मानक विचलन कैलकुलेटर

मानक विचलन = √( Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) ) — नमूने के लिए; समष्टि के लिए वही योग n से भाग

xᵢ

सूची का एक मान। हर मान अपनी माध्य-से-दूरी के रूप में गिना जाता है, और उस दूरी को वर्ग करना ही यह रोकता है कि माध्य से ऊपर वाली दूरियाँ नीचे वाली दूरियों को काट दें

x̄

आँकड़ों का माध्य: सारे मानों का योग बटा उनकी संख्या। इसे जवाब के बग़ल में छापा जाता है, ताकि पूरा हिसाब जाँचा जा सके

n

सूची में कितने मान हैं, यहाँ अधिकतम 200। भाजक नमूने के लिए n − 1 और समष्टि के लिए n है — दोनों मानक विचलनों में यही अकेला फ़र्क़ है

Σ (xᵢ − x̄)²

विचलनों के वर्गों का योग: हर मान की माध्य से दूरी का वर्ग करके सब जोड़ दीजिए। यह वर्गित इकाइयों में होता है, और इसीलिए आख़िर में वर्गमूल लिया जाता है

s

मानक विचलन, आँकड़ों की मूल इकाइयों में। हर मान में एक ही स्थिरांक जोड़ने पर यह नहीं बदलता; हर मान को दुगना करने पर यह भी दुगना हो जाता है

इसे तब इस्तेमाल कीजिए जब एक ही संख्या को यह बताना हो कि नापों का समूह कितना बिखरा हुआ है: एक ही राशि की दोहराई गई रीडिंग्स, परीक्षा के अंक, रोज़ की बिक्री, किसी बैच के पुर्ज़ों का भार। जब आपके पास जो संख्याएँ हैं वे किसी बड़ी चीज़ का नमूना हों तो नमूना मानक विचलन रिपोर्ट कीजिए, और समष्टि वाले रूप पर तभी जाइए जब सूची वाक़ई पूरा समूह हो। यही वह संख्या है जो किसी कच्चे मान को z-स्कोर में बदलती है, और बाहरी मान पकड़ने के ज़्यादातर नियम इसी पर टिके हैं। वर्गमूल क्या देता है, यह भी देख लीजिए: विचलनों के वर्गों का योग वर्गित इकाइयों में चलता है, और मूल लेना — NIST की Measures of Scale के शब्दों में — 'फैलाव की इकाइयों को आँकड़ों की मूल इकाइयों में लौटा देता है, जबकि प्रसरण इकाइयों का वर्ग कर देता है'। दो बातें यह नहीं बताएगा: फैलाव क्या सममित है, और कोई चरम मान टाइप की ग़लती है या नहीं। तिरछे आँकड़ों के लिए चतुर्थक और माध्यिका मानक विचलन से बेहतर बखान करते हैं।

1. आठ मान, नमूना और समष्टि साथ-साथ

   1. संख्या: 8 मान; योग: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. माध्य: 40 ÷ 8 = 5
   3. माध्य से विचलन: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
   4. वर्गित विचलन: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   5. नमूना प्रसरण: 32 ÷ (8 − 1) = 4.5714
   6. नमूना मानक विचलन: √4.5714 = 2.1381

   यही आठ मान समष्टि मानने पर प्रसरण 32 ÷ 8 = 4 आता है और मानक विचलन ठीक 2। ग़लत भाजक चुनना ही वह सबसे आम वजह है जिससे एक कैलकुलेटर का जवाब दूसरे से मिलता नहीं, और यहाँ वह जवाब को क़रीब 7% खिसका देता है — n छोटा हो तो खिसकाव बड़ा, n बड़ा हो तो छोटा।

2. परीक्षा के पाँच अंक

   1. योग: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433, पाँच अंकों पर
   2. माध्य: 433 ÷ 5 = 86.6
   3. वर्गित विचलन: 2.56 + 11.56 + 73.96 + 29.16 + 1.96 = 119.2
   4. नमूना प्रसरण: 119.2 ÷ 4 = 29.8
   5. नमूना मानक विचलन: √29.8 = 5.4589

   विचलनों और वर्गित विचलनों को साथ रखकर पढ़िए: 78 वाला अंक माध्य से 8.6 अंक नीचे है और वह अकेला इस योग में 73.96 जोड़ता है, जो बाक़ी चारों अंकों के जोड़ से भी ज़्यादा है। दूरी का वर्ग करना ही दूर बैठे मानों को इतना भार देता है, और यही वजह है कि एक ख़राब दिन माध्य से ज़्यादा मानक विचलन को हिला देता है।

3. तीन मानों की समष्टि, जहाँ दोनों भाजक दूर-दूर हैं

   1. योग: 4 + 8 + 6 = 18, तीन मानों पर, इसलिए माध्य 6 है
   2. विचलन: −2, 2, 0; वर्ग करने पर: 4, 4, 0, यानी विचलनों के वर्गों का योग 8
   3. समष्टि प्रसरण: 8 ÷ 3 = 2.6667
   4. समष्टि मानक विचलन: √2.6667 = 1.633

   तीन मान वह सबसे छोटी सूची है जिसे यह पेज नमूना मानकर स्वीकार करता है, और यहीं भाजक अपने दाँत दिखाता है: नमूना रूप उसी 8 को 2 से भाग देकर 1.633 के बजाय 2 बताता है — यानी 20% से ज़्यादा का फ़र्क़। नमूना मानक विचलन हमेशा दोनों में बड़ा होता है, और सूची बढ़ने के साथ यह अंतर घटता जाता है।

यह किसी सूची का सादा अंकगणितीय मानक विचलन है। इसमें भार (वेट) डालने का कोई तरीक़ा नहीं, इसलिए एक बार दर्ज किया गया मान एक ही बार गिना जाता है — बारंबारता सारणी या भारित सर्वेक्षण के लिए अलग हिसाब चाहिए। यह फैलाव बताता है, आकार नहीं: तिरछे आँकड़ों का एक छोटा सिरा होता है और एक लंबी पूँछ, और OpenStax की Measures of the Spread of the Data साफ़ कहती है कि तिरछे बंटन में मानक विचलन 'शायद ज़्यादा मदद न करे', वहाँ चतुर्थक और माध्यिका बेहतर हैं। हर मान गिना जाता है, इसलिए एक ग़लत टाइप किया चरम मान जवाब को फुला देता है। सूची 200 मानों तक सीमित है। 1,500 जैसा टोकन अंदाज़ा लगाने के बजाय अस्वीकार कर दिया जाता है, क्योंकि अंकों के बीच बैठा कॉमा दुनिया के बड़े हिस्से में दशमलव कॉमा है और कहीं हज़ार का विभाजक; 1500 लिखिए या 1.5। और संख्याएँ हर भाषा में ठीक वैसे ही पढ़ी जाती हैं जैसे लिखी गई हैं: आप कौन-सा विभाजक इस्तेमाल करते हैं, इससे सूची का अर्थ कभी नहीं बदलता।

मानक विचलन का सूत्र क्या है, और नमूना तथा समष्टि में क्या फ़र्क़ है?

फ़र्क़ एक ही भाजक का है। दोनों एक ही विचलनों के वर्गों के योग से शुरू होते हैं, फिर नमूना रूप n − 1 से भाग देता है और समष्टि रूप n से। आठ मानों 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 पर वर्गों का योग 32 है, इसलिए नमूना मानक विचलन √(32 ÷ 7) = 2.1381 है और समष्टि मानक विचलन √(32 ÷ 8) = 2। नमूना वाला जवाब हमेशा बड़ा होता है, और सूची बढ़ने के साथ दोनों एक-दूसरे के क़रीब आ जाते हैं।

मानक विचलन हाथ से कैसे निकालें?

पाँच क़दम। मानों को जोड़कर उनकी संख्या से भाग दीजिए, माध्य मिल जाएगा। हर मान से माध्य घटाकर उसका विचलन निकालिए। हर विचलन का वर्ग कीजिए — वर्ग करना ही यह रोकता है कि माध्य से ऊपर वाले नीचे वालों को काट दें। वर्गों को जोड़ दीजिए। नमूने के लिए n − 1 से और समष्टि के लिए n से भाग दीजिए, और वर्गमूल ले लीजिए। सूत्र दोनों में एक ही है, सिर्फ़ भाजक बदलता है। ऊपर का पैनल संख्या, योग, माध्य और विचलनों के वर्गों का योग छापता है, इसलिए कोई भी क़दम अलग से जाँचा जा सकता है।

नमूना रूप n के बजाय n − 1 से भाग क्यों देता है?

क्योंकि जिस माध्य को आप घटाते हैं वह इन्हीं मानों से नापा गया था, और हर मान ने उस माध्य को अपनी तरफ़ खींचा था। जिस माध्य को आँकड़ों ने ख़ुद चुना हो, उससे नापे गए विचलन औसतन असली फैलाव से ज़रा छोटे निकलते हैं, इसलिए n से भाग देना उसे कम आँकता। n − 1 से भाग देना उसकी भरपाई करता है। यह सुधार छोटी सूचियों पर सबसे ज़्यादा दिखता है — तीन मानों पर यह 22% का फ़र्क़ है — और कुछ सौ मानों के बाद नगण्य हो जाता है।

क्या मैं स्प्रेडशीट से सीधे एक कॉलम पेस्ट कर सकता हूँ?

हाँ। नई पंक्तियाँ, टैब, अर्धविराम, स्पेस और कॉमा के बाद का स्पेस — सब मानों को अलग करते हैं, इसलिए पेस्ट किया कॉलम जैसा है वैसा ही चलता है और ख़ाली हिस्से अस्वीकार होने के बजाय छोड़ दिए जाते हैं। यानी आख़िर में पड़ी एक ख़ाली पंक्ति से कोई नुक़सान नहीं। 200 मानों तक पढ़े जाते हैं। एक आकार जान-बूझकर अस्वीकार किया जाता है: 1,500 या 1.500 जैसा टोकन, जिसमें विभाजक के बाद तीन अंक आते हैं — वह किसी देश में हज़ार का विभाजक है और किसी में दशमलव बिंदु, इसलिए उसकी जगह 1500 या 1.5 लिखिए।

मानक विचलन किस इकाई में आता है?

आँकड़ों की ही इकाई में। किसी बैच के पुर्ज़ों को ग्राम में तौलिए तो मानक विचलन ग्राम में आएगा, और आख़िर में वर्गमूल लेने का पूरा मतलब यही है — विचलनों के वर्गों का योग वर्गित ग्राम में होता है और प्रसरण भी वर्गित ग्राम में ही रहता है। NIST इसे साफ़ शब्दों में रखती है: मानक विचलन फैलाव की इकाइयों को आँकड़ों की मूल इकाइयों में लौटा देता है, जबकि प्रसरण इकाइयों का वर्ग कर देता है। इसीलिए मानक विचलन को उन मानों के बग़ल में पढ़ा जा सकता है जिनका वह बखान करता है, और प्रसरण को नहीं।

मेरा जवाब किसी दूसरे कैलकुलेटर से मेल क्यों नहीं खाता?

दस में से नौ बार वजह भाजक होता है। बहुत से कैलकुलेटर सिर्फ़ समष्टि मानक विचलन लौटाते हैं, या सिर्फ़ नमूना वाला, और यह बताते ही नहीं कि कौन-सा। दूसरे औज़ार का शब्द देखिए कि वह n − 1 कहता है या n। दो और वजहें भी झटक देनी चाहिए: दशमलव कॉमा के साथ टाइप किया कोई मान जिसे दूसरे औज़ार ने विभाजक पढ़ लिया, और कोई चरम मान जिसे आप में से एक ने शामिल किया और दूसरे ने नहीं — मानक विचलन हर एक मान के प्रति संवेदनशील होता है, इसलिए एक अतिरिक्त संख्या उसे बदल देती है।

• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — OpenStax, Rice University
• Detection of Outliers — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 — National Institute of Standards and Technology (NIST)