है, इसलिए कुछ मिलीमीटर की चीज़ के लिए पूरे वर्ग सेंटीमीटर में बताया गया क्षेत्रफल दोबारा देखने लायक़ है। यह वह पंक्ति भी है जो दिखाती है कि वर्ग करना दशमलव के साथ क्या करता है, क्योंकि अंदर आते समय का एक दशमलव स्थान बाहर निकलते समय दो बन जाता है।

यह पेज एक ही चीज़ निकालता है: भुजा की लंबाई से वर्ग का क्षेत्रफल। यह परिमाप नहीं छापता, जो भुजा का चार गुना है, और विकर्ण भी नहीं, जो भुजा गुणा √2 है — दोनों आपके दिए हुए इनपुट से निकल जाते हैं और दोनों वर्ग कैलकुलेटर पर हैं, जो तब लेना चाहिए जब ये यहीं चाहिए हों। यह उलटी दिशा में नहीं चलता। क्षेत्रफल डालकर भुजा निकालने का कोई ख़ाना नहीं है, इसलिए टाइल लगाने वाले का असली सवाल — 50 cm² ढँकने के लिए कितनी लंबी चौकोर टाइल चाहिए — यहाँ हल नहीं होता, उसके लिए वर्ग करने के बजाय वर्गमूल चाहिए। जवाब हमेशा cm² में छपता है, चाहे भुजा इंच, फ़ुट या मीटर में डाली गई हो, इसलिए वह जवाब सेंटीमीटर में आता है और उसे ख़ुद बदलना पड़ता है; इकाई वाले ड्रॉपडाउन इनपुट बदलते हैं, जवाब नहीं। cm² को m² में बदलने में सौ से नहीं, दस हज़ार से भाग जाता है, और यही सबसे आम ग़लती है जिससे इस पेज का कोई क्षेत्रफल किसी क़ोट या ऑर्डर फ़ॉर्म तक पहुँचते-पहुँचते सौ गुना इधर-उधर हो जाता है। ऋणात्मक भुजा को वर्ग करने के बजाय ग़लती बताई जाती है, क्योंकि वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती, पर भुजा शून्य का जवाब शून्य क्षेत्रफल से दिया जाता है, मना नहीं किया जाता — बिना नाप का वर्ग एक असली सवाल का असली जवाब है और पेज वह देता है। एक अरब सेंटीमीटर से बड़ी भुजाएँ मना कर दी जाती हैं, जिसका ज्यामिति से कोई लेना-देना नहीं और सब कुछ इससे है कि वर्ग करने पर संख्या उस हद में रहे जहाँ तक कंप्यूटर ठीक-ठीक गिन सकता है; उस हद के नीचे क्षेत्रफल दिखाए गए चार दशमलव तक सटीक रहते हैं। पेज यह नहीं जाँचता कि आपकी आकृति वर्ग है। यह मान लेता है कि चारों भुजाएँ बराबर हैं, जैसा नाम कहता है, और ग़लत बताए गए आयत का क्षेत्रफल भी ख़ुशी-ख़ुशी निकाल देगा — अगर दोनों भुजाएँ अलग हों तो आयत कैलकुलेटर वह पेज है जो चाहिए, और वह फ़र्क़ तुरंत दिखा भी देगा। यहाँ बरबादी, कटाई की धार, किनारे, ग्राउट की लाइनें या टाइलों के बीच का फ़ासला — कुछ नहीं जोड़ा जाता, इसलिए यह पेज जो क्षेत्रफल लौटाता है वह आकृति का क्षेत्रफल है, ख़रीदने वाली सामग्री की मात्रा नहीं।

वर्ग का क्षेत्रफल कैसे निकालें?

भुजा की लंबाई को ख़ुद से गुणा करके। सूत्र लिखें तो A = s × s या A = s²। 5 सेंटीमीटर भुजा वाला वर्ग 25 cm² ढँकता है, क्योंकि 5 × 5 = 25। बस इतना ही सूत्र है — इसमें न आधे का कोई गुणक है, न कोई स्थिरांक, और यही वर्ग को सबसे आसान क्षेत्रफल बनाता है और बाक़ी सब आकृतियों के लिए संदर्भ बिंदु बना देता है।

भुजा दुगुनी करने पर क्षेत्रफल चार गुना क्यों हो जाता है?

क्योंकि वर्ग एक साथ दो दिशाओं में बढ़ता है। भुजा दुगुनी कीजिए तो चौड़ाई और ऊँचाई दोनों दुगुनी हो गईं, इसलिए क्षेत्रफल पर दो बार दो का गुणा लगता है: 2 × 2 = 4। भुजा 5 वाला वर्ग 25 cm² ढँकता है और भुजा 10 वाला 100, 50 नहीं। यही नियम उलटी तरफ़ भी चलता है — भुजा आधी करने पर क्षेत्रफल चौथाई रह जाता है, इसलिए भुजा 2.5 से 6.25 आता है, यानी 25 का चौथाई। इसी वजह से नाप में ज़रा-सी चूक असर में उससे कहीं बड़ी लगती है।

एक वर्ग मीटर में कितने वर्ग सेंटीमीटर होते हैं?

दस हज़ार, सौ नहीं। एक मीटर सौ सेंटीमीटर का होता है, और क्षेत्रफल बदलने का मतलब है उसकी दोनों नापें बदलना, इसलिए गुणक 100 × 100 = 10,000 बनता है। एक m² दस हज़ार cm² के बराबर है, और एक cm² 0.0001 m² के बराबर। यही जाल cm² और mm² के बीच दिखता है जहाँ गुणक सौ है, और m² तथा हेक्टेयर के बीच जहाँ वह फिर दस हज़ार है। अगर इस पेज का कोई क्षेत्रफल m² वाले ऑर्डर फ़ॉर्म पर जाना हो, तो दस हज़ार से भाग दीजिए।

क्या यह पेज आयत के लिए ले सकते हैं?

नहीं, जब तक वह आयत वर्ग न हो। यह पेज एक भुजा को उसी से गुणा करता है, और वह सिर्फ़ तब सही है जब चारों भुजाएँ बराबर हों; 5 सेंटीमीटर गुणा 6 का आयत 30 cm² ढँकता है, जबकि इस पेज पर वही इनपुट 25 बताता। उसी उपवर्ग का आयत कैलकुलेटर दो अलग-अलग भुजाएँ लेकर उन्हें गुणा करता है, और जिस आकृति की भुजाएँ अलग हों उसके लिए वही पेज लीजिए — वर्ग कैलकुलेटर जो दिया जाए उसे वर्ग मान लेता है, इसलिए उसमें आयत का परिमाप या क्षेत्रफल डालने से सिर्फ़ उस वर्ग के बारे में पता चलता है जिसका परिमाप या क्षेत्रफल वही है, आपके आयत के बारे में नहीं। अगर दोनों भुजाओं का फ़र्क़ आपकी पेंसिल की लाइन से भी कम हो, तो कोई भी पेज चलेगा।

भुजा शून्य डालने पर क्या मिलता है?

शून्य क्षेत्रफल, जो मना करने के बजाय छापा जाता है। बिना नाप के वर्ग का कोई क्षेत्रफल नहीं होता, और यह ग़लती नहीं बल्कि असली जवाब है — पेज अपने ग़लती के संदेश ऋणात्मक भुजा के लिए बचा रखता है, जिसका लंबाई के रूप में होना ही नामुमकिन है। 0 डालिए और तालिका की आख़िरी पंक्ति भी यही दिखाती है। बग़ल की हालत भी जान लेना ठीक है: ऋणात्मक भुजा पर ग़लती बताई जाती है, क्योंकि पेज यह तय नहीं कर सकता कि आपका मतलब लंबाई था या उसका चिह्न।

जवाब चार दशमलव स्थानों के साथ क्यों आता है?

चार दशमलव इस उपवर्ग के क्षेत्रफल पेजों की साझा दिखाने की चौड़ाई है, ताकि एक ही आकृति यहाँ, वर्ग कैलकुलेटर पर और आयत कैलकुलेटर पर एक ही रूप में छपे। यह सटीकता का दावा नहीं है। फ़ीते से मिलीमीटर तक नापी गई भुजा क़रीब पचास में एक हिस्से तक सही होती है, जो जवाब के चौथे दशमलव से कहीं मोटी बात है; ये अतिरिक्त अंक इसलिए रहते हैं कि सटीक जवाब — भुजा 2.5 पर 6.25, भुजा 0.5 पर 0.25 — पूर्णांकित होने के बजाय साफ़-सुथरे निकलें।

• Square — the four-sided figure with equal sides and right angles that this page computes the area of, including the relation between the side, the diagonal and the area — Wolfram MathWorld (United States)
• Area — the general treatment of what an area is and how it behaves under scaling, which is where the rule that doubling a side quadruples the area comes from — Wolfram MathWorld (United States)
• NIST Special Publication 811 — the United States guide to the metric system, including the rule that a unit raised to a power carries that power in its symbol, which is why an area in centimetres is written cm² — National Institute of Standards and Technology (United States)