क्रमचय कैलकुलेटर

P(n, r) = n! / (n − r)! = nPr C(n, r) = n! / (r! (n − r)!) P(n, r) = C(n, r) · r!

n

वह भंडार जिसमें से चुनना है — उपलब्ध अलग-अलग वस्तुओं की संख्या, अधिकतम 1000। यह सीमा गिनती पर है, विचार पर नहीं: संख्याएँ n के साथ बढ़ती जाती हैं, और एक बिंदु के बाद सही मान उस परिसर में फ़िट नहीं बैठता जिसे यह पेज ठीक-ठीक लिख सकता है

r

आप कितनी वस्तुएँ उठाते हैं। दोबारा चुनने की छूट बंद रहते इसका n से बड़ा होना मना है, क्योंकि जितनी अलग वस्तुएँ मौजूद हैं उससे ज़्यादा नहीं उठाई जा सकतीं; छूट चालू होते ही r बड़ा हो सकता है और बस इतने से बँधा रहता है कि पेज कितनी बड़ी घात ठीक-ठीक गिन सकता है

n!

n का क्रमगुणित: n को उसके नीचे के हर पूर्णांक से 1 तक गुणा करने पर जो मिलता है। यह सब कुछ क्रम में उठाने की गिनती है, और (n − r)! से भाग देकर ठीक यही हिस्सा हटाया जाता है

P(n, r)

व्यवस्थाओं की संख्या: पहले स्थान के लिए n विकल्प, दूसरे के लिए n − 1, और इसी तरह r स्थानों तक। गुणनफल n × (n − 1) × … × (n − r + 1) ही है जिसे सूत्र n! / (n − r)! लिखता है

C(n, r)

क्रम हटाकर गिनती, जो दूसरी पंक्ति में छपती है। यह व्यवस्थाओं की संख्या को r! से भाग देती है, यानी चुनी गई किसी एक वस्तु-समूह को लगाने के तरीक़ों की संख्या से — और दोनों पंक्तियों का पूरा फ़र्क़ यही है

दोबारा चुनने की छूट

यह बताता है कि पेज किन दो हालतों में है। छूट चालू होने पर गिनती n की r घात बन जाती है, क्योंकि r में से हर चुनाव के सामने पूरा भंडार फिर से खुला होता है; और क्रम हटाने वाली पंक्ति तब बहुसमुच्चय की गिनती पर चली जाती है

इसे तब लगाइए जब पद अलग-अलग पहचाने जाने वाले हों: दौड़ के पदक स्थान, ताश के पहले तीन पत्तों का क्रम, कोई पासवर्ड, गाड़ी का नंबर प्लेट या बैठक की सीटों का नक़्शा — हर वह सूची जहाँ दो चीज़ें आपस में बदलने से नतीजा बदल जाए। जब नतीजा कोई समुच्चय हो तो संचय वाली पंक्ति उठाइए — या इस जोड़ी का दूसरा पेज — क्योंकि तब उन्हीं r वस्तुओं की दो व्यवस्थाएँ एक ही जवाब हैं, और r! से भाग देना ही ठीक सुधार है। दोबारा चुनने की छूट तब चालू कीजिए जब कोई वस्तु उठाने के बाद फिर उठाई जा सकती हो: चार अंकों के PIN के 10⁴ तरीक़े बनते हैं क्योंकि हर अंक दस के पूरे समुच्चय से आता है, जबकि लॉटरी में गेंदें ड्रम से बाहर निकल जाती हैं। और पहली पंक्ति के लिए आए हों तब भी दूसरी पंक्ति पढ़िए: दोनों गिनतियाँ मिलकर सबसे साफ़ बताती हैं कि क्रम का मतलब आख़िर क्या है, क्योंकि दोनों में फ़र्क़ बस एक गुणक का है।

1. दस वस्तुएँ, तीन स्थान, क्रम गिनते हुए

   1. पहले स्थान के लिए दस विकल्प, दूसरे के लिए नौ बचे, तीसरे के लिए आठ
   2. गुणा कीजिए: 10 × 9 × 8 = 720 व्यवस्थाएँ
   3. क्रम हटाने पर 3! = 6 से भाग जाता है, और 120 समुच्चय बचते हैं
   4. 720 / 120 = 6, जो ठीक 3! है

   दोनों पंक्तियाँ इस पेज का पूरा मक़सद एक ही लाइन में कह देती हैं: वही दस वस्तुएँ और वही तीन स्थान, क्रम गिनने पर 720 देते हैं और न गिनने पर 120, और दोनों के बीच का अनुपात 3! है — यानी चुनी गई तीन वस्तुओं को फिर से लगाने के तरीक़ों की संख्या। जब भी क्रमचय और संचय आपस में बेमेल लगें, एक को दूसरे से भाग देकर जाँच लीजिए: अगर अनुपात कोई क्रमगुणित न निकले, तो गड़बड़ जोड़-तोड़ में नहीं, सवाल की बनावट में है।

2. आठ धावकों में से पदक के तीन स्थान

   1. आठ संभावित विजेता, सात संभावित उपविजेता, छह संभावित तीसरे स्थान
   2. 8 × 7 × 6 = 336 तरीक़े पदक के तीनों स्थान भरने के
   3. क्रम हटाने पर वही तीन लोग किसी भी क्रम में एक ही समुच्चय बनाते हैं: 336 / 6 = 56
   4. उलटी तरफ़ से गुणा करें तो — 8!/(8−3)! = 40,320/120 — वही 336 निकलता है

   यही इस भेद का रोज़मर्रा का आकार है: दौड़ का नतीजा क्रमचय है क्योंकि चाँदी का तमग़ा सोने वाला नहीं होता, जबकि क्वालिफ़ाई करने वाला समूह संचय है क्योंकि जो तीन आगे बढ़े वे वही तीन हैं, चाहे कोई भी सबसे तेज़ दौड़ा हो। ध्यान दीजिए कि संख्या की वही जोड़ी संचय वाले पेज पर दोनों पंक्तियाँ बदल कर दिखेगी — यह जोड़ी का ठीक काम करना है, कोई दोहराव नहीं।

3. पाँच पत्ते, क्रम में बाँटे हुए

   1. पहले पत्ते के लिए बावन विकल्प, दूसरे के लिए इक्यावन, और इसी तरह पाँचवें के लिए अड़तालीस तक
   2. 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 31,18,75,200 क्रम-सहित बाँटें
   3. पाँच पत्तों का हाथ क्रम नहीं गिनता, इसलिए 5! = 120 से भाग दीजिए
   4. 31,18,75,200 / 120 = 25,98,960 — पोकर के पाँच-पत्ते हाथों की वही जानी-पहचानी संख्या

   25,98,960 वही संख्या है जो पोकर की हर प्रायिकता में उद्धृत होती है, इसीलिए यह वह उदाहरण है जहाँ पाठक इस पेज को कहीं और देखी हुई चीज़ से मिला सकता है — और क्योंकि हमारे यहाँ समूह चिह्न दो-दो अंकों पर लगते हैं, यहाँ यह 25,98,960 ही पढ़ी जाती है। यह क्रम के गुणक के बेतहाशा बड़े होने का भी सबसे साफ़ मामला है: वही पाँच पत्ते किसी और क्रम में बाँटना अलग क्रम-सहित बाँट है पर वही हाथ, और दोनों गिनतियों के बीच का गुणक 6 नहीं, 120 है। यहाँ दोनों गिनतियाँ ठीक-ठीक हैं, कहीं कोई गोलाई नहीं।

4. तीन अंकों के कोड, जिनमें अंक दोहराए जा सकते हैं

   1. दोबारा चुनने की छूट के साथ तीनों स्थान दस अंकों में से आज़ादी से चुने जाते हैं
   2. 10 × 10 × 10 = 1000 कोड
   3. क्रम हटाने वाली पंक्ति अब 1000 / 6 नहीं रहती, क्योंकि 777 जैसे कोड की सारी व्यवस्थाएँ अलग-अलग नहीं हैं
   4. वह बहुसमुच्चय की गिनती बन जाती है: C(10 + 3 − 1, 3) = C(12, 3) = 220

   यहाँ दिलचस्प संख्या दूसरी पंक्ति है। अलग-अलग वस्तुओं के साथ क्रम हटाने वाली गिनती बस व्यवस्थाओं की संख्या को r! से भाग देने भर की है, पर दोबारा चुनने की छूट मिलते ही वह भाग देना ज़रूरत से ज़्यादा सुधार कर देता है — 777 की अलग व्यवस्था एक ही है, छह नहीं — इसलिए पेज भाग देने के बजाय दूसरा सूत्र अपना लेता है। 220 दस अंकों के तीन-अंकीय बहुसमुच्चयों की गिनती है, और यही वजह है कि दोबारा चुनने का स्विच दोनों पंक्तियाँ बदलता है, सिर्फ़ पहली नहीं।

यहाँ दो सीमाएँ समझाकर शांत करने के बजाय लागू की जाती हैं, और संख्याएँ चौंकाने से पहले दोनों जान लेना काम का है। जब तक दोबारा चुनने की छूट बंद है, r, n से बड़ा नहीं हो सकता: तीन अलग वस्तुओं के भंडार से चार उठाना कोई कम-संभावित नतीजा नहीं, एक असंभव माँग है, और पेज शून्य लौटाने के बजाय यही बताता है। भंडार का आकार 1000 पर रोका गया है। दूसरी सीमा ही असल में काम में आती है: व्यवस्थाओं की गिनती एक ऐसा गुणनफल है जो बेहद तेज़ी से बढ़ता है, और यह पेज वैज्ञानिक अंकन में अनुमान के बजाय ठीक पूर्ण संख्याएँ छापता है। जिस बिंदु के बाद सही मान ठीक-ठीक लिखा ही नहीं जा सकता, उसके आगे वह जवाब देने से मुकर जाता है — ऐसा पूर्णांक छापने के बजाय जिसके आख़िरी अंक ग़लत हों। यहाँ ऐसी ग़लत संख्या साफ़ इनकार से कहीं ज़्यादा ख़तरनाक है, क्योंकि वह उस हर चीज़ में उतर जाएगी जो उस पर निर्भर है। दोबारा चुनने वाली शाखा पर भी इसी तरह की एक छोटी अंकगणितीय सीमा है, जहाँ गिनती घात बन जाती है और बहुत बड़े घातांक उसी तरह बह जाते हैं। अर्थ के बारे में दो बातें और। यहाँ की कोई भी पंक्ति प्रायिकता नहीं है — दोनों बराबर-संभावित व्यवस्थाओं की गिनतियाँ हैं, और किसी गिनती को मौक़े में बदलने के लिए उसे कुल तरीक़ों से भाग देना पड़ता है, जो इस पेज की संख्याओं की नहीं, पूरी प्रक्रिया की बात है। और यहाँ क्रमगुणितों, द्विपद गुणांकों या पास्कल त्रिभुज की कोई संदर्भ तालिका नहीं है, जिसकी वजह नीचे का पाँचवाँ सवाल बताता है।

क्रमचय और संचय में क्या फ़र्क़ है?

क्रमचय व्यवस्थाएँ गिनता है और संचय समुच्चय: चुनी हुई दो वस्तुएँ आपस में बदलने पर क्रमचय में नतीजा बदल जाता है और संचय में नहीं। यह पेज दोनों साथ छापता है ताकि यह रिश्ता दावे के बजाय दिखे — व्यवस्थाओं की गिनती हमेशा बड़ी होती है, और उसे r के क्रमगुणित से भाग देने पर दूसरी पंक्ति मिलती है। काम की बात यह है कि पद का कोई मतलब है या नहीं। अगर तीसरा स्थान दूसरे से अलग है, जैसे दौड़ के नतीजे में या एक के बाद एक बाँटे गए पत्ते में, तो व्यवस्थाओं की गिनती चाहिए; और अगर चुनी गई तीनों वस्तुएँ एक-दूसरे की जगह ले सकती हैं, तो समुच्चय की।

दोनों पंक्तियों में फ़र्क़ ठीक r का क्रमगुणित क्यों होता है?

क्योंकि चुनी गई किसी भी r वस्तुओं को r! अलग-अलग क्रमों में लगाया जा सकता है, और क्रमचय की गिनती इनमें से हर क्रम को अलग नतीजा मानती है। r = 3 लीजिए: कोई भी तीन वस्तुएँ छह तरीक़ों से लगाई जा सकती हैं, इसलिए एक समुच्चय के सामने छह व्यवस्थाएँ आती हैं और व्यवस्थाओं की गिनती समुच्चय की छह गुनी हो जाती है। किसी गणना को परखने का सबसे तेज़ तरीक़ा भी यही है: दोनों पंक्तियों को भाग दीजिए और जवाब कोई क्रमगुणित आना चाहिए। अगर न आए, तो गड़बड़ जोड़-तोड़ में नहीं, सवाल की बनावट में है — अक्सर भंडार का आकार या दोबारा चुनने की सेटिंग उस हालत से मेल नहीं खाती जिसका बखान किया जा रहा है।

एक ही वस्तु को दोबारा उठाना कब अलग गिना जाता है?

ठीक तब जब हालत उसे दोबारा उठाने देती ही हो — यही वह स्विच है जो दोबारा चुनने की सेटिंग चलाती है, और यह दोनों पंक्तियाँ बदलती है, सिर्फ़ पहली नहीं। चार अंकों का PIN हर अंक को दस में से फिर से उठाता है, इसलिए 0000 और हर दूसरा दोहराव साधारण नतीजा है और गिनती 10⁴ है; लॉटरी में गेंदें ड्रम से बाहर निकल जाती हैं, इसलिए कोई अंक दो बार नहीं आ सकता और गिनती घटता हुआ गुणनफल बन जाती है। छूट चालू होने पर समुच्चय की गिनती व्यवस्थाओं की संख्या को r! से भाग देने भर की नहीं रहती, क्योंकि 777 जैसे चुनाव की अलग व्यवस्था छह नहीं, एक ही है — और पेज उस पंक्ति के लिए बहुसमुच्चय की गिनती लगाता है।

भंडार में मौजूद से ज़्यादा वस्तुएँ उठाने से पेज मना क्यों कर देता है?

जब तक दोबारा चुनने की छूट बंद है, n से बड़ा r ऐसी प्रक्रिया बताता है जो हो ही नहीं सकती: जब तीन ही अलग वस्तुएँ मौजूद हैं तो चौथी का वजूद ही नहीं। पेज शून्य लौटाने के बजाय समस्या बताता है, क्योंकि शून्य दूसरी जगहों पर एक जायज़ गिनती है और जवाब समझ लिया जाएगा। दोबारा चुनने की छूट चालू कीजिए और वही माँग बिलकुल साधारण हो जाती है — तीन वस्तुएँ, पाँच बार, छूट के साथ 3⁵ = 243 व्यवस्थाएँ बनाती हैं — इसीलिए यह रोक अकेले r पर नहीं, दोनों सेटिंगों के जोड़े पर लगती है।

इस जोड़ी में पास्कल त्रिभुज या क्रमगुणित की तालिका क्यों नहीं है?

क्योंकि यहाँ तालिका आपकी भरी हुई दो संख्याएँ देख ही नहीं सकती, और जो तालिका लोग चाहते हैं — क्रमगुणित, द्विपद गुणांक, पास्कल त्रिभुज की पंक्तियाँ — वह छोटे तय मानों की सूची है। उसे पेज पर रखने पर वह ऊपर के पैनल से अलग सवाल का जवाब देती, और कभी-कभी तो आपकी देखी हुई पंक्ति से खुलकर टकरा जाती, जो तालिका न रखने से भी बुरा है। पैनल ही तालिका है: n, r या दोबारा चुनने की सेटिंग बदलिए और दोनों पंक्तियाँ फिर से गिनी जाती हैं। इस जोड़ी के दोनों पेज यही फ़ैसला देते हैं — एक तालिका दे और दूसरा न दे, ऐसा नहीं होता, क्योंकि दोनों एक ही सवाल की दो दिशाएँ हैं।

बड़े भंडारों पर जवाब काम करना क्यों बंद कर देता है?

क्योंकि व्यवस्थाओं की गिनती पूर्ण संख्याओं की लंबी क़तारों का गुणनफल है, और यह उस सबसे बड़े पूर्णांक से बहुत जल्दी आगे निकल जाती है जिसे यह पेज ठीक-ठीक लिख सकता है — 19 का क्रमगुणित ही उससे पार है, हालाँकि उसके 18 अंक डरावने नहीं लगते। उस बिंदु के बाद पेज जवाब देने से मुकर जाता है, ऐसी संख्या छापने के बजाय जिसके आख़िरी कई अंक ग़लत हों — और ठीक गिनती की पूरी क़ीमत उसके अंकों में ही है: ग़लत पूर्णांक बिलकुल साधारण दिखता है और उस हर गणना में उतर जाएगा जो उस पर टिकी है। भंडार की 1000 वाली छत इसी चिंता का एक अलग, ढीला पहरा है — यह इनपुट को उस आकार पर रोक देती है जहाँ गणना की कोशिश अब भी बनती है।

• Permutation — from Wolfram MathWorld (a rearrangement of the elements of an ordered list, and the count of them for a set of a given size) — Wolfram MathWorld
• Combination — from Wolfram MathWorld (the number of ways of picking unordered outcomes from a set, also called the binomial coefficient and read "n choose k") — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the frequency reading of probability, which is how a count of equally likely arrangements becomes a chance) — National Institute of Standards and Technology (NIST)