चतुर्थक कैलकुलेटर

Q1 = स्थान (n − 1) × 0.25 पर मान, Q2 = (n − 1) × 0.50 पर, Q3 = (n − 1) × 0.75 पर (पड़ोसियों के बीच अंतर्वेशन); IQR = Q3 − Q1

xᵢ

आँकड़ों के समूह का एक मान। चतुर्थक क्रमबद्ध सूची में स्थान हैं, इसलिए मायने मानों का क्रम रखता है, उनका आकार नहीं — कोई एक चरम मान बाहरी निशानों को थोड़ा खिसका देता है पर बीच के आधे हिस्से को लगभग छूता ही नहीं

n

सूची में कितने मान हैं, यहाँ अधिकतम 200। स्थान 0 से गिने जाते हैं और आख़िरी n − 1 होता है, इसीलिए तीनों चतुर्थक-स्थान उसी परास में फैले रहते हैं

Q1

पहला चतुर्थक, जिस पर या जिससे नीचे क़रीब 25% आँकड़े आते हैं। यह बताता है कि क्रमबद्ध सूची का निचला चौथाई हिस्सा कहाँ ख़त्म होता है, और यह ज़रूरी नहीं कि यह आपके आँकड़ों में मौजूद कोई मान हो

Q2

दूसरा चतुर्थक, जो ठीक माध्यिका है: आधे आँकड़े इस पर या इससे नीचे। यह यहाँ तुलना के लिए छपता है, और अलग माध्यिका वाला पेज उसी नियम से वही संख्या निकालता है

Q3

तीसरा चतुर्थक, जिस पर या जिससे नीचे क़रीब 75% आँकड़े आते हैं। Q1 के साथ मिलकर यह आँकड़ों के बीच के आधे हिस्से को घेरता है — वही हिस्सा जिसे बॉक्स प्लॉट एक बक्से के रूप में खींचता है

IQR

अंतर-चतुर्थक परिसर, Q3 − Q1: बीच के आधे हिस्से का फैलाव। इसकी इकाई आँकड़ों जैसी ही होती है और, मानक विचलन के उलट, बाहरी मानों का असर इस पर लगभग नहीं पड़ता क्योंकि यह ऊपर और नीचे के चौथाई हिस्सों को पूरी तरह छोड़ देता है

चतुर्थक तब सही सारांश हैं जब आँकड़े तिरछे हों, उनमें बाहरी मान हों, या वे ऐसे पैमाने पर न नपे हों जहाँ जोड़ने का कोई मतलब बनता हो — आय, मकानों के दाम, प्रतिक्रिया समय, परीक्षा के अंक। जहाँ माध्य और मानक विचलन किसी सममित घंटी का बखान करते हैं, वहाँ पाँच संख्याओं का सारांश किसी भी आकार के बंटन का बखान करता है: माध्यिका बताती है केंद्र कहाँ है, Q1 और Q3 बताते हैं बीच का आधा हिस्सा कितना फैला है, और सबसे छोटा तथा सबसे बड़ा मान पूरी सीमा तय कर देते हैं। अंतर-चतुर्थक परिसर माध्यिका का चिरपरिचित साथी है — ठीक उसी कारण से जिस कारण मानक विचलन माध्य के साथ चलता है — और जब लोग ऐसा फैलाव चाहते हैं जिसे कोई एक बेतुका मान बढ़ा न सके, तो यही संख्या उद्धृत करते हैं। यही बॉक्स प्लॉट का आधार भी है और संभावित बाहरी मानों को चिह्नित करने वाले 1.5 × IQR नियम का भी — पर वहाँ सिर्फ़ सीमा खींची जाती है, अंकित करना अलग काम है, और वह इस पेज का नहीं। जहाँ हो सके, चतुर्थक के साथ आयतचित्र भी देखिए: चार कट-पॉइंट यह नहीं दिखा सकते कि आँकड़ों में दो कूबड़ हैं, और दो-शिखर वाला समूह बड़े आराम से बिलकुल साधारण दिखने वाला पाँच-संख्या सारांश बना देगा।

1. आठ मान: Q1 = 4, Q3 = 5.5, IQR = 1.5

   1. क्रमबद्ध सूची: 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 — आठ मान, इसलिए n − 1 = 7
   2. Q1: स्थान 7 × 0.25 = 1.75, जो स्थान 1 पर बैठे 4 और स्थान 2 पर बैठे 4 के बीच है, इसलिए Q1 = 4
   3. Q2: स्थान 7 × 0.50 = 3.5, 4 और 5 के बीच, इसलिए Q2 = 4.5 — वही माध्यिका जो माध्यिका वाला पेज बताता है
   4. Q3: स्थान 7 × 0.75 = 5.25, स्थान 5 पर बैठे 5 और स्थान 6 पर बैठे 7 के बीच: 5 + 0.25 × 2 = 5.5
   5. IQR: 5.5 − 4 = 1.5, यानी आँकड़ों का बीच का आधा हिस्सा 1.5 की चौड़ाई में फैला है

   यहाँ बीच का आधा हिस्सा 4 से 5.5 तक के चार मान हैं, और IQR बताता है कि वह पट्टी कितनी चौड़ी है। ध्यान दीजिए कि Q1 ठीक किसी मान पर पड़ा जबकि Q3 नहीं: कौन-से चतुर्थक देखे गए मानों से मिलते हैं यह पूरी तरह गिनती पर निर्भर है, और पाँच संख्याओं का सारांश आँकड़ों का कोई उपसमूह नहीं, स्थानों का बखान है।

2. चार मान, जहाँ हर चतुर्थक अंतर्वेशन से निकलता है

   1. क्रमबद्ध सूची: 1; 2; 3; 4 — चार मान, इसलिए n − 1 = 3
   2. Q1: स्थान 3 × 0.25 = 0.75, 1 से 2 की ओर तीन-चौथाई रास्ता, इसलिए Q1 = 1.75
   3. Q2: स्थान 3 × 0.50 = 1.5, 2 और 3 के ठीक बीच, इसलिए Q2 = 2.5
   4. Q3: स्थान 3 × 0.75 = 2.25, 3 से 4 की ओर एक-चौथाई रास्ता, इसलिए Q3 = 3.25
   5. IQR: 3.25 − 1.75 = 1.5

   यही वह मामला है जो तरीक़ों को अलग करता है, इसलिए यह जानना काम का है कि दूसरा तरीक़ा क्या देता है। OpenStax और कई किताबें जो विधि लगाती हैं वह आँकड़ों को माध्यिका पर काटकर हर आधे का बीच लेती है: निचला आधा 1 और 2 है, इसलिए Q1 = 1.5; ऊपरी आधा 3 और 4 है, इसलिए Q3 = 3.5, और IQR 2 हो जाता है। यह पेज इसके बजाय पड़ोसियों के बीच अंतर्वेशन लगाता है, जो R और NumPy का डिफ़ॉल्ट है, और Q1 तथा Q3 दोनों छापता है ताकि आप देख सकें कि किस तरीक़े ने उन्हें बनाया।

3. किताब के ही 14 मान, दूसरी विधि से निकाले

   1. क्रमबद्ध सूची: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6.8; 7.2; 8; 8.3; 9; 10; 10; 11.5 — चौदह मान, इसलिए n − 1 = 13
   2. Q2: स्थान 13 × 0.50 = 6.5, 6.8 और 7.2 के ठीक बीच, इसलिए Q2 = 7 — ठीक वही माध्यिका जो किताब बताती है
   3. Q1: स्थान 13 × 0.25 = 3.25, स्थान 3 पर बैठे 2 से स्थान 4 पर बैठे 4 की ओर एक-चौथाई, इसलिए Q1 = 2.5
   4. Q3: स्थान 13 × 0.75 = 9.75, 8.3 से 9 की ओर तीन-चौथाई, इसलिए Q3 = 8.825
   5. IQR: 8.825 − 2.5 = 6.325

   यही चौदह संख्याएँ OpenStax के स्थान-मापों वाले हिस्से में आती हैं, जो आधों वाली विधि लगाता है और Q1 = 2 तथा Q3 = 9 बताता है, यानी IQR 7। दोनों जवाब किसी लिखित और सिखाए जा सकने वाले नियम से आते हैं; फ़र्क़ इसलिए है कि वे इन्हीं मानों के बीच अलग-अलग तरीक़े से अंतर्वेशन करते हैं। माध्यिका बिलकुल मिलती है, और यही तसल्ली की बात है: तरीक़ा कोई भी हो, किसी आँकड़ों के समूह का बीच उसका बीच ही रहता है।

चार कट-पॉइंट अपने आप किसी बंटन का पूरा बखान नहीं कर सकते। दो आँकड़ों के समूह हर चतुर्थक में एक जैसे हो सकते हैं और फिर भी एक-दूसरे से बिलकुल अलग दिख सकते हैं — एक ढेर के रूप में, दूसरा दो कूबड़ों के साथ — इसलिए जहाँ आकार मायने रखता है वहाँ पाँच संख्याओं का सारांश आयतचित्र के साथ पढ़िए। चतुर्थक एक तथ्य नहीं, एक चलन भी हैं: यह पेज पड़ोसी मानों के बीच अंतर्वेशन करता है, Hyndman–Fan type 7 के मुताबिक़, और कई किताबों की आधों वाली विधि तब अलग संख्याएँ देगी जब गिनती 4 का गुणज न हो। गिनती का महत्व एक और तरह से भी है: चार से कम मानों पर हर चतुर्थक एक अंतर्वेशन है, और एक ही मान पर पाँचों संख्याएँ वही मान हो जाती हैं तथा IQR शून्य हो जाता है क्योंकि नापने के लिए कोई फैलाव ही नहीं बचता। सूची अधिकतम 200 मानों तक सीमित है, और 1,500 जैसा टोकन अंदाज़ा लगाने के बजाय अस्वीकार कर दिया जाता है, क्योंकि अंकों के बीच बैठा कॉमा किसी देश में दशमलव बिंदु है और किसी में हज़ार का विभाजक। यह पेज किसी बाहरी मान को चिह्नित नहीं करता: उसका मानक नियम 1.5 × IQR की सीमा है, और उसे लागू करना किसी अलग औज़ार का काम है।

किसी आँकड़ों के समूह के चतुर्थक निकालने का तरीका क्या है?

सूची को क्रमबद्ध कीजिए, फिर तीन स्थान पढ़ लीजिए: Q1 के लिए (n − 1) × 0.25, Q2 के लिए (n − 1) × 0.50 और Q3 के लिए (n − 1) × 0.75, और जब कोई स्थान दो मानों के बीच पड़े तो अंतर्वेशन कीजिए। आठ मानों पर ये स्थान 1.75, 3.5 और 5.25 बनते हैं, जिनसे Q1 = 4, Q2 = 4.5 और Q3 = 5.5 मिलते हैं। इसके बाद अंतर-चतुर्थक परिसर Q3 − Q1 है, जो यहाँ 1.5 है। तीनों चतुर्थक और सबसे छोटा तथा सबसे बड़ा मान ऊपर छपे हैं, इसलिए पूरा सारांश एक ही स्क्रीन पर है।

मेरा Q1 किसी दूसरे कैलकुलेटर से अलग क्यों आता है?

क्योंकि चतुर्थक कोई तथ्य नहीं, एक चलन है, और दो आम चलन तब मतभेद करते हैं जब गिनती 4 का गुणज न हो। यह पेज पड़ोसी मानों के बीच अंतर्वेशन करता है, Hyndman–Fan type 7 के मुताबिक़ — जो R और NumPy का डिफ़ॉल्ट है। कई किताबें, OpenStax समेत, इसके बजाय आँकड़ों को माध्यिका पर काटकर हर आधे का बीच लेती हैं: उसके अपने चौदह मानों पर वह Q1 = 2 और Q3 = 9 देती है, जबकि यह पेज 2.5 और 8.825 लौटाता है। दोनों लिखित नियम हैं। Q2, यानी माध्यिका, दोनों तरीक़ों से बिलकुल एक जैसी निकलती है।

अंतर-चतुर्थक परिसर मुझे क्या बताता है?

यह आँकड़ों के बीच के आधे हिस्से की चौड़ाई है: वह परास जिसमें Q1 और Q3 के बीच बैठे 50% मान आते हैं। इसकी इकाई आपके आँकड़ों जैसी ही होती है, इसलिए IQR 1.5 का मतलब है कि बीच का आधा हिस्सा उतनी ही इकाई में 1.5 तक फैला है जिसमें आपने नापा। ऊपर और नीचे के चौथाई हिस्से फेंक देने की वजह से कोई एक चरम मान इसे मुश्किल से हिलाता है, और इसीलिए माध्यिका के साथ यही फैलाव उद्धृत करने का रिवाज़ है। IQR शून्य का मतलब है कि बीच का आधा हिस्सा एक ही दोहराया हुआ मान है — आपके आधे या उससे ज़्यादा आँकड़े एक जैसे हैं — न कि कुछ गड़बड़ हो गई।

पाँच संख्याओं का सारांश क्या होता है?

सबसे छोटा मान, Q1, माध्यिका, Q3 और सबसे बड़ा मान — यही पाँच संख्याएँ जो यह पेज छापता है, आम तौर पर इसी क्रम में लिखी जाती हैं। किसी आँकड़ों के समूह का कोई ख़ास आकार माने बिना उसका बखान करने का यही मानक तरीक़ा है, और बॉक्स प्लॉट ठीक यही खींचता है: Q1 से Q3 तक एक बक्सा, बीच में माध्यिका पर एक रेखा, और दोनों सिरों तक मूँछें। ऊपर दिखने वाला IQR इन पाँच में से एक नहीं है; वह Q3 − Q1 है, यानी बक्से की चौड़ाई।

क्या कोई चतुर्थक ऐसा मान हो सकता है जो मेरे आँकड़ों में न हो?

हाँ, और छोटी सूचियों पर आम तौर पर होता ही है। चतुर्थक आँकड़ों के पैमाने पर एक स्थान है, इसलिए 1; 2; 3; 4 — इन चार मानों के लिए 1.75 एक बिलकुल साधारण पहला चतुर्थक है, भले ही सूची में 1.75 कहीं न हो। जब स्थान ठीक किसी पूर्ण संख्या पर पड़ता है तो चतुर्थक देखे गए किसी मान से मिल जाता है। दोनों ही हालतों में संख्या साथ छपती है, इसलिए आप देख सकते हैं कि सामने कौन-सा मामला है।

क्या यह पेज बाहरी मान चिह्नित करता है?

नहीं। यह आपको अंतर-चतुर्थक परिसर देता है, जो मानक नियम का इनपुट है: कोई मान संभावित बाहरी तब माना जाता है जब वह Q1 से 1.5 × IQR से ज़्यादा नीचे या Q3 से 1.5 × IQR से ज़्यादा ऊपर बैठता हो। उस सीमा को लागू करना जान-बूझकर किसी अलग औज़ार का काम है, ताकि यह पेज आँकड़ों का ईमानदार बखान बना रहे, यह फ़ैसला न बने कि किन बिंदुओं को छोड़ देना है। ऊपर के आठ मानों पर 1.5 × IQR यानी 2.25 बनता है, इसलिए सीमा 1.75 से 7.75 तक चलती है।

• Measures of the Location of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.3 (defines the quartiles and the interquartile range as the spread of the middle half, and works through the 14-value example; its halves method differs from the interpolation used here) — OpenStax, Rice University
• quantile — R: The R Stats Package manual (documents the nine quantile types; type 7, the default, is the convention used here for all three quartiles) — The R Project for Statistical Computing
• numpy.quantile — NumPy reference (the method="linear" default interpolates exactly as this page does) — NumPy