औसत कैलकुलेटर

औसत = Σ xᵢ ÷ n

xᵢ

समूह का एक मान। हर मान का वज़न बराबर है — किसी एक प्रविष्टि को दूसरों से भारी कहने का कोई तरीक़ा यहाँ नहीं है

n

समूह में कितने मान हैं, यहाँ तक कि 200 तक। यही संख्या नतीजों के पैनल पर छपती है, इसलिए भाग को सूची दोबारा गिने बिना जाँचा जा सकता है

Σ xᵢ

सब मानों का योग, जो पैनल पर छपता है। योग और संख्या को साथ पढ़ना अक्सर टाइपिंग की ग़लती पकड़ लेता है: पाँच मानों पर 433 ठीक लगता है, पाँच मानों पर 4330 नहीं

न्यूनतम / अधिकतम

समूह का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान। ये दोनों औसत को घेरकर रखते हैं — औसत इनके बाहर कभी नहीं जा सकता — और इन्हीं से पता चलता है कि सूची कसी हुई है या कोई मान जवाब को खींच रहा है

औसत तब लीजिए जब हर मान का वज़न बराबर होना चाहिए और जोड़ का मतलब बनता हो: परीक्षा के औसत अंक, प्रति ग्राहक औसत ख़र्च, बार-बार लिए गए मापों का औसत। यह दर या प्रति-इकाई ख़र्च के लिए सही सारांश है और समझाने में सबसे आसान। जब सूची में ऐसे चरम मान हों जिन्हें हावी नहीं होने देना, तब कुछ और चुनिए — एक बहका हुआ मान औसत को अपनी पूरी दूरी ÷ गिनती के बराबर खिसका देता है, इसलिए घर की क़ीमत या आय जैसे आँकड़ों को इस औसत से बयान करना ठीक नहीं बैठता। जब औसत सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के ठीक बीच के क़रीब बैठे, तब सूची संतुलित है और औसत उसे अच्छी तरह बयान करता है; जब औसत किसी एक सिरे के पास चला जाए, तब सूची का ज़्यादा हिस्सा दूसरी तरफ़ है और औसत खिंच रहा है।

1. पाँच परीक्षा अंक

   1. योग: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433
   2. संख्या: 5 अंक
   3. भाग: 433 ÷ 5 = 86.6
   4. यही 86.6 औसत है — जोड़ को गिनती से भाग देने पर निकलने वाला एक ही मान
   5. सबसे छोटा 78, सबसे बड़ा 92 — औसत इन दोनों के बीच, मध्य के क़रीब

   86.6 का औसत 78 से 92 वाली पट्टी के ठीक मध्य के क़रीब है, और संतुलित सूची की पहचान यही है: कोई अकेला अंक जवाब को खींच नहीं रहा। ध्यान दीजिए कि औसत उन पाँच अंकों में से कोई नहीं है — उसे होना ज़रूरी भी नहीं, और पाँच मानों का औसत छठी संख्या निकले, यह बिलकुल आम बात है। योग और संख्या इसलिए साथ छपते हैं ताकि आप देख सकें कि 86.6 भरोसे पर नहीं, बल्कि 5 पर 433 से निकला है।

2. ऋणात्मक मानों वाली सूची

   1. योग: −5 + (−1) + 3 = −3
   2. संख्या: 3
   3. भाग: −3 ÷ 3 = −1
   4. सबसे छोटा −5, सबसे बड़ा 3
   5. यानी ऋणात्मक मानों पर भी जोड़ने-भागने का तरीक़ा वही रहता है

   ऋणात्मक मान इसलिए चलते हैं क्योंकि असल सूचियों में वे आम हैं: हफ़्ते भर का तापमान, नफ़ा-नुक़सान, किसी आधार रेखा से हटकर लिया गया माप। ऋणात्मक मान रहते हुए भी दो बातें वैसी ही रहती हैं। पहली, औसत उस पट्टी से बाहर भी बैठ सकता है जो सिर्फ़ धनात्मक मानों को देखकर लगती थी। दूसरी, सबसे छोटा मान वही सबसे ऋणात्मक संख्या है, सबसे बड़ी संख्या नहीं — 5, 1 से बड़ा अंक है, फिर भी −5, −1 से नीचे है। इस क्रम को उलटे पढ़ना ही अक्सर न्यूनतम और अधिकतम की अदला-बदली का कारण होता है।

3. सिर्फ़ एक मान

   1. योग: 42
   2. संख्या: 1
   3. भाग: 42 ÷ 1 = 42
   4. औसत वही 42 है — एक मान का औसत वही मान होता है
   5. सबसे छोटा और सबसे बड़ा दोनों 42, क्योंकि मान एक ही है

   एक मान भी पूरी तरह वैध सूची है और जवाब वही मान निकलता है, जो उन लोगों को चौंकाता है जिन्हें कम से कम दो मानों की उम्मीद होती है। यहाँ किसी दूसरी संख्या की ज़रूरत ही नहीं: योग 42 है, गिनती 1 है, भाग की क्रिया परिभाषित है, और एक ही माप का औसत वही माप है। न्यूनतम और अधिकतम एक ही संख्या पर आ जाते हैं, और यह ईमानदार जवाब है, यह संकेत नहीं कि पेज हार गया।

यह सादा, बिना-वज़न वाला औसत है: एक बार लिखा गया मान एक बार गिना जाता है, इसलिए आवृत्ति तालिका या भारित सर्वेक्षण के लिए कोई और हिसाब चाहिए, और जिस सूची में कोई प्रविष्टि कई प्रेक्षणों की प्रतिनिधि हो, वहाँ यह पेज भ्रामक जवाब देगा। औसत सारांश-राशियों में सबसे आसानी से खिंचने वाला भी है — सूची से बहुत दूर बैठा एक मान उसे उतनी दूरी ÷ गिनती के बराबर खिसका देता है, और इसीलिए सबसे छोटा तथा सबसे बड़ा मान उसके बग़ल में छपते हैं, काम करके निकालने के लिए नहीं छोड़े जाते। यह बीच के हिस्से के फैलाव के बारे में कुछ नहीं कहता: दो सूचियों का औसत और दोनों सिरे एक जैसे हो सकते हैं और वे फिर भी एक जैसी नहीं होंगी — एक बीच में ठसी हुई, दूसरी दोनों किनारों पर बँटी हुई। सूची 200 मानों तक सीमित है, और 1,500 जैसा टोकन अंदाज़ा लगाकर पढ़ने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि दुनिया के बहुत हिस्सों में अंकों के बीच बैठा कॉमा दशमलव बिंदु होता है; 1500 या 1.5 लिखिए।

औसत कैसे निकाला जाता है?

हर मान को जोड़िए, फिर जितने मान हैं उतने से भाग दीजिए। 85, 90, 78, 92 और 88 का योग 433 है और मान 5 हैं, इसलिए औसत 433 ÷ 5 = 86.6। दोनों राशियाँ — योग और संख्या — परिणाम के पैनल पर छपती हैं, जिससे सूची दोबारा गिनने की ज़रूरत के बिना हिसाब जाँचा जा सकता है।

औसत का सूत्र क्या है?

औसत = Σ xᵢ ÷ n, यानी सब मानों का जोड़ बटा मानों की गिनती। यह वही क्रिया है जो किसी भी परीक्षा के अंकों, प्रति ग्राहक ख़र्च या बार-बार लिए गए मापों पर चलती है, और इसमें हर मान का वज़न बराबर रहता है। इस पेज पर कोई भारत डालने का विकल्प नहीं है: जिस सूची में कोई प्रविष्टि कई प्रेक्षणों की प्रतिनिधि हो, वहाँ यह सूत्र भ्रामक जवाब देगा।

क्या ऋणात्मक संख्याएँ भी डाल सकते हैं?

हाँ। हफ़्ते भर का तापमान, नफ़ा-नुक़सान, या किसी आधार रेखा से हटकर लिया गया माप — ये सब वैध सूचियाँ हैं और हिसाब में कुछ नहीं बदलता। एक बात का ध्यान रखिए: ऋणात्मक मानों के साथ सबसे छोटा मान सबसे ऋणात्मक संख्या होती है, सबसे बड़ी संख्या नहीं — 5, 1 से बड़ा अंक है, फिर भी −5, −1 से नीचे है।

कैलकुलेटर सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान क्यों दिखाता है?

क्योंकि अकेला औसत यह नहीं बताता कि वह सूची को ठीक-ठीक बयान कर रहा है या नहीं। 86.6 के औसत वाला समूह जो 78 से 92 तक चलता है, एकजुट समूह है; वही 86.6 जो 40 से 100 तक चलता है, दो बिलकुल अलग हिस्सों वाला समूह है, और औसत यह छिपा देता है। दोनों सिरे जवाब को घेरते हैं और बताते हैं कि वह किसी भी किनारे से कितनी दूर बैठा है।

क्या एक चरम मान औसत को बहुत बदल देता है?

वह औसत को उतनी ही दूरी ÷ गिनती के बराबर बदलता है, इसलिए सूची जितनी लंबी होगी, किसी एक प्रविष्टि का असर उतना ही कम होगा। 5 मानों की सूची में 92 को 100 कर देने पर औसत 1.6 बढ़ता है; 50 मानों की सूची में वही बदलाव उसे सिर्फ़ 0.16 बढ़ाता। इसीलिए औसत लंबी सूची के लिए न्यायपूर्ण सारांश है और साफ़ चरम मान वाली छोटी सूची के लिए नाज़ुक।

• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — OpenStax, Rice University
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (the mean as the balance point of the data, and why a single extreme value moves it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)