माध्यिका कैलकुलेटर

माध्यिका = क्रम से लगी सूची का बीच का मान; गिनती सम हो तो बीच के दोनों मानों का औसत

xᵢ

आँकड़ों के समूह का एक मान। सिर्फ़ क्रम में उसका स्थान मायने रखता है — वह बाक़ी मानों से कितनी दूर बैठा है, यह हिसाब में कभी नहीं आता, और ठीक इसीलिए कोई चरम माप जवाब को अकेला छोड़ देती है

n

सूची में कितने मान हैं, यहाँ तक कि 200। विषम गिनती पर बीच का एक मान मिलता है; सम गिनती पर दो, और उनका औसत माध्यिका होती है

Y₍ₖ₎

छोटे से बड़े क्रम में लगाने के बाद k-वाँ मान। NIST सम वाले मामले को (Y(N/2) + Y(N/2+1)) / 2 लिखता है, जो ठीक वही दो मान हैं जिन्हें यह पेज जवाब के नीचे छापता है

Y₍ₙ/₂₎ और Y₍ₙ/₂₊₁₎

बीच के दो मान। इन्हें इसीलिए छापा जाता है कि भाग देना आँख से जाँचा जा सके, और विषम गिनती पर वे एक ही संख्या दो बार होते हैं — बीच में सचमुच एक ही मान है

M

माध्यिका। यह आँकड़ों की मूल इकाई ही ढोती है, और हर मान में एक ही स्थिरांक जोड़ने पर उतनी ही खिसकती है, बस

माध्यिका तब निकालिए जब कोई एक माप बहुत भटक सकती हो और फिर भी एक ठेठ मान चाहिए हो: घरों के दाम, आय, इंतज़ार का समय, यानी लंबी पूँछ वाली हर चीज़। चूँकि यह आकार नहीं बल्कि स्थान गिनती है, सूची का सबसे बड़ा मान चाहे जितना बड़ा हो, माध्यिका टस से मस नहीं होती — और यही लचीलापन उसके माध्य के बग़ल होने की पूरी वजह है। क्रम वाली श्रेणियों के लिए भी यही सहज केंद्र है — रेटिंग का पैमाना, नाप का दर्जा — जहाँ दो पड़ोसी श्रेणियों के बीच के फ़ासले का कोई मतलब नहीं होता और उसका औसत नहीं निकाला जा सकता। दो बातें यह नहीं बताएगी: फैलाव के बारे में कुछ भी, और बीच से दूर पड़े मानों के बारे में कुछ भी। जब आँकड़ों का आकार मायने रखे तो इसके साथ चतुर्थक भी देखिए, और यह ध्यान रखिए कि सममित आँकड़ों में माध्यिका और माध्य लगभग एक ही जगह बैठते हैं, इसलिए उनके बीच दिखता फ़ासला ख़ुद तिरछेपन की एक पढ़ाई है।

1. सम गिनती: बीच के दो मान 4 और 5 हैं

   1. क्रम से: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
   2. गिनती: 8 मान हैं, इसलिए बीच में अकेला कोई मान नहीं — बीच की जोड़ी चौथा और पाँचवाँ है
   3. चौथा मान 4 है और पाँचवाँ 5
   4. माध्यिका: (4 + 5) ÷ 2 = 4.5
   5. पैनल इन दोनों को जवाब के बग़ल में इसीलिए छापता है कि भाग देना जाँचा जा सके

   4.5 सूची के किसी अंक में नहीं है, और सम गिनती पर यह सामान्य ही है। ठीक इसी वजह से पैनल उसके बग़ल 4 और 5 छापता है: उनके बिना यह पता ही नहीं चलता कि औज़ार ने सही जोड़ी का औसत लिया, या चुपचाप दोनों में से कोई एक उठा लिया।

2. विषम गिनती, और एक मान बाक़ी सबसे बहुत दूर

   1. क्रम से: 3, 7, 9, 12, 40
   2. गिनती: 5 मान हैं, इसलिए बीच वाला तीसरा है
   3. माध्यिका: 9 — कोई भाग देना नहीं, क्योंकि बीच में एक ही मान है
   4. बीच के दोनों ख़ानों में वही 9 दो बार दिखता है, जो इसी बात का सबूत है

   इन पाँच अंकों का माध्य 14.2 है, जिसे 40 ने ऊपर खींच लिया; माध्यिका 9 है और उसे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता। 40 की जगह 4000 रख दीजिए तो माध्य 806.2 हो जाएगा और माध्यिका अब भी 9 रहेगी। तिरछे आँकड़ों पर माध्यिका बोलने की पूरी दलील यही है, और इसे निकालने में कुछ भी ख़र्च नहीं होता।

3. चार मान, जहाँ बीच का मान सूची में है ही नहीं

   1. क्रम से: 1, 2, 3, 4
   2. बीच की जोड़ी दूसरा और तीसरा मान है: 2 और 3
   3. माध्यिका: (2 + 3) ÷ 2 = 2.5
   4. बग़ल में छपे 2 और 3 बताते हैं कि कौन-सी जोड़ी इस्तेमाल हुई

   इस मामले में दो और परंपराएँ चलती हैं — जोड़ी में से नीचे वाला ले लेना (2) या ऊपर वाला (3) — और तीनों किताबों में मिलती हैं। यह पेज औसत लेता है, जैसा NIST की परिभाषा करती है। यही नियम चतुर्थक और प्रतिशतक वाले पेज भी लागू करते हैं, इसीलिए यहाँ का 2.5 वहाँ का भी दूसरा चतुर्थक होता है।

माध्यिका एक अकेला स्थान है, इसलिए यह आँकड़ों के बारे में बाक़ी लगभग सब कुछ फेंक देती है। दो सूचियों की माध्यिका एक जैसी हो सकती है और वे दिखने में बिलकुल अलग हों — एक उसके आसपास कसी हुई, दूसरी छोर से छोर तक फैली — इसीलिए माध्यिका आम तौर पर अकेली नहीं, चतुर्थकों के साथ बताई जाती है। इसे क्रम चाहिए, यानी जवाब बनने से पहले हर मान पढ़ा जाना चाहिए। यह मानों के बारे में कुछ नहीं बताती: 9 की माध्यिका का मतलब यह है कि बीच में 9 जैसा कोई अंक बैठा है, यह नहीं कि 9 कहीं आता भी है। नाप या रेटिंग जैसी क्रम वाली श्रेणियों पर हिसाब तो चलता है, पर जवाब एक संख्या के बजाय बीच की श्रेणी होता है, जिसे जोड़ा नहीं जा सकता। सूची 200 मानों तक सीमित है। 1,500 जैसा टोकन अंदाज़ा लगाने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि अंकों के बीच बैठा कॉमा दुनिया के बड़े हिस्से में दशमलव बिंदु है और कहीं और हज़ार का विभाजक — 1500 या 1.5 लिखिए। अलग-अलग भाषाओं में विभाजक के नियम यहाँ एक जैसे हैं: अंक ठीक वैसे ही पढ़े जाते हैं जैसे लिखे गए हों।

संख्याओं की सूची की माध्यिका कैसे निकाली जाती है?

संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम से लगाना पहला क़दम है, फिर उन्हें गिनिए। विषम गिनती में बीच में एक मान होता है — सात संख्याओं में वह चौथा। सम गिनती में दो होते हैं, और माध्यिका उनका औसत है: 1, 2, 3, 4 में बीच की जोड़ी 2 और 3 है, इसलिए माध्यिका 2.5। पूरा तरीक़ा इतना ही है। ऊपर का पैनल गिनती, बीच के दोनों मान और जवाब छापता है, ताकि दोबारा क्रम लगाए बिना हर क़दम जाँचा जा सके।

माध्यिका कभी ऐसी संख्या क्यों होती है जो सूची में है ही नहीं?

क्योंकि सम गिनती में बीच का कोई एक मान होता ही नहीं, इसलिए माध्यिका बीच के दोनों किनारों वाले मानों का औसत होती है। ऊपर का 4.5 उन आठ संख्याओं में से कोई नहीं है, फिर भी वही सही जवाब है — उसके नीचे आधे मान और ऊपर आधे। बीच के दोनों मान नतीजे के बग़ल में ठीक इसीलिए छापे जाते हैं कि यह ग़लती न लगे।

माध्य के बजाय माध्यिका कब इस्तेमाल करनी चाहिए?

जब कोई एक चरम माप तस्वीर बिगाड़ सकती हो — आय, घरों के दाम, इंतज़ार का समय, यानी हर वह चीज़ जिसकी एक तरफ़ लंबी पूँछ हो। माध्य हर मान जोड़ता है, इसलिए बाक़ी सबसे दूर बैठा एक अंक उसे खींच लेता है; माध्यिका सिर्फ़ यह गिनती है कि दोनों ओर कितने मान हैं, इसलिए वही अंक उसमें कुछ नहीं बदलता। सममित सूची में दोनों जवाब लगभग एक हो जाते हैं, इसलिए उनके बीच का फ़ासला ख़ुद एक सुराग़ है कि आँकड़े तिरछे हैं।

क्या मैं स्प्रेडशीट का कोई कॉलम सीधे चिपका सकता हूँ?

हाँ। नई पंक्तियाँ, टैब, सेमीकोलन, स्पेस, और कॉमा के बाद एक स्पेस — ये सब मानों को अलग करते हैं, इसलिए चिपकाया हुआ कॉलम और सेमीकोलन से लिखी गई पंक्ति, दोनों चलती हैं, और ख़ाली हिस्से ठुकराए नहीं, छोड़ दिए जाते हैं। 200 मानों तक पढ़े जाते हैं। एक आकार जान-बूझकर ठुकराया जाता है: 1,500 या 1.500 जैसा टोकन, जिसमें विभाजक के बाद तीन अंक आते हैं — वह कहीं हज़ार का विभाजक है और कहीं दशमलव बिंदु, इसलिए 1500 या 1.5 लिखिए।

क्या माध्यिका का नमूना और समष्टि वाला रूप भी होता है?

नहीं, और इस पेज पर उसका कोई चुनाव नहीं है। n − 1 का सुधार फैलाव वाली मापों का है, जो वर्गित दूरियों के जोड़ को किसी गिनती से बाँटती हैं; माध्यिका कुछ नहीं बाँटती, वह एक स्थान उठा लेती है। आपकी सूची नमूना हो या पूरा समूह, बीच का मान बीच का मान ही रहता है। जिन पेजों को यह चुनाव सचमुच चाहिए वे मानक विचलन और प्रसरण वाले हैं, और वहाँ भाजक जवाब बदल भी देता है।

वही सूची किसी दूसरे औज़ार में अलग माध्यिका क्यों देती है?

लगभग हमेशा सम गिनती का नियम की वजह से। तीन परंपराएँ प्रचलित हैं: बीच के दोनों का औसत लेना, नीचे वाला लेना, या ऊपर वाला लेना। 1, 2, 3, 4 पर ये 2.5, 2 और 3 देती हैं। यह पेज औसत लेता है, NIST की दी हुई परिभाषा के मुताबिक़, और बीच के दोनों मान इसीलिए छापता है कि आप देख सकें कि कौन-सी जोड़ी इस्तेमाल हुई। दूसरी, कम आम वजह दशमलव कॉमा से लिखा गया मान है, जिसे दूसरे औज़ार ने विभाजक पढ़ लिया।

• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — OpenStax, Rice University