दुगुना होने का समय कैलकुलेटर

t = ln(2) ÷ ln(1 + r) t ≈ 72 ÷ R

r

एक अवधि की वृद्धि दर, दशमलव में — प्रति अवधि 5 प्रतिशत की दर सूत्र में 0.05 बनकर जाती है, क्योंकि खाने में यह प्रतिशत के रूप में भरी जाती है पर सूत्र दशमलव माँगता है। यह धनात्मक होनी चाहिए, क्योंकि जो मात्रा बढ़ ही नहीं रही वह कभी दुगुनी नहीं होती। यहाँ जिस बढ़त का बयान है वह चक्रवृद्धि है — हर अवधि की बढ़त उस कुल पर लगती है जिसमें पहले की सारी बढ़त शामिल है, और यही बात दुगुना होने के समय को अनंत के बजाय एक तय संख्या बनाती है। इसी चक्रवृद्धि की वजह से जवाब दर के साथ सीधी रेखा में नहीं चलता: दर आधी करने पर समय ठीक दुगुना नहीं होता।

ln 2

दो का प्राकृतिक लघुगणक, करीब 0.693147, और सटीक सूत्र में यही अकेला स्थिरांक है। यह इसलिए आता है कि दुगुना होने का मतलब है बढ़त गुणक ठीक दो तक पहुँच जाना, यानी सवाल यह है कि एक को दो बनाने के लिए 1 + r से कितनी बार गुणा करना पड़ेगा — और उस सवाल का जवाब लघुगणक देता है।

t

दुगुना होने का समय, अवधियों में, तीन दशमलव स्थानों तक। इसकी अपनी कोई इकाई नहीं है: अगर आपने मासिक दर भरी थी तो t महीनों की संख्या है; सालाना भरी थी तो सालों की। आख़िरी अवधि अधूरी रहती है, इसीलिए t पूरी संख्या नहीं होती — 5 प्रतिशत पर चौदह अवधियों के बाद मात्रा दुगुनी से ज़रा कम रहती है और पंद्रहवीं के बीच में उसे पार कर जाती है।

R

वही दर, पर प्रतिशत में, यानी वही संख्या जो आपने खाने में टाइप की। 72 का नियम वह अनुमान है जो 72 को R से भाग देता है, और पैनल पर दूसरा पाठ यही है। यह 8 प्रतिशत के आसपास सही बैठता है, कम दरों पर ज़्यादा बताता है और ऊँची दरों पर कम, और इसकी वजह यह है कि गोल संख्या से भाग देना दिमाग़ में लघुगणक से कहीं आसान रहा है।

यह पेज तब उठाइए जब वृद्धि दर दी हो और समय चाहिए हो। चरघातांकी वृद्धि वाला कैलकुलेटर वही मॉडल उलटी दिशा में चलाता है — शुरुआती मात्रा और अवधियों की संख्या से शुरू करके; अर्ध-आयु वाला पेज इसका आईना है, जहाँ दो के बजाय आधे का गुणक है; और 72 के नियम वाला पेज वही हिसाब पैसे की भाषा में करता है, जहाँ मुख्य पाठ अंदाज़ा होता है, सटीक जवाब नहीं।

1. प्रति अवधि पाँच प्रतिशत

   1. दर दशमलव में 0.05 है, इसलिए हर अवधि मात्रा को 1.05 से गुणा करती है
   2. सटीक जवाब है ln 2 ÷ ln 1.05 = 0.693147 ÷ 0.048790 = 14.207 अवधि
   3. 72 का नियम 72 ÷ 5 = 14.4 अवधि देता है
   4. दोनों में करीब 0.19 अवधि का अंतर है, और इस दर पर नियम तथा सच्चाई के बीच इतना ही फ़र्क़ होता है

   जवाब की जाँच आसान है: 1.05 की चौदहवीं घात 1.98 है, दो से ज़रा कम, और पंद्रहवीं 2.08 है, दो से ज़रा ज़्यादा। यानी पार होना चौदहवीं और पंद्रहवीं अवधि के बीच होता है, ठीक वहीं जहाँ 14.207 बैठता है। यह जाँच एक बार कर लेना काम का है, क्योंकि इससे दिखता है कि दशमलव किसी हिसाब की गड़बड़ नहीं, बल्कि समय-रेखा पर एक जगह है।

2. प्रति अवधि एक प्रतिशत

   1. सटीक जवाब है ln 2 ÷ ln 1.01 = 0.693147 ÷ 0.009950 = 69.661 अवधि
   2. 72 का नियम 72 ÷ 1 = 72 अवधि देता है
   3. यहाँ नियम 2.34 अवधि ज़्यादा बताता है, जो एक प्रतिशत पर दो से ज़्यादा अवधियों का अतिरिक्त इंतज़ार है
   4. यह ग़लती नियमित है, इत्तेफ़ाक़ी नहीं: 72 का नियम 8 प्रतिशत के आसपास की दरों के लिए बना है और निचले सिरे पर खिसक जाता है

   कम दरों पर यही अंतर वजह है कि दोनों पाठ एक-दूसरे की जगह लेने के बजाय साथ दिखाए जाते हैं। दशकों चलने वाली चक्रवृद्धि में दो अवधियों का फ़र्क़ असली फ़र्क़ होता है, और दोनों संख्याएँ सामने होने से पता चलता है कि आपकी दर पर किस पर भरोसा करना है।

3. प्रति अवधि बीस प्रतिशत

   1. सटीक जवाब है ln 2 ÷ ln 1.2 = 0.693147 ÷ 0.182322 = 3.802 अवधि
   2. 72 का नियम 72 ÷ 20 = 3.6 अवधि देता है
   3. इस बार नियम कम बताता है, ज़्यादा नहीं — और 8 प्रतिशत से ऊपर यही होता है
   4. जाँच: 1.2 का घन 1.728 है और 1.2 की चौथी घात 2.074, इसलिए पार होना तीसरी और चौथी अवधि के बीच पड़ता है

   इस उदाहरण और एक प्रतिशत वाले उदाहरण के बीच नियम की ग़लती का चिह्न बदल जाता है — कम दरों पर यह ज़्यादा बताता है, ऊँची दरों पर कम — और यह अंदाज़े का आकार है, कोई ख़राबी नहीं। दोनों पाठ सबसे क़रीब 8 प्रतिशत के आसपास आते हैं, जहाँ नियम 9 देता है और सटीक जवाब 9.006 निकलता है।

दुगुना होने के समय की अपनी कोई इकाई नहीं है: यह उसी अवधि में नापा जाता है जिसमें दर नापी गई थी, इसलिए 14.207 साल है अगर दर सालाना थी, महीने अगर मासिक थी, और मिनट अगर आप बैक्टीरिया देख रहे थे — पेज यह बता नहीं सकता कि कौन-सा मामला है, और अंदाज़ा भी नहीं लगाएगा। दर धनात्मक होनी चाहिए और प्रति अवधि 0.1 से 1000 प्रतिशत के बीच रहती है; शून्य ठुकराया जाता है क्योंकि दोनों सूत्रों के पास उसका कोई जवाब नहीं है, और ऋणात्मक दर ऐसी मात्रा का बयान करती है जो घट रही है — वह कभी दुगुनी नहीं होती और उसके लिए अर्ध-आयु वाला पेज है। स्थिरांक 2 तय है: यह पेज सिर्फ़ दुगुना होने का समय निकालता है, और इससे तिगुना होने या किसी और गुणक से बढ़ने का समय नहीं पूछा जा सकता। बढ़त सतत और एक-सी मानी गई है, यानी लगातार लगती है, साल-दर-साल के चरणों में नहीं — यह चलन का आम मॉडल है, पर बैंक असल में यह नहीं करता। 72 के नियम वाला पाठ बनावट से ही एक अंदाज़ा है और जवाब के बजाय तुलना के लिए दिखाया जाता है, और दोनों पाठों के बीच कोई त्रुटि-विश्लेषण यहाँ नहीं दिया जाता।

दुगुना होने का समय कैसे निकालें?

2 के प्राकृतिक लघुगणक को एक जमा दर के प्राकृतिक लघुगणक से भाग दीजिए। प्रति अवधि 5 प्रतिशत पर यह 0.693147 ÷ 0.048790 होता है, यानी 14.207 अवधि। काम लघुगणक कर रहा है क्योंकि दुगुना होना एक ही गुणा है जो अनजानी संख्या में बार दोहराया जाता है, और लघुगणक उसी दोहराव को भाग में बदल देता है।

72 का नियम क्या है और क्या यह सही है?

यह वह शॉर्टकट है जो 72 को प्रतिशत वाली दर से भाग देता है, इसलिए 5 प्रतिशत पर जवाब करीब 14.4 अवधि आता है। यह 8 प्रतिशत के आसपास कुछ प्रतिशत की ग़लती के भीतर सही रहता है, कम दरों पर समय ज़्यादा बताता है — 1 प्रतिशत पर यह 72 कहता है जबकि सच 69.661 है — और ऊँची दरों पर कम, जहाँ 20 प्रतिशत पर 3.6 आता है जबकि सच 3.802 है। यह पेज दोनों संख्याएँ साथ दिखाता है ताकि आपकी दर पर अंतर सामने रहे।

दुगुना होने का समय सालों में होता है क्या?

सिर्फ़ तब जब आपने भरी हुई वृद्धि दर सालाना थी। दर प्रति अवधि है और अवधि वही है जो आप तय करें: मासिक दर से जवाब महीनों में आता है, रोज़ की दर से दिनों में, और हर बीस मिनट में दुगुनी होती बैक्टीरिया की संवर्धन-थाली से जवाब बीस-मिनट की इकाइयों में। पेज जान-बूझकर नतीजे पर कोई इकाई नहीं लिखता, क्योंकि वह जान ही नहीं सकता कि आपका मतलब क्या था।

शून्य या ऋणात्मक वृद्धि दर क्यों ठुकराई जाती है?

क्योंकि तब कुछ दुगुना होता ही नहीं। शून्य पर मात्रा हमेशा के लिए जहाँ है वहीं रहती है और 72 का नियम शून्य से भाग देने लगता है; ऋणात्मक दर पर मात्रा घटती है और ईमानदार सवाल दुगुना होने का नहीं, अर्ध-आयु का बन जाता है। प्रति अवधि 0.1 प्रतिशत से नीचे की दरें भी इसी व्यावहारिक वजह से ठुकराई जाती हैं, और घटने वाला मामला अर्ध-आयु वाला कैलकुलेटर लेता है।

इस पेज और चरघातांकी वृद्धि में क्या फ़र्क़ है?

दिशा। यह पेज वृद्धि दर से शुरू करके समय लौटाता है; चरघातांकी वृद्धि वाला कैलकुलेटर दर और अवधियों की संख्या से शुरू करके मिलने वाली मात्रा लौटाता है। पीछे का मॉडल दोनों में एक ही है, इसलिए 5 प्रतिशत पर 14.207 अवधि का दुगुना होना ठीक वही बात है कि उस बिंदु पर बढ़त गुणक 2 तक पहुँच जाता है।

क्या उत्तर में दशमलव का कोई मतलब है?

हाँ, और वह दशमलव किसी हिसाब की गड़बड़ नहीं, समय-रेखा पर एक जगह है। पाँच प्रतिशत पर 1.05 की चौदहवीं घात 1.98 है और पंद्रहवीं 2.08, इसलिए पार होना चौदहवीं और पंद्रहवीं अवधि के बीच होता है — ठीक वहीं जहाँ 14.207 बैठता है। आख़िरी अवधि अधूरी रहती है, इसीलिए तीन दशमलव स्थान दिए जाते हैं और जवाब पूरी संख्या नहीं होता।

• Doubling time — Wolfram MathWorld
• Natural Logarithm — Wolfram MathWorld
• Rule of 72 — Wolfram MathWorld