प्रतिलघुगणक कैलकुलेटर

x = b^y (b आधार है, y लघुगणक, x आर्गुमेंट)

y

लघुगणक, यानी वह घातांक जिससे शुरुआत होती है। ऋणात्मक एक हज़ार से धनात्मक एक हज़ार तक का कोई भी मान चलता है, और ऋणात्मक मान कोई ख़ास मामला नहीं है: आधार 10 पर घातांक -2 का जवाब 0.01 है, यानी 1 से नीचे, और ऋणात्मक लघुगणक का मतलब ठीक यही होता है। भिन्न घातांक भी चलते हैं, और आम तौर पर जवाब अपरिमेय निकलता है — 2.5 का प्रतिलघुगणक 316.227766 आता है, जिसका ठीक मान 100√10 है और किसी भी दशमलव संख्या से वह ख़त्म नहीं होता

b

आधार, यानी वह संख्या जिसे घात तक उठाया जाता है। इसे धनात्मक होना चाहिए और 1 नहीं हो सकती, और यहाँ यह मनाही लघुगणक वाले पेज से ज़्यादा ज़रूरी है: उलटी दिशा में हिसाब करने पर 1 की किसी भी घात चुपचाप 1 लौटाती है, इसलिए बिना इस अड़चन के कैलकुलेटर हर डाले गए लघुगणक पर आर्गुमेंट 1 छापता रहता। 1 से छोटा आधार चलता है और वृद्धि के बजाय क्षय बताता है: आधार 0.5 पर घातांक 10 का जवाब 0.000977 है। ऊपरी और निचली दोनों सीमाएँ 10¹⁵ और 10⁻¹⁵ हैं, और निचली सीमा दशमलव में लिखनी पड़ती है

b^y

घात स्वयं, यानी वह अकेली क्रिया जो यह पेज करता है। पूरा पेज एक घातांक है, साथ में दो ओवरफ़्लो जाँचें जो तय करती हैं कि नतीजा छापने लायक है या नहीं। आधार को घात तक उठाना घातों की संख्या-रेखा पर आधार को आगे बढ़ाने जैसा है, इसीलिए घातांक में मामूली-सा बदलाव जवाब में बड़ा फ़र्क़ लाता है: आधार 10 पर घातांक 3 का जवाब 1,000 है और घातांक 7 का जवाब 1,00,00,000

x

आर्गुमेंट, यानी वही संख्या जिसका मूल लघुगणक लिया गया था, और इस पेज का एकमात्र आउटपुट। यह हमेशा धनात्मक रहता है, क्योंकि धनात्मक आधार की कोई भी घात धनात्मक होती है — इसलिए लघुगणक वाले पेज के उलट यहाँ शून्य या ऋणात्मक का कोई मामला ठुकराने को नहीं है। पैनल इसे प्रतिलघुगणक कहता है, और नीचे की तालिका उसी कॉलम को आर्गुमेंट कहती है, क्योंकि दोनों एक ही संख्या के दो नाम हैं

1. 3 का प्रतिलघुगणक आधार 10 पर

   1. आधार को लघुगणक तक उठाइए: 10 की घात 3
   2. 10 × 10 × 10 = 1000
   3. आर्गुमेंट ठीक-ठीक 1000 है, कोई अनुमान नहीं
   4. लघुगणक वाले पेज से मिलाइए: 1000 का लघुगणक आधार 10 पर 3 ही है

   दोनों पेजों की जोड़ी यहीं सबसे साफ़ दिखती है। लघुगणक वाला पेज 1000 लेता है और 3 लौटाता है; यह पेज 3 लेता है और 1000 लौटाता है। किसी भी दिशा में जाँच एक ही घातांक है, और दोनों जवाब अनुमान नहीं हैं। सवाल आपको जो भी संख्या दे, दूसरी तक पहुँच सकते हैं — और इसी वजह से लघुगणक की तालिका कभी दो तरह से नहीं छपती थी।

2. ऋणात्मक लघुगणक का प्रतिलघुगणक

   1. ऋणात्मक घातांक का मतलब है धनात्मक घात का व्युत्क्रम
   2. 10 की घात 2 यानी 100, इसलिए 10 की घात -2 यानी 1 ÷ 100
   3. आर्गुमेंट 0.01 है
   4. 1 से छोटा आर्गुमेंट हमेशा बताता है कि लघुगणक ऋणात्मक था

   प्रतिलघुगणक से जो आधा काम पूछा जाता है, और वही आधा जिसमें हाथ से ग़लती सबसे ज़्यादा होती है। हर ऋणात्मक लघुगणक 0 और 1 के बीच का आर्गुमेंट देता है — कभी शून्य नहीं और कभी ऋणात्मक नहीं, क्योंकि धनात्मक आधार की कोई भी घात इन दोनों तक नहीं पहुँचती। ठीक 1 वाला आर्गुमेंट बँटवारे की रेखा है, और वह शून्य लघुगणक से मेल खाता है।

3. भिन्न लघुगणक का प्रतिलघुगणक

   1. घातांक को तोड़िए: 10 की घात 2.5 यानी 10 का वर्ग गुणा 10 का वर्गमूल
   2. 10 का वर्ग 100 है और 10 का वर्गमूल करीब 3.162278
   3. 100 × 3.162278 = 316.227766
   4. ठीक मान अपरिमेय है, इसलिए जवाब छह दशमलव तक गोल है

   यही मामला लघुगणक की तालिका और लघुगणक के बीच फ़र्क़ करता है: 2.5 पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए प्रतिलघुगणक भी पूर्ण संख्या नहीं होगा। ठीक रूप में यह 100√10 है, एक अपरिमेय संख्या, और इसे कितने भी दशमलव तक लिखिए वह पूरी नहीं होगी। यहाँ दिखने वाले छह दशमलव प्रदर्शन की सीमा हैं, संख्या की नहीं।

आधार धनात्मक होना चाहिए और 1 नहीं हो सकता, ऊपर बताई वजह से: इस दिशा में हिसाब करने पर आधार 1 हर इनपुट के लिए चुपचाप 1 लौटाता है, और यही वह विफलता है जिससे इस पेज को सबसे ज़्यादा बचना है। लघुगणक ऋणात्मक एक हज़ार से धनात्मक एक हज़ार तक सीमित है, और आधार 10⁻¹⁵ से 10¹⁵ तक। इनके बाहर जवाब दोहरी परिशुद्धता की सीमा पार कर जाता है, और पेज अनंत या शून्य छापने के बजाय मना कर देता है। असली सीमाएँ इन दायरों से अंदर पड़ती हैं, और वे आधार पर निर्भर हैं: आधार 10 पर घातांक 302 तक जवाब ठीक छपता है, 303 से 308 तक पेज गोलाई की भीतरी सीमा पर अटक जाता है, और 309 से ऊपर गणित ही साथ छोड़ देता है; नीचे की तरफ़ घातांक -323 तक कुछ नहीं टूटता और -324 पर जवाब दोहरी परिशुद्धता के सबसे छोटे धनात्मक मान से भी नीचे चला जाता है। यहाँ शब्दों को साफ़ रखना ज़रूरी है: पेज सिर्फ़ तब मना करता है जब असली मान ठीक शून्य बन जाए, और आधार 10 पर घातांक -6 का जवाब 0.000001 छपता है जबकि -7 से -323 तक का असली मान शून्य नहीं होता — वह छह दशमलव पर गोल होकर 0.000000 दिखता है, और वह प्रदर्शन की सीमा है, मनाही नहीं। नतीजा छह दशमलव तक गोल होकर दिखाया जाता है। 1 से छोटा आधार चलता है और 1 से छोटा आर्गुमेंट देता है, जो क्षय का मामला है, ग़लती नहीं। ऋणात्मक आधार सीधे ठुकरा दिया जाता है: ऋणात्मक आधार की पूर्ण घात वास्तविक संख्या होती है, पर भिन्न घात वाली नहीं, और यह पेज भिन्न घातांक लेता है, इसलिए दोनों में से कुछ नहीं लेता।

प्रतिलघुगणक क्या होता है?

यह वह संख्या है जिसका लघुगणक लिया गया था। 1000 का लघुगणक आधार 10 पर 3 है, इसलिए 3 का प्रतिलघुगणक आधार 10 पर 1000 है। सूत्र में लिखिए तो आधार b पर y का प्रतिलघुगणक b की घात y होता है। नाम छपी हुई तालिकाओं के ज़माने से आया है, जब पाठक एक दिशा में लघुगणक देखते थे और दूसरी दिशा में उसका प्रतिलघुगणक।

क्या प्रतिलघुगणक और उलटा लघुगणक एक ही हैं?

हाँ, बिल्कुल एक ही हैं। उलटा लघुगणक नाम ज़्यादा बताता है: दोनों क्रियाएँ एक-दूसरे को रद्द कर देती हैं, इसलिए पहले लघुगणक लगाकर फिर उसका उलटा लगाने पर वही संख्या वापस आती है जिससे शुरुआत की थी। आधार 10 के लघुगणक का उलटा 10 की घात x है, और प्राकृतिक लघुगणक का उलटा e की घात x। कई जगह इसे एंटीलॉग भी लिखा जाता है, और तीनों नाम इसी एक क्रिया के हैं। यह पेज दोनों नामित आधारों के अलावा हर आधार के लिए यही उलटा निकालता है।

लघुगणक ऋणात्मक हो तो जवाब क्या आता है?

आर्गुमेंट 0 और 1 के बीच आता है। ऋणात्मक घातांक का मतलब है उसी धनात्मक घात का व्युत्क्रम, इसलिए आधार 10 पर -2 का प्रतिलघुगणक 1 ÷ 100 यानी 0.01 है। यह अलग से सँभालने वाला मामला नहीं है — यह घातांक का साधारण व्यवहार है, और प्रतिलघुगणक के छोटे जवाब तक पहुँचने का यही एक रास्ता है। इसी वजह से 1 से छोटा आर्गुमेंट देखकर यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि लघुगणक ऋणात्मक रहा होगा।

आधार 1 क्यों नहीं हो सकता?

क्योंकि 1 की किसी भी घात 1 ही रहती है, इसलिए समीकरण किसी ख़ास आर्गुमेंट के लिए हल ही नहीं होता। इस दिशा में विफलता लघुगणक वाले पेज से ज़्यादा भद्दी है: 1 की घात y निकालने पर कोई त्रुटि नहीं उठती, वह चुपचाप 1 लौटाता है, इसलिए पेज हर डाले गए लघुगणक पर आर्गुमेंट 1 छापता रहता। यह अड़चन ठीक उसी को रोकने के लिए लगाई गई है।

बहुत छोटा आधार क्यों ठुकरा दिया जाता है?

क्योंकि हिसाब अंडरफ़्लो कर जाता है। आधार 0.000000000000001 की घात 100 दोहरी परिशुद्धता के सबसे छोटे धनात्मक मान से भी बहुत नीचे पड़ता है, इसलिए नतीजा शून्य बन जाता है — और शून्य बिल्कुल वैसा ही दिखता है जैसा एक ठीक जवाब दिखता है, जबकि सच यह है कि किसी भी लघुगणक का आर्गुमेंट शून्य नहीं होता। पेज सामान्य दिखने वाला ग़लत आंकड़ा छापने के बजाय इनपुट ठुकरा देता है। यही बात उलटी दिशा में भी लगती है: 10¹⁵ की घात -100 भी शून्य पर जाकर अटक जाती है और ठुकरा दी जाती है।

क्या प्रतिलघुगणक ऋणात्मक हो सकता है?

कभी नहीं। धनात्मक आधार की कोई भी घात धनात्मक होती है, इसलिए किसी भी लघुगणक का आर्गुमेंट धनात्मक रहता है और उसका प्रतिलघुगणक भी धनात्मक ही होगा। पेज यह नतीजे पर जाँच लगाकर नहीं, बनावट से लागू करता है — जो इनपुट इसे तोड़ सकते हैं, यानी ग़ैर-धनात्मक आधार या आधार 1, वे घात लगने से पहले ही ठुकरा दिए जाते हैं। प्रतिलघुगणक कैसे निकालें यह जानने के बाद यह सबसे काम की जाँच है, क्योंकि जवाब में ऋण का चिह्न दिखे तो समझिए कि इनपुट में कहीं ग़लती है।

• Antilogarithm — the inverse of the logarithm, from the days when antilogarithms were looked up in printed tables — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the operation behind the single step this page performs, including the behaviour of negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Function — the general idea the log and antilog pair is an instance of, and why both directions are single steps — Wolfram MathWorld (United States)