वर्गों का योग कैलकुलेटर

वर्गों का योग = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n

x

सूची का हर मान, एक-एक करके। हर मान अपना अलग वर्गित अंतर जोड़ता है, इसलिए कोई भी मान हटाने से जोड़ बदल जाता है

x̄

मानों का माध्य। अंतर इसी बिंदु से नापे जाते हैं, और यही बिंदु इसलिए चुना जाता है कि इसके आसपास के सादे विचलन जोड़कर शून्य हो जाते हैं

माध्य से विचलनों के वर्गों का योग

मुख्य नतीजा। यह ठीक तब शून्य होता है जब सारे मान एक जैसे हों, और यह विचलनों के आकार तथा उनकी संख्या — दोनों के साथ बढ़ता है

Σx²

मानों के वर्गों का योग, जो पैनल पर कच्चे रूप में भी छपता है। यह तत्समक के दाहिनी तरफ़ का पहला पद है और दोनों में से वह है जिसे जवाब समझ लेना सबसे आसान है, क्योंकि दोनों को ही वर्गों का योग कहा जाता है

Σx

मानों का सादा योग, वर्ग करने से पहले। इसका वर्ग करके n से भाग देने पर वह सुधार-पद मिलता है जो Σx² को विचलनों के वर्गों के योग में बदल देता है

n

कितने मान गए, यहाँ अधिकतम 200। यह दो जगह आता है — सुधार-पद के भाजक के रूप में, और जाँच के लिए छपी संख्या के रूप में

इसे तब निकालिए जब पूरा नापने के बजाय क़दम देखना हो: प्रसरण या मानक विचलन हाथ से जाँचते समय, यह समझाते समय कि वे दोनों विचलनों का वर्ग क्यों करते हैं, या यह देखते समय कि किसी कुल के बदलाव का कितना हिस्सा कोई मॉडल समझा पाता है। जब आप औसत के बजाय जोड़ों पर काम कर रहे हों तब भी यही फैलाव लिखने का सहज तरीक़ा है, जैसे विचरण विश्लेषण में, जहाँ पूरी विधि वर्गों के योगों की बहीखाता ही है। अंत:खंड वाले किसी प्रतिगमन में यही राशि वह होती है जिसे कुल वर्गों का योग कहते हैं, और मॉडल की फ़िट इसी से नापी जाती है कि फ़िट की गई रेखा उसमें से कितना हटा लेती है। दाहिनी तरफ़ का तत्समक एक दूसरी वजह से भी जानने लायक़ है: मशीनों से पहले संख्या इसी तरह निकाली जाती थी और आज भी बहुत से सूत्र इसी रूप में लिखे जाते हैं, हालाँकि जब मान बड़े हों और उनका फैलाव छोटा, तब इस रास्ते से हिसाब करने पर परिशुद्धता चली जाती है। इसीलिए ऊपर का कैलकुलेटर परिभाषा वाले रास्ते से चलता है और तत्समक के पद सिर्फ़ इसलिए छापता है कि आप दोनों का मेल जाँच सकें।

1. आठ मान: दोनों रास्तों से 32

   1. माध्य 40 / 8 = 5 है
   2. विचलन −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 और 4 हैं, और इनका जोड़ 0 होता है — जैसा हमेशा होता है
   3. इनका वर्ग करने पर 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 और 16 मिलते हैं, जिनका जोड़ 32 है
   4. दूसरा रास्ता: Σx² = 232 और (Σx)² / n = 1600 / 8 = 200, इसलिए 232 − 200 = 32

   दोनों रास्ते 32 पर आ मिलते हैं, और यह देख लेना ही इस पेज का आधा मतलब है। पहले तीन विचलन ऋणात्मक हैं और आख़िरी दो धनात्मक, और ठीक इसीलिए वर्ग करना पड़ता है — सादे विचलनों का जोड़ शून्य होता है और वह एक सूची को दूसरी से अलग नहीं बता सकता।

2. दो मान, जिनका माध्य भिन्नात्मक है

   1. माध्य 3 / 2 = 1.5 है, इसलिए विचलन −0.5 और +0.5 हैं
   2. वर्ग करने पर 0.25 और 0.25 मिलते हैं, इसलिए वर्गों का योग 0.5 है — 1 नहीं
   3. दूसरा रास्ता: 5 − 3² / 2 = 5 − 4.5 = 0.5, जहाँ भिन्नात्मक हिस्सा घटाव में ही निकल आता है

   दो मान कभी भी अपने वर्गित अंतर के आधे से बड़ा वर्गों का योग नहीं दे सकते, और यह सबसे छोटा मामला है: दूरी का आधा हिस्सा हर विचलन उठाता है। एक आम चूक यह है कि लोग अंतर का ही वर्ग कर देते हैं, जिससे यहाँ 0.5 के बजाय 1 आ जाता — अंतर तो पहले से दो विचलनों का फ़र्क़ है, इसलिए वह दो बार गिना जाता है।

3. एक अकेला मान: 0 के सामने 1764

   1. एक अकेले मान का माध्य वह ख़ुद होता है, इसलिए माध्य 42 है
   2. विचलन 42 − 42 = 0 है, और 0² भी 0, इसलिए वर्गों का योग 0 है
   3. कच्चा वर्गों का योग बिलकुल अलग राशि है: 42² = 1764

   एक ही पैनल में दो चीज़ें, दोनों का नाम वर्गों का योग, और तीन कोटि का फ़ासला। यही वह मामला है जो दोनों को अलग रखता है: लंबी सूची में दोनों संख्याएँ आम तौर पर एक ही कोटि की होती हैं और ग़लत वाली उठा लेना आसान हो जाता है। विचलनों के वर्गों का योग 0 है क्योंकि एक अकेला मान ख़ुद से दूर नहीं हो सकता — यह असली जवाब है, कोई विफलता नहीं, और इसीलिए यह पेज प्रसरण की तरह दो मानों की शर्त नहीं लगाता।

4. चार एक जैसे मान

   1. माध्य 12 / 4 = 3 है, इसलिए हर विचलन 0 है
   2. विचलनों के वर्गों का योग 0 है
   3. कच्चा वर्गों का योग 3² + 3² + 3² + 3² = 36 है, जो 0 नहीं है और कभी होगा भी नहीं

   यहाँ शून्य का मतलब है कि आँकड़ों में ज़रा भी फैलाव नहीं, और यह ऊपर वाले एक-मान वाले मामले से अलग स्थिति है, चाहे दोनों 0 ही छापें: यहाँ चार प्रेक्षण हैं और वे बिलकुल सहमत हैं, वहाँ सिर्फ़ एक प्रेक्षण मौजूद है। कच्चा वर्गों का योग उलटी दिशा में चलता है — फैलाव चाहे जो हो, हर जुड़ते मान के साथ वह बढ़ता ही जाता है।

नाम ही सबसे बड़ा ख़तरा है। दो अलग-अलग राशियों को वर्गों का योग कहा जाता है और दोनों इस पेज पर आती हैं: विचलनों के वर्गों का योग, जो जवाब है, और कच्चा वर्गों का योग, जो तत्समक में सिर्फ़ एक पद है। एक अकेले मान पर इनमें तीन कोटि का फ़र्क़ आ जाता है। कोई संख्या आगे बढ़ाने से पहले पंक्ति का लेबल पढ़ लीजिए। दूसरी सीमा यह है कि यह पेज जो नहीं करता: प्रतिगमन कुल वर्गों के योग को दो हिस्सों में बाँटता है — फ़िट की गई रेखा से समझाया गया हिस्सा और बचा हुआ (अवशेष) हिस्सा — और वह बँटवारा यहाँ उपलब्ध नहीं है। उसके लिए दूसरा चर और आँकड़ों में से खींची गई एक रेखा चाहिए, और इस वर्ग में कोई पेज रेखा नहीं खींचता। जो बात सच है और जानने लायक़ भी, वह यह है कि अंत:खंड वाले किसी प्रतिगमन का कुल वर्गों का योग परिणाम चर पर लगाई गई यही राशि होती है; ग़ायब सिर्फ़ उसका बँटवारा है। हिसाब के रास्ते की भी एक व्यावहारिक वजह है: दो बड़ी और लगभग बराबर संख्याओं को घटाने पर परिशुद्धता जाती रहती है, इसलिए बड़े मानों और छोटे फैलाव वाली सूची पर तत्समक वाला रास्ता साफ़-साफ़ ग़लत जवाब दे सकता है। तत्समक जाँच के लिए छपा है, रफ़्तार के लिए नहीं। सूची 200 मानों तक सीमित है, और 1,500 जैसा टोकन अंदाज़ा लगाने के बजाय अस्वीकार कर दिया जाता है, क्योंकि अंकों के बीच बैठा कॉमा किसी देश में दशमलव बिंदु है और किसी में हज़ार का विभाजक।

वर्गों का योग का सूत्र क्या है, और इसे निकालते कैसे हैं?

माध्य निकालिए, हर मान से उसे घटाइए, हर नतीजे का वर्ग कीजिए और सब जोड़ दीजिए। 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7 और 9 पर माध्य 5 है, विचलन −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 और 4 हैं, और उनके वर्ग जोड़कर 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32 मिलते हैं। हर मान इसमें हिस्सा लेता है, वे भी जो संयोग से माध्य पर ही बैठे हैं और 0 जोड़ते हैं।

विचलनों को जोड़ने के बजाय वर्ग क्यों किया जाता है?

क्योंकि सादे विचलन हमेशा ठीक शून्य पर जाकर मिलते हैं। माध्य से नीचे वाले मान ऊपर वालों को काट देते हैं, किसी भी सूची में, इसलिए विचलनों के जोड़ में फैलाव की कोई जानकारी ही नहीं रहती। वर्ग करना एक साथ दो काम करता है: हर पद धनात्मक हो जाता है इसलिए कुछ कटता नहीं, और माध्य से दूर बैठे मानों को अनुपात में ज़्यादा भार मिलता है — दो इकाई दूर का मान 4 जोड़ता है, बीस इकाई दूर का 400। यह दूसरा असर जान-बूझकर है। इसी वजह से वर्गों का योग, और उससे बना प्रसरण, किसी एक चरम मान पर तेज़ प्रतिक्रिया देते हैं।

इस पेज पर वर्गों का योग नाम की दो अलग संख्याएँ क्यों हैं?

क्योंकि सांख्यिकी में दो राशियाँ यह नाम बाँटती हैं, और यह पेज दोनों छापता है। माध्य से विचलनों के वर्गों का योग, यानी Σ(x − x̄)², यहाँ का जवाब है और प्रसरण का अंश है। कच्चा वर्गों का योग, यानी Σx², वह है जिसमें हर मान का वर्ग करके जोड़ दिया जाता है, कोई माध्य घटाए बिना। दोनों तत्समक Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n से जुड़े हैं, इसीलिए कच्चा रूप स्क्रीन पर है, पर वे एक-दूसरे की जगह नहीं ले सकते। 42 वाले एक अकेले मान पर विचलनों के वर्गों का योग 0 है जबकि कच्चा वाला 1764।

क्या नमूना या समष्टि चुनने से जवाब बदलता है?

नहीं, और इसीलिए इस पेज पर कोई चयन-बॉक्स ही नहीं है। नमूना और समष्टि के सूत्र सिर्फ़ अपने भाजक में अलग होते हैं — n − 1 बनाम n — और वर्गों का योग किसी चीज़ से भाग नहीं देता। किसी दी गई सूची के लिए यह एक ही संख्या है। वह चुनाव प्रसरण और मानक विचलन वाले पेजों पर आता है क्योंकि भाग वहीं पड़ता है, और ठीक इसीलिए एक ही आँकड़ों के समूह से दो प्रसरण निकल सकते हैं पर वर्गों का योग सिर्फ़ एक।

प्रसरण और मानक विचलन से इसका क्या रिश्ता है?

प्रसरण इस संख्या को स्वतंत्रता की कोटि से भाग देकर निकलता है: नमूने के लिए n − 1 से या समष्टि के लिए n से। मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल है। यानी वर्गों का योग कच्चा माल है, और भाग देना ही उसे अलग-अलग आकार के आँकड़ों के समूहों में तुलनीय बनाता है — आठ मानों का जोड़ चार मानों के जोड़ से स्वाभाविक रूप से बड़ा होगा, चाहे फैलाव एक ही हो। n के बजाय n − 1 से भाग देना उस हल्की कमी की भी भरपाई करता है जो असली माध्य के बजाय नमूने के माध्य के आसपास विचलन नापने से आती है।

क्या वर्गों का योग ऋणात्मक हो सकता है?

कभी नहीं। हर पद एक वर्ग है, इसलिए हर पद शून्य या धनात्मक होता है और जोड़ भी। यह ठीक तब शून्य होता है जब हर मान माध्य के बराबर हो, यानी जब हर मान हर दूसरे मान के बराबर हो — या तो इसलिए कि सूची में एक ही मान है, या इसलिए कि सारे मान एक जैसे हैं। शून्य का जोड़ असली नतीजा है और इसका मतलब है कि आँकड़ों में फैलाव नहीं, यह संकेत नहीं कि कुछ गड़बड़ हुई। अगर कहीं ऋणात्मक संख्या दिखे तो वह या तो कच्चा वर्गों का योग है जिसमें चिह्न की ग़लती रह गई, या हाथ से निकाला गया कोई वर्गों का अंतर।

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the variance as the sum of squared deviations divided by n − 1, and explains that squaring the distance from the mean gives greater weight to values far from it) — National Institute of Standards and Technology
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, the x − x̄ values for a sample, which is the quantity this page computes before the division) — OpenStax, Rice University