प्रसरण कैलकुलेटर

प्रसरण = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) — नमूने के लिए; समष्टि के लिए वही योग n से भाग

xᵢ

आँकड़ों का एक मान। यह अपनी माध्य-से-दूरी के रूप में गिना जाता है, और जोड़ने से पहले उस दूरी का वर्ग किया जाता है

x̄

आँकड़ों का माध्य: सारे मानों का योग बटा उनकी संख्या। इसे नतीजे के बग़ल में छापा जाता है, ताकि पूरा हिसाब जाँचा जा सके

n

आँकड़ों में कितने मान हैं, यहाँ अधिकतम 200। भाजक नमूने के लिए n − 1 और समष्टि के लिए n है — दोनों प्रसरणों में यही अकेला फ़र्क़ है

Σ (xᵢ − x̄)²

विचलनों के वर्गों का योग: माध्य से हर दूरी का वर्ग करके जोड़ दीजिए। वर्ग करना ही माध्य से दूर बैठे मानों को बहुत ज़्यादा भार देता है — 10 इकाई दूर का मान इस योग में 100 जोड़ता है, जबकि 2 इकाई दूर का सिर्फ़ 4

σ²

प्रसरण ख़ुद। इसकी इकाइयाँ वर्गित हैं, और इसीलिए यह जोड़ने के लिए सही राशि है पर पढ़ने के लिए ग़लत

प्रसरण तब लीजिए जब आपको वाक़ई वर्गित राशि चाहिए: स्वतंत्र स्रोतों के प्रसरण सीधे जुड़ जाते हैं, इसलिए किसी कुल का प्रसरण उन सब के प्रसरणों का जोड़ होता है, जबकि मानक विचलन जुड़ते नहीं; विचरण विश्लेषण, प्रतिगमन और उन पर खड़ी ज़्यादातर मशीनरी निवेश के रूप में मानक विचलन नहीं, प्रसरण लेती है। जहाँ भी कोई इंसान उस संख्या को पढ़ेगा वहाँ मानक विचलन लीजिए — 4.5714 वर्ग अंकों का फैलाव कुछ मतलब नहीं रखता, जबकि 2.1381 अंकों की तुलना अंकों से ही की जा सकती है। पैनल दोनों देता है, इसलिए चुनाव इस बात का है कि आप कौन-सी संख्या आगे बढ़ाएँगे। ध्यान रखिए कि प्रसरण किसी एक चरम मान के प्रति मानक विचलन से कहीं ज़्यादा संवेदनशील है, क्योंकि उस मान की दूरी गिने जाने से पहले वर्ग हो जाती है।

1. आठ मान, नमूना प्रसरण

   1. योग: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, आठ मानों पर, इसलिए माध्य 5 है
   2. विचलन: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 की जाँच में यह देखना काफ़ी है कि इनका जोड़ 0 आता है
   3. वर्गित विचलन: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   4. नमूना प्रसरण: 32 ÷ (8 − 1) = 4.5714
   5. तुलना के लिए मानक विचलन: √4.5714 = 2.1381

   प्रसरण 4.5714 है और मानक विचलन 2.1381, जो कोई संयोग नहीं: एक दूसरे का वर्ग है। जवाब पर भरोसा करने से पहले बीच के दो क़दम पढ़ लीजिए — विचलनों के वर्गों का योग इस पूरे हिसाब की अकेली ऐसी संख्या है जिसे आँख से अंदाज़ा लगाना मुश्किल है, और पैनल उसे इसीलिए छापता है कि आपको उसे भरोसे पर न लेना पड़े।

2. यही आठ मान, समष्टि के रूप में

   1. विचलनों के वर्गों का योग वही रहता है: 32
   2. समष्टि प्रसरण: 32 ÷ 8 = 4
   3. समष्टि मानक विचलन: √4 = 2

   एक ही आँकड़ों के समूह से दो प्रसरण, 4.5714 और 4, जिनमें फ़र्क़ सिर्फ़ भाजक का है। ड्रॉप-डाउन एक बार अपनी संख्याओं पर बदलकर देख लेना काम का है: अगर कोई स्प्रेडशीट और यह पेज आपस में न मिलें, तो वजह लगभग हमेशा भाजक ही होता है। इस चुनाव के प्रति दोनों में से प्रसरण ज़्यादा संवेदनशील है, क्योंकि उस पर वर्गमूल ने कोई छँटाई नहीं की।

3. चार एक जैसी रीडिंग्स, जहाँ फैलाव ठीक शून्य है

   1. हर मान 3 है, इसलिए माध्य 3 है और हर विचलन 0
   2. विचलनों के वर्गों का योग: 0
   3. समष्टि प्रसरण: 0 ÷ 4 = 0
   4. समष्टि मानक विचलन: √0 = 0

   शून्य प्रसरण का मतलब है कि मानों में ज़रा भी फैलाव नहीं, और यह अकेला ऐसा मामला है जहाँ शून्य एक असली जवाब है, कुछ गड़बड़ होने का संकेत नहीं। यही वजह है कि विचलन गुणांक की शर्त धनात्मक माध्य है, ग़ैर-शून्य प्रसरण नहीं: धनात्मक माध्य से भाग दिया गया शून्य फैलाव बिलकुल ठीक 0% ही बनता है।

यह किसी सूची का सादा, भार-रहित प्रसरण है: एक बार दर्ज किया गया मान एक ही बार गिना जाता है, इसलिए बारंबारता सारणी या भारित सर्वेक्षण के लिए अलग हिसाब चाहिए। इसकी इकाइयाँ वर्गित हैं — ग्राम, वर्गित ग्राम बन जाता है — इसलिए इस संख्या की तुलना उन आँकड़ों से नहीं की जा सकती जिनसे यह निकली, और बग़ल में दिखाया गया मानक विचलन इसी काम के लिए है। चूँकि हर विचलन का वर्ग होता है, एक अकेला चरम मान पूरे हिसाब पर हावी हो जाता है: दस गुना बड़ा कोई एक मान उतना ही जोड़ता है जितना सामान्य से दुगुनी दूरी पर बैठा मान सौ गुना। तिरछे आँकड़ों का बखान प्रसरण या मानक विचलन से बेहतर चतुर्थक करते हैं। सूची 200 मानों तक सीमित है, और 1,500 जैसा टोकन अंदाज़ा लगाने के बजाय अस्वीकार कर दिया जाता है, क्योंकि अंकों के बीच बैठा कॉमा दुनिया के बड़े हिस्से में दशमलव कॉमा है; 1500 लिखिए या 1.5।

प्रसरण का सूत्र क्या है, और इसे निकालते कैसे हैं?

चार क़दम। माध्य निकालिए — मानों को जोड़कर उनकी संख्या से भाग दीजिए। हर मान से माध्य घटाइए। इन सारे अंतरों का वर्ग करके जोड़ दीजिए — यही जोड़ विचलनों के वर्गों का योग है। नमूने के लिए n − 1 से और समष्टि के लिए n से भाग दीजिए। 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 पर वर्गों का योग 32 है, इसलिए नमूना प्रसरण 32 ÷ 7 = 4.5714 है और समष्टि प्रसरण 32 ÷ 8 = 4।

प्रसरण और मानक विचलन में क्या फ़र्क़ है?

एक वर्गमूल। मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल है, इसलिए हर एक दूसरे का वर्ग है: यहाँ प्रसरण 4.5714 है और मानक विचलन 2.1381। जोड़ने के लिए प्रसरण सही है, क्योंकि स्वतंत्र स्रोतों के प्रसरण सीधे जुड़ जाते हैं जबकि मानक विचलन नहीं जुड़ते। पढ़ने के लिए मानक विचलन सही है, क्योंकि वह वर्गित इकाइयों के बजाय आँकड़ों की मूल इकाइयों में लौट आता है।

हर मान में एक ही संख्या जोड़ने पर प्रसरण क्यों नहीं बदलता?

क्योंकि प्रसरण सिर्फ़ माध्य से दूरियाँ देखता है, और हर मान को खिसकाने पर माध्य भी उतना ही खिसक जाता है। 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 में से हर मान में 100 जोड़िए तो माध्य 5 से 105 हो जाता है और हर विचलन वैसा ही रहता है, इसलिए विचलनों के वर्गों का योग अब भी 32 है। हर मान को किसी स्थिरांक से गुणा करना उलटा मामला है: प्रसरण उस स्थिरांक के वर्ग से गुणा हो जाता है, और मानक विचलन उस स्थिरांक से।

क्या प्रसरण ऋणात्मक हो सकता है?

नहीं। विचलनों के वर्गों के योग का हर पद एक वर्ग है, इसलिए वह जोड़ कभी ऋणात्मक नहीं होता, और भाजक एक धनात्मक संख्या है। सबसे छोटा संभव प्रसरण शून्य है, और वह सिर्फ़ तब आता है जब हर मान एक जैसा हो — ठीक 3 वाली चार रीडिंग्स का प्रसरण 0 देती हैं। स्क्रीन पर ऋणात्मक प्रसरण का मतलब है कि हिसाब में कहीं ग़लती हुई, यह नहीं कि आँकड़े अजीब हैं।

क्या मैं स्प्रेडशीट से सीधे एक कॉलम पेस्ट कर सकता हूँ?

हाँ। नई पंक्तियाँ, टैब, अर्धविराम, स्पेस और कॉमा के बाद का स्पेस — सब मानों को अलग करते हैं, इसलिए पेस्ट किया कॉलम जैसा है वैसा ही चलता है और ख़ाली हिस्से अस्वीकार होने के बजाय छोड़ दिए जाते हैं। 200 मानों तक पढ़े जाते हैं। 1,500 या 1.500 जैसा टोकन जान-बूझकर अस्वीकार किया जाता है: विभाजक के बाद तीन अंक किसी देश में हज़ार का विभाजक हैं और किसी में दशमलव बिंदु, इसलिए उसकी जगह 1500 या 1.5 लिखिए।

• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — OpenStax, Rice University