अपवादी मान कैलकुलेटर

निचली सीमा = Q1 − 1.5 × IQR · ऊपरी सीमा = Q3 + 1.5 × IQR

Q1

पहला चतुर्थक — यानी 25वाँ प्रतिशतक, वह मान जिस पर या उसके नीचे एक चौथाई आँकड़े बैठते हैं। यही निचली सीमा को टिकाता है

Q3

तीसरा चतुर्थक — यानी 75वाँ प्रतिशतक। Q1 के साथ यह आँकड़ों का बीच वाला आधा हिस्सा घेरता है, और ऊपरी सीमा को टिकाता है

IQR

अंतर-चतुर्थक परिसर, यानी Q3 − Q1: आँकड़ों के बीच वाले आधे हिस्से की चौड़ाई। इसे 1.5 से गुणा करना तय करता है कि किसी मान को चिह्नित होने से पहले उस बीच वाले हिस्से से कितनी दूर बैठना पड़ेगा

निचली सीमा

Q1 − 1.5 × अंतर-चतुर्थक परिसर। इस रेखा से सख़्ती से नीचे बैठा मान चिह्नित होता है; ठीक इसी पर बैठा मान नहीं, और इसीलिए एक जैसे मानों वाली सूची में कुछ भी चिह्नित नहीं होता

ऊपरी सीमा

Q3 + 1.5 × अंतर-चतुर्थक परिसर। इस रेखा से सख़्ती से ऊपर बैठा मान चिह्नित होता है। जिस स्रोत से यह नियम आया है वह दोनों सीमाओं को सामान्यतः L1 और U1 लिखता है

n

कितने मान गए, यहाँ तक कि 200। सीमाएँ चतुर्थकों से बनती हैं, इसलिए लंबी सूची चतुर्थक खिसका देती है और कौन-से मान चिह्नित होंगे यह बदल सकता है

इसे तब लगाइए जब यह जानना हो कि समूह के बाक़ी मानों के मुक़ाबले कोई मान असामान्य है या नहीं, और यह तय करने से पहले कि उसका क्या करना है: किसी महीने का वह रिटर्न जो बाक़ी सबसे दस गुना है, ऐसी सेंसर माप जो अपने पड़ोसियों के पैमाने से बाहर है, या किसी कक्षा के बाक़ी सबसे बहुत नीचे बैठा अंक। 1.5 × अंतर-चतुर्थक परिसर वाला नियम, जिसे कभी-कभी उसे लोकप्रिय बनाने वाले के नाम पर ट्यूकी का नियम कहा जाता है, पहली छानबीन का मानक तरीक़ा है क्योंकि यह आँकड़ों के आकार के बारे में कोई मान्यता नहीं रखता — माध्य और मानक विचलन पर टिके नियम के उलट, जो उन्हीं चरम मानों से बिगड़ जाता है जिन्हें उसे ढूँढ़ना है। जो यह पेज नहीं कर सकता वह यह बताना है कि चिह्नित मान कोई ग़लती है या सचमुच चरम मान। ये दो अलग बातें हैं: एक बाहरी मान ख़राब आँकड़े की तरफ़ इशारा कर सकता है, और वह उतना ही आसानी से समूह की सबसे दिलचस्प माप भी हो सकता है। अंतर-चतुर्थक परिसर जान-बूझकर दोनों पूँछों को अनदेखा करता है, इसलिए जिन मानों की जाँच हो रही है वही उसे इधर-उधर नहीं खींचते।

1. आठ मान, एक चिह्नित

   1. Q1 = 4 और Q3 = 5.5, इसलिए अंतर-चतुर्थक परिसर = 5.5 − 4 = 1.5
   2. 1.5 × IQR = 2.25, जिससे निचली सीमा 4 − 2.25 = 1.75 और ऊपरी सीमा 5.5 + 2.25 = 7.75 बनती है
   3. 9 ऊपरी सीमा 7.75 से ऊपर है, इसलिए वह चिह्नित हुआ; बाक़ी हर मान दोनों सीमाओं के भीतर है
   4. दूर की सीमाएँ −0.5 और 10 हैं, और 9 उनके भीतर बैठता है — यानी यह सिर्फ़ भीतरी नियम से पकड़ा गया मान है

   दूर की सीमाएँ −0.5 और 10 हैं, और 9 उनके भीतर बैठता है, इसलिए यह सिर्फ़ भीतरी नियम से चिह्नित मान है — हल्का असामान्य, चरम नहीं। दूर की सीमाओं को अलग से छापना ही इस फ़र्क़ को दिखने लायक़ बनाता है, वरना हाथ में सिर्फ़ हाँ या ना बचती।

2. दो चिह्नित, एक-एक हर जोड़ी से बाहर

   1. Q1 = 3.75 और Q3 = 9.25, इसलिए अंतर-चतुर्थक परिसर = 5.5 और 1.5 × IQR = 8.25
   2. सीमाएँ 3.75 − 8.25 = −4.5 और 9.25 + 8.25 = 17.5 हैं; दूर की सीमाएँ 3.75 − 16.5 = −12.75 और 9.25 + 16.5 = 25.75
   3. 20 ऊपरी सीमा 17.5 से ऊपर है पर दूर की सीमा 25.75 के भीतर; 30 दूर की सीमा से भी ऊपर है
   4. दोनों चिह्नित गिने जाते हैं, इसलिए कुल 2

   दोनों चिह्नित मान बराबर चरम नहीं हैं, और अकेली गिनती यह छिपा देती है। 20 भीतरी सीमा पार करता है, 30 दूर की सीमा भी, और छपी हुई सूची उन्हें छोटे से बड़े क्रम में रखती है ताकि पता चले कौन-कौन है। दूर की सीमा कोई दूसरी शर्त नहीं है जिसे पूरा करना पड़े — दोनों सीमाओं के बीच बैठा मान पहले ही चिह्नित है।

3. जब एक के सिवा हर मान एक जैसा हो

   1. Q1 = 1 और Q3 = 1, इसलिए अंतर-चतुर्थक परिसर = 0 और 1.5 × IQR = 0
   2. दोनों सीमाएँ 1 पर सिमट जाती हैं: निचली सीमा 1 − 0 = 1 और ऊपरी सीमा 1 + 0 = 1
   3. 2 सख़्ती से 1 से ऊपर है, इसलिए वह चिह्नित होता है — भले ही अंतर-चतुर्थक परिसर शून्य है

   अंतर-चतुर्थक परिसर शून्य देखकर लगता है कि नियम बंद हो जाना चाहिए, और वह नहीं होता। जब लगभग हर मान एक जैसा हो, तो जो अलग है वह परिभाषा से ही अकेला ऐसा बिंदु है जो साफ़ हटकर अलग बैठता है, और नियम यही कहता है। उलटा नतीजा — कुछ भी चिह्नित न होना — पाने के लिए हर मान का एक जैसा होना ज़रूरी है, और तब सीमाएँ ठीक उसी मान पर पड़ती हैं और तुलना सख़्त रहती है।

यह पेज एक ही नियम से चिह्नित मान बताता है, और वह नियम एक परंपरा है, कोई फ़ैसला नहीं। 1.5 वाला गुणक एक चुनाव है; जो स्रोत उसे देता है वही दूसरी, ज़्यादा चरम रेखा के लिए 3.0 भी देता है, और दूसरी किताबें तथा सॉफ़्टवेयर z-स्कोर या माध्यिका निरपेक्ष विचलन पर टिकी अलग जाँचें भी देते हैं। दो औज़ारों का किसी सीमा के पास बैठे मान पर असहमत होना सामान्य है, और इसका मतलब यह नहीं कि कोई एक ग़लत है। चिह्नित मान अपने आप कोई ग़लती भी नहीं होता: ऐसा नियम ग़लत टाइप हुए अंक और सचमुच चरम माप के बीच फ़र्क़ नहीं कर सकता, और दूसरी किस्म अक्सर समूह की सबसे क़ीमती माप होती है। सिर्फ़ चिह्नित होने के भरोसे अंक हटाना वह तरीक़ा है जिससे विश्लेषण ऐसे नतीजों तक पहुँच जाते हैं जिनके वे हक़दार नहीं थे। यहाँ के चतुर्थक बीच के दो मानों के बीच रैखिक अंतर्वेशन से निकाले जाते हैं, जो सबसे आम परंपरा है पर अकेली नहीं — जो स्रोत निकटतम देखे गए मान तक पूर्णांकित करता है वह चतुर्थक आधा क़दम खिसका सकता है और सीमाएँ भी साथ खिसक जाती हैं। सूची 200 मानों तक सीमित है, और 1,500 जैसा टोकन अंदाज़ा लगाने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि अंकों के बीच बैठा कॉमा कहीं दशमलव बिंदु होता है और कहीं हज़ार का विभाजक।

आँकड़ों के समूह में बाहरी मान कैसे ढूँढ़े जाते हैं?

मानों को क्रम से लगाइए और पहला तथा तीसरा चतुर्थक, यानी Q1 और Q3, निकालिए। अंतर-चतुर्थक परिसर Q3 − Q1 है। Q1 − 1.5 × IQR से नीचे, या Q3 + 1.5 × IQR से ऊपर बैठा कोई भी मान चिह्नित होता है। सूची 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 के लिए चतुर्थक 4 और 5.5 हैं, इसलिए अंतर-चतुर्थक परिसर 1.5 है, सीमाएँ 1.75 और 7.75 हैं, और 9 चिह्नित होता है। ऊपर का कैलकुलेटर चतुर्थक और चारों सीमाएँ छापता है ताकि हर क़दम जाँचा जा सके।

सीमा क्या होती है, और चार क्यों होती हैं?

सीमाएँ वे कटाव रेखाएँ हैं जिनसे नियम मानों की तुलना करता है — यह नाम सॉफ़्टवेयर में आम है, जबकि किताबी स्रोत उन्हें L1, L2, U1 और U2 लिखता है। दो भीतरी सीमाएँ Q1 − 1.5 × IQR और Q3 + 1.5 × IQR हैं; दूर की सीमाएँ 1.5 के बजाय 3.0 लेती हैं और उन मानों को दिखाती हैं जो उससे भी आगे बैठे हैं। चिह्नित कौन होगा यह सिर्फ़ भीतरी जोड़ी तय करती है। दूर की जोड़ी इसीलिए छपती है कि दोनों रेखाओं के बीच बैठा मान हल्का असामान्य है और दूर की रेखा के पार बैठा नहीं, और एक अकेली गिनती यह फ़र्क़ नहीं दिखा सकती।

चिह्नित होने के बाद बाहरी मान हटा देना चाहिए?

सिर्फ़ चिह्नित होने के भरोसे नहीं। नियम इतना कहता है कि कोई मान बाक़ी से साफ़ हटकर अलग बैठता है; वह यह नहीं बता सकता कि क्यों। वही संदर्भ यह भी नोट करता है कि बाहरी मान ख़राब आँकड़े की तरफ़ इशारा कर सकता है — ग़लत टाइप हुआ अंक, ख़राब सेंसर, ग़लत स्तंभ में दर्ज हुई इकाई — और ऐसे मामलों में उसे ठीक करना या हटाना चाहिए। वह उतना ही आसानी से सचमुच की माप भी हो सकता है, और अक्सर समूह की सबसे जानकारी भरी माप। कुछ भी हटाने से पहले वजह ढूँढ़िए: मूल अभिलेख, उपकरण की लॉग-पुस्तिका, या वे हालात जिन्होंने उसे पैदा किया, देख लीजिए। जो अंक सिर्फ़ इसलिए हटाए जाते हैं कि किसी नियम ने उन्हें चिह्नित कर दिया, उन्हीं से आँकड़े तराशकर ऐसा बना दिए जाते हैं जो कोई सुनना चाहता था।

कोई दूसरा औज़ार अलग मान क्यों चिह्नित करता है?

क्योंकि 1.5 वाला गुणक एक परंपरा है, कोई क़ानून नहीं। जो संदर्भ 1.5 देता है वही दूसरी रेखा के लिए 3.0 भी देता है, और z-स्कोर पर टिके बिलकुल अलग नियम भी हैं — एक मान का माध्य से फ़ासला मानक विचलन के सामने नापता है, दूसरा माध्यिका निरपेक्ष विचलन और 3.5 की दहलीज़ इस्तेमाल करता है। चतुर्थक निकालने की परंपराएँ भी अलग हैं: यह पेज बीच के दो मानों के बीच अंतर्वेशन करता है, जबकि कुछ स्रोत निकटतम देखे गए मान तक पूर्णांकित करते हैं, जिससे कोई सीमा पास बैठे बिंदु को बस ज़रा-सा पार कर जाती है। दो औज़ारों का किसी सीमा के पास बैठे मान पर असहमत होना अपेक्षित है, और यह उस मान को देखने की वजह है, किसी एक औज़ार पर भरोसा खोने की नहीं।

अगर अंतर-चतुर्थक परिसर शून्य हो तो?

नियम फिर भी चलता है, और मान चिह्नित भी करता है। अगर Q1 और Q3 दोनों 1 हों, तो अंतर-चतुर्थक परिसर 0 है, इसलिए 1.5 × IQR भी 0, दोनों सीमाएँ ठीक 1 पर पड़ती हैं, और 1 से सख़्ती से ऊपर बैठा कोई भी मान चिह्नित होता है — सूची 1, 1, 1, 1, 1, 2 में 2 चिह्नित होता है। पहली नज़र में यह ग़लत लगता है, क्योंकि शून्य अंतर-चतुर्थक परिसर यह कहता दिखता है कि आँकड़ों में कोई फैलाव ही नहीं। यह सही है: जब लगभग हर मान एक जैसा हो, तो जो अकेला मान अलग है वही ठीक वह है जो साफ़ हटकर अलग बैठता है। तुलना सख़्त है, इसलिए एक जैसे मानों वाली सूची में कुछ भी चिह्नित नहीं होता — सीमाएँ ठीक उसी मान पर पड़ती हैं और कुछ भी उनके सख़्त बाहर नहीं होता।

क्या यह z-स्कोर वाली जाँच जैसा ही है?

नहीं, और यह फ़र्क़ मायने रखता है। z-स्कोर किसी मान का माध्य से फ़ासला मानक विचलन से भाग देता है — पर माध्य और मानक विचलन दोनों पूरे नमूने से निकाले जाते हैं, बाहरी मान समेत, इसलिए एक अकेला चरम मान मानक विचलन को फुला देता है और ख़ुद को छिपा सकता है। चतुर्थक पर टिके नियम में ऐसी कोई पुनर्भरण नहीं है: चतुर्थक स्थान-आधारित हैं, और बहुत दूर बैठा मान उनके पड़ने की जगह नहीं बदलता। संदर्भ ठीक इसी वजह से z-स्कोर वाले रास्ते के लिए एक हद भी देता है, और माध्यिका निरपेक्ष विचलन पर बना एक विकल्प भी रखता है ताकि फैलाव की माप जाँचे जा रहे बिंदु से खिंच न जाए।

• Box Plot — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.3.7 (the source of the rule: L1 = lower quartile − 1.5 × IQ and L2 = lower quartile − 3.0 × IQ, with the symmetric U1 and U2, and the two batches of points drawn as small and large circles) — National Institute of Standards and Technology
• Detection of Outliers — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 (defines an outlier as an observation that appears to deviate markedly from the others, notes that an outlier may indicate bad data, and lists several alternative rules, including modified Z-scores above 3.5) — National Institute of Standards and Technology