बहुलक कैलकुलेटर

बहुलक = सबसे ज़्यादा आवृत्ति वाला मान; उसके बग़ल आवृत्ति और बराबरी करने वाले मानों की गिनती दी जाती है

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आँकड़ों के समूह का एक मान। उसका आकार बेमतलब है — सिर्फ़ यह मायने रखता है कि वह कितनी बार दोहराता है, इसीलिए ऐसे नामों का बहुलक भी निकाला जा सकता है जिन्हें जोड़ा या औसत नहीं किया जा सकता

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आवृत्ति: बताया गया मान कितनी बार आया। आवृत्ति 1 का मतलब कोई मान दोहराया ही नहीं, और तब सूची का हर मान पहले स्थान पर बराबरी करता है

बहुलक

सबसे ज़्यादा आवृत्ति वाला मान। जब कई मान सबसे ज़्यादा आवृत्ति पर बराबरी करें, तो उनमें से सबसे छोटा छापा जाता है और बराबरी करने वालों की गिनती अलग से दी जाती है — एक अकेली संख्या यह नहीं कह सकती कि '2 और 5 दोनों बराबर आम हैं'

बराबरी

कितने अलग-अलग मान सबसे ज़्यादा आवृत्ति पर साझा करते हैं। दो का मतलब द्विबहुलकीय समूह, तीन या ज़्यादा का बहु-बहुलकीय, और मानों की गिनती के बराबर होना यह कि कोई बहुलक ही नहीं

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सूची में कितने मान हैं, यहाँ तक कि 200। यही आवृत्ति की ऊपरी सीमा तय करता है, और इसकी बराबरी वाली गिनती से तुलना करने पर ही 'कोई बहुलक नहीं' वाला मामला पहचाना जाता है

बहुलक तब लीजिए जब मान नापे हुए नहीं बल्कि श्रेणियाँ हों: नाप, रंग, मॉडल, ख़राबी कोड, वह विकल्प जिसे सबसे ज़्यादा लोगों ने चुना। माध्य और माध्यिका को हिसाब और क्रम चाहिए, और 'नीला' का कोई मतलब भरा औसत होता ही नहीं — पर सबसे आम रंग होता है, और वह असली सवालों का जवाब देता है, जैसे कौन-सा नाप दुकान में रखा जाए या पहले कौन-सी ख़राबी ठीक की जाए। दोहराए गए मानों वाले संख्यात्मक आँकड़ों पर भी यह देखने लायक़ है, क्योंकि माध्य और माध्यिका से दूर बैठा बहुलक ऐसे झुंड की तरफ़ इशारा करता है जिसे जाँचना चाहिए। जो यह नहीं कर सकता वह है लगातार नापी गई किसी मात्रा का सारांश देना: तापमान की काफ़ी मापें लीजिए और हर मान एक ही बार आएगा, इसलिए बहुलक के पास बताने को कुछ नहीं बचता — यही बात सूची की लंबाई के बराबर बराबरी वाली गिनती बताती है। यह जीतने वाले के अलावा हर मान को भी अनदेखा कर देता है, इसलिए बाक़ी आँकड़ों के बारे में कुछ नहीं कहता।

1. एक साफ़ विजेता: 4 तीन बार आता है

   1. हर मान गिनिए कि कितनी बार आता है: 2 एक बार, 4 तीन बार, 5 दो बार, 7 एक बार, 9 एक बार
   2. सबसे बड़ी गिनती 3 है, और उस पर सिर्फ़ 4 पहुँचता है
   3. बहुलक: 4, आवृत्ति 3, और पहले स्थान पर एक ही मान — यानी यह समूह एकबहुलकीय है
   4. आवृत्ति और बराबरी वाली गिनती को साथ पढ़िए, वरना जवाब अधूरा रह जाता है

   आवृत्ति को बराबरी वाली गिनती के साथ पढ़िए, वरना जवाब दो अर्थ देने लगता है: आवृत्ति 3 के साथ एक बराबरी यानी साफ़ एक अकेला बहुलक, जबकि आवृत्ति 3 के साथ तीन बराबरी का मतलब होगा कि तीन अलग-अलग मान सब तीन-तीन बार आते हैं। उन दो समूहों की आवृत्ति एक जैसी है और आकार बिलकुल अलग।

2. दो बहुलक: 2 और 5 बराबर आम हैं

   1. गिनती: 2 दो बार आता है, 5 दो बार, 9 एक बार
   2. सबसे बड़ी गिनती 2 है, और उस तक दो अलग-अलग मान पहुँचते हैं
   3. बहुलक: 2 छापा जाता है — जोड़ी में से छोटा — आवृत्ति 2 और बराबरी वाली गिनती 2 के साथ
   4. यानी एक ख़ाने में एक ही संख्या बैठती है, पर सच्ची पढ़ाई दोनों की है

   ऐसे समूह को द्विबहुलकीय कहते हैं, और इसका मतलब अक्सर यह होता है कि दो गुट ग़लती से मिल गए हैं — 2 का झुंड और 5 का झुंड, जो आवृत्ति-आलेख पर दो टीले बनकर दिखते। औज़ार छोटा मान इसीलिए छापता है कि पंक्ति में कुछ तो रहे, पर ईमानदार पढ़ाई '2 और 5, दोनों दो-दो बार' है, और बराबरी वाली गिनती यही कहती है।

3. कोई बहुलक ही नहीं, क्योंकि हर मान अलग है

   1. हर मान ठीक एक बार आता है
   2. इसलिए सबसे बड़ी आवृत्ति 1 है
   3. उस आवृत्ति को तीन मान साझा करते हैं — यानी सब के सब
   4. पैनल आवृत्ति 1 और बराबरी वाली गिनती 3 बताता है, और यही इस पेज का तरीक़ा है 'कोई बहुलक नहीं' कहने का

   आवृत्ति 1 के साथ बराबरी वाली गिनती मानों की संख्या के बराबर होना उस समूह का हस्ताक्षर है जिसमें कोई मान दोहराता नहीं — और लगातार नापी गई मात्राओं में यह सामान्य नतीजा है, कुछ बिगड़ने का संकेत नहीं। दिखाया गया मान बस सूची का सबसे छोटा है — उस पंक्ति में कुछ तो बैठना है, और बग़ल की दो गिनतियाँ ही बताती हैं कि इसे विजेता न पढ़िए।

बहुलक सिर्फ़ जीतने वाले मान का इस्तेमाल करता है और बाक़ी सब अनदेखा कर देता है, इसलिए केंद्र की तीनों मापों में यह कहीं ज़्यादा कम जानकारी देता है: दो समूहों का बहुलक एक जैसा हो सकता है और बाक़ी हर बात में फ़र्क़ हो। लगातार आने वाले आँकड़ों पर यह लगभग बेकार है — मापों को काफ़ी बारीक पूर्णांकित कीजिए और कोई मान दोहराता नहीं, इसलिए बताने को कुछ नहीं बचता, जबकि मोटा पूर्णांकित करने पर पूर्णांकन ही से एक बहुलक गढ़ खड़ा होता है। यह अस्थिर भी है: एक अकेला मान बदलने पर विजेता बदल सकता है, इसलिए छोटी सूची से निकाले गए बहुलक पर ज़्यादा भरोसा नहीं करना चाहिए। समूह में कई बहुलक हो सकते हैं या एक भी नहीं, इसीलिए यह पेज एक अकेली संख्या के बजाय आवृत्ति और बराबरी वाली गिनती बताता है, और इसीलिए नतीजों में कोई आवृत्ति सारणी नहीं है: वह सारणी आपके आँकड़ों से बननी पड़ती, और इस पेज पर कुछ भी आपके टाइप करने से पहले आपके आँकड़े देख नहीं सकता। सूची 200 मानों तक सीमित है, और मान ठीक वैसे गिने जाते हैं जैसे लिखे गए हों — 2.5 और 2.50 एक ही संख्या हैं, पर लगभग एक जैसी मापों को मिलाने के लिए कोई पूर्णांकन लागू नहीं होता।

संख्याओं की सूची का बहुलक कैसे निकाला जाता है?

गिनिए कि हर मान कितनी बार आता है और सबसे बड़ी गिनती वाला चुन लीजिए। 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 में गिनतियाँ 1, 3, 2, 1 और 1 हैं, इसलिए बहुलक 4 है और उसकी आवृत्ति 3। कुछ भी जोड़ा नहीं जाता और कुछ भी क्रम से नहीं लगाया जाता, इसीलिए बहुलक नामों और श्रेणियों पर भी निकाला जा सकता है — सबसे आम नाप, सबसे आम रंग — जहाँ औसत का कोई मतलब नहीं बनता।

क्या एक समूह में एक से ज़्यादा बहुलक हो सकते हैं?

हाँ, और यह आम है। अगर दो मान सबसे ज़्यादा आवृत्ति पर बराबरी करें तो समूह द्विबहुलकीय है, और तीन या ज़्यादा हों तो बहु-बहुलकीय। 2, 2, 5, 5, 9 में दो बहुलक हैं क्योंकि 2 और 5 दोनों दो-दो बार आते हैं, और दो टीलों वाला ऐसा आकार आम तौर पर यह बताता है कि दो गुट मिल गए हैं — हर बहुलक के आसपास एक झुंड। पैनल बराबरी वाले मानों में से छोटा छापता है और बग़ल में उनकी गिनती बताता है, क्योंकि उनमें से सिर्फ़ एक का नाम लेना भ्रम फैलाता।

कोई बहुलक न हो तो इसका क्या मतलब है?

इसका मतलब है कि हर मान बराबर संख्या में आता है, इसलिए कोई भी बाक़ी सबसे ज़्यादा आम नहीं है। यह पेज उस पंक्ति को ख़ाली नहीं छोड़ता; वह आवृत्ति 1 और बराबरी वाली गिनती मानों की संख्या के बराबर बताता है, इसलिए 1, 2, 3 तीन बहुलक लौटाता है। छोटी सूची में बिना दोहराव के यही अपेक्षित जवाब है, और लगातार नापी गई मात्राओं में यही आम — मापों को काफ़ी बारीक पूर्णांकित कीजिए और दो मान एक जैसे नहीं रहते।

कोई बहुलक न होने पर भी बहुलक वाला ख़ाना एक मान क्यों दिखाता है?

क्योंकि ख़ाली ख़ाना पढ़ने में उस ख़ाने से मुश्किल है जिसमें एक संख्या हो और उसके साथ दो गिनतियाँ उसे समझा भी दें। जब हर मान बराबरी पर हो, तो दिखाया गया मान सूची का सबसे छोटा होता है, आवृत्ति 1 होती है, और बराबरी वाली गिनती मानों की संख्या के बराबर। तीनों को साथ पढ़िए तो जवाब है 'कुछ भी नहीं दोहराता'; सिर्फ़ मान पढ़िए तो लगेगा कि 1 जीत गया — इसीलिए दोनों गिनतियाँ उसके बग़ल बैठती हैं।

क्या बहुलक लगातार नापी गई मात्राओं के लिए काम का है?

कम ही। कोई भी चीज़ इतनी बारीकी से नापिए कि हर माप अलग हो, तो बताने को कोई दोहराव नहीं बचता — आवृत्ति 1, बराबरी वाली गिनती सूची की लंबाई के बराबर, कोई बहुलक नहीं। उन्हीं मापों को मोटा पूर्णांकित कीजिए और एक दिखता हुआ बहुलक खड़ा हो जाता है, जो असल में इस बात का नतीजा है कि पूर्णांकन की सीमाएँ कहाँ पड़ीं। बहुलक अपनी जगह श्रेणियों पर और सचमुच दोहराए गए संख्यात्मक मानों पर बनाता है, जैसे पाँच विकल्पों में से हर एक को कितने लोगों ने चुना।

क्या बहुलक का नमूना और समष्टि वाला रूप भी होता है?

नहीं। बहुलक दोहराव की गिनती है, इसलिए न ठीक करने को कोई भाजक है और न इस पेज पर उसका कोई चुनाव। n − 1 का सुधार फैलाव वाली मापों का है, जहाँ वर्गित दूरियों के जोड़ को किसी गिनती से बाँटा जाता है। सूची नमूना हो या पूरा समूह, बहुलक वही रहता है।

• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — OpenStax, Rice University