परिसर कैलकुलेटर

परिसर = अधिकतम − न्यूनतम

अधिकतम

आँकड़ों के समूह का सबसे बड़ा मान। गणना में सिर्फ़ यह और सबसे छोटा मान हिस्सा लेते हैं, इसलिए इनके बीच के सारे मान जितना चाहे उलट-पुलट दीजिए, जवाब नहीं बदलेगा

न्यूनतम

आँकड़ों के समूह का सबसे छोटा मान। सबसे बड़े के साथ मिलकर यह पूरी सीमा तय करता है, और इसीलिए परिसर को वह पैमाने का माप कहा जाता है जो चरम मानों के अलावा कुछ इस्तेमाल नहीं करता

परिसर

उस अंतराल की चौड़ाई जिसमें हर मान आ जाता है, आँकड़ों जैसी ही इकाई में। यह कभी ऋणात्मक नहीं होता, और ठीक तभी शून्य होता है जब सारे मान एक जैसे हों

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सूची में कितने मान हैं, यहाँ अधिकतम 200। यह जवाब पर कुछ नहीं बदलता — संख्या सिर्फ़ इसलिए छपती है ताकि आप पुष्टि कर सकें कि पूरी सूची पढ़ ली गई

परिसर तब उठाइए जब एक पंक्ति में फैलाव चाहिए और चरम मान ही दिलचस्प हों: दिन का तापमान कितना ऊपर-नीचे गया, सबसे सस्ते और सबसे महँगे भाव का फ़र्क़, किसी दौड़ का सबसे अच्छा और सबसे ख़राब समय। यह उस प्रक्रिया का ईमानदार सारांश भी है जहाँ सिर्फ़ चरम मान मायने रखते हैं, जैसे सहनशीलता की जाँच — कोई शाफ़्ट तय पट्टी के अंदर फ़िट बैठता है या नहीं। जहाँ यह ग़लत औज़ार है वहाँ आँकड़ों का बीच मायने रखता है। चूँकि यह दो मान लेता है और बाक़ी फेंक देता है, कोई एक बेतुका मान इसे उतना ही खिसका देता है जितना पूरे बंटन का असली खिसकाव करता — और इसीलिए मानक विचलन तथा अंतर-चतुर्थक परिसर जैसे माप मौजूद हैं: वे आँकड़ों के असर को बाँट देते हैं और भारी पूँछ वाली सूचियों पर भी काम के रहते हैं। किसी माध्य के बग़ल में लिखा परिसर चेतावनी का निशान है, जब तक सूची छोटी न हो; और ऊपर की तरह न्यूनतम तथा अधिकतम के बग़ल में लिखा परिसर सिर्फ़ दोनों सिरों का बखान है।

1. आठ मान: परिसर 7

   1. क्रमबद्ध सूची: 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 — सबसे छोटा मान 2 है और सबसे बड़ा 9
   2. परिसर = 9 − 2 = 7
   3. बीच के छह मान — 4; 4; 4; 5; 5 और 7 — गणना में कहीं आए ही नहीं

   ये आठ मान संयोग से बीच के तीन इकाई के दायरे में बैठे हैं, फिर भी परिसर 7 बताता है, क्योंकि वह पूरी सीमा नापता है, भीड़ वाला हिस्सा नहीं। 'सूची कितनी चौड़ी है' और 'मान कितने कसे हुए हैं' — इन दोनों के बीच का यही अंतर है, और यही वजह है कि आम तौर पर फैलाव का दूसरा माप भी साथ लिखा जाता है।

2. एक मान बाहर धकेला: परिसर 88 पर पहुँच जाता है

   1. सिर्फ़ सबसे बड़ा मान बदला, 9 से 90 — बाक़ी सात पहले उदाहरण जैसे ही हैं
   2. परिसर = 90 − 2 = 88
   3. इसी सूची का नमूना मानक विचलन 30.2864 है, जो पहले 2.1381 था

   दोनों माप बढ़े, पर वजह अलग-अलग है। परिसर ठीक उतना ही खिसका जितना वह चरम मान खिसका था, क्योंकि उसे दो सबसे बाहरी बिंदु तय करते हैं और कुछ नहीं। मानक विचलन आठों मानों में बँटा रहता है, इसलिए वही एक बदलाव बाक़ी सात में घुलकर पतला पड़ जाता है। किसी एक संख्या में एक अंक की चूक परिसर को अर्थहीन बनाने के लिए काफ़ी है; मानक विचलन को उतना हिलाने के लिए आँकड़ों में असली बदलाव चाहिए।

3. ऋणात्मक मान और एक दशमलव

   1. सबसे छोटा मान −5 है और सबसे बड़ा 10 — चिह्न मान का ही हिस्सा है, इसलिए सीमा शून्य को पार करती है
   2. परिसर = 10 − (−5) = 10 + 5 = 15
   3. ऋणात्मक मान सकारात्मक मानों की ही तरह काम करते हैं: सबसे छोटा घटाने पर उसका परिमाण जुड़ जाता है क्योंकि दोनों ऋण चिह्न कट जाते हैं

   ऋणात्मक संख्या घटाना वह जगह है जहाँ हाथ से की गई गणना सबसे ज़्यादा बिगड़ती है, और जब आँकड़े शून्य के आसपास हों तो जवाब दोनों सिरों से साफ़ दिखने लायक़ बड़ा निकलता है। ऋणात्मक तापमान, समुद्र तल से नीचे की ऊँचाई या खाते का बैलेंस — ऐसी हर सूची इसी तरह बरताव करती है।

परिसर पूरी सूची में से दो मान लेता है, इसलिए कोई एक चरम मान उसे पूरी तरह तय कर देता है: एक टाइपिंग की ग़लती, यंत्र की एक झलक, या सचमुच एक असाधारण दिन — और संख्या उतनी ही हिल जाती है जितनी वह ग़लती थी। यह आँकड़ों के बीच के हिस्से के बारे में भी कुछ नहीं बताता, जहाँ आम तौर पर बहुत सारे मान बैठे होते हैं — जिन दो सूचियों का न्यूनतम और अधिकतम एक जैसा हो, वे बराबर फैली हो सकती हैं या एक ही ढेर में ठुँसी हुई, और परिसर इनमें फ़र्क़ नहीं कर सकता। अलग-अलग आँकड़ों के समूहों के परिसर की तुलना तभी मायने रखती है जब इकाइयाँ और नमूने का आकार तुलनीय हों, क्योंकि बड़े नमूने में कोई चरम मान आने के मौक़े ज़्यादा होते हैं। सूची अधिकतम 200 मानों तक सीमित है, और 1,500 जैसा टोकन अंदाज़ा लगाने के बजाय अस्वीकार कर दिया जाता है, क्योंकि अंकों के बीच बैठा कॉमा किसी देश में दशमलव बिंदु है और किसी में हज़ार का विभाजक। यह पेज बाहरी मान नहीं चिह्नित करता: उस काम के लिए परिसर सबसे आख़िरी माप है जो आप उठाएँगे, क्योंकि यह उन्हीं मानों से बनता है जिन्हें आप जाँचना चाहते हैं।

किसी आँकड़ों के समूह का परिसर निकालने का तरीका क्या है?

सबसे बड़ा मान और सबसे छोटा मान ढूँढ़िए, फिर घटाइए: परिसर = अधिकतम − न्यूनतम। सूची 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 के लिए यह 9 − 2 = 7 है। सूची में बाक़ी कुछ भी मायने नहीं रखता, इसलिए आपको आँकड़े क्रमबद्ध करने या गिनने की ज़रूरत नहीं — हालाँकि लंबी सूची में दोनों चरम मान पकड़ने का भरोसेमंद तरीक़ा छाँटना ही है। ऊपर का कैलकुलेटर संख्याएँ वैसे ही ले लेता है जैसे आप डालते हैं, और जवाब के बग़ल में न्यूनतम तथा अधिकतम छाप देता है ताकि घटाव जाँचा जा सके।

परिसर एक ही मान से इतनी आसानी से क्यों बिगड़ जाता है?

क्योंकि इसे दो सबसे बाहरी मान तय करते हैं और बाक़ी सब अनदेखा रह जाते हैं। उदाहरण में 9 को 90 कर दीजिए और परिसर 7 से 88 हो जाता है — यानी 81 का उछाल, जितना वह एक मान खिसका था ठीक उतना। उसी सूची का नमूना मानक विचलन सिर्फ़ 2.1381 से 30.2864 तक जाता है, क्योंकि आठों मानों में से हर एक अपना हिस्सा डालता है। यह संवेदनशीलता सूत्र का दोष नहीं; 'सूची की चौड़ाई' का मतलब यही है। हाँ, इससे यह ज़रूर निकलता है कि परिसर कभी यह बताए बिना नहीं लिखा जाना चाहिए कि उसमें कितने मान थे।

क्या परिसर और अंतर-चतुर्थक परिसर एक ही चीज़ हैं?

नहीं, और वे अलग-अलग सवालों के जवाब देते हैं। परिसर आँकड़ों की पूरी चौड़ाई है, सबसे छोटे मान से सबसे बड़े तक। अंतर-चतुर्थक परिसर बीच के आधे हिस्से की चौड़ाई है, पहले चतुर्थक से तीसरे तक। अंतर-चतुर्थक परिसर जान-बूझकर पूँछों के प्रति अनसंवेदी है और परिसर जान-बूझकर उनके प्रति संवेदी, इसलिए दोनों को उद्धृत करने पर पाठक को दो संख्याओं में पूरी चौड़ाई और भीड़ वाले बीच की चौड़ाई दोनों मिल जाती हैं। अगर जगह सिर्फ़ एक के लिए है, तो यह पूछिए कि आपके आँकड़ों में कोई चरम मान अर्थपूर्ण है या ग़लती।

क्या परिसर इस बात पर निर्भर है कि नमूना है या समष्टि?

नहीं, और इसीलिए इस पेज पर नमूना/समष्टि चुनने वाला कोई ड्रॉपडाउन नहीं है। यह फ़र्क़ उन राशियों के लिए मायने रखता है जो मानों की संख्या से या उससे एक कम से भाग देती हैं — प्रसरण और मानक विचलन — क्योंकि वह भाजक नमूने और पूरी समष्टि में अलग होता है। परिसर एक घटाव है, इसलिए बहस करने लायक़ कोई भाजक ही नहीं। प्रसरण और मानक विचलन दोनों पेजों पर वह चयनकर्ता मौजूद है; यहाँ वह कुछ नहीं बदलेगा, और उसे दिखाना यह भ्रम पैदा करता कि वह कुछ बदलता है।

क्या परिसर ऋणात्मक या शून्य हो सकता है?

यह कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता: सबसे बड़ा मान परिभाषा से ही सबसे छोटे से छोटा नहीं होता, इसलिए घटाव शून्य या कोई धनात्मक संख्या लौटाता है। यह ठीक तभी शून्य होता है जब सूची के सारे मान एक जैसे हों, और उसमें वह मामला भी शामिल है जहाँ एक ही मान हो — तब अधिकतम और न्यूनतम वही मान हैं और परिसर 0। शून्य यहाँ असली जवाब है, कोई विफलता नहीं — वह बताता है कि आँकड़ों में कोई फैलाव ही नहीं। एक ही मान इसी वजह से स्वीकार किया जाता है: इस गणना को दूसरे मान की ज़रूरत नहीं।

क्या यह पेज बताता है कि कौन-से मान बाहरी हैं?

नहीं। संभावित बाहरी मानों को चिह्नित करने का आम नियम अंतर-चतुर्थक परिसर पर टिकता है — पहले चतुर्थक से 1.5 × IQR से ज़्यादा नीचे या तीसरे से 1.5 × IQR से ज़्यादा ऊपर बैठा मान — और वह अलग कैलकुलेटर है। इस काम के लिए परिसर इस्तेमाल करना चक्रव्यूह में फँसने जैसा होता, क्योंकि परिसर उन्हीं चरम मानों से बनता है जिन्हें आप जाँच रहे होंगे: हर आँकड़ों के समूह का अपना न्यूनतम और अधिकतम परिभाषा से ही उसके सबसे चरम बिंदु होते हैं। यह पेज बताता है कि सूची कितनी चौड़ी है, और फ़ैसला उस औज़ार पर छोड़ देता है जो उसी के लिए बना है।

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the range as the largest value minus the smallest, and notes that the spread near the centre of the data is not captured at all) — National Institute of Standards and Technology
• Range — MathWorld (defines the range of a set of numbers as the difference between the largest and smallest values, and places it among the measures of dispersion) — Wolfram MathWorld