CAGR कैलकुलेटर

CAGR = (अंत का मूल्य ÷ शुरू का मूल्य)^(1 ÷ साल) − 1

V₀

शुरू का मूल्य, जो शून्य से बड़ा होना ही चाहिए वरना दर का कोई अस्तित्व नहीं

Vₜ

अंत का मूल्य, जो शून्य भी हो सकता है — पूरा नुक़सान ठीक −100% की दर देता है

n

दोनों मूल्यों के बीच के पूरे साल

CAGR

वह स्थिर वार्षिक वृद्धि दर जो V₀ को n सालों में Vₜ तक ले जाती

इसका इस्तेमाल अलग-अलग लंबाई की दो अवधियों की तुलना के लिए कीजिए, क्योंकि ईमानदार तुलना का यही एक रास्ता है। तीन साल में तिगुना हुआ निवेश और पंद्रह साल में चौगुना हुआ निवेश — कुल आँकड़े देखकर यह तय नहीं होता कि कौन बड़ा है; उनकी वार्षिक वृद्धि दरें 44.225% और 9.682% हैं, और अब तय हो गया। यही गणना वह है जिसे सालाना रिपोर्ट में आय का चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर कहा जाता है, और फ़ंड की सूची में वार्षिक प्रतिफल। इसके साथ दो सावधानियाँ हैं। पहली, यह दर एक ऊबड़-खाबड़ रास्ते का सपाट विकल्प है — यह वह स्थिर दर है जो वही अंत लाती, ऐसी दर नहीं जो किसी ने सचमुच कमाई हो, और एक ही CAGR वाले दो निवेशों का जोखिम बिलकुल अलग हो सकता है। दूसरी, यह दोनों सिरों से पहले या बाद के सालों के बारे में कुछ नहीं बताती, इसलिए अनुकूल तारीख़ें चुनकर किसी भी श्रृंखला को चमकाया जा सकता है।

1. 10,000 से 25,000, दस साल में

   1. गुणक: 25,000 ÷ 10,000 = 2.5
   2. कुल प्रतिफल: 2.5 − 1 = 150%
   3. वार्षिक: 2.5^(1 ÷ 10) − 1 = 1.095958 − 1 = 9.596%

   यह पेज का डिफ़ॉल्ट है। हाथ से जाँचने लायक़ बात उलटी दिशा है: 10,000 × 1.09596^10 = 25,000.40, यानी यह दर दसों साल बराबर लगाने पर वाक़ई वही अंत लाती है।

2. 5,000 से 8,000, चार साल में

   1. गुणक: 8,000 ÷ 5,000 = 1.6
   2. कुल प्रतिफल: 1.6 − 1 = 60%
   3. वार्षिक: 1.6^(1 ÷ 4) − 1 = 1.124682 − 1 = 12.468%

   थोड़ा-सा कुल प्रतिफल जब सिर्फ़ चार सालों में फैला हो तो दो अंकों में पहुँच जाता है — अवधि जितनी छोटी, उसी कुल के लिए वार्षिक आँकड़ा उतना बड़ा। यही असमानता वजह है कि एक साल का प्रतिफल बढ़ाकर दस साल का बना देना लगभग कुछ नहीं बताता।

3. 20,000 से शून्य, पाँच साल में

   1. गुणक: 0 ÷ 20,000 = 0
   2. कुल प्रतिफल: 0 − 1 = −100%
   3. वार्षिक: 0^(1 ÷ 5) − 1 = 0 − 1 = −100%

   यह अकेला मामला है जहाँ पूरे नुक़सान का भी साफ़ जवाब होता है, और वह जवाब ठीक −100% है: किसी भी धनात्मक मूल्य को शून्य तक ले जाने वाली स्थिर दर हर साल का पूरा नुक़सान है। ध्यान दीजिए कि गुणक 0 आता है, इसलिए गणना उससे कभी भाग नहीं देती। इस दर को पूर्वानुमान नहीं, सीमा पढ़िए — जिस निवेश ने सब कुछ गँवाया, उसने हर साल ठीक −100% की रफ़्तार से नहीं गँवाया।

यह पेज जो दर लौटाता है वह एक सारांश है, और सारांश चीज़ें छोड़ देते हैं। यह ठीक दो मूल्यों और उनके बीच के सालों से निकाली जाती है, इसलिए बीच में क्या हुआ, यह कुछ नहीं बताती: दस सालों में 10,000 से 25,000 तक पहुँचे दो निवेशों का CAGR एक ही रहेगा, चाहे एक सपाट चढ़ा हो और दूसरा तीसरे साल में आधा होकर फिर सँभला हो। यह आपके भरे हुए दायरे के बाहर के सालों को देख भी नहीं सकती, और इसी वजह से इससे भटकाना बेहद आसान है — शुरुआत में चोटी और अंत में गर्त रखिए तो कोई भी लंबा रिकॉर्ड बरबाद दिखता है; दोनों को उलट दीजिए और वही शानदार दिखता है। शुरू का मूल्य शून्य से बड़ा होना ज़रूरी है, क्योंकि शून्य से किसी चीज़ तक बढ़ने की कोई सीमित वार्षिक दर होती ही नहीं। सालों की संख्या पूर्णांक होनी चाहिए, जिससे फ़ंड सूचियों में इस्तेमाल होने वाली टुकड़े-साल की गणना बाहर हो जाती है। नक़दी प्रवाह की कोई गिनती नहीं है: अगर अवधि के दौरान पैसा जोड़ा या निकाला गया, तो असली वार्षिक प्रतिफल आंतरिक प्रतिफल दर है और यह पेज ग़लत जवाब देगा, कभी-कभी बुरी तरह। कर, महँगाई और शुल्क तीनों अनुपस्थित हैं, इसलिए दस साल का 9.596% का नाममात्र CAGR असली क्रय शक्ति का 9.596% नहीं है। और किसी आँकड़े के साथ कोई मुद्रा चिह्न नहीं लगता।

CAGR कैसे निकाला जाता है?

अंत का मूल्य शुरू के मूल्य से भाग दीजिए, उसको सालों की संख्या के उलटे घात पर उठाइए, और एक घटा दीजिए। 10,000 से दस साल में 25,000 के लिए: 25,000 ÷ 10,000 = 2.5, फिर 2.5^(1 ÷ 10) = 1.095958, और 1.095958 − 1 = 9.596%. यही चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर है — वह अकेली स्थिर दर जो उतने ही सालों में वही अंत लाती।

CAGR और कुल प्रतिफल में क्या फ़र्क़ है?

कुल प्रतिफल शुरू से अंत तक का पूरा बदलाव है, समय का ज़िक्र किए बिना; CAGR उसी बदलाव को बाँटकर प्रति वर्ष दर बना देता है। 10,000 से 25,000 तक जाना 150% का कुल प्रतिफल है, चाहे वह एक साल में हुआ हो या बीस में। CAGR एक साल पर 150.000% है और बीस साल पर 4.688%। दोनों आँकड़े उसी सफ़र को बताते हैं, और जो पेज इनमें से सिर्फ़ एक बताए वह कुछ छिपा रहा है।

क्या CAGR ऋणात्मक हो सकता है?

हाँ, जब भी अंत का मूल्य शुरू के मूल्य से नीचे हो। पाँच साल में 20,000 से 12,000 पर गिरना −9.712% का CAGR है, और पूरा नुक़सान ठीक −100% देता है। ऋणात्मक दर कोई त्रुटि नहीं है और गणना उसे बिना किसी ख़ास उपाय के सँभाल लेती है, क्योंकि दोनों मूल्यों का अनुपात शून्य और एक के बीच होता है और उसे धनात्मक घात पर उठाने से वह वहीं रहता है।

अगर निवेश शून्य हो जाए तो क्या होता है?

दर ठीक −100% होती है, और यह असली जवाब है, कोई नाकामी नहीं। कोई भी धनात्मक प्रारंभिक मूल्य हर साल के पूरे नुक़सान से कम किसी दर पर शून्य तक नहीं पहुँच सकता, इसलिए इन दोनों सिरों के साथ −100% ही एकमात्र संगत दर है। गुणक 0 आता है, इसीलिए गणना उससे कभी भाग नहीं देती। पेज यह नहीं बता सकता कि यह पतन कितने समय में हुआ — सिरे रास्ते के बारे में कुछ नहीं कहते।

छोटी अवधि पर वार्षिक प्रतिफल इतना ऊँचा क्यों दिखता है?

क्योंकि वार्षिक बनाने का मतलब है छोटी अवधि को बढ़ाकर पूरे साल तक फैला देना। चार साल में 60% का कुल प्रतिफल 12.468% सालाना है, पर वही 60% एक साल में 60% है, और बीस साल में सिर्फ़ 2.378%। दायरा जितना छोटा, दर का मतलब उतना कम — एक अच्छी तिमाही को सालाना बनाने पर ऐसा आँकड़ा आता है जो कोई निवेश लंबे समय तक नहीं कमाता। दरों की तुलना सिर्फ़ मिलती-जुलती अवधियों में कीजिए।

क्या CAGR बीच में जोड़े गए पैसे को गिनता है?

नहीं, और यही इस आँकड़े के दुरुपयोग का सबसे आम तरीक़ा है। यह ठीक दो मूल्यों की तुलना करता है और मान लेता है कि बीच में कुछ हिला नहीं। अगर आपने खाते में पैसा जोड़ा या निकाला, तो बदलाव का एक हिस्सा आपका ही पैसा है, वृद्धि नहीं, और असली वार्षिक आँकड़ा आंतरिक प्रतिफल दर है, जो हर नक़दी प्रवाह को उसके निवेशित रहने के समय से तौलती है। जो पोर्टफ़ोलियो सिर्फ़ इसलिए बढ़ा कि आप उसमें पैसा डालते रहे, वह इस पेज पर चमकदार CAGR दिखाएगा।

• Compound Interest Calculator — the forward form of the same equation, for checking an annualised rate — U.S. Securities and Exchange Commission (Investor.gov)
• H.15 Selected Interest Rates — the published rates an annualised return is compared against — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)