संचय कैलकुलेटर

combinations C(n, r) = nCr = n! / (r!(n − r)!) · permutations P(n, r) = n! / (n − r)! · दोबारा चुनने की इजाज़त के साथ: C = (n + r − 1)! / (r!(n − 1)!) और P = nʳ

n

कुल वस्तुएँ, n — कितनी अलग-अलग चीज़ों में से चुनना है। यह जमावट का आकार है, उठाने की संख्या नहीं

r

चुनी गई वस्तुएँ, r — कितनी चीज़ें उठाई जाती हैं। दोबारा चुनने की इजाज़त बंद हो तो r, n से बड़ा नहीं हो सकता; चालू हो तो r, n से बड़ा भी हो सकता है, क्योंकि वही वस्तु दो बार आ सकती है

दोबारा चुनने की छूट

एक ही वस्तु को दोबारा चुनने दें — यानी यह तय करना कि वही चुनाव दोबारा हो सकता है या नहीं। यह दिखावट की पसंद नहीं बल्कि एक अलग सूत्र चुनती है, और यही तय करती है कि n से बड़ा r जायज़ है या नामुमकिन

C(n, r)

संचय (क्रम मायने नहीं रखता): n में से r चीज़ें चुनने के तरीक़े, जहाँ चुनाव का क्रम अनदेखा रहता है, इसलिए ABC और CBA एक ही गिने जाते हैं

P(n, r)

क्रमचय (क्रम गिना जाता है): r चीज़ें चुनकर उन्हें जमाने के तरीक़े, जहाँ ABC और CBA दो अलग नतीजे हैं। यह हमेशा संचय की गिनती का r! गुना होता है

इसे हर उस सवाल पर उठाइए जो असल में "कितने तरीक़े" है — यानी जहाँ प्रायिकता सूत्र से नहीं बल्कि गिनती से निकाली जा रही हो। ताश के हाथ, लॉटरी के निकाले, समिति के चुनाव और मंच पर बैठने के क्रम — सब यही गिनती हैं, और इनमें से किसी पर भी हाथ लगाने से पहले एक फ़ैसला करना पड़ता है: क्रम मायने रखता है या नहीं। पोकर का हाथ संचय है, मंच के पहले-दूसरे-तीसरे स्थान क्रमचय हैं। दोबारा चुनने वाला स्विच उन मामलों में मायने रखता है जहाँ वही चुनाव दो बार हो सकता है: किसी मेन्यू से पाँच स्कूप चुनना, जहाँ क्रम फिर भी नहीं गिना जाता पर स्वाद दोहरा सकते हैं, साधारण संचय नहीं बल्कि दोहराव वाला संचय है। यह पेज प्रायिकता नहीं निकालता, केवल वे गिनतियाँ देता है जिन पर प्रायिकता खड़ी होती है।

1. दस वस्तुएँ, तीन चुनिए: 120 संचय या 720 क्रमचय

   1. क्रम अनदेखा रखने पर C(10,3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120
   2. क्रम गिनने पर P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720
   3. दोनों में 3! = 6 का फ़र्क़ है, और 6 ही तीन चुनी हुई वस्तुओं को जमाने के तरीक़े हैं
   4. जाँचिए: 120 × 6 = 720

   यही वह जोड़ी है जिसे अलग रखने के लिए यह पूरा पेज बना है। वही तीन वस्तुएँ एक संचय देती हैं और छह क्रमचय, इसलिए बिना बताए दी गई कोई गिनती यहाँ छह गुना तक ग़लत हो सकती है — और पाँच चुनावों पर 120 गुना, जहाँ से ये ग़लतियाँ इतनी छोटी नहीं रहतीं कि नज़र से बच जाएँ। आख़िरी स्टेप वह रिश्ता है जो याद रखने लायक़ है: क्रमचय की गिनती हमेशा संचय की गिनती का r! गुना होती है, क्योंकि क्रम अनदेखा किए गए हर चुनाव को ठीक r! तरीक़ों से जमाया जा सकता है।

2. वही दस और तीन, दोबारा चुनने की इजाज़त के साथ

   1. दोहराव के साथ और क्रम अनदेखा रखकर C = (10 + 3 − 1)! / (3! × 9!) = C(12,3) = 220
   2. दोहराव के साथ और क्रम गिनकर P = 10³ = 1000
   3. संचय की गिनती के लिए जमावट असल में बड़ी हो जाती है — सूत्र n में r − 1 जोड़ देता है — जबकि क्रमचय की गिनती हर ख़ाने में एक-एक चुनाव भर है
   4. जाँचिए: 220, 120 नहीं है और 1000, 720 नहीं है — स्विच पलटने से दोनों पंक्तियाँ हिलीं

   दोनों पंक्तियाँ बदलीं, और यही स्विच का मुद्दा है, कोई बारीक़ी नहीं। जो बनावट केवल संचय की गिनती बदलती वह 220 और 720 बग़ल-बग़ल छापती, और दोनों संख्याएँ विश्वसनीय दिखतीं जबकि वे दो अलग नियम बता रही होतीं। यह भी देखिए कि अब क्रमचय की गिनती घटते गुणनफल के बजाय घात बन जाती है: दोहराव के साथ r में से हर ख़ाने के लिए n चुनाव मौजूद हैं, इसलिए गिनती nʳ तक पहुँच जाती है, हर बार एक कम होने के बजाय।

3. 52 पत्तों की गड्डी से पाँच पत्तों का हाथ

   1. हाथ में क्रम नहीं होता, इसलिए गिनती C(52,5) = 52! / (5! × 47!) है
   2. पाँच घटते पदों को गुणा कीजिए: 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 31,18,75,200
   3. 5! = 120 से भाग दीजिए: 31,18,75,200 / 120 = 25,98,960
   4. दूसरी पंक्ति पहली का बीच का स्टेप है — यही कहने का मतलब है कि हाथ, क्रम में बाँटे गए सौदे को उनकी जमावटों से भाग देने पर मिलता है

   25,98,960 वह संख्या है जिस पर पोकर की हर प्रायिकता भाग दी जाती है, और इस पेज पर सबसे ज़्यादा देखा जाने वाला ख़ाना यही है। यहाँ दोनों पंक्तियाँ साथ पढ़ना काम का है क्योंकि क्रमचय वाली पंक्ति असल में 5! से भाग देने से ठीक पहले वाला अंश है — पाँच पत्तों का हाथ 31,18,75,200 क्रम वाले तरीक़ों से बाँटा जा सकता है, और हर हाथ उनमें से 120 तरीक़ों में शामिल है। यह देख लेना कि क्रम अनदेखा वाली गिनती क्रम वाली गिनती को जमावटों से भाग देकर मिलती है, इन दोनों को आपस में उलझाने से बचने का सबसे तेज़ तरीक़ा है।

4. छह वस्तुएँ, सबकी सब उठाइए: एक संचय, 720 क्रमचय

   1. सब कुछ उठाने का तरीक़ा केवल एक है, इसलिए C(6,6) = 1
   2. क्रमचय छहों वस्तुओं की जमावटें हैं: P(6,6) = 6! = 720
   3. दोनों पंक्तियों के बीच का गुणक 720 = 6! है, यानी r = n पर वही r! वाला नियम

   r = n पर दोनों पंक्तियाँ जितनी दूर हो सकती हैं उतनी दूर होती हैं, और संचय वाली पंक्ति सिकुड़कर 1 रह जाती है — जब सब कुछ उठा लिया गया हो तो चुनने को बचता ही नहीं। इसे पोकर वाले हाथ के साथ रखकर देखना काम का है: वहाँ फ़र्क़ 120 गुना था, यहाँ 720 गुना, और बदला केवल यह कि हर चुनाव कितनी जमावटें खोलता है। अगर कभी क्रमचय वाली पंक्ति ही चाहिए थी, तो इसी आकार की ग़लती सबसे बड़ी होती है।

5. तीन स्वाद, पाँच स्कूप: n से बड़ा r

   1. तीन स्वादों से पाँच स्कूप, क्रम अनदेखा और दोहराव की इजाज़त के साथ: C = C(3 + 5 − 1, 5) = C(7,5) = 21
   2. क्रम भी गिन लेने पर P = 3⁵ = 243
   3. दोनों केवल इसलिए जायज़ हैं कि दोबारा चुनने की इजाज़त चालू है — बंद होने पर तीन में से पाँच चुनना नामुमकिन है और पेज वह इनपुट लेने से मना कर देता है

   यही वह मामला है जो स्विच को पसंद के बजाय शुद्धता की शर्त बना देता है। तीन के जमावट से पाँच चीज़ें बिना दोहराए चुनी ही नहीं जा सकतीं, इसलिए दोबारा चुनने की इजाज़त बंद होने पर पेज उसे सीधे अस्वीकार कर देता है, और चालू होने पर वही इनपुट दो बिलकुल साधारण संख्याएँ दे देते हैं। संचय वाली पंक्ति यह भी दिखाती है कि सूत्र जमावट में r − 1 क्यों जोड़ता है: दोहराव की इजाज़त जमावट को उतना ही बड़ा बना देती है जितना उठाने की संख्या से एक कम है, इसलिए तीन स्वादों को पाँच बार उठाना सात चीज़ों में से पाँच उठाने जैसा गिना जाता है।

दोनों गिनतियाँ एक हद तक सटीक पूर्णांक होती हैं, और उस हद के आगे पेज जवाब देने से मना कर देता है, गोल करके नहीं देता। ये गिनतियाँ बहुत तेज़ी से बढ़ती हैं — सौ में से पचास चुनने की संख्या में तीस अंक लगते हैं — और कंप्यूटर जिन संख्याओं से हिसाब करता है वे किसी-किसी सोलहवें अंक के आसपास हर पूर्णांक को सटीकता से रख पाना बंद कर देती हैं, इसलिए इतनी बड़ी गिनती के आख़िरी अंक ग़लत लौटते और वह बिलकुल साधारण दिखती। ऐसी संख्या छापने के बजाय जिसकी ग़लती कोई पकड़ ही न सके, पेज सटीक परास के बाहर की गिनतियों पर त्रुटि देता है; यही इनकार हज़ार से ऊपर की जमावट और किसी भी ऋणात्मक गिनती पर भी लागू होता है। दो और सीमाएँ: पेज गिनती करता है, बस — वह संचयों की सूची नहीं बनाता, उन्हें एक-एक करके नहीं दिखाता, और किसी एक के निकलने की प्रायिकता भी नहीं निकालता, जो इस गिनती को कुल से भाग देने पर मिलती है। और दोबारा चुनने वाला स्विच केवल एक बात कहता है, कि वही वस्तु एक बार से ज़्यादा उठाई जा सकती है; वह गड्डी की तरह वापस न रखकर निकालने और वापस रखकर निकालने का फ़र्क़ नहीं बताता, जहाँ हर पत्ता निकलते ही जमावट छोटी कर देता है।

संचय और क्रमचय में क्या फ़र्क़ है?

संचय चुनाव का क्रम अनदेखा कर देता है और क्रमचय उसे गिनता है। दस में से तीन लोगों को समिति के लिए चुनना संचय है, क्योंकि ABC वाली समिति CBA वाली समिति ही है; उन्हीं तीन को पहला, दूसरा और तीसरा इनाम देना क्रमचय है, क्योंकि बँटवारे अलग-अलग हैं। दोनों गिनतियाँ कभी पास-पास नहीं होतीं: क्रमचय की गिनती संचय की गिनती का r! गुना होती है, यानी चुनी गई r वस्तुओं को जमाने के तरीक़ों का गुना। इस पेज पर दोनों पंक्तियाँ इसीलिए छपती हैं कि इस गुणक का अंदाज़ा न लगाना पड़े — r = 3 पर यह 6 है, और r = 5 पर 120।

कैलकुलेटर पर nCr का क्या मतलब है?

nCr संचय निकालने का फ़ंक्शन है: n जमावट का आकार है और r यह कि कितनी चीज़ें उठाई जा रही हैं, और नतीजा क्रम अनदेखा रखकर चुनने के तरीक़ों की संख्या है। यह वही संख्या है जो यह पेज संचय वाली पंक्ति में छापता है। उसका साथी फ़ंक्शन nPr क्रम गिनकर निकाली गई क्रमचय की गिनती है, और वह नीचे वाली पंक्ति है। यह पहचानने का तेज़ तरीक़ा यह है कि देखिए, चुनी गई दो वस्तुओं की आपस में जगह बदलने से नतीजा बदलेगा या नहीं — न बदले तो जवाब nCr है।

दोबारा चुनने की इजाज़त देने पर क्या-क्या बदलता है?

दोनों सूत्र बदलते हैं, और यह भी बदलता है कि कौन-से इनपुट जायज़ हैं। इजाज़त बंद होने पर क्रमचय की गिनती घटता गुणनफल होती है — n × (n − 1) × … — और संचय की गिनती उसे r! से भाग देती है; इजाज़त चालू होने पर क्रमचय की गिनती सीधे n की r घात हो जाती है, और संचय की गिनती समुच्चयों वाली गिनती बन जाती है, जो n वस्तुओं से एक बार में r उठाने पर C(n + r − 1, r) निकलती है। जायज़ी वाली बात लोगों को सबसे ज़्यादा उलझाती है: इजाज़त बंद होने पर n से बड़ा r हो ही नहीं सकता और उसे अस्वीकार कर दिया जाता है, जबकि इजाज़त चालू होने पर वह बिलकुल साधारण माँग है, जैसे तीन स्वादों से पाँच स्कूप।

पेज कुछ बड़े इनपुट पर जवाब देने से मना क्यों कर देता है?

क्योंकि जवाब अपने आख़िरी अंकों में ग़लत होता और ग़लत दिखता भी नहीं। ये गिनतियाँ बेहद तेज़ी से बढ़ती हैं — सौ वस्तुओं में से पचास उठाने की संख्या लगभग तीस अंकों तक जाती है — और कंप्यूटर जिन संख्याओं से हिसाब करता है वे किसी-किसी सोलहवें अंक के आसपास हर पूर्णांक को सटीकता से रख पाना बंद कर देती हैं। उस लकीर के आगे नतीजा ऐसी पास की संख्या होती है जिसकी शुरुआत सही दिखती है और अंत ग़लत, और अगर वह गिनती किसी प्रायिकता या किसी रिपोर्ट में जा रही हो तो यह कोई जवाब न मिलने से भी बुरा है। इसलिए जिन गिनतियों को पेज सटीकता से नहीं रख सकता उन पर वह त्रुटि देता है, ठीक उसी तरह जैसे हज़ार से ऊपर की जमावट या ऋणात्मक गिनती पर देता है।

क्या दोबारा चुनने वाला स्विच "वापस रखकर निकालने" जैसा है?

ताश की गड्डी में जिस मतलब से यह वाक्यांश इस्तेमाल होता है, उस मतलब से नहीं। स्विच केवल यह कहता है कि वही वस्तु एक बार से ज़्यादा चुनी जा सकती है, और स्वतंत्र चुनावों वाली जमावट में वापस रखकर निकालना यही नतीजा देता है। गड्डी वाले सवाल में जमावट पत्तों के निकलने के साथ छोटी भी होती जाती है, और ऊपर के सूत्र उसका हिसाब पहले से रखते हैं — बिना दोहराव वाले सूत्रों का घटता गुणनफल यही काम करता है, इसीलिए पाँच पत्तों का हाथ C(52,5) है, 52 की पाँचवीं घात नहीं। तो स्विच यह तय करता है कि दोहराव की इजाज़त है या नहीं, और जमावट का छोटा होना सूत्र संभालता है, स्विच नहीं।

कैलकुलेटर के नीचे कोई तालिका क्यों नहीं है?

क्योंकि तालिका को पैनल से मतभेद करना पड़ता। ऐसे पेज की जो तालिका काम की होती वह एक तरफ़ n और दूसरी तरफ़ r रखी गई जाली होती, पर पैनल का जवाब आपके भरे हुए n और r से बनता है, इसलिए कोई तय जाली उन्हीं इनपुट पर दूसरी संख्याएँ दिखाती। इस साइट पर संदर्भ तालिका वही पेज रखते हैं जिनकी तालिका संख्याओं का तय समूह बताती है — कोई श्रेणी की सीमा या कोई मानक पैमाना — न कि इनपुट से बनने वाली कोई गिनती। यहाँ जवाब पैनल की दो पंक्तियाँ ही हैं, और वे हर अक्षर के साथ हिलती हैं।

• Combination — from Wolfram MathWorld (the number of ways of picking unordered outcomes from a set, also called the binomial coefficient and read "n choose k") — Wolfram MathWorld
• Permutation — from Wolfram MathWorld (a rearrangement of the elements of an ordered list, and the count of them for a set of a given size) — Wolfram MathWorld
• Multichoose — from Wolfram MathWorld (the number of multisets of a given length on a given number of symbols, which is the combinations with repetition count this page switches to) — Wolfram MathWorld