माध्य कैलकुलेटर

औसत = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n = Σx ÷ n

xᵢ

सूची की एक संख्या। मान ऋणात्मक हो सकते हैं — कोई तापमान, कोई शेष, लक्ष्य से किसी का फ़र्क़ — और दशमलव या भिन्न भी हो सकते हैं; सूत्र में सिर्फ़ कुल जोड़ और गिनती जाती है, इसलिए पहले कुछ क्रम में लगाना ज़रूरी नहीं।

Σx

हर मान का जोड़, जो पैनल पर छपता है। यह भिन्न का अंश है, और यही वह संख्या है जो इकाई उठाती है: मिनटों का जोड़ मिनटों में नापा जाता है, और उससे निकला औसत भी।

n

संख्याएँ कितनी हैं, यह भी पैनल पर छपता है। यह भिन्न का हर है, और इसी से इस औसत को उसका मतलब मिलता है — योग सब संख्याओं में बराबर-बराबर बाँटा जाता है, इसलिए जवाब वह है जो हर एक के हिस्से में आता अगर सबके पास उतना ही होता।

Σx ÷ n

वही एक भाग, जो पैनल पर असली संख्याओं के साथ लिखा जाता है। जोड़ और गिनती को अलग-अलग दिखाने का पूरा मतलब यही परखना है: जवाब ग़लत लगे तो यही पंक्ति बताती है कि जोड़ ग़लत लिखा गया था या गिनती।

औसत उन राशियों के लिए इस्तेमाल कीजिए जो जुड़ती हैं, और जहाँ हर मान को बराबर गिना जाना चाहिए। रोज़मर्रा के ज़्यादातर मामले इसी में आ जाते हैं: किसी कक्षा के औसत अंक, किसी सामान की टोकरी का औसत दाम, किसी काम में लगने वाले मिनटों का औसत, किसी महीने का औसत तापमान। यह वह संख्या भी है जिससे कुल जोड़ ठीक बैठता है — इससे हर मान का फ़र्क़ जोड़ने पर पूरा शून्य आता है — और इसीलिए यह किसी कुल का स्वाभाविक सारांश है, और इसीलिए आँकड़ों की लगभग हर दूसरी चीज़ की इनपुट भी। जब मान बराबर महत्व के न हों तो कुछ और चुनिए, और वह भारित औसत है; जब मान जुड़ने के बजाय गुणा हों, जैसे वृद्धि दरें और अनुपात, तो गुणोत्तर माध्य; जब मान कुछ करने की दरें हों, तो हरात्मक माध्य; और जब कुछ गिने-चुने बहुत बड़े मान जवाब को आम हालत से खींच ले जाएँ, तो सूची को क्रम में लगाकर माध्यिका देखिए। इन सबका अपना पेज इसी साइट पर है। औसत बनावट से ही बाहर पड़े मानों के प्रति संवेदनशील है, क्योंकि हर मान उसे अपनी दूरी के अनुपात में खींचता है — और यह संवेदनशीलता कभी इसके पक्ष में होती है, कभी इसके ख़िलाफ़।

1. पाँच परीक्षा अंक

   1. मान जोड़िए: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433
   2. गिन लीजिए: कुल 5 हैं
   3. भाग दीजिए: 433 ÷ 5 = 86.6

   पैनल वह भाग पूरा लिखकर दिखाता है — (85 + 90 + 78 + 92 + 88) / 5 = 86.6000 — इसलिए जवाब जोड़ दोबारा किए बिना परखा जा सकता है, और हर में जो संख्या है वह साफ़-साफ़ गिनती ही है, कोई और चीज़ नहीं। यहाँ 433 का जोड़ ख़ुद देखने लायक़ है: यह वह कुल है जो पूरी कक्षा ने कमाया, और औसत वह अंक है जो हर विद्यार्थी को मिलता अगर यह कुल बराबर-बराबर बाँट दिया जाता। यही पाँच संख्याओं वाली सूची इस पूरे समूह के चारों पेजों की डिफ़ॉल्ट है, इसलिए एक पेज से दूसरे पर जाने पर वही आँकड़े किसी और औसत से दिखते हैं: 86.6 अंकगणितीय औसत है, और इस सूची के लिए भारित, गुणोत्तर तथा हरात्मक — तीनों इससे कम आते हैं।

2. ऋणात्मक मानों वाली सूची

   1. मान जोड़िए: -5 + (-1) + 3 = -3
   2. कुल 3 मान हैं
   3. भाग दीजिए: -3 ÷ 3 = -1

   ऋणात्मक मान साधारण इनपुट हैं: शून्य से नीचे का तापमान, घाटे में चलता शेष, किसी आधार रेखा से नापा गया फ़र्क़। पैनल जोड़ को (-5 - 1 + 3) लिखता है, (-5 + -1 + 3) नहीं — बात वही है, पर पढ़ने में वैसी लगती है जैसे कोई बोलकर कहता। ध्यान दीजिए कि जवाब -1 सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच ही बैठा है, जैसा औसत को हमेशा बैठना ही चाहिए — जो औसत आँकड़ों के दायरे से बाहर आ जाए वह संकेत है कि कहीं कुछ ग़लत लिखा गया। और यह सूची की कोई संख्या हो, यह भी ज़रूरी नहीं है — और इस सूची में है नहीं।

3. दो दशमलव मान

   1. मान जोड़िए: 0.3 + 0.45 = 0.75
   2. कुल 2 मान हैं
   3. भाग दीजिए: 0.75 ÷ 2 = 0.375

   यहाँ दशमलव मान दशमलव बिंदु के साथ डाले जाते हैं, और किसी मान में जितने अंक चाहें लिख सकते हैं — अंदर आते हुए कुछ भी गोल नहीं होता। जवाब चार दशमलव स्थानों तक दिखाया जाता है, जो इस जोड़े में एक अतिरिक्त शून्य जोड़ देता है: 0.375 के बजाय 0.3750। यह शून्य जान-बूझकर लगाया जाता है और यह सटीकता का दावा नहीं है; यह वह चीज़ है जिससे नतीजे का पैनल ऊपर लिखे भाग के साथ सीधा बैठता है, और यही स्थानों की वह गिनती है जो इस पेज का हर नतीजा इस्तेमाल करता है।

4. आठ मान, Σ में लिखे हुए

   1. मान जोड़िए: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. कुल 8 मान हैं
   3. भाग दीजिए: 40 ÷ 8 = 5

   यह सूची छह से लंबी है, इसलिए चरण दर चरण वाली पंक्ति संकेत-लेखन पर चली जाती है: आठों संख्याएँ लिखने के बजाय Σx / 8 = 5.0000। यह Σ वही चिह्न है जो सूत्र वाले ब्लॉक में है, और इसका मतलब ठीक वही है जो खुले हुए रूप का था — सबको जोड़ दीजिए — इसलिए कुछ भी नहीं खोता, और दो सौ मानों वाली सूची भी दो सौ संख्याओं लंबी पंक्ति नहीं बनाती। यह बदलाव छह से ऊपर होता है, किसी और गिनती पर नहीं: उससे नीचे खुला हुआ रूप इतना छोटा रहता है कि दोनों में ज़्यादा काम का वही है, और छह पर भी वही रहता है।

सूची में कम से कम एक मान होना चाहिए और दो सौ से ज़्यादा नहीं, और जो टुकड़ा संख्या न हो उसे छोड़ा नहीं बल्कि ठुकराया जाता है — 1, 2 और abc वाली सूची उन दो संख्याओं पर औसत निकालने के बजाय सिरे से मना कर दी जाती है। अंकों के बीच अल्पविराम भी ठुकराया जाता है, इसलिए 1,500 को 1500 या 1.5 लिखना पड़ता है, क्योंकि दुनिया के बड़े हिस्से में अल्पविराम दशमलव का चिह्न है और यह अंदाज़ा लगाना कि कौन-सा चलन चाहा गया था, जवाब को चुपचाप हज़ार गुना बदल देगा। अंदर आते हुए कुछ भी गोल नहीं होता: मान ठीक वैसे ही इस्तेमाल होते हैं जैसे लिखे गए, और सिर्फ़ छपने वाला नतीजा चार दशमलव स्थानों पर टिकाया जाता है, इसलिए कई अंकों वाले मानों की लंबी सूची सही जवाब देती है जो छपने में अपने पड़ोसी जैसा दिख सकता है। औसत के पास यह कहने को कोई ऊपरी या निचली सीमा नहीं होती — वह तापमानों की सूची पर भी जवाब दे देगा और दामों की सूची पर भी, बिना यह जाने कि सामने क्या है, और यह नहीं पकड़ सकता कि दोनों एक ही सूची में नहीं बैठने चाहिए थे। आख़िर में, यह औसत मज़बूत नहीं है: एक ही बहुत बड़ा मान इसे बहुत दूर खींच ले जाता है, और हर मान इसे उस हद तक खींचता है जितनी दूर वह जवाब से बैठता है।

किसी सूची का औसत कैसे निकालते हैं?

संख्याएँ जोड़ दीजिए, गिन लीजिए कि कितनी हैं, और जोड़ को गिनती से भाग दीजिए — यानी जवाब योग बटा संख्या है। इस पेज के पाँच अंकों का जोड़ 433 है और वे 5 हैं, इसलिए औसत 433 ÷ 5 = 86.6 आता है। जोड़ और गिनती — दोनों नतीजे के पैनल पर जवाब के बग़ल छपते हैं, यानी वह भाग आपको जोड़ दोबारा किए बिना परखा जा सकता है।

औसत और माध्य में क्या फ़र्क़ है?

गणित की किताबों में इस संख्या का नाम माध्य है और यह पेज भी उसी नाम से खुलता है, पर नतीजे के पैनल पर इसका लेबल औसत है — दोनों एक ही संख्या के दो नाम हैं, कोई फ़र्क़ नहीं। बिना किसी विशेषण के "माध्य" कहने पर गणित में भी यही जोड़ बटा गिनती वाला मान समझा जाता है, और बोलचाल में तो औसत का मतलब हमेशा यही होता है। इस साइट पर इस एक संख्या के लिए जान-बूझकर एक ही लेबल रखा गया है, इसलिए हर पेज का पैनल इसे औसत ही छापता है; बाक़ी तीनों के नाम आगे विशेषण लगाकर बनते हैं — भारित, गुणोत्तर और हरात्मक।

औसत निकालते समय सबसे आम ग़लती कौन-सी है?

गिनती को योग समझ लेना। सूची में कितने मान हैं यह गिनती है — 85, 90, 78, 92 और 88 यानी 5 — और उनका जोड़ 433 है, इसलिए इन दोनों जगहों पर संख्या बदल जाने से जवाब 5 और 433 के बीच कहीं भी पहुँच सकता है, जबकि सही जवाब 86.6 है। दूसरी आम ग़लती है 1,500 जैसे टुकड़े को 1500 मान लेना: अंकों के बीच का अल्पविराम दुनिया के बड़े हिस्से में दशमलव का चिह्न है, इसलिए पेज ऐसे टुकड़े को अंदाज़ा लगाने के बजाय ठुकरा देता है।

क्या औसत वह संख्या हो सकता है जो सूची में है ही नहीं?

हाँ, और आम तौर पर होता भी है। हिसाब में ऐसी कोई शर्त नहीं कि जवाब सूची के मानों में से ही एक हो: 1 और 2 का औसत 1.5 है, जो उस सूची में नहीं है, और यहाँ के पाँच अंकों का औसत 86.6 है, जो उन पाँच अंकों में से कोई नहीं है। जो पक्का है वह यह कि जवाब सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच ही रहेगा, और किसी एक पर तभी उतरेगा जब सूची का हिसाब वैसे ही बैठ जाए।

ऋणात्मक संख्याओं का औसत कैसे निकालते हैं?

बिलकुल उसी तरह जैसे धनात्मक संख्याओं का: जोड़ दीजिए, फिर गिनती से भाग दीजिए। जोड़ते समय चिह्न अपना काम ख़ुद कर लेते हैं, इसलिए -5, -1 और 3 का जोड़ -3 बनता है, और 3 से भाग देने पर -1 आता है। पैनल जोड़ को पदों के बीच ऋण चिह्न के साथ लिखता है, ऋणात्मक संख्याओं से पहले धन चिह्न लगाकर नहीं, क्योंकि बोलकर कहने पर भी यही हिसाब वैसे ही कहा जाता है।

नतीजा चार दशमलव स्थानों में क्यों दिखता है?

क्योंकि इस पेज का हर नतीजा चार तय स्थानों तक छपता है, और स्थानों की तय गिनती ही पैनल को एक इनपुट से दूसरे तक तुलना लायक़ बनाती है — 0.375 को 0.3750 दिखाया जाता है ताकि वह ऊपर लिखे भाग के साथ सीधा बैठे। यह इस बात का दावा नहीं है कि जवाब चार स्थानों तक सही है; असली मान में पूरे हिसाब की सटीकता रहती है, सिर्फ़ उसका दिखना तय किया गया है।

औसत कब सही औसत नहीं होता?

जब मान बराबर महत्व के न हों, जब वे जुड़ने के बजाय गुणा हों, या जब कुछ गिने-चुने बहुत बड़े मान पूरे जवाब को आम हालत से बहुत दूर खींच ले जाएँ। बराबर महत्व न होने पर भारित औसत चाहिए; वृद्धि दरों और अनुपातों के लिए, जो चक्रवृद्धि होते हैं, गुणोत्तर माध्य चाहिए; तय दूरी पर पड़ने वाली रफ़्तार जैसी दरों के लिए हरात्मक माध्य चाहिए; और ऐसी तिरछी सूची के लिए, जहाँ आम हालत कुल जोड़ से ज़्यादा मायने रखती हो, सूची को क्रम में लगाकर माध्यिका देखनी चाहिए। चारों का अपना पेज इसी साइट पर है।

• Arithmetic Mean — MathWorld (the definition, the zero-sum property of the deviations, and the inequality with the geometric and harmonic means) — Wolfram MathWorld (United States)
• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 (the mean as a balance point, and how a single extreme value moves it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)