प्रत्याशित मान कैलकुलेटर

E[X] = Σ pᵢ xᵢ Var(X) = Σ pᵢ (xᵢ − E[X])² σ = √Var(X)

xᵢ

सूची में i-वें परिणाम का मान। यह ऋणात्मक भी हो सकता है और दशमलव भी; सूची में संख्याएँ अर्धविराम, कॉमा या स्पेस से अलग की जाती हैं और ऐसी 200 तक संख्याएँ डाली जा सकती हैं

pᵢ

उस परिणाम की प्रायिकता, प्रतिशत में 0 से 100 के बीच। दोनों सूचियाँ साथ-साथ पढ़ी जाती हैं, इसलिए तीसरी प्रायिकता तीसरे परिणाम की है और दोनों की लंबाई समान होनी चाहिए

E[X]

अपेक्षित मान: हर परिणाम को उसकी अपनी प्रायिकता से गुणा करके गुणनफल जोड़ दिए जाते हैं। यही वह भारित औसत है जो पैनल सबसे पहले दिखाता है, और बाक़ी दोनों संख्याएँ इसी से नापी जाती हैं

Var(X)

प्रसरण: हर परिणाम के लिए अपेक्षित मान से उसकी दूरी का वर्ग, उस परिणाम की प्रायिकता से भारित। वर्ग करने की वजह से कोई एक बहुत दूर का परिणाम अकेले ही प्रसरण भारी कर सकता है

σ

मानक विचलन, यानी प्रसरण का वर्गमूल। यह वापस उन्हीं इकाइयों में आ जाता है जिनमें परिणाम हैं, और इसी वजह से फैलाव कितना चौड़ा है यह जानना हो तो यही पढ़ा जाता है

Σ

सूची के हर परिणाम पर जोड़ लगाइए। कुछ भी दो बार नहीं गिना जाता और कुछ भी छोड़ा नहीं जाता: प्रायिकताओं का जोड़ 100% होना ही यह तय करता है कि पूरी सूची सारी प्रायिकताओं का पूरा ब्यौरा है

इसे तब लगाइए जब परिणाम इतने कम हों कि गिनाए जा सकें और हर एक की प्रायिकता बताई जा सके: भुगतान तालिका वाला कोई खेल, ऐसी वारंटी जो तय रक़म लेती है और तय हिस्से में भुगतान करती है, या तीन परिदृश्यों वाला कोई फ़ैसला। जब संख्याएँ प्रायिकताएँ नहीं बल्कि मापे गए आँकड़े हों, तब साधारण औसत चुनिए — मापों की सूची को औसत चाहिए, अपेक्षित मान नहीं, क्योंकि गिनती से भाग देना यह मान लेता है कि हर मान समान रूप से संभावित है, और यही मान्यता इस पेज पर साफ़-साफ़ लिखी प्रायिकताओं से बदल दी जाती है। और जब परिणाम किसी ऐसे नियम का पालन करें जिसे सूत्र में लिखा जा सके, तब बंटन चुनिए: तय संख्या के प्रयोगों में सफलताओं की गिनती का अपना माध्य होता है, और पॉइसन गिनती का माध्य उसके प्रसरण के बराबर होता है — वहाँ हर गिनती और उसकी प्रायिकता टाइप करने की ज़रूरत नहीं। इन सब संख्याओं का असली ढाँचा लंबा समय है: अपेक्षित मान वह है जिसकी ओर औसत बहुत बार दोहराने पर पहुँचता है, अगली बार क्या होगा इसकी भविष्यवाणी नहीं।

1. पाँच परिणाम, असमान प्रायिकताओं के साथ

   1. हर परिणाम को उसकी प्रायिकता से भिन्न के रूप में गुणा कीजिए: 5 × 0.10 = 0.5, 10 × 0.20 = 2, 20 × 0.30 = 6, 40 × 0.25 = 10, 100 × 0.15 = 15
   2. पाँचों गुणनफल जोड़िए: 0.5 + 2 + 6 + 10 + 15 = 33.5 — यही अपेक्षित मान है
   3. प्रसरण के लिए हर परिणाम में से 33.5 घटाइए, वर्ग कीजिए और भार दीजिए: 0.10 × 812.25 + 0.20 × 552.25 + 0.30 × 182.25 + 0.25 × 42.25 + 0.15 × 4422.25 = 920.25
   4. 920.25 का वर्गमूल 30.3356 है, यानी मानक विचलन

   प्रायिकताएँ प्रतिशत में भरी जाती हैं, और यहीं सबसे आसान ग़लती होती है: 10 को दस प्रतिशत की जगह भिन्न पढ़ लेने पर 33.5 की जगह 3.35 आता है, और ग़लत जवाब देखने में बिलकुल ग़लत नहीं लगता। फैलाव पर भी एक नज़र डालिए — 33.5 के अपेक्षित मान के सामने 30.34 का मानक विचलन बताता है कि 15% पर कम संभावित 100 वाला परिणाम ही सारा काम कर रहा है, और 920.25 का प्रसरण वर्ग इकाइयों में यही बात दोहराता है।

2. निष्पक्ष पासा, जहाँ जवाब कभी आ ही नहीं सकता

   1. छह परिणाम, हर एक की प्रायिकता 16.67% — आख़िरी पर 16.65% इसलिए है कि छहों का जोड़ ठीक 100 हो जाए
   2. हर गुणनफल 1 × 0.1667 से 6 × 0.1667 तक जाता है, और इनका जोड़ 3.4995 बनता है
   3. प्रसरण 3.4995 से औसत वर्ग दूरी है, जो 2.916 आती है
   4. 2.916 का वर्गमूल 1.7076 है

   जब कोई अपेक्षित मान नामुमकिन लगे तो यही उदाहरण याद रखिए: छह फलक वाले पासे का सही जवाब 3.5 है और कोई फलक उसे नहीं दिखाता। अपेक्षित मान पूरे बंटन का गुण है, एक फेंक की भविष्यवाणी नहीं। यह मानक विचलन के हक़ में सबसे साफ़ उदाहरण भी है — 1.7076 उन्हीं बिंदुओं में नापा गया है जिनमें परिणाम हैं, इसलिए “फेंक औसतन 3.5 से क़रीब 1.7 दूर पड़ती है” एक ऐसा वाक्य है जिस पर अमल किया जा सकता है, जबकि 2.916 का प्रसरण वर्ग बिंदुओं में है।

3. बीमे का भुगतान, और ऋणात्मक अपेक्षित मान

   1. दो परिणाम: कुछ नहीं होता, या होता है और 5,000 का नुक़सान करता है — जिसे −5000 लिखा जाता है
   2. भार दीजिए: 0 × 0.97 + (−5000) × 0.03 = −150
   3. प्रसरण 0.97 × (0 + 150)² + 0.03 × (−5000 + 150)² = 7,27,500 है
   4. इसका वर्गमूल 852.9361 है

   ऋणात्मक अपेक्षित मान न ग़लती है और न हिसाब से बचने की वजह — यह एक असली सवाल का जवाब है, और लोग यहाँ सबसे ज़्यादा यही लेकर आते हैं: अगर इस घटना के 5,000 में पड़ने की 3% प्रायिकता है, तो हर दौर में औसतन 150 का ख़र्च है, और 150 से ऊपर का प्रीमियम उस जोखिम को ख़ुद उठाने की क़ीमत है। ध्यान दीजिए कि 852.94 का मानक विचलन अकेले बहुत कम बताता है: यह भी उसी दुर्लभ 3% शाखा से तय होता है, इसलिए यह ज़्यादातर यही दोहराता है कि नुक़सान बड़ा और दुर्लभ है, न कि यह कि परिणाम दिलचस्प ढंग से फैले हुए हैं।

4. भारित औसत साधारण औसत से क्यों अलग होता है

   1. चारों परिणामों का जोड़ 160 है, इसलिए उनका साधारण औसत 40 बनता है
   2. भार देने पर: 10 × 0.40 + 20 × 0.30 + 30 × 0.20 + 100 × 0.10 = 4 + 6 + 6 + 10 = 26
   3. प्रसरण 0.40 × 256 + 0.30 × 36 + 0.20 × 16 + 0.10 × 5476 = 664 है
   4. इसका वर्गमूल 25.7682 है

   दोनों संख्याओं में एक तिहाई से ज़्यादा का फ़र्क़ है, और वजह पूरी तरह प्रायिकताओं में है: बड़ा परिणाम 100 सिर्फ़ 10% भार उठाता है, जबकि छोटे परिणाम 10 और 20 मिलकर 70% उठाते हैं। जब कोई औसत बताता है और यह नहीं कहता कि वह भारित है या नहीं, तो इसी फ़र्क़ के शब्द के पीछे छिपा रहता है। यही वजह है कि 0 की प्रायिकता ख़ाली नहीं बल्कि अर्थपूर्ण प्रविष्टि है: वह परिणाम सूची में अपनी जगह रखता है और कुछ नहीं जोड़ता, और यही “नामुमकिन” और “पूछा ही नहीं गया” का अंतर है।

इस पेज पर तीन बातें आसानी से ग़लत पढ़ी जा सकती हैं, और तीनों हिसाब के बजाय भरने वाली संख्याओं से जुड़ी हैं। प्रायिकताओं का जोड़ 100% होना चाहिए और पेज इसे आपके लिए ठीक नहीं करता: 40/50 के बँटवारे को चुपचाप 44.4/55.6 बना देना एक बिलकुल सामान्य दिखने वाली संख्या देगा जो आपने न पूछा हुआ सवाल हल करती है। सहनशीलता हर प्रविष्टि के आख़िरी दशमलव स्थान का आधा है, इसीलिए 33.33 लिखे तीन बराबर हिस्से 99.99 पर स्वीकार हो जाते हैं और 40/50 की जोड़ी नहीं। दोनों सूचियों की लंबाई समान होनी चाहिए, क्योंकि प्रविष्टियाँ साथ-साथ पढ़ी जाती हैं — छूटी हुई प्रायिकता शून्य नहीं, ग़लत जोड़ी है, और पेज चुपचाप ग़लत संख्याएँ नहीं मिलाता बल्कि यह बता देता है। भरने की संख्याओं के आगे पढ़ने की भी सीमाएँ हैं। अपेक्षित मान कई बार दोहराने के लंबे समय का ब्यौरा है, इसलिए किसी एक बार के बारे में यह कुछ काम की बात नहीं कहता, और यह किसी दुर्लभ चरम परिणाम के हाथों इतना दब सकता है कि अकेली संख्या से वह दिखे ही नहीं — उसके लिए बग़ल में लिखा मानक विचलन या प्रसरण पढ़िए। यह यह भी मान लेता है कि आपकी भरी प्रायिकताएँ असली हैं: यहाँ सब कुछ आपकी दी हुई संख्याओं पर सिर्फ़ अंकगणित है, और अंदाज़े लगाई प्रायिकता पर बना सटीक अपेक्षित मान किसी और सवाल का सटीक जवाब है। आख़िर में, इस पेज पर आम अपेक्षित मानों की कोई तालिका नहीं है, क्योंकि ऐसी तालिका आपकी भरी हुई संख्याएँ देख ही नहीं सकती, और ऊपर के पैनल से टकराती तालिका बिना तालिका से बदतर होती।

अपेक्षित मान असल में क्या बताता है?

यह बताता है कि वही स्थिति बहुत बार दोहराकर नतीजों का औसत निकालने पर औसतन क्या मिलेगा, जिसमें हर परिणाम अपनी बारंबारता के अनुपात में गिना जाता है। भुगतान तालिका वाले किसी खेल के लिए यह क़ीमत तय करने का आधार है: हर दौर का अपेक्षित मान −150 हो तो खेलने की जायज़ क़ीमत 150 है, और उससे कम क़ीमत आपके हक़ में है। यह नहीं बताता कि अगली बार क्या होगा। एक दौर सूची में से एक ही परिणाम देता है, औसत कभी नहीं, इसलिए धनात्मक अपेक्षित मान के साथ भी गिने-चुने दौरों में हर बार हारना पूरी तरह मुमकिन है।

क्या अपेक्षित मान ऐसी संख्या हो सकता है जो कभी आ ही न सके?

हाँ, और आमतौर पर होता ही है। निष्पक्ष पासे के छहों फलकों की प्रायिकता 16.67% है और अपेक्षित मान 3.5 है, जो ऐसा फलक है जो पासे पर नहीं होता। वजह यह है कि अपेक्षित मान पूरी सूची का भारित औसत है, सूची का कोई सदस्य नहीं: यह बंटन का संतुलन बिंदु है, और संतुलन बिंदु भारों के बीच ख़ाली जगह में पड़ सकता है। यही बात लॉटरी में भी होती है, जहाँ अपेक्षित मान एक छोटी ऋणात्मक संख्या होती है जिसे कोई टिकट नहीं दे सकता।

प्रायिकताओं का जोड़ 100% क्यों होना चाहिए?

क्योंकि दोनों सूचियाँ मिलकर प्रायिकताओं का पूरा ब्यौरा देती हैं और उन सबको गिनना पड़ता है जो हो सकते हैं। अगर आपकी प्रायिकताओं का जोड़ 90% बैठता है, तो या तो सूची से कोई परिणाम छूटा है या कोई प्रायिकता ग़लत है, और पेज यह तय नहीं कर सकता कि कौन-सी बात है — इसलिए वह अनुमान लगाने के बजाय आपको जोड़ बता देता है। वह जान-बूझकर आपकी संख्याओं को 100% पर नहीं फैलाता: 40 और 50 को उनके जोड़ से भाग देने पर वे 44.4 और 55.6 बन जाते और आपने न पूछा हुआ जवाब मिलता, जबकि पैनल पर कुछ भी यह न दिखाता कि ऐसा हुआ। सहनशीलता हर प्रविष्टि के आख़िरी दशमलव स्थान का आधा है, इसलिए 33.33 लिखे तीन बराबर हिस्से 99.99 पर स्वीकार हो जाते हैं।

यह साधारण औसत से किस तरह अलग है?

साधारण औसत मानों की गिनती से भाग देता है, जो यह मानने के बराबर है कि हर मान समान रूप से संभावित है। अपेक्षित मान उस मान्यता की जगह आपकी चुनी हुई प्रायिकताएँ रख देता है, इसलिए 10% प्रायिकता वाला मान नतीजे को 100% प्रायिकता वाले मान से दस गुना कम खींचता है। दोनों तभी एक जैसे आते हैं जब सारी प्रायिकताएँ बराबर हों — 25%-25% पर चार परिणाम दोनों तरह से वही संख्या देते हैं। जब दोनों अलग हों, तो पूरा फ़र्क़ भारों में है, इसीलिए बिना यह बताए दिया गया औसत कि वह भारित है या नहीं, ज़रा पूछ लेना बनता है।

ऋणात्मक अपेक्षित मान का क्या मतलब है?

इसका मतलब है कि हारने वाली तरफ़ के परिणाम इतने बड़े या इतने संभावित हैं कि बाक़ी सब पर भारी पड़ते हैं, इसलिए वही फ़ैसला दोहराते रहने पर औसतन नुक़सान होता है। यह कहने के बराबर नहीं कि आप हारेंगे ही: 5,000 के नुक़सान की 3% प्रायिकता और कुछ न होने की 97% प्रायिकता का अपेक्षित मान −150 है, और ज़्यादातर दौरों में कुछ भी ख़र्च नहीं होता। ऋणात्मक संख्या जो बताती है वह यह है कि जोखिम की औसत क़ीमत क्या है, और यही वह संख्या है जिसे प्रीमियम, क़ीमत या बीमे के कोटेशन से तुलना करनी चाहिए। यही वह जगह है जहाँ यह हिसाब सबसे ज़्यादा काम आता है, और वहाँ ऋणात्मक जवाब नाकामी नहीं बल्कि नतीजा है।

इस पेज पर अपेक्षित मानों की कोई तालिका क्यों नहीं है?

क्योंकि जवाब पूरी तरह उन दो सूचियों पर निर्भर है जो आप टाइप करते हैं, और कोई तय तालिका उन्हें देख ही नहीं सकती। लोग जिस तालिका की उम्मीद करते हैं वह परिचित मामलों की छोटी सूची है — पासा, लॉटरी का टिकट, रूले की शर्त — लेकिन इनमें से हर एक के अपने परिणाम और अपनी प्रायिकताएँ हैं, इसलिए छपी हुई पंक्ति ऊपर के पैनल से अलग सवाल का जवाब दे रही होती और कभी-कभी दोनों सबके सामने टकरा जाते। पैनल ही तालिका है: परिणाम और प्रायिकताएँ बदलिए और वही तीन पंक्तियाँ फिर से हिसाब लगा देती हैं। जिन पेजों को तय तालिका से सचमुच फ़ायदा होता है वे वे हैं जिनकी तालिका भरी गई संख्याओं पर निर्भर नहीं करती, जैसे कोई श्रेणीकरण पैमाना या सीमा-मानों का समूह।

• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 (the mean as the balance point of a list of values, and how a single extreme value moves it — the reason an expected value can sit far from every outcome on the list) — OpenStax, Rice University
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, which is the quantity this page weights by the probabilities instead of counting equally) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for an outcome to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)