चरघातांकी वृद्धि कैलकुलेटर

N = N₀ × (1 + r)^t वृद्धि गुणक = 1 + r कुल बदलाव = ((1 + r)^t − 1) × 100%

N₀

शुरुआती मात्रा, यानी बढ़त शुरू होने से पहले जो कुछ था। यह धनात्मक होनी चाहिए, क्योंकि प्रतिशत वाले कॉलम इसी से भाग देते हैं और शून्य शुरुआती मात्रा कुल बदलाव को बड़ी संख्या के बजाय शून्य बटा शून्य बना देती। इसके साथ कोई इकाई नहीं चलती: यही हिसाब लोगों पर भी लगता है, रुपयों पर भी, बैक्टीरिया पर भी और सूचक के अंकों पर भी।

r

प्रति अवधि वृद्धि दर, प्रतिशत में। पाँच प्रतिशत के लिए 5 भरा जाता है, 0.05 नहीं, और यह ऋणात्मक भी हो सकती है — −20 प्रतिशत का मतलब है मात्रा हर अवधि अपना पाँचवाँ हिस्सा खोती है, जो अलग हिसाब नहीं बल्कि क्षय है। यह −100 प्रतिशत से नीचे नहीं जा सकती: ठीक −100 पर मात्रा शून्य तक पहुँच जाती है, और उससे नीचे प्रति-अवधि गुणक ऋणात्मक हो जाता है तथा चिह्न हर अवधि पलटता है, जो अब किसी मात्रा का बयान नहीं रहता।

t

अवधियों की संख्या। अवधि किसे कहेंगे यह आप तय करते हैं — साल, महीने, दिन, पीढ़ियाँ — बस दर भी उसी की बताई होनी चाहिए। यह भिन्न भी हो सकती है: आधी अवधि बिल्कुल साधारण इनपुट है और वह पूरी अवधि के गुणक का वर्गमूल लगाती है, आधा गुणक नहीं। ऋणात्मक मान ठुकराए जाते हैं, क्योंकि शुरुआत से पहले की मात्रा तक पीछे लौटना इस पैनल के सवाल से अलग सवाल है।

(1 + r)^t

वह कुल गुणक जिससे मात्रा अंत तक गुणा हो चुकी होती है। यही हिस्सा बढ़त को जोड़ने वाली नहीं बल्कि चरघातांकी बनाता है: हर अवधि जो पहले से मौजूद है उस पूरे पर गुणा करती है, इसलिए दसवीं अवधि की बढ़त पहली अवधि की बढ़त नहीं होती, बल्कि उससे कहीं बड़ी होती है। यह ठीक वही क्रिया है जो घातांक वाला कैलकुलेटर करता है — आधार एक जमा दर है और घात अवधियों की संख्या।

1 + r

प्रति अवधि वृद्धि गुणक, यानी बीच वाला पाठ। पाँच प्रतिशत की दर पर यह 1.05 है, जिसका मतलब है मात्रा हर अवधि एक से ज़रा ज़्यादा से गुणा होती है। इसे अलग से छापा जाता है क्योंकि सवाल बदलते ही यही काम आता है: 1.05 को चार अवधियों तक चढ़ाना, वही दर दुगुनी करके 10 प्रतिशत करना, या कोई और शुरुआती मात्रा — यह दिख जाने के बाद सब एक गुणा की दूरी पर रहता है।

((1 + r)^t − 1) × 100%

पूरे दौर में हुआ कुल बदलाव, शुरुआत के मुक़ाबले प्रतिशत में। पाँच प्रतिशत की दर दस अवधियों तक 50 नहीं बल्कि 62.889463 प्रतिशत देती है, क्योंकि हर अवधि का पाँच प्रतिशत पिछली से बड़ी मात्रा से लिया जाता है। गुणक में से एक घटाना ही उसे बदलाव बनाता है: 1.628895 का गुणक 62.89 प्रतिशत का बदलाव है, और एक से नीचे का गुणक ऋणात्मक बदलाव देता है — क्षय इसी तरह बताया जाता है।

r = −100%

निचली हद, और वह अकेली दर जो मात्रा को ठीक शून्य तक ले जाती है। इसे स्वीकार किया जाता है क्योंकि यह सिकुड़ती मात्रा की सीमा है: −100 प्रतिशत पर वृद्धि गुणक शून्य होता है और पहली के बाद हर अवधि शून्य को शून्य से गुणा करती है। उससे नीचे गुणक ऋणात्मक हो जाता है, मात्रा हर अवधि अपना चिह्न बदलती है, और यह नियम किसी भौतिक चीज़ का बयान करना छोड़ देता है — इसीलिए वह इनपुट हिसाब करने के बजाय ठुकरा दिया जाता है।

इसे तब उठाइए जब कोई मात्रा बार-बार एक ही गुणक से गुणा हो रही हो और आप जानना चाहते हों कि वह कहाँ पहुँचती है या पूरे दौर में कुल कितनी बदली: बकाए पर चक्रवृद्धि बढ़त, तय दर से बढ़ती जनसंख्या, दशकों में चढ़ता क़ीमत सूचक, हर अवधि में दुगुना होना, हर साल एक ही प्रतिशत से घटता बाज़ार। लिखित में जो आँकड़ा देना हो वह कुल बदलाव वाला है — 'दस अवधियों में 62.9 प्रतिशत की बढ़त' ज़्यादातर पाठकों के लिए अंतिम संख्या से ज़्यादा बताता है, और यही वह संख्या है जो सिर्फ़ दर से नहीं मिलती। यह वह पेज भी है जो दर को गुणक में बदलता है, और चक्रवृद्धि ब्याज का कोई भी सवाल उस क़दम के बिना हल ही नहीं हो सकता। जब मात्रा आधी होकर घट रही हो और दर प्रतिशत के बजाय समय के रूप में बताई गई हो तो अर्ध-आयु वाला कैलकुलेटर उठाइए, क्योंकि वह पेज अर्ध-आयु सीधे लेता है और गिनती भी बताता है। जब आधार वह संख्या हो जो आपके पास पहले से है, दर से निकली हुई नहीं, तो घातांक वाला कैलकुलेटर उठाइए — वही क्रिया है, बस आगे प्रतिशत नहीं। और जब गुणा किसी तय समय-सारणी पर हो रहा हो तथा सवाल में जमा या चक्रवृद्धि की आवृत्ति शामिल हो, तो चक्रवृद्धि ब्याज वाला कैलकुलेटर उठाइए, क्योंकि वे पैसे के ख़ास आयाम हैं जो इस पेज पर नहीं हैं।

1. 100, दस अवधियों तक 5 प्रतिशत प्रति अवधि

   1. वृद्धि गुणक: 1 + 0.05 = 1.05
   2. कुल गुणक: 1.05¹⁰ = 1.628894627…
   3. अंतिम मात्रा: 100 × 1.628894627… = 162.889463
   4. कुल बदलाव: (1.628894627… − 1) × 100 = 62.889463 प्रतिशत

   यह डिफ़ॉल्ट मामला है, और यही दिखाता है कि कुल बदलाव वाला कॉलम क्यों मौजूद है। पाँच प्रतिशत की दर दस अवधियों तक सुनने में पचास प्रतिशत लगती है, और पैनल 62.89 कहता है — यह ज़्यादा इसलिए है कि हर अवधि का पाँच प्रतिशत पिछली से बड़ी मात्रा से लिया जाता है। जो पाठक सिर्फ़ अंतिम संख्या बताता है वह अपने पाठक को बकाया तो बता देता है, कहानी नहीं; जो हिस्सा आगे दोहराया जाता है वह प्रतिशत है।

2. 100, तीन अवधियों तक 20 प्रतिशत प्रति अवधि की गिरावट

   1. वृद्धि गुणक: 1 + (−0.20) = 0.8
   2. कुल गुणक: 0.8³ = 0.512
   3. अंतिम मात्रा: 100 × 0.512 = 51.2
   4. कुल बदलाव: (0.512 − 1) × 100 = −48.8 प्रतिशत

   यही पेज क्षय भी कर रहा है, और ऋणात्मक दर स्वीकार करने का मतलब यही है कि दूसरा औज़ार बनाने की ज़रूरत नहीं पड़ी। तीन अवधियों का बीस प्रतिशत 60 नहीं बल्कि 48.8 प्रतिशत का नुक़सान है, और वजह वही है जिससे बढ़त वाला मामला ऊपर चढ़ जाता है: हर अवधि अपना पाँचवाँ हिस्सा जो बचा है उसी से लेती है। एक से नीचे का वृद्धि गुणक यह भी सबसे साफ़ संकेत है कि चिह्न का नियम ठीक चल रहा है।

3. 100, हर अवधि दुगुना, पाँच अवधियों तक

   1. 100 प्रतिशत की दर का मतलब है मात्रा उतनी ही बढ़ती है जितनी है, इसलिए गुणक 2 है
   2. कुल गुणक: 2⁵ = 32
   3. अंतिम मात्रा: 100 × 32 = 3200
   4. कुल बदलाव: (32 − 1) × 100 = 3100 प्रतिशत

   दुगुना होना, यानी वह मामला जहाँ हिसाब दिमाग़ में जाँचा जा सकता है और प्रतिशत वाला कॉलम नहीं। मात्रा 32 गुना हो चुकी है, और पेज उसे 3,100 प्रतिशत की बढ़त बताता है — यह संख्या '32 गुना' के बग़ल में बेतुकी लगती है, जबकि बात बिल्कुल वही है। यही सबसे साफ़ उदाहरण है कि आख़िरी कॉलम बदलाव कहने से पहले एक क्यों घटाता है।

4. 100, आधी अवधि तक 5 प्रतिशत प्रति अवधि

   1. वृद्धि गुणक अब भी 1.05 है, क्योंकि वह प्रति अवधि की चीज़ है
   2. कुल गुणक: 1.05^0.5 = 1.024695076…, जो 1.05 का वर्गमूल है
   3. अंतिम मात्रा: 100 × 1.024695076… = 102.469508
   4. कुल बदलाव: 2.469508 प्रतिशत

   आधी अवधि, और वह मामला जो दोनों पाठों को सबसे साफ़ अलग करता है। वृद्धि गुणक 1.05 पर ही टिका रहता है क्योंकि वह प्रति अवधि की मात्रा है और आधी अवधि उसे नहीं बदलती; कुल गुणक उसका वर्गमूल है, इसलिए पाँच प्रतिशत की बढ़त की आधी अवधि 2.5 नहीं बल्कि 2.47 प्रतिशत है। आधी दर लगाना ग़लत होता, और यही वह पंक्ति है जो यह दिखाती है।

5. 2.5, चार अवधियों तक 12 प्रतिशत प्रति अवधि

   1. वृद्धि गुणक: 1 + 0.12 = 1.12
   2. कुल गुणक: 1.12⁴ = 1.57351936
   3. अंतिम मात्रा: 2.5 × 1.57351936 = 3.933798
   4. कुल बदलाव: 57.351936 प्रतिशत

   गोल संख्या न होने वाली शुरुआती मात्रा, जो कुछ नहीं बदलती: गुणक वाले कॉलम शुरुआती मात्रा से पूरी तरह आज़ाद हैं, और 2.5 ठीक उतने ही 57.35 प्रतिशत से बढ़ती है जितने 250 बढ़ती। दो मामलों की तुलना करते समय 'कितना बदला' बताने वाले यही दो कॉलम पढ़ने चाहिए, क्योंकि यही दो हैं जो शुरुआती मात्रा बदलने पर हिलते नहीं।

दर और अवधियों की संख्या एक ही आधार पर बताई होनी चाहिए, और पेज इसे जाँच नहीं सकता: सालाना पाँच प्रतिशत दस महीनों पर लगाने से ऐसा ग़लत जवाब मिलता है जो देखने में बिल्कुल सामान्य लगता है। अवधि वही है जो आप तय करें — साल, महीना, दिन, पीढ़ी — और पेज यह कभी नहीं पूछता। बढ़त को हर अवधि एक ही गुणक से गुणा माना गया है, जिसका मतलब यही चक्रवृद्धि है और जो हर बढ़ने वाली चीज़ पर सच नहीं है: किसी हद से टकराती जनसंख्या, संतृप्त होता बाज़ार, या ख़ुद बदलती हुई दर — ये सब इस नियम के बाहर हैं। दर −100 प्रतिशत से नीचे नहीं जा सकती, क्योंकि वहीं मात्रा शून्य तक पहुँचती है और उसके आगे हर अवधि चिह्न पलटता है। ऊपरी हद 1000 प्रतिशत और अवधियों की हद 1000 कोई गणितीय सीमा नहीं हैं, और वे तोड़ी भी जा सकती हैं: 1000 प्रतिशत पर 288 अवधियाँ चल जाती हैं और 289 पर हिसाब दोहरे परिशुद्धता की सीमा पार कर जाता है, 500 प्रतिशत पर 385 के बाद, 200 प्रतिशत पर 629 के बाद, और 100 प्रतिशत पर 997 के बाद; 1000 अवधियाँ देने पर करीब 99.61 प्रतिशत से ऊपर की हर दर बाहर गिरती है। जब ऐसा होता है तो पेज हिसाब करने के बजाय साफ़ मना कर देता है, और ठीक यही बात दोनों हदों को एक मनमाने कटाव से अलग करती है। शुरुआती मात्रा धनात्मक होनी चाहिए, जिसका मतलब है ऋणात्मक से धनात्मक की ओर जाती मात्रा यहाँ दिखाई ही नहीं जा सकती। चक्रवृद्धि हर अवधि में एक बार लगती है, लगातार नहीं: सालाना पाँच प्रतिशत जो साल में दो बार 2.5 प्रतिशत-2.5 प्रतिशत करके लगाया जाए वह दूसरा जवाब देता है, और वह हिसाब चक्रवृद्धि ब्याज वाले पेज का है जिसके पास चक्रवृद्धि की आवृत्ति है। यहाँ कोई जमा, निकासी या अंशदान नहीं है — मात्रा को बढ़ने के लिए अकेला छोड़ दिया जाता है। और नतीजे छह दशमलव तक गोल होते हैं, जो संख्याएँ बड़ी होने पर प्रतिशत वाले कॉलम के लिए मायने रखता है।

कुल बदलाव दर गुणा अवधियों से ज़्यादा क्यों निकलता है?

क्योंकि हर अवधि का प्रतिशत पिछली अवधि से बड़ी मात्रा से लिया जाता है। पाँच प्रतिशत की दर दस अवधियों तक पचास प्रतिशत नहीं बल्कि 62.89 प्रतिशत है, क्योंकि दूसरी अवधि का पाँच प्रतिशत ऐसी मात्रा पर लगता है जो पहले ही बढ़ चुकी है। यही चक्रवृद्धि साधारण जोड़ वाली बढ़त और चरघातांकी बढ़त का पूरा फ़र्क़ है, और कुल बदलाव वाला कॉलम वह जगह है जहाँ यह दिखता है — सिर्फ़ अंतिम मात्रा से यह पता ही नहीं चलता।

ऋणात्मक वृद्धि दर चलेगी?

हाँ — ऋणात्मक दर क्षय है और वही पेज उसे निकालता है। −20 प्रतिशत की दर का मतलब है मात्रा हर अवधि अपना पाँचवाँ हिस्सा खोती है, इसलिए 100 तीन अवधियों के बाद 51.2 बनती है। दर −100 प्रतिशत से नीचे नहीं जा सकती: ठीक −100 पर मात्रा शून्य तक पहुँचकर वहीं रुक जाती है, जबकि उससे नीचे प्रति-अवधि गुणक ऋणात्मक हो जाता है और मात्रा हर अवधि चिह्न बदलती है, जो किसी मात्रा का बयान नहीं रहता।

एक अवधि किसे कहेंगे?

जो आप तय करें, बस दर भी उसी आधार पर बताई हो। सालाना पाँच प्रतिशत के साथ दस की गिनती यानी दस साल; वही दर महीने के हिसाब से और दस की गिनती यानी दस महीने, और दोनों जवाब दो अलग सवालों के हैं। पेज इस जोड़ी को जाँच नहीं सकता, इसलिए सालाना बताई गई दर के साथ महीनों की गिनती ऐसा ग़लत जवाब देती है जो बिल्कुल सामान्य दिखता है।

वृद्धि गुणक और कुल बदलाव में क्या फ़र्क़ है?

वृद्धि गुणक बताता है एक अवधि कितने से गुणा करती है; कुल बदलाव बताता है पूरे दौर में सब मिलाकर कितना हुआ। पाँच प्रतिशत की दर 1.05 का वृद्धि गुणक देती है — यह प्रति अवधि की संख्या है, चाहे आप इसे एक अवधि चलाएँ या सौ — जबकि दस अवधियाँ 62.89 प्रतिशत का कुल बदलाव देती हैं, जो उसी गुणक को चढ़ाकर बनता है। जब सवाल 'यह विकल्प कितना तेज़ है' हो, तो वृद्धि गुणक की तुलना कीजिए।

अवधियों की संख्या भिन्न हो सकती है?

हाँ, और आधी अवधि आम इनपुट है। पाँच प्रतिशत की बढ़त की आधी अवधि 2.5 प्रतिशत नहीं है — वह 1.05 का वर्गमूल है, जो 2.47 प्रतिशत बनता है। यही भिन्न अवधियों को सिर्फ़ गोलाई की सुविधा नहीं बल्कि अर्थ देता है: मात्रा अवधि के भीतर लगातार बढ़ती है, अंत में एक झटके में नहीं, और मूल लेना उसी निरंतरता का बयान है।

यह चक्रवृद्धि ब्याज वाले कैलकुलेटर से कैसे अलग है?

सूत्र एक ही, विषय अलग। यह पेज दर और अवधियों की संख्या लेता है और किसी भी मात्रा पर चलता है; चक्रवृद्धि ब्याज वाला कैलकुलेटर वे चीज़ें जोड़ता है जो पैसे के पास हैं और जनसंख्या के पास नहीं — चक्रवृद्धि की आवृत्ति, नियमित जमा, और ऐसी मूल रक़म जो चुकाई जा सकती है। अगर सवाल में बकाए में पैसे डालना या निकालना शामिल है, या ब्याज साल में एक बार के बजाय महीने-महीने लगता है, तो वे अतिरिक्त आयाम उस पेज पर हैं और इस पेज पर नहीं।

• Exponential Growth — the law this page evaluates, with the growth rate and the number of periods as its two parameters — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same formula applied to money, including the compounding-frequency distinction that separates that calculation from this one — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — the negative-rate half of the same law, where the factor per period is below one and the quantity approaches zero — Wolfram MathWorld (United States)