लघुगणक कैलकुलेटर

log_b(x) = ln x / ln b b^y = x ⟺ y = log_b(x)

x

आर्गुमेंट, यानी वह संख्या जिसका लघुगणक लिया जाता है। यह धनात्मक होनी चाहिए — 0 का लघुगणक ऋण अनंत की ओर भागता है, और ऋणात्मक संख्या का लघुगणक वास्तविक संख्या ही नहीं है, इसलिए पेज दोनों को ठुकरा देता है, जवाब जैसा दिखने वाला कोई मान छापने के बजाय। स्वीकार किया जाने वाला दायरा 10⁻¹² से 10¹⁵ तक है, और इनके बाहर का मान इनपुट के दरवाज़े पर ही रुक जाता है

b

आधार, यानी वह संख्या जिसे घात तक उठाया जाता है। यह धनात्मक होना चाहिए और 1 नहीं हो सकती, क्योंकि 1 की किसी भी घात 1 ही रहती है — आधार 1 पर अकेला ऐसा आर्गुमेंट जिसका लघुगणक हो, वह ख़ुद 1 है, और वह 1 के बारे में एक कथन है, आर्गुमेंट के बारे में नहीं, इसलिए समीकरण जानकारी देना बंद कर देता है और पेज यही कह देता है। आधार भी 10⁻¹² से 10¹⁵ तक जाता है, और 1 से नीचे का आधार अपने आप में कोई ग़लती नहीं — वह जवाब का चिह्न उलट देता है, जैसे 100 का लघुगणक आधार 10⁻¹² पर -0.166667 है

log_b(x)

आपके डाले हुए आधार का लघुगणक, यानी मुख्य पाठ। यह वह घातांक है जो आधार को आर्गुमेंट में बदल देता है: 81 का लघुगणक आधार 3 पर 4 है क्योंकि 3⁴ = 81। पेज को उलटा पढ़िए तो यह यह भी बताता है कि आधार को ख़ुद से कितनी बार गुणा करना पड़ेगा, और इसीलिए लघुगणक हर उस चीज़ का स्वाभाविक औज़ार है जो बार-बार गुणा होती है

ln x

प्राकृतिक लघुगणक, यानी आधार e का लघुगणक, जहाँ e करीब 2.718281828 है। यह बॉक्स में डाले गए आधार की परवाह किए बिना हमेशा आधार e पर ही निकाला जाता है, और यही वह लघुगणक है जिसमें कलन लिखा जाता है और जिसकी वैज्ञानिक कैलकुलेटर में अपनी अलग कुंजी होती है। 1000 के प्राकृतिक लघुगणक 6.907755 हैं, और अर्धायु तथा सतत वृद्धि दोनों सीधे इसी से पढ़े जाते हैं

lg x

साधारण लघुगणक, यानी आधार 10 का लघुगणक, जो बॉक्स के आधार से अलग, हमेशा निकाला जाता है। यह परिमाण के स्तरों का लघुगणक है, इसीलिए pH, डेसिबल और रिक्टर पैमाने के पीछे यही बैठा है। जब आपका डाला हुआ आधार 10 हो तो यह कॉलम और मुख्य कॉलम एक ही संख्या छापते हैं, और यह दोहराव नहीं बल्कि पुष्टि है — इसी से दिखता है कि आपने जो आधार टाइप किया वही आपके मन के लघुगणक का आधार है

1. 1000 का लघुगणक आधार 10 पर

   1. आधार 10, आर्गुमेंट 1000 — यानी साधारण लघुगणक
   2. 10 × 10 × 10 = 1000, इसलिए आधार को ख़ुद से तीन बार गुणा करना पड़ता है
   3. लघुगणक 3 है, और वह गोल किया हुआ नहीं, ठीक-ठीक है
   4. साधारण लघुगणक का कॉलम भी 3 ही छापता है, क्योंकि डाला गया आधार पहले से 10 है

   वह मामला जिसके लिए यह पेज सबसे ज़्यादा खोला जाता है, और सबसे साफ़ सबूत कि लघुगणक एक घातांक है, कोई बटन नहीं। इसी आर्गुमेंट के प्राकृतिक लघुगणक 6.907755 हैं, और ये दो संख्याएँ एक-दूसरे की विरोधी नहीं: वे एक ही तथ्य को दो अलग आधारों में गिनती हैं, और किसी एक को दूसरे में बदला जा सकता है — नए आधार के लघुगणक से भाग देकर।

2. 1024 का लघुगणक आधार 2 पर

   1. आधार 2, आर्गुमेंट 1024 — वह आधार जिसमें कंप्यूटर गिनते हैं
   2. दस बार दुगुना: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
   3. इसलिए लघुगणक 10 है, और 2 की दसवीं घात ठीक 1024 होती है
   4. आधार परिवर्तन सूत्र भी वही देता है: ln 1024 ÷ ln 2 = 6.931472 ÷ 0.693147

   आधार 2 का मामला वह जगह है जहाँ लघुगणक कक्षा की चीज़ से गिनने की चीज़ बन जाता है: जवाब यह बताता है कि कितनी बार दुगुना करना पड़ेगा, इसीलिए यह बाइनरी उपसर्गों से लेकर संतुलित पेड़ की गहराई तक हर जगह मिलता है। ध्यान दीजिए कि साधारण लघुगणक का कॉलम 3 के बजाय 3.010300 छापता है — 1024 हज़ार से ज़रा-सा ज़्यादा है, और वह ज़रा-सा हिस्सा ही दशमलव के बाद दर्ज होता है।

3. 0.5 का लघुगणक आधार 2 पर

   1. आर्गुमेंट 1 से छोटा है, इसलिए लघुगणक ऋणात्मक होगा
   2. 2 की घात -1 यानी 1 ÷ 2 = 0.5
   3. लघुगणक ठीक -1 है
   4. यहाँ हर कॉलम ऋणात्मक है, दोनों नामित लघुगणक भी

   पेज का वह आधा हिस्सा जिसे हाथ से करने पर सबसे ज़्यादा ग़लती होती है: 1 से छोटा आर्गुमेंट ऋणात्मक लघुगणक देता है, और लघुगणक ठीक शून्य से आर्गुमेंट 1 पर ही गुज़रता है। किसी भी आधार पर 1 के अलावा कोई आर्गुमेंट ऐसा नहीं जिसका लघुगणक शून्य हो, और शक़ भरे जवाब की सबसे तेज़ जाँच यही है।

आर्गुमेंट 10⁻¹² से 10¹⁵ तक का धनात्मक वास्तविक मान होना चाहिए, और आधार भी उसी दायरे में धनात्मक होना चाहिए। शून्य और ऋणात्मक आर्गुमेंट जवाब देने के बजाय ठुकरा दिए जाते हैं: पहला ऋण अनंत की ओर भागता है और दूसरा सम्मिश्र संख्या है, और इनमें से कुछ भी इस पेज के छापने की चीज़ नहीं। आधार 1 नहीं हो सकता, और यह दायरे को छोटा करना नहीं बल्कि परिभाषा की शर्त है — 1 की हर घात 1 ही होती है, इसलिए आधार 1 पर किसी भी आर्गुमेंट का लघुगणक एक अकेली संख्या नहीं होता। पेज छह दशमलव तक बताता है, जो प्रदर्शन की सीमा है, परिशुद्धता की नहीं — भीतर का हिसाब पूरी द्विगुण परिशुद्धता से होता है, और आधार परिवर्तन सूत्र बिंदु-गणित में निकलता है, इसलिए जिस लघुगणक को पूर्ण संख्या होना चाहिए वह बाल के बराबर हटकर आ सकता है और छापने के लिए वापस गोल कर दिया जाता है। यह वास्तविक संख्याओं का औज़ार है: सम्मिश्र लघुगणक, सम्मिश्र आर्गुमेंट के लघुगणक और उनके साथ आने वाली शाखा-कटौतियाँ इसके बाहर हैं। यह कुछ आरेखित, अवकलित या समाकलित नहीं करता। और नीचे की संदर्भ तालिका सिर्फ़ वे लघुगणक रखती है जो पूर्ण संख्या बनकर आते हैं — दशमलव लघुगणकों की तालिका को स्थानीय बनाना पड़ता, क्योंकि 0.301030 कई भाषाओं में 0,301030 लिखा जाता है, जबकि पूर्ण संख्याएँ हर जगह एक ही तरह लिखी जाती हैं।

लघुगणक क्या होता है?

यह वह घातांक है जो आधार को आर्गुमेंट में बदल देता है। 1000 का लघुगणक आधार 10 पर पूछने का मतलब है कि 1000 देने के लिए 10 को किस घात तक उठाना पड़ेगा, और जवाब 3 है। पूरी परिभाषा इतनी ही है: b की घात log_b(x) यानी x। लॉग के बाक़ी सारे नियम — गुणनफल, भागफल और घात के नियम — इसी एक वाक्य से निकलते हैं, इसीलिए पेज सूत्र के नीचे घात वाला रूप भी छापता है।

आधार 1 क्यों नहीं हो सकता?

क्योंकि 1 की किसी भी घात 1 ही रहती है। आधार 1 पर समीकरण 1 की घात y बराबर x का हल सिर्फ़ तब है जब x ख़ुद 1 हो, और तब हर y चल जाता है, इसलिए लघुगणक एक अकेली संख्या नहीं रह जाता। हिसाब दूसरी तरफ़ से भी यही कहता है: आधार परिवर्तन सूत्र में आधार के लघुगणक से भाग दिया जाता है, और 1 का लघुगणक हर आधार पर 0 होता है, यानी भाग शून्य से हो रहा होता। पेज आधार 1 को मना करता है, बिंदु-गणित जो भी निकाल दे उसे लौटाने के बजाय।

क्या ऋणात्मक संख्या का लघुगणक निकाल सकते हैं?

वास्तविक संख्या के रूप में नहीं, और इस पेज पर नहीं। ऋणात्मक आर्गुमेंट का लघुगणक सम्मिश्र होता है, और यह वास्तविक संख्याओं का औज़ार है। शून्य दूसरी वजह से ठुकराया जाता है: 0 का लघुगणक अपरिभाषित नहीं, असीमित है — आर्गुमेंट ऊपर से 0 की ओर बढ़ते-बढ़ते वह ऋण अनंत की ओर भागता है, और ऋण अनंत ऐसी संख्या नहीं जिसे यह पेज छाप सके। दोनों मनाही अपने साथ वह आर्गुमेंट भी बताती हैं जिसकी वजह से वे लगीं।

ln और lg में क्या फ़र्क़ है?

वे दो नामित आधारों में एक ही क्रिया हैं। ln प्राकृतिक लघुगणक है, आधार e पर, जहाँ e करीब 2.718281828 है; lg साधारण लघुगणक है, आधार 10 पर। पेज दोनों छापता है, चाहे आप कोई भी आधार डालें, क्योंकि इनमें से कोई भी दूसरे का ख़ास मामला नहीं और दोनों को नाम लेकर पूछा जाता है। ln वह है जो कलन में और सतत वृद्धि में आता है, और lg वह जिसके पीछे pH, डेसिबल और परिमाण के स्तरों में नापा जाने वाला हर पैमाना है।

पेज एक ही संख्या दो बार क्यों छापता है?

क्योंकि आपने वह आधार डाला है जो किसी नामित लघुगणक से मेल खाता है। आधार 10 पर मुख्य कॉलम और साधारण लघुगणक का कॉलम एक ही संख्या रखते हैं, और आधार e पर मुख्य कॉलम और प्राकृतिक लघुगणक का कॉलम। यह दोहरा हिसाब नहीं बल्कि पुष्टि है: इसी से पाठक देख सकता है कि उसने जो आधार टाइप किया वही उसके मन के लघुगणक का आधार है। कोई भी दूसरा आधार तीन अलग संख्याएँ देता है।

लघुगणक हाथ से कैसे जाँचूँ?

आधार को जवाब की घात तक उठाइए और देखिए कि आर्गुमेंट वापस आता है या नहीं। 1024 का लघुगणक आधार 2 पर 10 है, और 2 की दसवीं घात 1024 होती है, इसलिए जाँच पूरी हुई। भिन्न जवाब पर भी जाँच चलती है, बस दिमाग़ में करना कठिन है — और यहीं सूत्र-खंड का आधार परिवर्तन सूत्र अपनी जगह कमाता है: जोड़े हुए दो लघुगणक बाँट देना उस घातांक को ढूँढ़ने से आसान है जो सीधे नहीं दिखता।

• Logarithm — the definition, the change of base formula this page computes with, and the domain restrictions on the base and the argument — Wolfram MathWorld (United States)
• Natural Logarithm — the base-e logarithm, including the series and the derivative that make it the logarithm of calculus — Wolfram MathWorld (United States)
• Common Logarithm — the base-10 logarithm and its history as the logarithm of tables and orders of magnitude — Wolfram MathWorld (United States)