Z-स्कोर कैलकुलेटर

z = (x − μ) ÷ σ

x

वह मान जिसे ठिकाना है — कोई नाप, कोई अंक, कोई रीडिंग जिसे इस पैमाने पर रखना है

μ

उस समूह का माध्य जिससे यह मान आता है। यही घटाव किसी निरपेक्ष मान को मध्य से दूरी में बदल देता है

σ

उसी समूह का मानक विचलन। इससे भाग देना ही जवाब को पैमानों के आर-पार तुलनीय बनाता है: z-स्कोर 1.5 का मतलब एक ही है, चाहे आँकड़े अंकों में हों या मिलीमीटर में। यह शून्य से बड़ा होना चाहिए

माध्य से दूरी

x − μ, जिसे अपने आप निरपेक्ष मान के रूप में छापा जाता है, ताकि पैमाना बदलने से पहले यह अंतर मूल इकाइयों में पढ़ा जा सके

z

z-स्कोर: मान माध्य से नीचे हो तो ऋणात्मक, ऊपर हो तो धनात्मक। चिह्न दिशा बताता है और आकार यह कि मान कितना असामान्य है

इसे अलग-अलग पैमानों से आए मानों की तुलना के लिए इस्तेमाल कीजिए, और यही इस माप के होने की पूरी वजह है: जिस कक्षा का माध्य 75 हो उसमें 85 लाना और जिसका माध्य 90 हो उसमें 85 लाना एक ही उपलब्धि नहीं है, और z-स्कोर यह सीधे बता देता है। किसी संदर्भ समूह के सामने एक अकेली रीडिंग का ठिकाना बताने का यह मानक तरीक़ा भी है, और बाहरी मान पकड़ने के ज़्यादातर नियमों का पहला क़दम। अगर आपके पास कच्चे आँकड़े हैं और माध्य तथा मानक विचलन नहीं, तो पहले मानक विचलन वाले पेज से वे निकालिए और फिर यहाँ लौट आइए — यह पेज उनका अंदाज़ा नहीं लगाएगा। पट्टियों के नाम का मतलब भी ध्यान में रखिए: उनके पीछे के प्रतिशत अनुभवजन्य नियम 68-95-99.7 से आते हैं, और वह नियम सामान्य बंटन का बखान करता है। किसी भी मान का z-स्कोर हो सकता है; सामान्य बंटन ही वह है जिसके 68% मान एक मानक विचलन के भीतर होते हैं।

1. कक्षा के माध्य से एक मानक विचलन ऊपर

   1. माध्य से दूरी: 85 − 75 = 10 अंक
   2. मानक विचलन से भाग: 10 ÷ 10 = 1
   3. z-स्कोर 1 है, धनात्मक क्योंकि 85, 75 से ऊपर है

   ठीक 1 का z-स्कोर पहली पट्टी में पड़ता है, दूसरी में नहीं: अनुभवजन्य नियम यह बताता है कि कितने मान एक मानक विचलन के भीतर आते हैं, इसलिए सीमा भीतर गिनी जाती है और उसी से 68% जुड़ा है। दस अंकों की दूरी और z-स्कोर 1 एक ही तथ्य हैं — एक परीक्षा की इकाइयों में, दूसरा फैलाव की इकाइयों में, और भाग देना ठीक यही सुविधा देता है।

2. ठीक तीन मानक विचलन दूर

   1. दूरी: 105 − 75 = 30
   2. भाग: 30 ÷ 10 = 3
   3. पट्टी वही है जो 3 पर ख़त्म होती है, क्योंकि नियम तीन मानक विचलनों से आगे के मानों के बारे में है

   यही वह सीमा है जो सबसे ज़्यादा मायने रखती है, और सबसे ज़्यादा ग़लत भी यही समझी जाती है। माध्य से ठीक तीन मानक विचलन दूर होना और तीन से आगे होना एक बात नहीं, और 0.3% का आंकड़ा आगे वाले मामले का है। व्यवहार में यह बारीक़ फ़र्क़ है — असली नापें शायद ही ठीक इस पर पड़ें — पर पट्टियों का फ़र्क़ यही है, और नीचे की तालिका बताती है कि हर सीमा कहाँ बैठती है।

3. माध्य से नीचे, जहाँ चिह्न पलट जाता है

   1. दूरी: 65 − 75 = −10, यानी मान माध्य से दस अंक नीचे है
   2. भाग: −10 ÷ 10 = −1
   3. z-स्कोर ऋणात्मक है; उसका आकार पहले उदाहरण जितना ही है, क्योंकि मान माध्य से उतनी ही दूर है

   चिह्न दिशा है और आकार आकार। माध्य से दस अंक नीचे वाले और दस अंक ऊपर वाले मानों के z-स्कोर −1 और +1 हैं, जो उतने ही असामान्य हैं — इसीलिए पट्टी z के निरपेक्ष मान से चुनी जाती है, और इसीलिए पैनल दूरी को धनात्मक संख्या के रूप में छापता है। दोनों को साथ पढ़िए: चिह्न बताता है कौन-सी तरफ़, दूरी बताती है कितनी।

z-स्कोर उतना ही अच्छा होता है जितने अच्छे माध्य और मानक विचलन आप उसमें डालते हैं: यह पेज दोनों को दिया हुआ मान लेता है और उन्हें जाँचने का कोई तरीक़ा इसके पास नहीं, इसलिए ग़लत कॉलम से टाइप किया माध्य हर जवाब को बिना कोई संकेत दिए ग़लत बना देगा। पट्टियों के पीछे के प्रतिशत सामान्य बंटन का बखान करते हैं, और असली आँकड़े अक्सर वैसे नहीं होते — अगर आँकड़े तिरछे हैं तो बड़ा z-स्कोर शायद सिर्फ़ यह बता रहा हो कि बंटन की पूँछ लंबी है, यह नहीं कि वह मान बाहरी है। छोटे नमूने का एक और जाल जानने लायक़ है: NIST की Detection of Outliers बताती है कि n मानों वाले किसी नमूने में सबसे बड़ा संभव z-स्कोर अधिकतम (n − 1) ÷ √n तक ही पहुँच सकता है, इसलिए क़रीब ग्यारह से कम मानों पर z, 3 तक पहुँच ही नहीं सकता और तीन मानक विचलनों पर खींचा गया कोई अंगूठे का नियम कभी बजेगा ही नहीं। और मानक विचलन शून्य से बड़ा होना चाहिए; जिस समूह का हर मान एक जैसा हो उसमें नापने लायक़ कोई फैलाव ही नहीं, और पेज जवाब देने के बजाय विफलता बताता है।

z-स्कोर का सूत्र क्या है?

z = (x − μ) ÷ σ: मान में से माध्य घटाइए, फिर मानक विचलन से भाग दीजिए। माध्य 75 और मानक विचलन 10 के सामने 85 अंक (85 − 75) ÷ 10 = 1 देता है। घटाव मान को शून्य पर केंद्रित पैमाने पर रख देता है, और भाग उसे फैलाव की इकाइयों में बदल देता है, और यही दो अलग पैमानों को तुलनीय बनाता है।

मेरा मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है?

यही तो z-स्कोर बताता है: उसका आकार मानक विचलनों की संख्या है और उसका चिह्न बताता है कि मान माध्य के किस तरफ़ है। z-स्कोर 2.5 का मतलब माध्य से ढाई मानक विचलन ऊपर; −0.4 का मतलब माध्य से चार दसवें मानक विचलन नीचे। पैनल कच्ची दूरी भी छापता है, इसलिए मूल इकाइयों वाला अंतर बदले हुए पैमाने वाले अंतर के बग़ल में पढ़ा जा सकता है।

कितना बड़ा z-स्कोर ऊँचा माना जाता है?

सामान्य बंटन में क़रीब 68% मान एक मानक विचलन के भीतर, 95% दो के भीतर और 99.7% तीन के भीतर पड़ते हैं — यही अनुभवजन्य नियम है। इससे 2 से आगे का z-स्कोर असामान्य हो जाता है और 3 से आगे वाला दुर्लभ, और इसीलिए बाहरी मान की आम लकीर तीन मानक विचलन मानी जाती है। इन संख्याओं को पढ़ने की चीज़ मानिए, फ़ैसले की नहीं: ये सामान्य बंटन का बखान करती हैं, और तिरछा बंटन बिलकुल साधारण मानों के लिए भी बड़े z-स्कोर दे सकता है।

क्या z-स्कोर और प्रतिशतक एक ही चीज़ हैं?

नहीं, हालाँकि दोनों में रिश्ता है। z-स्कोर मानक विचलन की इकाइयों में नापी गई दूरी है; प्रतिशतक मानों की क्रमबद्ध सूची में जगह है। एक को दूसरे में बदलने के लिए बंटन का आकार चाहिए — सामान्य बंटन में z-स्कोर 1.645 पचानवें प्रतिशतक पर बैठता है, पर यह नक़्शा सिर्फ़ सामान्य बंटन के लिए चलता है। z-स्कोर को अपनी तरफ़ से कोई अनुमान नहीं चाहिए, इसीलिए यहाँ वही दिखाया जाता है और प्रतिशतक नहीं।

अगर मानक विचलन शून्य हो तो क्या होगा?

तब भाग देने के लिए कुछ बचता ही नहीं, और पेज किसी संख्या के बजाय विफलता बताता है। मानक विचलन शून्य का मतलब है कि समूह का हर मान एक जैसा है, इसलिए कोई मान माध्य से किसी दूरी पर है ही नहीं और सवाल का कोई जवाब नहीं बनता। नतीजे के रूप में अनंत या कोई त्रुटि-संदेश छापने से यह कह देना बेहतर है: यहाँ शून्य से भाग देने पर कोई अर्थपूर्ण रीडिंग नहीं निकलती, और पेज यही बताना पसंद करता है।

क्या मैं इसे किसी भी आँकड़ों के लिए इस्तेमाल कर सकता हूँ, सामान्य हों या नहीं?

z-स्कोर ख़ुद, हाँ: माध्य घटाइए और मानक विचलन से भाग दीजिए, और आँकड़ों का आकार चाहे जो हो, आपके पास सापेक्ष स्थिति का मान्य माप आ जाता है। सँभलने वाला हिस्सा पट्टियों के नाम हैं। 68-95-99.7 के प्रतिशत सामान्य बंटन के गुण हैं, और लंबी पूँछ वाला कोई समूह ऐसे मानों के लिए भी 3 से कहीं आगे के z-स्कोर देगा जो उस बंटन के लिए ज़रा भी असामान्य नहीं हैं। पट्टियों को मान की तरफ़ देखने का इशारा मानिए, उस पर फ़ैसला नहीं।

• The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e, section 6.1 (the z-score as the number of standard deviations from the mean, and the Empirical Rule: about 68%, 95% and 99.7% within one, two and three standard deviations) — OpenStax, Rice University
• Detection of Outliers — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 — National Institute of Standards and Technology (NIST)