अनुभवजन्य नियम कैलकुलेटर

एक मानक विचलन: mean ± 1σ · दो मानक विचलन: mean ± 2σ · तीन मानक विचलन: mean ± 3σ · kσ के भीतर का हिस्सा = 2Φ(k) − 1, जहाँ Φ मानक सामान्य बंटन फलन है

माध्य

बंटन का केंद्र, यानी माध्य। छहों सिरे इसके इर्द-गिर्द सममित होते हैं, इसलिए इसे हिलाने से परिसरों का पूरा समूह खिसकता है और तीनों हिस्सों में कुछ नहीं बदलता

मानक विचलन

मानक विचलन: बंटन कितना फैला हुआ है, और वही इकाई जिसमें यह नियम गिना जाता है — एक, दो, तीन। इसे धनात्मक होना ही चाहिए: शून्य मानक विचलन वाला सामान्य बंटन एक अकेला बिंदु रह जाता है, और नियम के पास उसके बारे में कहने को कुछ नहीं होता

kσ

मानक विचलनों की गिनती — 1, 2 या 3। किसी परिसर के भीतर का हिस्सा केवल k पर निर्भर करता है, इसीलिए तीनों प्रतिशत हर नतीजे में एक ही रहते हैं, माध्य और मानक विचलन चाहे जो हों

2Φ(k) − 1

−kσ से +kσ के बीच का ठीक हिस्सा। अनुभवजन्य नियम इसे पढ़ने के लिए 68 / 95 / 99.7 तक गोल कर देता है; पेज बिना गोल किया हुआ मान छापता है, और गोल किया हुआ मान उसी का छोटा रूप है

इसे माध्य और मानक विचलन को ऐसे परिसरों में बदलने के लिए उठाइए जिन पर उँगली रखी जा सके। अनुभवजन्य नियम आम तौर पर प्रतिशतों वाले वाक्य की तरह सामने आता है, जिसे किसी एक नाप पर लगाना मुश्किल है; वही बात "130 से ऊपर का हर मान दो मानक विचलन से बाहर है" के रूप में कही जाए तो लगाना आसान है। यह मानक विचलन पर सबसे तेज़ सामान्य-समझ की जाँच भी है: अगर माध्य के दोनों ओर एक मानक विचलन ऐसा परिसर बनाता है जिसमें 68% आँकड़े हो ही नहीं सकते — क्योंकि वह किसी कड़ी सीमा के पार चला जाता है, या क्योंकि आँकड़े साफ़ तौर पर एक तरफ़ झुके हैं — तो उन आँकड़ों के लिए सामान्य बंटन ग़लत मॉडल है, और यह जाँच मुफ़्त है। पेज शुरू से आख़िर तक सामान्य बंटन मान लेता है; वह आपके आँकड़ों पर कोई बंटन नहीं फ़िट करता, और यह भी नहीं बताता कि यह मान्यता टिकती है या नहीं।

1. माध्य 100 और मानक विचलन 15

   1. 100 के दोनों ओर एक मानक विचलन 100 − 15 = 85 से 100 + 15 = 115 तक है
   2. दो मानक विचलन 100 − 30 = 70 से 100 + 30 = 130 तक है
   3. तीन मानक विचलन 100 − 45 = 55 से 100 + 45 = 145 तक है
   4. हिस्सों में माध्य या मानक विचलन का कोई इस्तेमाल नहीं होता: 1σ के भीतर 68.27%, 2σ के भीतर 95.45%, 3σ के भीतर 99.73%

   इस पेज के हर उदाहरण में तीनों प्रतिशत एक ही रहते हैं, और यही नियम की सामग्री है, इस एक उदाहरण का संयोग नहीं। सामान्य बंटन अपने केंद्र और अपने फैलाव से पूरी तरह तय हो जाता है, और केंद्र के k मानक विचलनों के भीतर उसका जो हिस्सा पड़ता है वह अकेले k पर निर्भर करता है — इसलिए माध्य और मानक विचलन सिरे हिलाते हैं और हिस्सों को कभी नहीं छूते। अगर कभी कोई नतीजा ऐसा प्रतिशत दिखाए जो माध्य बदलने पर हिले, तो प्रतिशत ग़लत मात्रा से निकाले जा रहे होंगे, और तीनों को एक ही तीन पंक्तियों पर छापना ही यह दिखने लायक़ बनाता है।

2. मानक सामान्य बंटन: माध्य 0, मानक विचलन 1

   1. 0 के दोनों ओर एक मानक विचलन −1 से 1 तक है
   2. दो मानक विचलन −2 से 2 तक, और तीन −3 से 3 तक
   3. हिस्से वही 68.27%, 95.45% और 99.73% रहते हैं

   माध्य शून्य और मानक विचलन एक होने पर सिरे ख़ुद मानक विचलनों की गिनती बन जाते हैं, और इसीलिए यह नियम याद करने लायक़ रूप है: −1, −2, −3 और उनके धनात्मक रूप यानी z-स्कोर, और बाक़ी हर सामान्य बंटन इसी को खींचकर और खिसकाकर बनाया गया है। यह यह भी दिखाता है कि हिस्से इनपुट पर निर्भर क्यों नहीं कर सकते — यहाँ सिरे ख़ुद k के मान हैं, और उनके बग़ल के प्रतिशत वही हैं जो माध्य 100 पर थे।

3. छोटा मानक विचलन: माध्य 500, मानक विचलन 0.5

   1. एक मानक विचलन आधा इकाई है, इसलिए पहला परिसर 499.5 से 500.5 तक है
   2. दो मानक विचलन 499 से 501 तक, और तीन 498.5 से 501.5 तक
   3. हिस्से अब भी 68.27%, 95.45% और 99.73% हैं

   नियम की कोई बात इस पर निर्भर नहीं है कि मानक विचलन गोल संख्या हो या बड़ी हो, और पतला बंटन ही वह जगह है जहाँ परिसर एक नज़र में पढ़े जाना बंद हो जाते हैं। मशीन से बने पुर्ज़े की सहनशीलता की पट्टी आम तौर पर इसी तरह लिखी जाती है — एक लक्ष्य और उससे कहीं छोटा फैलाव — और वहाँ काम का नतीजा प्रतिशत वाली पंक्ति नहीं बल्कि सिरों वाली पंक्ति होती है। यह यह भी याद दिलाता है कि 99.7 वाला परिसर लगभग सब कुछ ढकता है केवल तब जब बंटन सचमुच सामान्य हो: यहाँ तीन मानक विचलन असल में एक छोटा अंतराल है, और जिस असली प्रक्रिया की पूँछ भारी हो वह उसके बाहर 0.27% से कहीं ज़्यादा छोड़ेगी।

4. ऋणात्मक माध्य: −2.5 और मानक विचलन 1.25

   1. −2.5 के दोनों ओर एक मानक विचलन −3.75 से −1.25 तक है
   2. दो मानक विचलन −5 से 0 तक है — ऊपरी सिरा ठीक शून्य पर आता है
   3. तीन मानक विचलन −6.25 से 1.25 तक है, जो शून्य को पार करता है
   4. हिस्से वही 68.27%, 95.45% और 99.73% रहते हैं

   शून्य से नीचे का माध्य कोई अजीब बात नहीं है — तापमान का विचलन, कोई लॉग-प्रतिफल, दो नापों का अंतर — और यही वह मामला है जहाँ परिसर शून्य को पार करते हैं, इसलिए चिह्न की ग़लती वाला हिसाब हर धनात्मक उदाहरण पर सही दिख सकता है। यहाँ दो मानक विचलन का ऊपरी सिरा ठीक शून्य पर आना ऐसा संयोग है जिससे ग़लत जवाब जान-बूझकर किया हुआ लगता है, और इसीलिए यह मामला संयोग पर छोड़ने के बजाय एक परीक्षण के तौर पर पकड़ा गया है। मानक विचलन हर हाल में धनात्मक रहता है: वह चौड़ाई है, कोई निर्देशांक नहीं, और चिह्न अकेले माध्य ढोता है।

यह नियम सामान्य बंटन का है और किसी और का नहीं। इसे अक्सर ऐसे दोहराया जाता है जैसे 68% किसी भी आँकड़े के बारे में एक तथ्य हो, जबकि यह एक ख़ास वक्र का गुण है — अलग आकार वाले बंटन में एक, दो और तीन मानक विचलनों पर अलग हिस्से पड़ते हैं, और एक तरफ़ झुके बंटन में माध्य के दोनों ओर के हिस्से बहुत अलग हो सकते हैं। इसलिए यह पेज सामान्यता मान लेता है, जाँचता नहीं, और यहाँ का नतीजा उतना ही अर्थपूर्ण है जितनी वह मान्यता। तीन और सीमाएँ। मानक विचलन धनात्मक होना ही चाहिए: शून्य पर बंटन एक अकेले बिंदु में सिमट जाता है और माध्य से शून्य के भीतर कितना हिस्सा पड़ता है इस सवाल का कोई काम का जवाब नहीं होता, इसलिए पेज कोई एक जवाब चुनने के बजाय वह इनपुट लेने से मना कर देता है। तीनों हिस्से सामान्य बंटन फलन के सटीक मान हैं, इसलिए वे दूसरे दशमलव में उन 68, 95 और 99.7 से अलग होंगे जिनके साथ यह नियम आम तौर पर उद्धृत होता है — पेज उन्हें नाम से मिलाने के लिए गोल नहीं करता, क्योंकि गोलाई छोटा रूप है और छपने वाला मान वह चीज़ है जिसका वह छोटा रूप है। और पेज न आपके आँकड़ों पर कोई बंटन फ़िट करता है, न यह जाँचता है कि कोई फ़िट होता है या नहीं; वह माध्य और मानक विचलन को दिया हुआ मानकर उससे जो निकलता है वही बताता है।

नियम 68% कहता है तो पेज 68.27% क्यों छापता है?

क्योंकि नाम वाला 68 एक गोल किया हुआ आँकड़ा है और 68.27% वह मान है जिसे वह गोल करता है। अनुभवजन्य नियम तीन संख्याएँ याद रखने का तरीक़ा है, और करीब 68%, 95% और 99.7% वही है जो ज़्यादातर लोग दिमाग़ में रख पाते हैं; सामान्य बंटन में माध्य के एक, दो और तीन मानक विचलनों के भीतर के ठीक हिस्से 68.27%, 95.45% और 99.73% हैं, और पेज वही निकालता है, बताता नहीं। अगर किसी हिसाब को इन्हीं संख्याओं पर खड़ा करना हो तो बिना गोल किए वाला मान ही लेने लायक़ है — गोल किए आँकड़े को इनपुट बनाने पर जवाब ऐसे तरीक़े से ग़लत होता है जिसका सुराग़ किसी को गोलाई तक नहीं ले जाता।

माध्य या मानक विचलन बदलने पर प्रतिशत बदल जाते हैं?

नहीं, और यही इस नियम की पूरी सामग्री है। सामान्य बंटन दो संख्याओं से तय हो जाता है, उसके केंद्र और उसके फैलाव से, और केंद्र के k मानक विचलनों के भीतर पड़ने वाला उसका हिस्सा अकेले k पर निर्भर करता है — एक, दो या तीन। इसलिए माध्य बदलने से छहों सिरे संख्या-रेखा पर खिसकते हैं और मानक विचलन बदलने से वे खिंचते या सिकुड़ते हैं, जबकि तीनों हिस्से ठीक वहीं रहते हैं जहाँ थे। कभी कोई नतीजा ऐसा हिस्सा दिखाए जो इनपुट के साथ हिले, तो हिस्से सिरों से निकाले जा रहे होंगे, यानी मानक विचलनों की गिनती से नहीं, और वह आँकड़ों का गुण नहीं बल्कि एक ग़लती होगी।

यह परिसर असल में मुझे क्या बताता है — क्या यह प्रायिकता है?

यह प्रायिकता है, बंटन के हिस्से के रूप में पढ़ी गई। अगर कोई राशि सचमुच आपके भरे हुए माध्य और मानक विचलन वाले सामान्य बंटन से आती है, तो उसमें से निकला एक अकेला मान एक-मानक-विचलन वाले परिसर के भीतर पड़ने की प्रायिकता 68.27% है, और ये परिसर मानक विचलनों को उसी इकाई में बदल देते हैं जिसमें आप नाप रहे हैं, ताकि बात किसी ठोस संख्या पर लगाई जा सके। यह आपके किसी ख़ास नमूने के बारे में कथन नहीं है: कोई बंटन अपनी प्रायिकता का 68% किसी परिसर में रख सकता है जबकि आपके सामने पड़े आँकड़ों में उसका हिस्सा कुछ और हो, और इस पेज के पास कोई आँकड़े नहीं हैं — उसके पास आपके भरे हुए दो पैरामीटर हैं।

मुझे कैसे पता चलेगा कि सामान्य बंटन ही सही मॉडल है?

यह पेज बता नहीं सकता, क्योंकि वह आँकड़े देखता ही नहीं। जो वह देता है वह मॉडल की मुनासिबत की एक तेज़ जाँच है: अगर माध्य के दोनों ओर एक मानक विचलन ऐसा परिसर बनाता है जिसमें करीब दो-तिहाई मान हो ही नहीं सकते — क्योंकि परिसर किसी कड़े फ़र्श या छत के पार चला जाता है, क्योंकि मान ऐसी गिनतियाँ हैं जो शून्य से नीचे जा ही नहीं सकतीं, या क्योंकि बंटन साफ़ तौर पर एक तरफ़ झुका है — तो सामान्यता की मान्यता असल में नुक़सान कर रही है और इस पेज के प्रतिशत ऐसा वक्र बयान कर रहे हैं जिसके पीछे आँकड़े नहीं चलते। सवाल का सही जवाब पाने का आम तरीक़ा कोई हिस्टोग्राम या सामान्य प्रायिकता आरेख है; यहाँ का हिसाब उस जवाब के बाद आता है, उसका विकल्प नहीं है।

मानक विचलन शून्य क्यों नहीं हो सकता?

क्योंकि शून्य मानक विचलन वाला सामान्य बंटन एक अकेले बिंदु में सिमट चुका होता है, और वहाँ यह नियम कुछ कहना बंद कर देता है। हर मान ठीक माध्य पर बैठा होगा, इसलिए एक, दो और तीन मानक विचलन चौड़े तीनों परिसरों की चौड़ाई शून्य होगी, और यह पूछना कि उनमें बंटन का कितना हिस्सा है, दो बचाव लायक़ जवाब देता है — पूरा, क्योंकि सब कुछ माध्य पर है, या कुछ भी नहीं, क्योंकि अंतराल का कोई विस्तार ही नहीं है — और इनमें से चुनने का कोई तरीक़ा नहीं है। चुपचाप कोई एक चुनने के बजाय पेज वह इनपुट अस्वीकार कर देता है और कहता है कि मानक विचलन धनात्मक होना चाहिए। असली हिसाब में शून्य निकला मानक विचलन लगभग हमेशा एक अकेला अवलोकन या डेटा भरने की ग़लती बताता है, कोई सच्चा बंटन नहीं।

क्या यह उसी कैलकुलेटर जैसा है जो z-स्कोर से प्रायिकता देता है?

ये एक ही सामान्य बंटन के दो दरवाज़े हैं। z-स्कोर वाला कैलकुलेटर एक मान लेता है और बताता है कि वह कहाँ पड़ता है और उसके नीचे कितनी प्रायिकता है; यह पेज माध्य और मानक विचलन लेता है और तीनों मानक परिसरों को उनके हिस्सों के साथ बिछा देता है। सवाल की दिशा ही फ़र्क़ है — एक नाप से शुरू करता है, दूसरा नियम से। इनपुट जान-बूझकर एक जैसे हैं, माध्य और मानक विचलन ठीक वही दो ख़ाने, ताकि दोनों पेजों के बीच आने-जाने में कुछ दोबारा भरना न पड़े, और दोनों पीछे वाले बंटन पर कभी मतभेद नहीं कर सकते क्योंकि वे उसे एक ही तरह से निकालते हैं।

• 68-95-99.7 Rule — from Wolfram MathWorld (the rule stated as approximately 68%, 95% and 99.7%, the more precise probabilities, and the note that the rule is specific to the normal distribution rather than a general statement about arbitrary distributions) — Wolfram MathWorld
• 6.1 The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (the empirical rule stated for a normally distributed variable: about 68% of values within one standard deviation of the mean, 95% within two, 99.7% within three) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the normal distribution its parameters and its cumulative distribution function, which is what the three shares on this page are computed from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)