माध्य, माध्यिका और बहुलक

माध्य = Σ xᵢ ÷ n माध्यिका = क्रम से लगाने पर बीच का मान बहुलक = सबसे ज़्यादा बार आने वाला मान

xᵢ

आँकड़ों के समूह का एक मान। हर मान एक बार गिना जाता है, चाहे वह बीच के पास हो या किसी छोर पर

n

कुल कितने मान हैं, यहाँ तक कि 200। तीनों केंद्र गिनती से भाग देते हैं, n − 1 से नहीं, इसलिए इस पेज पर नमूना या समष्टि चुनने का कोई विकल्प ही नहीं है

x̄

माध्य। तीनों में यह अकेला है जिसे हर मान हिला सकता है, इसीलिए एक छोर का मान उसे खींच लेता है और बाक़ी दोनों को छूता भी नहीं

M

माध्यिका: मानों को क्रम से लगाकर बीच वाला लीजिए, और गिनती सम हो तो बीच के दोनों का औसत। उसके नीचे आधे मान और ऊपर आधे

f

बहुलक की आवृत्ति — यानी सबसे ज़्यादा बार आने वाला मान कितनी बार आया। आवृत्ति 1 का मतलब कोई मान दोहराया नहीं गया, और तब हर मान इस ख़िताब पर बराबर का हक़दार है

माध्यिका तब बोलिए जब सूची में बाहरी मान या लंबी पूँछ हो — घरों के दाम, आय, इंतज़ार का समय, यानी हर वह जगह जहाँ एक मान बहुत बड़ा हो सकता है। माध्यिका पर इस बात का असर नहीं पड़ता कि कोई छोर का मान कितनी दूर बैठा है, बस इतना पड़ता है कि दोनों ओर कितने मान हैं। माध्य तब बोलिए जब हर मान का वज़न बराबर होना चाहिए और जोड़ मायने रखता हो: औसत अंक, प्रति ग्राहक औसत ख़र्च, कोई दर। बहुलक तब बोलिए जब सवाल 'सबसे आम' का हो, बीच के मान का नहीं — दुकान में सबसे ज़्यादा बिकने वाला नाप, या सबसे ज़्यादा बार दर्ज हुई ख़राबी। अगर तीनों एक ही जगह बैठें तो बंटन लगभग सममित है और चुनाव से फ़र्क़ नहीं पड़ता। अगर वे बँट जाएँ तो माध्यिका बोलिए और वजह भी: दाईं ओर तिरछे बंटन में बहुलक माध्यिका से नीचे और माध्य उससे ऊपर बैठता है, और खिंचने वाला माध्य ही होता है।

1. तिरछा हफ़्ता: तीनों केंद्र अलग-अलग बैठते हैं

   1. क्रम से: 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 — सात मान हैं, इसलिए बीच वाला चौथा है
   2. माध्यिका: 3
   3. जोड़: 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9 = 28, इसलिए माध्य 28 ÷ 7 = 4
   4. बहुलक: 2 दो बार आता है और कोई तीन बार नहीं, इसलिए बहुलक 2 है और उसकी आवृत्ति 2
   5. बग़ल का परिसर: 9 − 1 = 8 — यह तीनों में से कोई केंद्र नहीं, बस यह बताता है कि सूची कितनी चौड़ी है

   तीनों जवाबों को एक चीज़ के तीन अंदाज़े न समझिए, बल्कि एक आकार की तरह पढ़िए: बहुलक 2, माध्यिका 3, माध्य 4 — इसी क्रम में — दाईं ओर तिरछे बंटन का हस्ताक्षर है। 7 और 9 ने माध्य को माध्यिका के ऊपर तक खींच लिया, जबकि बहुलक वहीं बैठा रहा। अगर 9 की जगह 90 होता तो माध्य कूदकर 15.6 हो जाता और माध्यिका टस से मस न होती।

2. दो बहुलक, और कोई साफ़ बीच नहीं

   1. क्रम से: 2, 2, 5, 5, 9 — बीच वाला मान 5 है
   2. जोड़: 23, इसलिए माध्य 23 ÷ 5 = 4.6
   3. दो मान दो-दो बार आते हैं: 2 और 5, इसलिए दो बहुलक हैं और पैनल छोटे वाले को छापता है
   4. बहुलकों की संख्या 2 है — इसे अकेला बहुलक पढ़ना ग़लत होगा
   5. बग़ल का परिसर 9 − 2 = 7, जो सिर्फ़ यह बताता है कि दोनों छोर कितनी दूर हैं

   इस आँकड़ों के समूह में दो बहुलक हैं — दो मान सबसे ज़्यादा आवृत्ति पर बराबर बैठते हैं — और ऐसा समूह अक्सर दो गुटों के ग़लती से एक में मिल जाने से बनता है, यहाँ 2 का गुट और 5 का गुट। पेज बराबरी वाले बहुलकों में से छोटा छापता है और बग़ल में बहुलकों की संख्या देता है, जो ईमानदार पढ़ाई है: अकेली संख्या 2, 5 से ज़्यादा बहुलक नहीं है, वह बस क्रम में पहली है।

3. कोई मान दोहराता ही नहीं

   1. हर मान ठीक एक बार आता है, इसलिए कुछ भी किसी से ज़्यादा आम नहीं है
   2. बहुलक की आवृत्ति: 1; बहुलकों की संख्या: 3, यानी सूची का हर मान
   3. माध्य और माध्यिका: दोनों 2
   4. परिसर 3 − 1 = 2, जो यहाँ सबसे कम मददगार संख्या है

   आवृत्ति 1 के साथ बहुलकों की संख्या मानों की गिनती के बराबर होना ही इस पेज का तरीक़ा है यह कहने का कि 'कोई बहुलक नहीं' — और यह ख़ाली जवाब से ज़्यादा काम की बात है, क्योंकि तीन अलग संख्याएँ मिलकर बता देती हैं कि हर मान बराबरी पर है। बहुलक वाला ख़ाना फिर भी एक मान दिखाता है, सबसे छोटा, सिर्फ़ इसलिए कि पंक्ति ख़ाली न रहे।

तीनों बीच का बयान करते हैं, और उनके बग़ल छपा परिसर सिर्फ़ इतना बताता है कि दो सबसे दूर के मान कितनी दूर हैं — जो इस बात से अलग है कि बीच में आँकड़े कैसे फैले हैं: दो समूहों का माध्य, माध्यिका और परिसर एक जैसा हो सकता है और वे दिखने में बिलकुल अलग हों, एक कसकर पास बैठा और दूसरा छोर से छोर तक फैला। तिरछे बंटन का बयान माध्य से बेहतर माध्यिका और चतुर्थकों से होता है, क्योंकि माध्य पूँछ की ओर खिंच जाता है और माध्यिका नहीं। तीनों में बहुलक सबसे कमज़ोर है — एक अकेली प्रविष्टि बदलने पर वह दूसरे मान पर कूद सकता है, और लगातार नापी गई मात्राओं में उसका कोई काम का बहुलक अक्सर होता ही नहीं, इसलिए जो बहुलक दिखता है वह सिर्फ़ पूर्णांकन का नतीजा हो सकता है। यह पेज सादे अंक पढ़ता है, इसलिए आवृत्ति सारणी को पहले उसके मानों में खोलना पड़ेगा, और सूची 200 मानों तक सीमित है। 1,500 जैसा टोकन अंदाज़ा लगाने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि अंकों के बीच बैठा कॉमा कहीं दशमलव बिंदु होता है और कहीं हज़ार का विभाजक — 1500 या 1.5 लिखिए।

माध्य, माध्यिका और बहुलक कैसे निकाले जाते हैं?

माध्य के लिए मान जोड़िए और गिनती से भाग दीजिए। माध्यिका के लिए मानों को क्रम से लगाइए और बीच वाला लीजिए — गिनती सम हो तो बीच के दोनों का औसत। बहुलक के लिए गिनिए कि हर मान कितनी बार आता है। 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 में जोड़ 28 है और मान 7, इसलिए माध्य 4; सात क्रमित मानों में चौथा 3 है, इसलिए माध्यिका 3; और 2 दो बार आता है, इसलिए बहुलक 2 है।

किसे इस्तेमाल करना चाहिए?

बाहरी मान या लंबी पूँछ हो तो माध्यिका लीजिए, क्योंकि उसे इस बात से मतलब नहीं कि कोई छोर का मान कितनी दूर बैठा है — बस इतना कि उसके दोनों ओर कितने मान हैं। जब हर मान का वज़न बराबर हो और जोड़ मायने रखता हो, तो माध्य लीजिए, जैसे औसत अंक या कोई दर। जब बीच का नहीं बल्कि सबसे आम मान चाहिए हो, तो बहुलक लीजिए, जैसे यह तय करते समय कि दुकान में कौन-सा नाप रखा जाए। तीनों का एक ही जगह बैठना ख़ुद एक संकेत है: इसका मतलब बंटन लगभग सममित है और चुनाव से ज़्यादा फ़र्क़ नहीं पड़ता।

कोई बहुलक न हो तो इसका क्या मतलब है?

इसका मतलब है कि हर मान बराबर संख्या में आता है, इसलिए कोई भी बाक़ी सबसे ज़्यादा आम नहीं है। यह पेज यह बात कह देता है, पंक्ति ख़ाली नहीं छोड़ता: बहुलक की आवृत्ति 1 पढ़ी जाती है और बहुलकों की संख्या मानों की गिनती के बराबर होती है, इसलिए 1, 2, 3 तीन बहुलक बताता है। यह कोई ग़लती नहीं — छोटी सूची में बिना दोहराव के यही अपेक्षित जवाब है, और लगातार नापी गई मात्राओं में तो यही आम है।

क्या एक समूह में एक से ज़्यादा बहुलक हो सकते हैं?

हाँ, और यह आम है। अगर दो मान सबसे ज़्यादा आवृत्ति पर बराबरी करें तो दोनों बहुलक हैं और ऐसा बंटन द्विबहुलकीय कहलाता है; पैनल उनमें से छोटा दिखाता है और बग़ल में बहुलकों की संख्या बताता है। दो बहुलक अक्सर यह संकेत देते हैं कि दो गुट ग़लती से एक में मिल गए हैं — एक नाप का गुट और दूसरे नाप का — और पूरी सूची के लिए एक अकेला केंद्र बोलने से पहले यह बात नोटिस कर लेना काम की है।

क्या इसके नमूना और समष्टि वाले रूप भी हैं?

नहीं, और इस पेज पर जान-बूझकर उसका कोई चुनाव नहीं है। तीनों केंद्र मानों की गिनती से भाग देते हैं; n − 1 का सुधार फैलाव का है, बीच का नहीं। सूची नमूना हो या पूरा समूह, माध्य का मान वही रहता है। अगर आपको नमूना या समष्टि वाला फ़र्क़ चाहिए तो वह मानक विचलन और प्रसरण वाले पेजों पर है, जहाँ वह चुनाव सचमुच मौजूद है।

क्या माध्य और माध्यिका हमेशा अलग-अलग होते हैं?

नहीं — सममित बंटन में दोनों लगभग एक ही जगह बैठते हैं, और तब उनके बीच का फ़ासला ख़ुद एक पढ़ाई है: यह बताता है कि सूची एक तरफ़ खिंची हुई है। ऊपर के उदाहरण में माध्यिका 3 है और माध्य 4, यानी माध्य ऊपर की ओर खिंचा है, और वह भी उन्हीं दो मानों की वजह से जिन्हें बहुलक ने गिना ही नहीं। इसीलिए तीनों को एक साथ देखना अकेले किसी एक को देखने से ज़्यादा बताता है।

• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — OpenStax, Rice University
• Skewness and the Mean, Median, and Mode — Introductory Statistics 2e, section 2.6 — OpenStax, Rice University