सामान्य बंटन कैलकुलेटर

z = (मान − माध्य) ÷ मानक विचलन → कम होने की प्रायिकता = Φ(z), ज़्यादा होने की = 1 − Φ(z), भीतर होने की = 2Φ(|z|) − 1

मान

वह माप जिसके बारे में सवाल है — एक अकेला प्रेक्षण, कई का औसत नहीं। इसकी तुलना उस बंटन के माध्य और मानक विचलन से होती है जिसके सामने इसे पढ़ा जा रहा है

माध्य

सामान्य बंटन का केंद्र, जिसे μ लिखा जाता है। पैनल की हर प्रायिकता इसी के सापेक्ष बताई जाती है, इसलिए जब फैलाव 1 हो तो माध्य 0 रखने पर मान ख़ुद ही z-स्कोर बन जाता है

मानक विचलन

बंटन का फैलाव, जिसे σ लिखा जाता है, और यह शून्य से बड़ा होना चाहिए। दूरी इसी में नापी जाती है, और यही वह बात है जिसकी वजह से एक ही z-तालिका किसी भी आकार के बंटन पर चल जाती है

z

मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर बैठता है। माध्य से ऊपर धनात्मक, नीचे ऋणात्मक, और माध्य के बराबर होने पर शून्य

Φ

मानक सामान्य बंटन का संचयी बंटन फलन: किसी दिए गए z के बाईं ओर पड़ने वाला वक्र का हिस्सा। इसका कोई साधारण बीजगणितीय रूप नहीं होता, इसलिए यह तालिका से पढ़ने के बजाय गिना जाता है

इसे तब लगाइए जब सवाल कच्ची संख्या के बजाय स्थिति का हो: कोई माप अपने बनाने वाली प्रक्रिया के लिए कितना असाधारण है, किसी कट-ऑफ़ से ऊपर जनसंख्या का कितना हिस्सा पड़ता है, या किसी सहनशीलता-सीमा का कितना भाग एक केंद्रित प्रक्रिया ढक लेती है। यह सामान्य तालिका तक पहुँचने का मानक रास्ता भी है — पहले z-स्कोर में बदलना ही एक ही तालिका को हर बंटन पर लागू कर देता है। जब z-स्कोर ख़ुद मक़सद हो और प्रायिकताएँ न चाहिए तो पड़ोसी z-स्कोर कैलकुलेटर उठाइए; और जब क्षेत्रफल चाहिए तो यह पेज, क्योंकि अकेला z बताता है कि मान कितना दूर है, यह नहीं कि उतना हिस्सा भी साथ में बाहर पड़ा है। साथ ही याद रखिए कि अनुभवजन्य नियम का वही 68.27% यहाँ हर बार दोबारा गिना जाता है, कहीं से उठाया नहीं जाता।

1. माध्य से एक मानक विचलन ऊपर

   1. माध्य घटाइए: 115 − 100 = 15
   2. मानक विचलन से भाग दीजिए: 15 / 15 = 1, इसलिए z-स्कोर 1 है
   3. z = 1 से नीचे सामान्य वक्र का क़रीब 84.13% पड़ता है, और ऊपर 15.87% बचता है
   4. माध्य के दोनों ओर एक मानक विचलन के भीतर का हिस्सा क़रीब 68.27% है, और दोनों एक-तरफ़ा संख्याएँ बस हर सिरे पर बचा हुआ हिस्सा हैं

   तीनों संख्याएँ एक ही तथ्य के तीन बयान हैं, और बीच वाली ही सबसे ज़्यादा ग़लत पढ़ी जाती है: 84.13% नीचे का मतलब है कि माध्य से एक मानक विचलन ऊपर बैठा मान बंटन के क़रीब पाँच-छठे हिस्से से आगे निकल जाता है, जबकि 15.87% अब भी उसके ऊपर पड़ा है। यह भी देखिए कि भीतर वाली संख्या दोनों एक-तरफ़ा प्रायिकताओं का जोड़ नहीं है — वह सिर्फ़ बीच की पट्टी है, इसलिए माध्य के पास वह तीनों में सबसे छोटी होती है और मान के पूँछ की ओर खिसकते ही 100% की तरफ़ बढ़ती जाती है।

2. मान ठीक माध्य पर

   1. माध्य घटाइए: 100 − 100 = 0
   2. किसी भी धनात्मक फैलाव से भाग देने पर 0 ही बचता है, इसलिए z-स्कोर 0 है
   3. सामान्य वक्र सममित होता है, इसलिए ठीक आधा हिस्सा माध्य से नीचे और आधा ऊपर पड़ता है
   4. माध्य के आसपास शून्य चौड़ाई की पट्टी में बंटन का कुछ भी नहीं आता, इसलिए भीतर 0% है

   भीतर वाला 0% किसी छोटी संख्या का गोल किया हुआ रूप नहीं है — वह ठीक शून्य है, और यही अकेला मामला है जहाँ पट्टी की चौड़ाई सचमुच कुछ भी नहीं है। इसीलिए यह उदाहरण पट्टी की दिशा जाँचने का सबसे साफ़ तरीक़ा है: भीतर माध्य से मान तक दोनों ओर की दूरी नापता है, और माध्य पर कोई दूरी ही नहीं बचती। यह वही मामला है जो बाक़ी पैनल की सममिति भी दिखा देता है, क्योंकि दोनों एक-तरफ़ा प्रायिकताएँ ठीक आधी-आधी बँट जाती हैं।

3. ऊपरी पूँछ में बहुत दूर बैठा मान

   1. माध्य घटाइए: 200 − 100 = 100
   2. मानक विचलन से भाग दीजिए: 100 / 15 ≈ 6.67, यानी माध्य से क़रीब 6.67 मानक विचलन ऊपर
   3. z = 6.67 से ऊपर का हिस्सा क़रीब 1.3 × 10⁻¹¹ है — कई दसियों अरब में एक
   4. दो दशमलव तक वह हिस्सा 0.00% छपता है, और नीचे का हिस्सा 100.00%

   ऊपर का यह 0.00% इस पेज की वह अकेली संख्या है जो गड़बड़ लगती है और है नहीं: असली हिस्सा क़रीब सौ अरब में 1.3 है, जिसे प्रतिशत के दो दशमलव छाप ही नहीं सकते। इससे दो बातें निकलती हैं। 0.00% को "दिखाई जा रही परिशुद्धता से भी छोटा" पढ़िए, "असंभव" नहीं; और यह मानिए कि पैनल छपे अंकों से ज़्यादा जानकारी रखता है — पूँछ जान-बूझकर अपने अलग रास्ते से गिनी जाती है ताकि यहाँ साफ़ शून्य मिले, वह 0.01 या 0.02 नहीं जो निचली पूँछ से घटाने पर निकलता। यह भी देखिए कि भीतर 100% तक पहुँच गया है, क्योंकि दोनों ओर 6.67 मानक विचलन तक फैली पट्टी अब लगभग पूरा वक्र ढक लेती है।

4. माध्य से एक मानक विचलन नीचे

   1. माध्य घटाइए: 85 − 100 = −15
   2. मानक विचलन से भाग दीजिए: −15 / 15 = −1, इसलिए z-स्कोर ऋणात्मक आता है
   3. z = −1 से नीचे का हिस्सा क़रीब 15.87% है, और ऊपर का क़रीब 84.13%
   4. एक मानक विचलन के भीतर की पट्टी वही 68.27% है जो z = +1 पर थी, क्योंकि पट्टी सममित होती है

   पहले उदाहरण से इसकी तुलना करना सबसे तेज़ तरीक़ा है यह देखने का कि चिह्न क्या बदलता है और क्या नहीं: दोनों एक-तरफ़ा प्रायिकताएँ आपस में बदल जाती हैं, और भीतर वाली संख्या ज़रा भी नहीं हिलती। वजह यह है कि भीतर माध्य से दोनों ओर की दूरी नापता है, इसलिए वह बता ही नहीं सकता कि मान किस तरफ़ है — और जब सवाल यह हो कि बंटन का कितना हिस्सा अपने केंद्र के पास पड़ा है, तो यही चाहिए भी। ठीक इसी कारण पैनल सिर्फ़ पट्टी नहीं, दोनों एक-तरफ़ा संख्याएँ भी छापता है।

यहाँ की हर संख्या सामान्य बंटन का गुण है, आपके आँकड़ों की नहीं। z-स्कोर तो किसी भी आकार के मानों के लिए निकाला जा सकता है, पर प्रायिकताएँ उतनी ही सही होती हैं जितना बंटन सचमुच सामान्य हो — लंबी पूँछ या तिरछे फैलाव वाले आँकड़ों में दूर बैठे मान सामान्य वक्र के दावे से ज़्यादा आम होते हैं, और सबसे पहले पूँछ के अनुमान ही मार खाते हैं। माध्य और मानक विचलन होने भर से कोई बंटन सामान्य नहीं हो जाता, और वे यह भी नहीं बता सकते कि है या नहीं। दो और चेतावनियाँ। बहुत छोटी प्रायिकताएँ दो दशमलव पर छप ही नहीं सकतीं, इसलिए पूँछ में बहुत दूर बैठा मान 0.00% दिखाता है जबकि सच्चाई एक छोटी धनात्मक संख्या है। और भरा गया मान एक अकेला प्रेक्षण मानकर चलाया जाता है, जिसके मुक़ाबले माध्य और फैलाव ज्ञात हैं — यानी जब वे किसी छोटे नमूने से अनुमानित किए गए हों, तो उनकी अपनी अनिश्चितता इन संख्याओं में शामिल नहीं है।

जब प्रायिकता पहले से मिल ही रही है तो z-स्कोर अलग से क्या जोड़ता है?

चारों संख्याओं में यही अकेली है जो बंटन बदलने पर भी साथ चलती है। प्रायिकता उसी वक्र से बँधी होती है जो आपने भरा, जबकि z-स्कोर 1 का मतलब हर सामान्य बंटन में केंद्र से उतनी ही दूरी है — 15 के फैलाव वाले परीक्षा अंकों में भी, मिलीमीटर के सौवें हिस्से में नपे पुर्ज़ों में भी, और किसी मनमानी इकाई वाले माप में भी। इसी वजह से एक ही z-तालिका हर जगह चल जाती है: पहले z-स्कोर में बदलिए, फिर मानक वक्र से क्षेत्रफल पढ़ लीजिए।

बहुत बड़े मान पर ऊपर की प्रायिकता 0.00% क्यों दिखती है?

क्योंकि प्रतिशत के दो दशमलव यह छाप ही नहीं सकते कि संख्या असल में कितनी छोटी है। माध्य से 6.67 मानक विचलन ऊपर बैठे मान के ऊपर वक्र का क़रीब 1.3 × 10⁻¹¹ हिस्सा पड़ता है — तक़रीबन कई दसियों अरब में एक — जो एक असली और धनात्मक हिस्सा है, बस दिखाई जा रही परिशुद्धता से बहुत नीचे। 0.00% को "इतना छोटा कि यह प्रदर्शन दिखा नहीं सकता" पढ़िए, "असंभव" नहीं। पैनल उस पूँछ को निचली पूँछ से घटाकर नहीं, अपने अलग रास्ते से गिनता है, और इसीलिए वह साफ़ शून्य देता है, वह छोटा-सा शून्येतर मान नहीं जो घटाने पर बचता।

क्या यह अनुभवजन्य नियम ही है?

हाँ, और इस पेज की तालिका वही नियम है, बस प्रतिशत के बजाय दूरियों में लिखा हुआ। अनुभवजन्य नियम कहता है कि सामान्य बंटन का क़रीब 68% हिस्सा माध्य से एक मानक विचलन के भीतर, क़रीब 95% दो के भीतर और क़रीब 99.7% तीन के भीतर पड़ता है; इनमें से हर एक को केंद्र से दूरी में उलट देने पर ठीक वही पंक्तियाँ बनती हैं जो नीचे दिख रही हैं। एक फ़र्क़ ध्यान देने लायक़ है: नियम आम तौर पर तीन गोल प्रतिशतों में उद्धृत होता है, जबकि यहाँ के हिस्से उसी संचयी फलन से गिने जाते हैं जो कैलकुलेटर लगाता है, इसलिए ठीक किसी सीमा पर बैठे मान को दोनों जगह से एक ही जवाब मिलता है — जैसे 68.27% और 95.45% और 99.73%।

अगर मानक विचलन शून्य हो तो क्या होता है?

ऐसा सवाल जवाब देने के बजाय ठुकरा दिया जाता है। शून्य फैलाव से भाग देना कोई ऐसी प्रायिकता नहीं है जो संयोग से 1 निकल आई हो — वह ऐसा बंटन है जिसमें फैलाव ही नहीं, जहाँ हर प्रेक्षण माध्य ही है और केंद्र से दूरी का मतलब ही ख़त्म हो जाता है। पैनल विश्वसनीय दिखने वाला 0% या 100% लौटाने के बजाय त्रुटि बताता है। ऋणात्मक फैलाव भी इसी कारण ठुकराया जाता है: मानक विचलन एक दूरी है, इसलिए वह ऋणात्मक नहीं हो सकता, और चुपचाप उसका निरपेक्ष मान ले लेना किसी डेटा की ग़लती को छिपा देता।

क्या इसे ग़ैर-सामान्य आँकड़ों पर लगा सकते हैं?

z-स्कोर तो आप किसी भी मानों के लिए निकाल सकते हैं, क्योंकि माध्य और मानक विचलन हर तरह के आँकड़ों के लिए मौजूद होते हैं। जिस हिस्से को यह मान लेना पड़ता है वह प्रायिकताएँ हैं: वे सामान्य वक्र के नीचे का क्षेत्रफल हैं, और तिरछा या लंबी पूँछ वाला बंटन उनसे मेल नहीं खाएगा। यह फ़र्क़ सबसे पहले पूँछों पर दिखता है, जहाँ बड़ी दूरी के आगे का असली हिस्सा आम तौर पर सामान्य वक्र के दावे से बड़ा होता है — और इसीलिए तीन मानक विचलनों के आगे वाला अनुभवजन्य नियम का 0.3% सामान्य नमूने का गुण समझिए, आपके मापों के बारे में कोई वादा नहीं।

मान को नमूने का औसत मानने के बजाय एक अकेला प्रेक्षण क्यों माना जाता है?

क्योंकि तीनों प्रायिकताएँ यही हैं: किसी एक मान से नीचे, ऊपर और उसके आसपास पड़ने वाला बंटन का हिस्सा। किसी नमूने के औसत को उसी माध्य और फैलाव के सामने पढ़ना एक अलग गणना है, और तब ज़रूरी फैलाव अलग-अलग प्रेक्षणों का मानक विचलन नहीं, औसत की मानक त्रुटि होती है — दोनों में नमूने के आकार के वर्गमूल का गुणक फ़र्क़ आता है, इसलिए एक की जगह दूसरा रखने पर जवाब बिलकुल ठीक दिखता है और ग़लत होता है। अगर आपका मान ख़ुद कोई औसत है, तो मानक विचलन की जगह मानक त्रुटि भरिए।

• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the density, the role of the mean and standard deviation, and the standard normal as the reference case) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function behind every probability on this page, and the z-table it is read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.1 The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (the z-score as a standardised value, and the areas a normal table records) — OpenStax, Rice University
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (reading probabilities off a normal curve, including the complements this page reports as below and above) — OpenStax, Rice University