अर्ध-आयु कैलकुलेटर

N = N₀ × (½)^(t ÷ T) n = t ÷ T बाक़ी = N ÷ N₀

N₀

शुरुआती मात्रा, यानी कुछ भी क्षय होने से पहले जो था। इस पेज पर इसकी कोई इकाई नहीं है: ग्राम, बेकरल, परमाणु और सांद्रता — सब एक ही इनपुट हैं, क्योंकि क्षय का नियम हमेशा यही पूछता है कि कितना हिस्सा बचा। यह शून्य से बड़ी होनी चाहिए — शून्य शुरुआती मात्रा बाक़ी हिस्से को छोटी संख्या के बजाय शून्य बटा शून्य बना देती है।

T

अर्ध-आयु, यानी जो भी मौजूद है उसका आधा जाने में जितना समय लगता है। यह पदार्थ का गुण है, नमूने का नहीं, इसलिए शुरुआती मात्रा बदलने पर यह नहीं बदलती। इसे बीते समय की ही इकाई में भरा जाना चाहिए; पेज यह नहीं पूछता कि वह इकाई कौन-सी है, क्योंकि दोनों समय आपस में भाग हो जाते हैं और दोनों को एक ही इकाई में बदलने पर अनुपात वही रहता है।

t

बीता समय, यानी वह अंतराल जिसके बारे में आप पूछ रहे हैं। यह अर्ध-आयु की ही इकाई में नापा जाता है और ऋणात्मक नहीं हो सकता — सूत्र उलटी दिशा में ख़ुशी से चल पड़ता, पर 'पहले कितना था' इस पैनल के सवाल से अलग सवाल है।

n = t ÷ T

बीती हुई अर्ध-आयुओं की संख्या, यानी दूसरा पाठ और वही जिससे बाक़ी सब जाँचा जा सकता है। अर्ध-आयुएँ गिनी जाती हैं, पूरे-पूरे क़दमों में नहीं घटाई जातीं: 2.5 बिल्कुल साधारण मान है और इसका मतलब है नमूना दो और तीन आधा होने के बीच में है। यह चार दशमलव तक छपता है ताकि 2.9999 और 3 अलग दिखें, क्योंकि इन दोनों का मतलब है 'तीन अर्ध-आयुएँ पूरी नहीं हुईं' और 'ठीक तीन'।

(½)^n

बाक़ी हिस्सा, यानी आधा जो हर अर्ध-आयु पर एक बार ख़ुद से गुणा होता है। पूरा क्षय-नियम यही है: न कोई स्थिरांक, न आधे के अलावा कोई आधार, और अर्ध-आयु के सिवा पदार्थ पर कोई निर्भरता नहीं। दस अर्ध-आयुओं के बाद एक प्रतिशत का दसवाँ हिस्सा भी नहीं बचता, और यह हिस्सा कितनी भी अर्ध-आयुएँ बीत जाने पर ठीक शून्य तक कभी नहीं पहुँचता — हाँ, दोहरे परिशुद्धता में अंततः शून्य में समा तो जाता है।

N = N₀ × (½)^n

बाक़ी मात्रा, यानी मुख्य पाठ। यह शुरुआती मात्रा को उसी हिस्से से नापी गई है, इसलिए यह अनुपाती जवाब है, निरपेक्ष नहीं: शुरुआती मात्रा दुगुनी करने पर वक्र के हर बिंदु पर बाक़ी मात्रा दुगुनी हो जाती है और प्रतिशत को कुछ नहीं होता।

N ÷ N₀

बाक़ी हिस्सा प्रतिशत के रूप में, प्रतिशत का चिह्न पहले से लगा हुआ। यह वह पाठ है जिसे तब बताना चाहिए जब पदार्थ अज्ञात हो — 'करीब 25 प्रतिशत बचा है' उतना ही कहता है जितना '2.5 बेकरल' शुरुआती सक्रियता सामने रखने के बाद कहता, और तीनों में से यही अकेला है जो शुरुआती मात्रा बदलने पर टिका रहता है।

इसे तब उठाइए जब कोई चीज़ ऐसी दर से घट रही हो जो अर्ध-आयु के रूप में बताई जाती है, और अस्थिर हर चीज़ का क्षय इसी तरह लिखा जाता है: कोई रेडियोआइसोटोप, शरीर से साफ़ होती कोई दवा, टूटता कोई प्रदूषक, तय अनुपात में मरती कोई आबादी। यह उन दो सवालों का पेज भी है जो कार्बन डेटिंग के आसपास उठते हैं — कितने सालों बाद मूल कार्बन-14 का कितना बचा है, और नापा गया कोई हिस्सा कितनी अर्ध-आयुओं के बराबर है, जिसमें दूसरा ही वह क़दम है जो उम्र में बदलता है। जब आधार एक आधा न होकर किसी दर से निकला हुआ हो तो चरघातांकी वृद्धि वाला कैलकुलेटर उठाइए, क्योंकि वह वही नियम है बस दूसरे स्थिरांक के साथ। जब सवाल उलटी दिशा में जा रहा हो और मात्रा बढ़ रही हो तो दुगुना होने का समय वाला कैलकुलेटर उठाइए, क्योंकि दुगुना होना उसी आधे का दूसरी दिशा से पढ़ा गया रूप है। और जब वही घात पैसे पर लग रही हो, जहाँ गुणा लगातार नहीं बल्कि किसी समय-सारणी पर होता है, तो चक्रवृद्धि ब्याज वाला कैलकुलेटर उठाइए।

1. 100 इकाई, अर्ध-आयु 5, पंद्रह के बाद

   1. बीती अर्ध-आयुएँ: 15 ÷ 5 = 3
   2. बाक़ी हिस्सा: (½)³ = 1 ÷ 8 = 0.125
   3. बाक़ी मात्रा: 100 × 0.125 = 12.5
   4. प्रतिशत में: 12.5%

   यही पंक्ति संदर्भ तालिका में भी है, और पेज के बिना जाँचने में सबसे आसान है: 100 के तीन आधे करने पर 50, फिर 25, फिर 12.5। क़दम-दर-क़दम आधा करते जाना ही वह चीज़ है जिसके लिए अर्ध-आयुओं की गिनती रखी गई है, और इसीलिए पेज गिनती को मात्रा के बग़ल में छापता है — अकेली मात्रा यह नहीं बताती कि आप वक्र पर कितनी दूर आ चुके हैं।

2. कार्बन-14, अर्ध-आयु 5,730 साल, 11,460 के बाद

   1. बीती अर्ध-आयुएँ: 11,460 ÷ 5,730 = 2
   2. बाक़ी हिस्सा: (½)² = 0.25
   3. बाक़ी मात्रा: 1 × 0.25 = 0.25
   4. प्रतिशत में: 25%

   यह वह मामला है जिसके आसपास यह पेज बना है, और यही वजह है कि दोनों समय वाले खानों पर कोई इकाई-चयनकर्ता नहीं है: यहाँ इकाई साल है, और अर्ध-आयु किसी भी ऐसी सूची से बहुत बाहर है जिसमें घंटे और हफ़्ते भर हों। शुरुआती मात्रा असली नाप के बजाय 1 रखी गई है, ताकि जवाब सीधे भिन्न की तरह पढ़ा जाए — दो अर्ध-आयुओं के बाद मूल कार्बन-14 का चौथाई हिस्सा बचता है, और यही हर रेडियोकार्बन तारीख़ के तर्क का पहला आधा है।

3. 200 इकाई, अर्ध-आयु 4, दस के बाद

   1. बीती अर्ध-आयुएँ: 10 ÷ 4 = 2.5
   2. बाक़ी हिस्सा: (½)^2.5 = 1 ÷ √32 = 0.176776695…
   3. बाक़ी मात्रा: 200 × 0.176776695… = 35.355339…
   4. प्रतिशत में: 17.67767%

   साधारण मामला, और वही जो दिखाता है कि अर्ध-आयुएँ पूरे क़दमों में नहीं गिनी जातीं: ढाई बीत चुकी हैं, इसलिए नमूना जहाँ से चला था उसके चौथाई और आठवें हिस्से के बीच बैठा है। यहाँ हिस्सा अपरिमेय संख्या है, इसलिए जवाब में दशमलव चलते हैं — ठीक तभी होता जब बीता समय पूरी अर्ध-आयुओं में होता। 2.5 को गिनती की तरह पढ़ना असल काम कर रहा है: 12.5 प्रतिशत को आधे के वर्गमूल से गुणा कीजिए और वही 17.68 प्रतिशत मिलता है।

4. 80 इकाई, अर्ध-आयु 12, ठीक बारह के बाद

   1. बीती अर्ध-आयुएँ: 12 ÷ 12 = 1
   2. बाक़ी हिस्सा: (½)¹ = 0.5
   3. बाक़ी मात्रा: 80 × 0.5 = 40
   4. प्रतिशत में: 50%

   एक अर्ध-आयु, जो जाँची जा रही चीज़ का कोई मामला नहीं बल्कि उसकी परिभाषा है। जब कोई अर्ध-आयु बताई गई हो और आप पक्का करना चाहें कि उसका मतलब वही है जो आप समझ रहे हैं, तो यही पंक्ति काम आती है: जो भी लेकर चलें, उतने समय बाद उसका आधा चला जाता है, और शुरुआती मात्रा इसमें कुछ नहीं बदलती।

यह पेज सिर्फ़ एक दिशा का जवाब देता है: शुरुआती मात्रा, अर्ध-आयु और अंतराल दिए हों तो कितना बचा। उलटे सवाल — किसी तय मात्रा तक पहुँचने में कितना समय लगेगा, और शुरुआती तथा अंतिम मात्रा दी हो तो अर्ध-आयु क्या है — इस पैनल के खाने नहीं हैं, हालाँकि दोनों उसी समीकरण से निकलते हैं और दोनों नीचे के सवालों में तथा ऊपर के सूत्र-खंड में हल करके दिखाए गए हैं। दोनों में से किसी के लिए भी इस बैच में कोई कैलकुलेटर पेज नहीं है, इसलिए जिसे एक चाहिए वह घात को उलटकर हल करे, दूसरे खानों की उम्मीद न रखे। दोनों समय वाले खानों की इकाई एक ही मानी गई है और पेज कभी नहीं पूछता कि कौन-सी: अर्ध-आयु दिनों में और बीता समय घंटों में भरने पर जवाब चौबीस गुना ग़लत आता है, और वह बिल्कुल सामान्य दिखता हुआ लौटता है — यह इस पेज की वह अकेली ग़लती है जो भीतर से पकड़ में नहीं आ सकती। शुरुआती मात्रा पर कोई नाम नहीं लगा है, इसलिए पेज द्रव्यमान या सक्रियता की इकाओं के बीच बदल नहीं सकता — ग्राम डालिए, ग्राम निकलेगा। यहाँ कोई श्रेणी नहीं है: 'कितना बचा' एक सतत पाठ है और पेज उसे छापता है, उस पर फ़ैसला नहीं देता। हिस्सा ठीक शून्य तक कभी नहीं पहुँचता, पर वह शून्य में समा जाता है, और यह दो अलग जगहों पर होता है: दोहरे परिशुद्धता में 0.5 की घात करीब 1074 अर्ध-आयुओं तक चलती है और 1075 पर ठीक शून्य हो जाती है, जबकि पैनल इससे बहुत पहले, करीब अट्ठाईस अर्ध-आयुओं से, दोनों पाठों को 0 छापने लगता है — क्योंकि छह दशमलव से छोटी कोई चीज़ दिखती ही नहीं। यह गिनती की हद है, पदार्थ के बारे में कोई बयान नहीं। और यह पूरे-पूरे आधा होने वाले क्षय का नियम है और यह मान लेता है कि दर स्थिर है, जिसका मतलब यही अर्ध-आयु है और जो हर फीकी पड़ती चीज़ पर सच नहीं होता।

तय समय बाद कितना बचा, यह कैसे निकालें?

बीते समय को अर्ध-आयु से भाग दीजिए और अर्ध-आयुओं की संख्या मिल जाएगी, फिर शुरुआती मात्रा को उतनी बार आधा कीजिए। अर्ध-आयु 5 और बीता समय 15 हो तो तीन अर्ध-आयुएँ बीती हैं, इसलिए बाक़ी हिस्सा 1 ÷ 8 है और 100 की शुरुआती मात्रा से 12.5 बचती है। पेज यही काम एक ही व्यंजक में करता है: शुरुआती मात्रा गुणे आधा की घात, जिसमें घात बीता समय बटा अर्ध-आयु है।

सिर्फ़ इतना बचने में कितना समय लगेगा?

समीकरण को उलट दीजिए। जितनी मात्रा तक पहुँचना है उसे शुरुआती मात्रा से भाग दीजिए और हिस्सा मिल जाएगा, उस हिस्सा का आधार-आधा लघुगणक लीजिए, और अर्ध-आयु से गुणा कर दीजिए। मूल का आठवाँ हिस्सा चाहिए तो तीन अर्ध-आयुएँ, पदार्थ कोई भी हो; चौथाई चाहिए तो दो, इसलिए 5,730 साल की अर्ध-आयु उस जवाब को 11,460 साल पर रखती है। पहले गिनती निकाल लेना ही काम का हिस्सा है, क्योंकि बाक़ी एक गुणा भर है।

अर्ध-आयु और बीता समय किस इकाई में भरें?

किसी भी इकाई में, बस दोनों एक ही में हों। दोनों समय आपस में भाग हो जाते हैं, इसलिए 5 दिन की अर्ध-आयु के साथ 15 दिन बीते हों तो ठीक वही जवाब आता है जो 120 घंटे के साथ 360 घंटे पर आता। पेज पर जान-बूझकर कोई इकाई-चयनकर्ता नहीं है, क्योंकि लोग असल में जो इकाइयाँ इस्तेमाल करते हैं वे सेकंड से लेकर अरबों साल तक फैली हैं और कोई सूची उन सबको नहीं समेट सकती। क़ीमत यह है कि मिली-जुली इकाइयाँ पकड़ में नहीं आतीं: दिन के साथ घंटे भरने पर जवाब चौबीस गुना बड़ा आता है और बिल्कुल सामान्य दिखता है।

क्या जवाब कभी शून्य तक पहुँचता है?

गणित के हिसाब से नहीं — हर अर्ध-आयु जो मौजूद है उसका आधा हटाती है, और किसी धनात्मक संख्या का आधा हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए बाक़ी हिस्सा शून्य की ओर बढ़ता है पर पहुँचता नहीं। व्यवहार में पहुँच जाता है, और दो जगहों पर: दोहरे परिशुद्धता में 0.5 की घात करीब 1074 अर्ध-आयुओं तक चलती है और 1075 पर ठीक शून्य हो जाती है, जबकि पैनल छह दशमलव तक ही छापता है इसलिए वह करीब अट्ठाईस अर्ध-आयुओं से ही 0 दिखाने लगता है। यह गिनती के ख़त्म होने की बात है, पदार्थ के ग़ायब होने की नहीं।

अर्ध-आयु और क्षय स्थिरांक में क्या फ़र्क़ है?

दोनों उसी क्षय को दो तरह से बताते हैं। क्षय स्थिरांक घात में प्रति इकाई समय की दर है, और अर्ध-आयु उसका आधा जाने का समय; दोनों में दो के प्राकृतिक लघुगणक का गुणक है, यानी अर्ध-आयु बराबर उस लघुगणक बटा क्षय स्थिरांक। यह पेज अर्ध-आयु इस्तेमाल करता है क्योंकि संख्याएँ इसी रूप में छपती हैं — कार्बन-14 के लिए 5,730 साल, किसी दवा के लिए कुछ घंटे — जबकि क्षय स्थिरांक वह रूप है जो तब सामने आता है जब वही नियम आधार e के साथ लिखा जाए।

क्या शुरुआती मात्रा से क्षय में लगने वाला समय बदलता है?

नहीं। अर्ध-आयु की पूरी बात यही है: वह पदार्थ का गुण है, नमूने का नहीं। 100 के बजाय 200 इकाइयों से शुरू करने पर 100 गुणे आधा की घात n के बजाय 200 गुणे आधा की घात n बचता है, यानी वक्र पर हर मात्रा दुगुनी हो जाती है और प्रतिशत बिल्कुल वही रहते हैं। शुरुआती मात्रा बदलने पर अर्ध-आयुओं की गिनती और बाक़ी हिस्सा ज़रा भी नहीं हिलते।

• Half-Life — the definition of the half-life and the exponential decay law that this page evaluates, including the relation between the number of half-lives and the fraction remaining — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — the general law of which this page is the half-life case, with the decay constant and the half-life related by a factor of the natural logarithm of two — Wolfram MathWorld (United States)