छोटे से बड़े क्रम कैलकुलेटर

7; −3; 12.5; 0; −10; 4 ⇒ −10, −3, 0, 4, 7, 12.5, न्यूनतम = −10, अधिकतम = 12.5

n

सूची में कितनी संख्याएँ हैं — 1 से 200 के बीच। एक भी चलती है और एक संख्या की सूची देती है, जो सही ही है, कोई विकृत मामला नहीं: अकेली संख्या पहले से आरोही क्रम में है, और वही उस समूह की सबसे छोटी तथा सबसे बड़ी दोनों है

a ≤ b

वह तुलना जिस पर पूरी छँटाई टिकी है, और उसकी सारी सच्चाई भी। यह संख्याओं की तुलना है, इसलिए −10 ≤ −3 और 9 ≤ 10 दोनों सही बैठते हैं। बतौर पाठ छाँटने पर संयोग से −10, −3 से पहले और संयोग से 10, 9 से पहले बैठ जाता, क्योंकि वह बाईं ओर से एक-एक अक्षर की तुलना करता है, मान की नहीं

−10, −3, 0, 4, 7, 12.5

क्रम में लगा नतीजा, और इनपुट का एक क्रमचय — छह मान अंदर, छह मान बाहर, वही छह। नतीजे पर शक़ हो तो यही वह बात जाँचिए: गिनती मिलनी चाहिए, और आपने जो भी मान डाला हो वह ठीक उतनी ही बार दिखना चाहिए जितनी बार डाला गया। यह पेज कुछ जोड़ता, हटाता या मिलाता नहीं

न्यूनतम = −10

क्रम में लगी सूची का पहला तत्व, जो उसी से उठाया जाता है, अलग से कोई छानबीन करके नहीं। संख्या रेखा पर यह सबसे बायाँ बिंदु है। यह इनपुट की सबसे छोटी दिखने वाली प्रविष्टि नहीं है: −10, −3 से छोटा दिखता है, पर वह बड़ी संख्या है

अधिकतम = 12.5

क्रम में लगी सूची का आख़िरी तत्व, इसे भी ढूँढ़ा नहीं, पढ़ा जाता है। इस और न्यूनतम के बीच का फ़ासला ही परिसर है, यानी वह अकेला आँकड़ा जिसे इन दो नतिजों के सिवा कुछ नहीं चाहिए — और परिसर वाला पेज ठीक यही जोड़ी लेकर वही घटाव करता है

3, 5, 5

दोहराई गई संख्याओं का क्या होता है। इनपुट 5, 5, 3 छँटकर 3, 5, 5 बनता है — दोहराव बचा रहता है। उसे हटा देना देखने में सुथरा लगता और ऊपर बताई गई बात तोड़ देता, और चुपचाप उस हर सवाल का जवाब भी बदल देता जो यह पूछता है कि कितने मान हैं — माध्यिका समेत

माध्यिका पढ़ना छँटाई का सबसे आम कारण है: माध्यिका क्रम में लगी सूची का बीच का मान होती है, या गिनती सम होने पर बीच के दो का औसत, और इनमें से कोई भी बिना छँटी सूची से पढ़ा ही नहीं जा सकता। यही बात चतुर्थक और शतमक पर लागू होती है, जो क्रम में लगी सूची में अपनी जगह से तय होते हैं। दूसरा इस्तेमाल परिसर है, जो सिर्फ़ सबसे बड़ा मान घटा सबसे छोटा मान है, और यह पेज वे दोनों संख्याएँ सीधे छाप देता है — अगर बस वही चाहिए तो घटाव परिसर वाला पेज कर देता है। तीसरा इस्तेमाल रोज़मर्रा वाला है: स्प्रेडशीट से चिपकाई गई मापों, दामों, उम्रों या अंकों की एक कॉलम क्रम में आने के बाद कहीं ज़्यादा पढ़ने लायक़ हो जाती है, क्योंकि चरम मान उभर आते हैं और झुंड दिखने लगते हैं। इसी वजह से क्रम में लगी सूची ही सबसे पहले आरेखित की जाती है — बारंबारता गिनती और आयतचित्र, दोनों उसी से शुरू होते हैं। चौथा इस्तेमाल स्प्रेडशीट की अपनी छँटाई जाँचना है। अक्षरों की तरह छाँटना स्प्रेडशीट में आम ग़लती है, ख़ास तौर पर जब किसी कॉलम का प्रारूप अटपटा सेट हो गया हो, और उसका लक्षण ठीक वही है जो ऊपर बताया — 10, 9 से पहले, या 12.5, 4 से पहले। छँटी हुई कॉलम अगर आपको ग़लत लगे, तो वही मान इस पेज से निकालिए: पता चल जाएगा कि इनपुट को दोनों में से कौन ग़लत पढ़ रहा है। एक बार सूची क्रम में आ जाए, तो पड़ोसी वर्णनात्मक पेज सँभाल लेते हैं: माध्यिका वाला बीच पढ़ता है, परिसर वाला दोनों सिरे, चतुर्थक वाला चौथाई की जगहें, और औसत वाला माध्य, जो इनमें अकेला है जिसे क्रम की परवाह नहीं।

1. मिले-जुले चिह्न और एक दशमलव: 7; −3; 12.5; 0; −10; 4

   1. पहले सबसे छोटा मान ढूँढ़िए: −10 सूची में बाक़ी सबसे ज़्यादा बाईं ओर है
   2. फिर अगला सबसे छोटा, −3, फिर 0, फिर 4, फिर 7
   3. 12.5 सबसे बड़ा है, इसलिए वह सबसे आख़िर में जाता है
   4. क्रम में लगी सूची −10, −3, 0, 4, 7, 12.5 है, और उसके दोनों सिरे ही न्यूनतम तथा अधिकतम हैं

   यही डिफ़ॉल्ट इनपुट है, और जान-बूझकर अटपटा चुना गया है: इसमें दो ऋणात्मक संख्याएँ, एक धनात्मक दशमलव और एक शून्य है, इसलिए यह दोनों जाल एक साथ आज़माता है। ध्यान दीजिए कि −10 सबसे पहले आता है, चाहे −3 दोनों में ज़्यादा लंबा दिखने वाला है, और 12.5, 7 के बाद आता है, चाहे उसकी शुरुआत उसी अंक से होती है जिससे 1 की। इन्हें बतौर पाठ छाँटने पर −10, −3, 0, 12.5, 4, 7 मिलता — ऋणात्मक सिरा संयोग से ठीक लगता और दशमलव ग़लत जगह बैठ जाता।

2. वह जाल जो एक अंक वाली संख्याएँ छिपा लेती हैं: 9; 10; 100; 2

   1. पहले अंक से नहीं, मान से तुलना कीजिए: 2, 9 से छोटा है
   2. 10, 9 से बड़ा है पर 100 से छोटा
   3. क्रम है 2, 9, 10, 100
   4. सबसे छोटा 2 है और सबसे बड़ा 100

   चार छोटी संख्याएँ, सब धनात्मक, और यही वह सूची है जो पाठ वाली छँटाई को पकड़ लेती है। बतौर पाठ तुलना करने पर 10 सबसे पहले और 2 सबसे आख़िर में आता है, क्योंकि तुलना पहले ही अक्षर पर रुक जाती है: 1, 2 से पहले और 2, 9 से पहले। सही क्रम मानों की तुलना से आता है, और कुछ गड़बड़ होने का इशारा यह है कि नतीजा संख्या रेखा जैसा नहीं लगता — अंकों की कोई ऐसी व्यवस्था नहीं है जिसमें 10, 2 से पहले बैठे। किसी भी छँटाई वाले कोड को इसी मामले पर जाँचना चाहिए, क्योंकि एक-एक अंक वाली संख्याओं की सूची दोनों तरीक़ों से ठीक छँट जाती है।

3. ऋणात्मक संख्याएँ उलटे क्रम में: −5; −20; −3

   1. संख्या रेखा पर तीनों में सबसे बाईं ओर −20 है
   2. −5 उसके दाएँ है, और −3 तीनों में सबसे दायाँ
   3. इसलिए आरोही क्रम है −20, −5, −3
   4. न्यूनतम −20 है — सूची में सबसे बड़ा दिखने वाला मान

   पिछले उदाहरण का उल्टा रूप, और यह पाठकों को पकड़ता है, कोड को नहीं। तीनों में सबसे छोटा −20 है, चाहे उसके अंक सबसे बड़े हैं, क्योंकि रेखा पर और बाएँ का मतलब छोटा। पाठ वाली छँटाई संयोग से इसे ठीक कर देती है — अक्षर-समूह −20 सचमुच −5 से पहले आता है — इसलिए ऋणात्मक मामला वह जगह है जहाँ पाठ वाली छँटाई ठीक दिखती है, जबकि बहु-अंकीय धनात्मक सूची वह जगह है जहाँ वह फेल होती है। दोनों उदाहरण मिलकर दोनों दिशाएँ ढक लेते हैं, इसीलिए दोनों यहाँ हैं।

सूची 1 से 200 संख्याएँ लेती है, जिन्हें अल्पविराम, अर्धविराम या स्पेस अलग करते हैं, और तीनों एक ही सूची में मिले-जुले चल सकते हैं। दो सौ इस बात की सीमा है कि पेज कितनी लंबी सूची लेगा, रफ़्तार की हिफ़ाज़त नहीं — बड़ी सूचियाँ धीमी नहीं होतीं, ठुकरा दी जाती हैं, क्योंकि इतना लंबा ख़ाना संपादन लायक़ नहीं रहता और जवाब पढ़ने लायक़ नहीं रहता। संख्याएँ ऋणात्मक हो सकती हैं, दशमलव हो सकती हैं और शून्य हो सकती हैं, और दोहराई गई संख्याएँ हटाई नहीं, रखी जाती हैं। हज़ारों वाले विभाजक समझे नहीं जाते: अल्पविराम के बाद स्पेस हो तो वह प्रविष्टियाँ अलग करता है, जबकि दो अंकों के बीच बिना स्पेस वाला अल्पविराम दशमलव बिंदु पढ़ा जाता है (1,5 का मतलब डेढ़)। हज़ारों वाला रूप 1,500 इन दोनों में से कोई नहीं है, इसलिए 1500 और 1.5 में फ़र्क़ नहीं किया जा सकता और वह अंदाज़ा लगाने के बजाय सीधे ठुकरा दिया जाता है — स्प्रेडशीट से चिपकाई गई और बड़ी संख्याओं में विभाजक लगाने वाली कोई कॉलम चुपचाप ग़लत पढ़े जाने के बजाय रद्द कर दी जाती है। चिपकाने से पहले विभाजक हटा लीजिए। घात वाला रूप भी समझा नहीं जाता, इसलिए 1e5, 100000 पढ़े जाने के बजाय ठुकरा दिया जाता है। नतीजा हर मान का मानक रूप है, आपके लिखे की नक़ल नहीं: 12.50, 12.5 छपता है, +7, 7 छपता है, और −0, 0 छपता है। बहुत बड़े मान नतीजे में घात वाले रूप में चले जाते हैं, 10²¹ और उससे ऊपर, जो वह बिंदु है जहाँ संख्या-से-पाठ वाला बदलाव अपने आप रूप बदल देता है; उसे सपाट करने का मतलब होता एक दूसरा संख्या-रूपक लिखना, और यह पेज वह नहीं रखता। इस पेज पर कोई संदर्भ तालिका नहीं है: तालिका यह दिखाने की चीज़ है कि कोई नतीजा किस पट्टी में पड़ता है, और छँटाई में कोई पट्टी होती ही नहीं। दिशा सिर्फ़ आरोही दी गई है — अवरोही के लिए नतीजा दाएँ से बाएँ पढ़ लीजिए।

जिस सूची में ऋणात्मक संख्याएँ और दशमलव, दोनों हों उसे कैसे छाँटूँ?

उसे चिपकाइए और पेज को करने दीजिए — अलग करने वाला अल्पविराम, अर्धविराम या स्पेस हो सकता है, और तीनों मिले-जुले भी। नियम पर ऋणात्मक संख्याओं और दशमलव का कोई असर नहीं, नियम बस यह है कि छोटी संख्या और बाएँ बैठती है। ध्यान रखने की एक बात यह है कि −20, −3 से छोटा है चाहे उसमें अंक ज़्यादा हों, और 12.5, 4 से बड़ा है चाहे उसकी शुरुआत 1 से हो। यहाँ सारी सच्चाई संख्याओं के मान की तुलना करने में है, उनके लिखे रूप की नहीं।

मैं संख्याएँ जिस क्रम में टाइप करूँ, उससे फ़र्क़ पड़ता है?

बिलकुल नहीं — पेज जो मिले उसे छाँट देता है, और मानों का वही समूह हमेशा वही नतीजा देता है, चाहे वे किसी भी क्रम में आए हों। इसी वजह से नतीजा जाँचा जा सकता है: सूची छाँटिए, फिर दोबारा छाँटिए, नतीजा अक्षरशः वही रहेगा, क्योंकि मानों के किसी समूह का आरोही क्रम एक ही होता है। दोहराव ही अकेली जगह है जहाँ इनपुट का आकार बचा रह जाता है, क्योंकि 5, 5, 3 और 3, 5, 5 दोनों छँटकर 3, 5, 5 ही बनते हैं।

क्या दोहराई गई संख्याएँ हटा दी जाती हैं?

नहीं, और यह जान-बूझकर है। नतीजा इनपुट का ही क्रम बदला हुआ रूप है, इसलिए उसमें ठीक वही संख्याएँ होनी चाहिए जो आपने दीं, हर एक जितनी बार दी गई। दोहराव हटाना अलग काम है — उसे अनुक्रम-शोधन कहते हैं — और वह सूची के बारे में हर सवाल का जवाब बदल देता है, यह भी कि कितने मान हैं और माध्यिका क्या है। अलग-अलग मानों की सूची चाहिए तो वह एक अलग क़दम है, और वह दिखने वाला क़दम होना चाहिए।

12.50 वापस 12.5 बनकर क्यों आया?

क्योंकि पीछे के शून्य किसी मान का हिस्सा नहीं होते, और पेज हर संख्या का मानक रूप छापता है, आपके लिखे की नक़ल नहीं। यही सामान्यीकरण +7 को 7 और −0 को 0 बना देता है। यह अकेली जगह है जहाँ नतीजा इनपुट की हूबहू नक़ल नहीं है, और अगर आपके लिए संख्याओं का रूप मायने रखता है तो यह जानना काम का है — मुद्रा में, जहाँ 12.50 और 12.5 एक ही संख्या होने पर भी आदमी को अलग-अलग पढ़ते हैं।

क्या मैं सबसे बड़े से सबसे छोटे क्रम में छाँट सकता हूँ?

पेज आरोही क्रम देता है, और अवरोही क्रम वही नतीजा दाएँ से बाएँ पढ़ा हुआ है — गिनने को कुछ बचता ही नहीं, क्योंकि क्रम में लगी सूची उलटते ही उलटा क्रम मिल जाता है। पेज एक ही दिशा देता है क्योंकि हर आगे वाला आँकड़ा वही माँगता है: माध्यिका, चतुर्थक और परिसर — तीनों आरोही सूची से तय होते हैं, और अवरोही सूची को उनमें से कोई भी पढ़ने से पहले उलटना पड़ता।

मेरी चिपकाई गई स्प्रेडशीट की कॉलम क्यों रद्द हो गई?

लगभग पक्का हज़ारों वाले विभाजकों की वजह से। इस पेज पर अल्पविराम के बाद स्पेस हो तो वह प्रविष्टियाँ अलग करता है, और दो अंकों के बीच बिना स्पेस वाला अल्पविराम दशमलव बिंदु पढ़ा जाता है; 1,500 वाला रूप इन दोनों में से कोई नहीं है, इसलिए 1500 और 1.5 में फ़र्क़ नहीं किया जा सकता और अंदाज़ा लगाने के बजाय पूरी सूची ठुकरा दी जाती है। घात वाला रूप भी इसी तरह ठुकराया जाता है: 1e5, न कि 100000। चिपकाने से पहले विभाजक हटा लीजिए।

• Sorting — the general problem of putting a collection in order, and why comparison-based sorting is its own field of study — Wolfram MathWorld (United States)
• Ordering — what a total order is, and the properties a comparison has to have before a list can be sorted by it at all — Wolfram MathWorld (United States)
• Real Line — the picture that makes 'least to greatest' mean left to right, including for negative numbers — Wolfram MathWorld (United States)