चक्रवृद्धि ब्याज कैलकुलेटर

FV = P × (1 + r ÷ m)^(m × t), और सतत चक्रवृद्धि के लिए FV = P × e^(r × t)

P

वह राशि जिससे आप शुरू करते हैं

r

नाममात्र वार्षिक ब्याज दर, प्रतिशत नहीं बल्कि दशमलव में

m

साल में कितनी बार ब्याज जोड़ा जाता है — 1, 2, 4, 12 या 365

t

कितने पूरे साल राशि को अकेला छोड़ा गया

FV

अंत की शेष राशि, जिसे भावी मूल्य भी कहा जाता है

इसका इस्तेमाल तब कीजिए जब कोई दर चक्रवृद्धि आवृत्ति के साथ बताई गई हो और आपको बताई गई संख्या नहीं, असल संख्या चाहिए हो। ऊपर का सूत्र ही अकेला सूत्र है; आवृत्ति वाला फ़ील्ड एक घात बदलता है और बस। पैसा लगाने से पहले इसे दो अलग आवृत्तियों पर दो बार चलाना फ़ायदेमंद है, क्योंकि सालाना और मासिक के बीच का अंतर असली है और दर तथा अवधि के साथ बढ़ता है — 5% पर दस साल में यह 181.14 का है, और ऊँची दरों पर लंबी अवधि में हज़ारों का। इस पेज पर सबसे काम की तुलना आख़िरी दो नतीजों की है, साथ पढ़ी गई: चक्रवृद्धि से अर्जित ब्याज बनाम वही ब्याज जो उसी पैसे ने बिना चक्रवृद्धि के कमाया होता।

1. दस साल के लिए 5% पर 10,000, हर महीने चक्रवृद्धि

   1. आवधिक दर: 5 ÷ 100 ÷ 12 = 0.00416667 प्रति माह
   2. अवधियाँ: 12 × 10 = 120 महीने
   3. शेष राशि: 10,000 × 1.00416667^120 = 16,470.09
   4. अर्जित ब्याज: 16,470.09 − 10,000 = 6,470.09
   5. प्रभावी वार्षिक दर: 1.00416667^12 − 1 = 5.116%
   6. उन्हीं दस सालों का साधारण ब्याज: 10,000 × 5% × 10 = 5,000.00, इसलिए चक्रवृद्धि से 6,470.09 − 5,000.00 = 1,470.09 ज़्यादा मिलता है

   यह पेज का डिफ़ॉल्ट है। आख़िरी दो नतीजों को जोड़ी में पढ़िए: यहाँ चक्रवृद्धि की क़ीमत 1,470.09 है, और वह संख्या ऐसे पेज पर दिखती ही नहीं जो सिर्फ़ दर बताता है।

2. तीस साल के लिए 4.5% पर 1,00,000, हर महीने चक्रवृद्धि

   1. आवधिक दर: 4.5 ÷ 100 ÷ 12 = 0.00375 प्रति माह
   2. अवधियाँ: 12 × 30 = 360 महीने
   3. शेष राशि: 1,00,000 × 1.00375^360 = 3,84,769.80
   4. अर्जित ब्याज: 3,84,769.80 − 1,00,000 = 2,84,769.80
   5. प्रभावी वार्षिक दर: 1.00375^12 − 1 = 4.594%
   6. साधारण ब्याज: 1,00,000 × 4.5% × 30 = 1,35,000.00, इसलिए चक्रवृद्धि से 1,49,769.80 ज़्यादा मिलता है

   इसकी तुलना ऊपर वाले उदाहरण से कीजिए: राशि दस गुना है और अवधि तीन गुना, पर शेष राशि तेईस गुना है। चक्रवृद्धि सीधी रेखा नहीं है, और उसका ज़्यादातर मोड़ आख़िरी सालों में बैठता है।

3. दस साल के लिए 5% पर 10,000, सतत चक्रवृद्धि

   1. सतत वृद्धि: 10,000 × e^(0.05 × 10) = 10,000 × e^0.5 = 16,487.21
   2. अर्जित ब्याज: 16,487.21 − 10,000 = 6,487.21
   3. प्रभावी वार्षिक दर: e^0.05 − 1 = 5.127%
   4. उन्हीं दस सालों का साधारण ब्याज: 5,000.00, इसलिए चक्रवृद्धि से 1,487.21 ज़्यादा मिलता है

   सतत चक्रवृद्धि छत है, कोई उत्पाद नहीं: यह दैनिक चक्रवृद्धि के 16,486.65 से 0.56 ऊपर है, और कोई भी अलग-अलग आवृत्ति इसे कभी पीछे नहीं छोड़ सकती। आवृत्ति वाली तालिका को नीचे की ओर पढ़ने पर आख़िरी पंक्ति यही कर रही है।

यह पेज एकमुश्त रखी गई राशि की क़ीमत निकालता है, और बस इतना ही। यह बाद में जोड़ी गई किसी चीज़ का हिसाब नहीं रखता — न मासिक जमा, न निकासी, न महँगाई के साथ बढ़ते योगदान — इसलिए जिस बचत योजना में आप हर महीने पैसा डालते हैं उसके लिए निवेश कैलकुलेटर चाहिए, यह पेज नहीं। यह यह भी मानता है कि दर पूरी अवधि तक टिकी रहेगी। असल बचत दरें बदलती हैं: कोई प्रोत्साहन दर ख़त्म हो जाती है, कोई केंद्रीय बैंक दर घटा देता है, कोई सावधि बॉन्ड परिपक्व होकर जो उस समय मिल रहा हो उसी पर दोबारा लगाना पड़ता है — और यहाँ का जवाब आज की दर से बनाया गया अनुमान है, कोई वादा नहीं। इसमें कर नहीं है, और ज़्यादातर बचतकर्ताओं का कर ब्याज बनते-बनते ही कटता जाता है, यानी जो शेष असल में आपके पास रहता है वह इससे धीमे बढ़ता है; 30% सीमांत दर वाला कर योग्य खाता दिखाए गए ब्याज का क़रीब सात-दसवाँ हिस्सा रख पाता है। महँगाई भी नहीं है, इसलिए दस साल बाद का 16,470.09 आज के 16,470.09 से कम ख़रीदता है। यहाँ बीच में कुछ भी गोल नहीं होता, जिससे गणित सटीक रहता है पर वह उस खाते के विवरण से एक-दो पैसे अलग आ सकता है जहाँ बैंक हर प्रविष्टि गोल करता है। और राशियों के साथ कोई मुद्रा चिह्न नहीं है — वे उसी मुद्रा में सही हैं जो आपके मन में थी और किसी और में ग़लत।

एकमुश्त राशि पर चक्रवृद्धि ब्याज कैसे निकाला जाता है?

राशि लीजिए, उसे एक जमा आवधिक दर की उतनी घात तक उठाइए जितनी अवधियाँ हैं — जहाँ आवधिक दर यानी वार्षिक दर को साल में ब्याज जोड़े जाने की संख्या से भाग, और अवधियों की संख्या यानी वही संख्या गुणा साल। 5% पर हर महीने चक्रवृद्धि होने पर दस साल में 10,000 यानी 10,000 × 1.00416667^120 = 16,470.09। इसमें अर्जित ब्याज 6,470.09 बैठता है। यही चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र अपने एकमात्र रूप में है — पेज पर बाक़ी सब वही सूत्र किसी और आवृत्ति पर पढ़ा गया है।

वार्षिक दर और प्रभावी वार्षिक दर में क्या फ़र्क़ है?

वार्षिक दर — इस पेज के उदाहरण में 5% — बताई गई दर है। प्रभावी वार्षिक दर वह है जितना पैसा साल भर में असल में बढ़ता है, जब उस साल के ब्याज पर भी ब्याज मिल चुका हो: मासिक चक्रवृद्धि पर 5.116%, सतत चक्रवृद्धि पर 5.127%, और साल में एक ही बार ब्याज जुड़ने पर ठीक 5.000%। दोनों सिर्फ़ सालाना चक्रवृद्धि पर बराबर होती हैं, और उनका अंतर आवृत्ति तथा दर दोनों के साथ बढ़ता है।

मुझे कौन-सी चक्रवृद्धि आवृत्ति चुननी चाहिए?

जो आपका खाता असल में इस्तेमाल करता है, और वह आम तौर पर शर्तों में लिखी होती है। अगर उत्पादों की तुलना कर रहे हैं तो उनकी बताई गई दरों के बजाय प्रभावी वार्षिक दरों की तुलना कीजिए, क्योंकि वे पहले से एक ही पैमाने पर हैं। आवृत्ति बचतकर्ता के पक्ष में काम करती है और क़र्ज़दार के ख़िलाफ़, और यह जानना काम का है कि वह कितना हिलाती है: 5% पर दस साल में 10,000 पर सालाना से दैनिक चक्रवृद्धि तक का फ़ासला 197.70 का है।

सतत चक्रवृद्धि असली है या सिर्फ़ गणित की कल्पना?

दोनों। कोई बचत खाता हर पल ब्याज नहीं जोड़ता, इसलिए उत्पाद के रूप में वह मौजूद नहीं है — पर सीमा के रूप में वही चीज़ है जिसका इस्तेमाल पाठ्यपुस्तकें, विकल्प मूल्यांकन और केंद्रीय बैंकों का बहुत सारा गणित करता है, और जैसे-जैसे कोई अलग-अलग आवृत्ति बारीक़ होती जाती है वह उसी के क़रीब पहुँचती है। उसी 10,000 पर मासिक 16,470.09 देता है, दैनिक 16,486.65, और सतत 16,487.21। यह इसलिए दिया गया है ताकि आप छत देख सकें।

क्या चक्रवृद्धि आवृत्ति दर से ज़्यादा मायने रखती है?

नहीं, और मुक़ाबला भी नहीं है। 10,000 को दस साल में मासिक चक्रवृद्धि पर 5% से 6% पर ले जाने की क़ीमत 1,723.88 ज़्यादा है, जबकि 5% पर सालाना से सतत चक्रवृद्धि तक जाने की क़ीमत 198.26 है। दर का एक प्रतिशत अंक हर उपलब्ध आवृत्ति के चुनाव से भारी पड़ता है, और दोनों के आगे साल जोड़ना है। आवृत्ति असली असर है और उसे सही करना मुफ़्त है, पर दर और अवधि उस पर हावी हैं। पहले दर बदलिए, फिर अवधि, फिर आवृत्ति।

इस पेज में कर और महँगाई क्यों नहीं है?

क्योंकि दोनों ऐसी बातों पर निर्भर हैं जो पेज जान नहीं सकता। ब्याज पर कर आपके स्लैब, आपके देश और यह कि खाता कर-राहत वाला है या नहीं, पर निर्भर करता है; और महँगाई इस पर कि आपका मतलब कौन-सा सूचकांक और कौन-सी अवधि है। 5% पर बना शेष नाममात्र शेष है — वह पैसा जो आप देखेंगे — और असली प्रतिफल उसमें से वह घटाता है जो महँगाई ने उन्हीं सालों में किया। यहाँ के आँकड़े को नाममात्र मानिए और ये दोनों समायोजन ख़ुद कीजिए।

• Compound Interest Calculator — the same closed form, with the frequency explained — U.S. Securities and Exchange Commission (Investor.gov)
• 12 CFR Part 1026, Appendix J — the periods-per-year convention behind every frequency on this page — Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• H.15 Selected Interest Rates — the published rates an annual rate field stands in for — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)