गुणोत्तर माध्य कैलकुलेटर

गुणोत्तर माध्य = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ) = exp(mean(ln xᵢ))

xᵢ

सूची का एक मान, और इनमें से हर एक शून्य से बड़ा होना चाहिए। एक शून्य गुणनफल को शून्य बना देता है और जवाब शून्य आता है, चाहे सूची का बाक़ी हिस्सा कुछ भी कहे; और किसी ऋणात्मक मान का मूल ऋणात्मक गुणनफल का सम मूल बन जाता है, जो संख्या ही नहीं है।

n

सूची में कितने मान हैं, जो नतीजे के पैनल पर छपता है। यह मूल का घातांक है: दो मान हों तो वर्गमूल, तीन हों तो घनमूल, पाँच हों तो पाँचवाँ मूल। हाथ से हिसाब करते समय ग़लती आम तौर पर इसी की गिनती में होती है, इसलिए इसे सूची से गिनने के लिए छोड़ने के बजाय दिखाया जाता है।

x₁ · x₂ · … · xₙ

सारे मानों का गुणनफल। मायने सिर्फ़ गुणनफल का है, इसीलिए जवाब इस पर निर्भर नहीं करता कि मान किस क्रम में लिखे गए थे — और इसीलिए सिर्फ़ दो मानों वाली सूची के लिए यह वही परिचित वर्गमूल है जो उनके गुणनफल का होता है।

mean(ln xᵢ)

वही बात लिखने का दूसरा तरीक़ा, और वही जो कैलकुलेटर असल में लगाता है: हर मान का प्राकृतिक लघुगणक लीजिए, उनका औसत निकालिए, और आख़िर में लघुगणक उलट दीजिए। जवाब वही आता है जो पहले गुणा करने पर आता, पर बड़े मानों की लंबी सूची को गुणा करने में जिस बहाव का ख़तरा है वह यहाँ नहीं आता।

गुणोत्तर माध्य तब लगाइए जब संख्याएँ जुड़ने के बजाय आपस में गुणा हों — चक्रवृद्धि होते प्रतिशत, अनुपात, सूचकांक के स्तर, वृद्धि गुणक। जो फ़ंड एक साल 10% बढ़े, फिर 20%, और फिर 10% गिरे, वह तीन साल में 18.8% ऊपर रहता है, यानी 1.1 × 1.2 × 0.9; सालाना वृद्धि गुणक का औसत उसका घनमूल है, 1.0591, इसलिए ईमानदार सालाना आँकड़ा 5.91% है, न कि वह 6.67% जो तीनों प्रतिशत के सादे औसत से निकलता है। यही तर्क हर उस चीज़ पर लगता है जो गुणक पैमाने पर नापी जाती है: कीटाणुओं की गिनती, भूकंप की तीव्रता, वे चीज़ें जिनका नाप कई गुना के फ़ासले में फैला हो, और अनुपातों का समूह जैसे किसी शेयर की कीमत-से-कमाई जैसे आँकड़े, जहाँ कोई एक बाहर पड़ा मान वरना पूरा सादा औसत अपनी तरफ़ खींच लेता। जो मान जुड़ सकते हैं उन पर यह न लगाइए — तापमान, अंक या दामों की सूची का कोई मतलब का गुणनफल नहीं होता, और उसका गुणोत्तर माध्य एक ऐसी संख्या होगी जिसका कोई अर्थ नहीं निकलता। याद रखने लायक़ एक बात यह है कि गुणोत्तर माध्य हमेशा दोनों में छोटा वाला होता है, और जितने ज़्यादा मान अलग-अलग हों उतना ही नीचे, इसलिए इन दोनों के बीच का फ़र्क़ यह पढ़ने का मोटा तरीक़ा है कि सूची कितनी असमान है।

1. पाँच परीक्षा अंक

   1. मानों को गुणा कीजिए: 85 × 90 × 78 × 92 × 88 = 4,830,883,200
   2. 5 मान हैं, इसलिए पाँचवाँ मूल लीजिए: ⁵√4,830,883,200 = 86.458
   3. इसी सूची का अंकगणितीय औसत 86.6 है

   दोनों जवाबों में 0.142 का फ़र्क़ है, और यह छोटा है क्योंकि ये पाँच अंक एक-दूसरे के क़रीब हैं — गुणोत्तर माध्य अंकगणितीय औसत से जितना नीचे गिरता है, वह सूची की असमानता के साथ बढ़ता है। यह असमानता गोलाई का असर नहीं है: धनात्मक मानों के लिए गुणोत्तर माध्य अंकगणितीय औसत से बड़ा कभी नहीं हो सकता, और बराबर सिर्फ़ तब होता है जब सारे मान एक जैसे हों। अंक वास्तव में गुणक राशि नहीं हैं, इसलिए यह मिसाल यहाँ तरीक़ा दिखाने के लिए है, इस औज़ार का असली इस्तेमाल नहीं — असली इस्तेमाल अगली मिसाल के फ़ंड रिटर्न हैं, जहाँ गुणा ही सही हिसाब है। यही पाँच संख्याएँ इस पूरे समूह के चारों पेजों की डिफ़ॉल्ट हैं, इसलिए एक पेज से दूसरे पर जाने पर आप देख सकते हैं कि एक ही सूची के लिए तीनों माध्य किस क्रम में बैठते हैं: हरात्मक 86.3118, गुणोत्तर 86.458, और अंकगणितीय 86.6।

2. फ़ंड: +10%, +20%, −10%

   1. वृद्धि गुणकों को गुणा कीजिए: 1.1 × 1.2 × 0.9 = 1.188
   2. 3 गुणक हैं, इसलिए घनमूल लीजिए: ³√1.188 = 1.0591
   3. अंकगणितीय औसत 1.0667 है — ऊँचा, और इस सवाल के लिए ग़लत

   तीनों साल मिलकर 18.8% ऊपर हैं, और 1.188 ही वह अकेली संख्या है जो यह कहती है। सालाना औसत गुणक वह संख्या है जो तीन साल में गुणा होकर 1.188 बनती है, और वह घनमूल है, 1.0591 — यानी 5.91% की चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर। तीनों प्रतिशत का सादा औसत 6.67% देता है, और उसके ज़्यादा होने की वजह यह है कि प्रतिशत जुड़ते नहीं: 10% की गिरावट 10% की बढ़त की भरपाई करने से ज़्यादा मिटाती है, क्योंकि वह बड़े आधार पर से घटाई जाती है। यहाँ का फ़र्क़ सालाना 0.76 प्रतिशत अंक का है, और बीस साल में यही फ़र्क़ यह तय करता है कि निवेश तिगुना होगा या 3.6 गुना। यही वह जगह है जहाँ इस पेज का जवाब किसी भी प्रतिशत के ख़ुद के औसत से ज़्यादा भरोसेमंद होता है।

3. दो संख्याएँ: मध्यानुपाती

   1. दो मानों को गुणा कीजिए: 2 × 8 = 16
   2. 2 मान हैं, इसलिए वर्गमूल लीजिए: √16 = 4
   3. इसी जोड़े का अंकगणितीय औसत 5 है

   दो मानों के साथ गुणोत्तर माध्य उनके गुणनफल का वर्गमूल है, और यही वह संख्या है जिसे पुराने ज्यामितिकार मध्यानुपाती कहते थे: 2 का 4 से वही नाता है जो 4 का 8 से। यह उस वर्ग की भुजा भी है जिसका क्षेत्रफल 2 गुणा 8 वाले आयत के बराबर है — दोनों तरफ़ 16 — जबकि अंकगणितीय औसत 5 उस वर्ग की भुजा है जिसका परिमाप आयत के बराबर है, यानी 5 गुणा 5 का वर्ग जिसका क्षेत्रफल 25 बनता है। दोनों औसत कहाँ अलग होते हैं, इसका सबसे साफ़ उदाहरण यही है, और यही बताता है कि क्षेत्रफल, पैमाने या वृद्धि के सवाल का जवाब गुणोत्तर औसत है और कुल जोड़ के सवाल का अंकगणितीय।

हर मान शून्य से बड़ा होना चाहिए, और जिस सूची में शून्य या ऋणात्मक संख्या हो उसे पेज कोई बेमतलब संख्या लौटाने के बजाय ठुकरा देता है — एक अकेला शून्य गुणनफल को शून्य और जवाब को शून्य बना देता है, चाहे सूची में बाक़ी कुछ भी हो, और ऋणात्मक गुणनफल के सम मूल का कोई असली जवाब नहीं होता। जिस सूची में ऋणात्मक मानों की गिनती विषम हो उसका जवाब सिद्धांत में होता है, पर ऋणात्मक मानों से बने गुणोत्तर माध्य के चिह्न का कोई अर्थ नहीं निकलता, इसलिए ऐसी सूचियाँ भी ठुकरा दी जाती हैं; उपाय यह है कि प्रतिशत बदलावों के बजाय वृद्धि गुणकों के साथ काम किया जाए। यह औसत सिर्फ़ उन राशियों के लिए मतलब रखता है जो गुणा होती हैं; अंकों, तापमान या दामों के लिए यह एक वैध हिसाब है जिसका कोई काम का पाठ नहीं निकलता, इसीलिए अंकगणितीय औसत इसके बग़ल छपता है, इसकी जगह नहीं लेता। और ऐसी सूची पर यह नहीं लगाया जा सकता जिसमें कोई मान शून्य हो — इसलिए उन रिटर्नों पर भी नहीं जिनमें पूरा नुक़सान शामिल हो। सूची 200 मानों तक सीमित है, और 1,500 जैसा टुकड़ा अंदाज़ा लगाने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि अंकों के बीच का अल्पविराम दुनिया के बड़े हिस्से में दशमलव का चिह्न है; 1500 या 1.5 लिखिए।

गुणोत्तर माध्य कैसे निकालें?

सारे मानों को आपस में गुणा कीजिए, फिर ऐसा मूल लीजिए जिसका घातांक मानों की गिनती हो। 2 और 8 का गुणनफल 16 बनता है और मान दो हैं, इसलिए गुणोत्तर माध्य √16 = 4 है; पाँच मानों के लिए आप पाँचवाँ मूल लेंगे। कैलकुलेटर यही काम लघुगणक के रास्ते करता है — लघुगणकों का औसत निकालकर आख़िर में लघुगणक उलट देता है — ताकि बीच में कोई बहुत बड़ी संख्या न बने।

गुणोत्तर माध्य अंकगणितीय माध्य से कम क्यों होता है?

क्योंकि गुणा गिरावट और बढ़त को बराबर नहीं मानता। जो मान 10% गिरे और फिर 10% बढ़े, वह अपनी पुरानी जगह से नीचे रह जाता है, 1.1 × 0.9 = 0.99, इसलिए जो भी सूची दोनों तरफ़ चलती है उसका गुणोत्तर माध्य उसके अंकगणितीय माध्य से नीचे रहेगा। दोनों सिर्फ़ तब बराबर होते हैं जब सारे मान एक जैसे हों, और जितने मान आपस में दूर हों उतना फ़ासला बड़ा — इसीलिए इन दोनों संख्याओं का अंतर अपने आप में यह पढ़ने का मोटा तरीक़ा है कि सूची कितनी असमान है।

अंकगणितीय औसत के बजाय गुणोत्तर माध्य कब लगाना चाहिए?

जब मान जुड़ने के बजाय गुणा होते हों। वृद्धि दरें, साल दर साल चक्रवृद्धि होते प्रतिशत, अनुपात और सूचकांक के स्तर — ये सब गुणक राशियाँ हैं, और इनका सादा औसत जवाब को बढ़ा-चढ़ाकर बताता है। जो राशियाँ जुड़ती हैं — अंक, तापमान, दाम, चीज़ों की गिनती — उनके लिए अंकगणितीय औसत सही है। एक आसान परख यह है: हर मान को दुगुना करने पर जवाब दुगुना होना चाहिए या नहीं? होना चाहिए तो राशि गुणक है।

जिस सूची में शून्य या ऋणात्मक संख्या हो उस पर यह लगा सकते हैं?

नहीं, और पेज ऐसी सूची ठुकरा देता है। एक अकेला शून्य गुणनफल को शून्य कर देता है, इसलिए जवाब शून्य आता, चाहे सूची में बाक़ी कुछ भी हो — और वह किसी चीज़ का औसत नहीं है। ऋणात्मक मान गुणनफल को ऋणात्मक बना देता है, और उसका सम मूल कोई असली संख्या नहीं होती। जिस प्रतिशत बदलावों के समूह में पूरा नुक़सान शामिल हो, उसका काम का उपाय यह है कि प्रतिशत के बजाय वृद्धि गुणक लिखे जाएँ — 50% नुक़सान के लिए 0.5 — और यह मान लिया जाए कि शून्य गुणक, यानी पूरा नुक़सान, का गुणोत्तर माध्य होता ही नहीं।

यह चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर से किस तरह अलग है?

चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर यानी CAGR, सालाना वृद्धि गुणकों का गुणोत्तर माध्य ही है, बस प्रतिशत में कहा हुआ। अगर कोई निवेश तीन साल में 1.1, 1.2 और 0.9 से गुणा होता है, तो गुणनफल 1.188 बनता है, घनमूल 1.0591 है, और चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि 5.91%। कैलकुलेटर में सब कुछ पहले से इसी रूप में है: प्रतिशत के बजाय गुणक डालिए, और जो संख्या पैनल पर दिखती है वह वही गुणक है जिसका प्रतिशत यह दर है।

क्या मानों का क्रम मायने रखता है?

नहीं। गुणोत्तर माध्य गुणनफल और गिनती से बनता है, और गुणा में क्रम से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता, इसलिए 2, 8 और 4 वही जवाब देते हैं जो 8, 4 और 2 देते हैं। यह जानने लायक़ है क्योंकि गुणोत्तर माध्य अक्सर समय के क्रम में चलने वाली चीज़ बताता है — साल दर साल के रिटर्न — और उसका जवाब जान-बूझकर इस बात से बेपरवाह रहता है कि अच्छा साल पहले आया या बाद में। वह यह बताता है कि औसत साल कैसा रहा, यह नहीं कि किसी ख़ास साल में क्या हुआ।

• Geometric Mean — MathWorld (the definition, the mean proportional, and the inequality with the arithmetic mean) — Wolfram MathWorld (United States)
• Geometric mean — Encyclopedia of Mathematics (why rates and ratios call for the geometric mean rather than the arithmetic one, with the full inequality between the three means) — Encyclopedia of Mathematics (EMS Press)