पास्कल त्रिभुज कैलकुलेटर

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k); C(n, 0) = C(n, n) = 1; पंक्ति का योग = 2^n

n

छापने के लिए पंक्तियों की संख्या, जिसमें सबसे ऊपर का अकेला 1 पंक्ति 0 गिना जाता है। इसलिए n पंक्तियों का मतलब पंक्ति 0 से लेकर n - 1 तक, और छपी हुई आख़िरी पंक्ति में n प्रविष्टियाँ होंगी। इनपुट 1 से 53 तक चलता है, और यह सीमा स्क्रीन के आकार की वजह से नहीं है — नीचे पंक्ति का योग वाली प्रविष्टि देखिए, जो असल में पहले ख़त्म होती है

k

पंक्ति के भीतर की स्थिति, बाएँ सिरे से 0 से गिनी हुई। पंक्ति n में k = 0 से k = n तक प्रविष्टियाँ हैं, यानी n + 1 संख्याएँ। दोनों सिरों की जगह ख़ास है: C(n, 0) और C(n, n) दोनों 1 हैं, और यही 1 की जोड़ी त्रिभुज के दोनों किनारों पर नीचे तक चलती है। इनके ठीक बीच की हर चीज़ ऊपर वाली पंक्ति की दो प्रविष्टियों का योग है

C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

वह नियम जो पूरा त्रिभुज बनाता है, और वही जो यह पेज अपनाता है। पंक्ति n की स्थिति k वाली प्रविष्टि उसके ऊपर की दो प्रविष्टियों का योग है — ठीक ऊपर-बाएँ वाली और ठीक ऊपर-दाएँ वाली, और इसीलिए किनारों को एक ही संख्या दिखती है और वे 1 पर टिके रहते हैं। यह जोड़ के ज़रिए किया जाता है, फ़ैक्टोरियल के सूत्र से नहीं, ताकि हर बीच का मान सटीक रहे और स्क्रीन पर दिखने वाला त्रिभुज ठीक वही जोड़ों का क्रम हो जो पेज ने किया

C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)

उसी संख्या का दूसरा चेहरा: द्विपद गुणांक, जो यह गिनता है कि n चीज़ों में से k चुनने के कितने तरीक़े हैं जब क्रम मायने न रखे। यह जोड़ वाले नियम जितना ही मान देता है और त्रिभुज को गिनती के लिए इस्तेमाल करने पर पंक्ति की संख्याओं का अर्थ यही होता है। पेज इससे गणना नहीं करता, क्योंकि तब दोनों अलग-अलग अंकगणित बन जाते और एक-दूसरे से खिसक सकते थे

2^n

पंक्ति n का योग, और यही वजह है कि इनपुट यहीं रुकता है। किसी भी पंक्ति को जोड़िए और हमेशा दो की कोई घात मिलती है: पंक्ति 0 का योग 1, पंक्ति 1 का 2, पंक्ति 2 का 4, और पंक्ति 6 का 64। हर पंक्ति में दुगुना होना ही वजह है कि योग किसी अकेले गुणांक से पहले ठीक-ठीक दर्शाए जा सकने वाले दायरे से बाहर निकल जाता है — पंक्ति 52 का योग 4503599627370496 है और पंक्ति 53 का 9007199254740992, जो दोहरी परिशुद्धता वाली संख्या के आख़िरी ठीक पूर्णांक से एक आगे है

1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

पंक्ति 6 खुली हुई, जो डिफ़ॉल्ट सात पंक्तियों की आख़िरी है। इसे इसके ऊपर वाली पंक्ति के सामने पढ़िए और हर प्रविष्टि दो पड़ोसियों का योग निकलती है: 6 = 1 + 5, 15 = 5 + 10, 20 = 10 + 10, और फिर यह दर्पण की तरह लौट आती है। पंक्ति हमेशा अपने बीच से सममित रहती है, क्योंकि k चीज़ें रखने के लिए चुनना और n - k चीज़ें हटाने के लिए चुनना एक ही चुनाव को दो बार गिनना है

त्रिभुज किसी द्विपद को हाथ से खोलने का सबसे तेज़ तरीक़ा है। (x + y) को छठी घात तक गुणा करने के लिए पेज से पंक्ति 6 सीधे पढ़ लीजिए और 1x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + 1y⁶ लिख दीजिए, बहुपदों का कोई गुणा किए बिना। जब सिर्फ़ एक पद चाहिए हो तो अकेला गुणांक चाहिए होता है, और संचय वाला पेज उसे n तथा k से सीधे निकाल देता है, बीच की पंक्तियाँ बनाए बिना। दो नतीजों वाली प्रायिकता के सवाल भी यही संख्याएँ इस्तेमाल करते हैं: दस उछालों में ठीक 4 चित आने की संभावना C(10, 4) बटा 2¹⁰ है, और हर में बैठा वह 1024 पंक्ति 10 का योग है। त्रिभुज ऐसे गिनती के सवालों का भी जवाब देता है जो असंबंधित दिखते हैं — किसी जाली में एक कोने से सामने वाले कोने तक जाने के रास्ते, किसी तय ख़ाने तक पहुँचने के तरीक़े जब सिर्फ़ दाएँ और नीचे चल सकते हों, और किसी तय आकार के उपसमुच्चयों की गिनती। जब सवाल यह हो कि संख्याएँ क्या हैं, तो यह पेज उन्हें छापता है; जब यह हो कि कोई काम कितने तरीक़ों से हो सकता है, तो संचय वाला पेज छोटा रास्ता है; और जब सवाल तिरछी पंक्तियों में छिपी फ़िबोनाची संख्याओं का हो, तो फ़िबोनाची वाला पेज उस क्रम को सीधे समझाता है।

1. सात पंक्तियाँ, जो 1 6 15 20 15 6 1 पर ख़त्म होती हैं

   1. पंक्ति 0 है 1, और पंक्ति 1 है 1, 1 — हर पंक्ति के दोनों किनारे हमेशा 1 रहते हैं
   2. पंक्ति 2: बीच में 1 + 1 = 2, यानी 1, 2, 1
   3. पंक्ति 3: 1 + 2 = 3 दो बार, यानी 1, 3, 3, 1; पंक्ति 4: 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6, यानी 1, 4, 6, 4, 1
   4. पंक्ति 5 और पंक्ति 6 इसी तरह आगे बढ़ती हैं, और 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 पर ख़त्म होती हैं
   5. पंक्ति 6 को जोड़िए: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64, जो दो की छठी घात है

   डिफ़ॉल्ट इनपुट। दो बातें स्क्रीन से मिलाकर देखने लायक़ हैं। पहली, हर संख्या अपने ऊपर की दो संख्याओं का योग है: 15 = 5 + 10, 20 = 10 + 10, और पंक्ति सममित है क्योंकि सात प्रविष्टियों के बीच में 20 बैठता है और दोनों ओर जोड़े बन जाते हैं। दूसरी, पंक्ति का योग हर बार दुगुना होता है — 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 — इसलिए जो पाठक जानता है कि ऊपर वाली पंक्ति का योग 32 है, वह इसे जोड़ने से पहले ही बता सकता है। यही दुगुना होना किनारों के दो 1 जितना ही सच है: ऊपर की हर पंक्ति अपना पूरा जोड़ दो बार देती है, एक बार बाएँ आधे में और एक बार दाएँ।

2. चार पंक्तियाँ, सबसे छोटा काम का त्रिभुज

   1. पंक्ति 0 है 1; पंक्ति 1 है 1, 1
   2. पंक्ति 2 है 1, 2, 1, जिसमें 2, 1 + 1 से आता है
   3. पंक्ति 3 है 1, 3, 3, 1, जिसमें हर 3, 1 + 2 से आता है
   4. आख़िरी पंक्ति जोड़िए: 1 + 3 + 3 + 1 = 8, जो दो की तीसरी घात है

   यहाँ आख़िरी पंक्ति पंक्ति 3 है, और यहीं त्रिभुज दिलचस्प होने लगता है: 1, 3, 3, 1, (x + y)³ के गुणांक हैं, इसलिए x³ + 3x²y + 3xy² + y³ इस पंक्ति से बिना कुछ गुणा किए लिखा जा सकता है। यह आख़िरी पंक्ति भी है जिसे कुछ सेकंड में हाथ से जाँचा जा सकता है, इसीलिए लंबी पंक्तियों से पहले इसे देख लेना अच्छा है। ध्यान दीजिए कि 4 पंक्तियों का मतलब पंक्ति 0 से 3 तक है — जो संख्या आप डालते हैं वह पंक्तियों की गिनती है, सबसे बड़ी पंक्ति की सूची-संख्या नहीं।

3. एक पंक्ति, सबसे सीधा मामला

   1. पंक्ति 0 एक अकेला 1 है, जिसके ऊपर जोड़ने के लिए कुछ नहीं है
   2. एक पंक्ति माँगी गई थी और एक पंक्ति छपी है
   3. पंक्ति का योग 1 है, जो दो की शून्यवीं घात है

   सबसे छोटा इनपुट जो पेज स्वीकार करता है, और इसे ख़ाली मानकर छोड़ा नहीं जाता बल्कि स्वीकार किया जाता है। एक पंक्ति वाला त्रिभुज अधूरा नहीं है — यही वह आधार है जिससे हर आगे की पंक्ति बनती है। इसे पढ़कर सूची-गिनती भी पक्की हो जाती है: 1 पंक्ति माँगने पर पंक्ति 0 मिलती है, पंक्ति 1 नहीं, और यह बात त्रिभुज की तुलना किसी द्विपद प्रसार से करते ही मायने रखने लगती है। योग 1 होना, 0 नहीं, अंकगणित में वही बात है कि त्रिभुज के सबसे ऊपर एक अकेला 1 है।

पंक्तियों की संख्या 1 से 53 तक की पूर्ण संख्या होनी चाहिए। यह सीमा इसलिए है कि छपने वाली हर संख्या ऐसी होनी चाहिए जिसे कंप्यूटर अब भी ठीक-ठीक दर्शाता हो, और उसके आगे दो पड़ोसी पूर्णांक एक ही मान पर आ जाते हैं — छपे हुए अंक बिल्कुल आम दिखते रहते हैं, बस वे अब उस संख्या को नहीं दर्शाते जिसका दावा करते हैं। सबसे पहले पंक्ति का योग ही हारता है: पंक्ति 52 का योग 4503599627370496 है और पंक्ति 53 का 9007199254740992, जो दोहरी परिशुद्धता में ठीक-ठीक रखे जा सकने वाले सबसे बड़े पूर्णांक से एक आगे है। अकेले गुणांक पंक्ति 56 तक टिक जाते — रेखा के पार पहला C(57, 28) है — पर त्रिभुज एक बार में एक पंक्ति छपता है, इसलिए फ़ैसला योग करता है। शून्य पंक्तियाँ अस्वीकार की जाती हैं: ख़ाली त्रिभुज कुछ नहीं छापता, इसलिए देने के लिए कोई उत्तर नहीं है। पंक्ति के भिन्न अस्वीकार किए जाते हैं, पूर्णांकित करके नहीं लिए जाते, क्योंकि ढाई पंक्तियों जैसी कोई चीज़ नहीं होती। पंक्तियाँ अल्पविराम से अलग संख्याओं की एक सपाट डोरी के रूप में लौटती हैं और पंक्तियाँ अर्धविराम से अलग होती हैं, और कहीं भी हज़ार का विभाजक नहीं लगता, इसलिए बड़ा गुणांक 184,756 नहीं बल्कि 184756 छपता है। चौड़े त्रिभुज पर इसका मतलब है स्क्रॉल करने लायक़ लंबी डोरी। नीचे की संदर्भ तालिका पहली सात पंक्तियाँ दिखाती है, आपके इनपुट का पीछा नहीं करती, और किसी भी पंक्ति तक सीधे पहुँचा नहीं जा सकता — पेज हमेशा ऊपर से नीचे की ओर छापता है।

पास्कल त्रिभुज का इस्तेमाल किस लिए होता है?

ज़्यादातर द्विपद प्रसार के लिए। पंक्ति n की प्रविष्टियाँ वही गुणांक हैं जो (x + y) को nवीं घात तक गुणा करने पर मिलते हैं, इसलिए पंक्ति 6 से (x + y)⁶ के सातों पद तुरंत लिखे जा सकते हैं, कोई भी बहुपद आपस में गुणा किए बिना। यही संख्याएँ संचय भी गिनती हैं: C(n, k) पंक्ति n की स्थिति k वाली प्रविष्टि है, इसलिए ये ऐसे सवालों का जवाब देती हैं जैसे 10 लोगों में से 4 चुनने के कितने तरीक़े हैं। प्रायिकता में भी यही आती हैं, जहाँ दस सिक्कों की उछाल में ठीक 4 चित आने की संभावना 2¹⁰ में से C(10, 4) है — और वह 1024 पंक्ति 10 का योग है। जाली में रास्ते गिनने में भी यही लगती हैं: किसी जाली में एक कोने से सामने वाले कोने तक, सिर्फ़ दाएँ और नीचे चलते हुए, जितने रास्ते बनते हैं वह त्रिभुज की एक प्रविष्टि है।

इनपुट 53 पंक्तियों पर क्यों रुक जाता है?

क्योंकि पंक्ति का योग ऐसी पूर्ण संख्या होनी बंद कर देता है जिसे कंप्यूटर ठीक-ठीक दर्शा सके। पंक्ति 52 का योग 4503599627370496 है और पंक्ति 53 का 9007199254740992, और यह दूसरी संख्या दोहरी परिशुद्धता में ठीक-ठीक रखे जा सकने वाले सबसे बड़े मान से एक आगे है। उसके बाद दो पड़ोसी पूर्णांक एक ही मान बन जाते हैं, इसलिए छपे हुए अंक आम दिखते रहते हैं पर अब उस संख्या को नहीं दर्शाते जिसका दावा करते हैं। अकेले गुणांक ज़्यादा टिकते — रेखा के पार पहला C(57, 28) है, पंक्ति 57 में — पर त्रिभुज एक बार में एक पंक्ति छपता है, इसलिए फ़ैसला योग करता है। ऐसी पंक्ति भेजना, जिसका पूरा जोड़ ग़लत हो और अकेली प्रविष्टियाँ सही हों, भ्रम फैलाने वाली चीज़ होती।

आख़िरी पंक्ति दो बार क्यों छपती है?

क्योंकि बड़े त्रिभुज में आख़िरी पंक्ति ही वह हिस्सा है जो ज़्यादातर पाठकों को चाहिए होता है, और अंकों की लंबी डोरी में उसे ढूँढ़ना मेहनत है। 40 पंक्तियाँ माँगिए तो त्रिभुज वाला आउटपुट अंकों की एक दीवार बन जाता है जिसमें आपकी पंक्ति सबसे दाएँ पड़ी होती है; आख़िरी पंक्ति वाला आउटपुट वही पंक्ति अलग से, पढ़ने लायक़ आकार में देता है। दोनों एक ही गणना से आते हैं, इसलिए अलग नहीं पड़ सकते। पंक्ति का योग तीसरी बार इसी वजह से छपता है — वह एक अकेली संख्या है जो उस सवाल का जवाब देती है जिसका जवाब अंकों की पंक्ति एक नज़र में नहीं देती।

पंक्तियों की गिनती 0 से शुरू होती है या 1 से?

0 से, और यही वह परंपरा है जिससे गुणांकों की सूची-संख्या आम तौर पर ली जाती है। C(n, k) का मतलब है पंक्ति n की स्थिति k वाली प्रविष्टि, इसलिए सबसे ऊपर का अकेला 1 पंक्ति 0 है और 7 पंक्तियाँ माँगने पर पंक्ति 0 से 6 तक मिलती हैं, जो 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 पर ख़त्म होती हैं — सात संख्याएँ, क्योंकि पंक्ति n में हमेशा n + 1 प्रविष्टियाँ होती हैं। यह बात त्रिभुज की तुलना किसी द्विपद प्रसार से करते ही मायने रखती है: (x + y)⁶ के गुणांकों की पंक्ति पंक्ति 6 है, पंक्ति 7 नहीं। जो संख्या आप डालते हैं वह पंक्तियों की गिनती है, सबसे बड़ी पंक्ति की सूची-संख्या नहीं।

किसी पंक्ति का योग क्या होता है, और वह हमेशा दो की घात क्यों होता है?

किसी भी पंक्ति को जोड़िए और आपको उस पंक्ति की सूची-संख्या वाली दो की घात मिलती है: पंक्ति 0 से 1, पंक्ति 6 से 64, पंक्ति 10 से 1024। वजह वही नियम है जो त्रिभुज बनाता है। हर पंक्ति अपने ऊपर वाली पंक्ति से बनती है, उसे एक जगह खिसकाकर अपने में जोड़कर, इसलिए ऊपर की पंक्ति की हर संख्या नीचे वाली पंक्ति में दो बार गिनी जाती है — एक बार बाईं ओर और एक बार दाईं ओर। हर बार जोड़ दुगुना होने से दो की घातें बनती हैं। यही बात दूसरे ढंग से पढ़िए: पंक्ति n का योग n चीज़ों के समूह के हर उपसमुच्चय को गिनता है, और n चीज़ों के समूह में 2ⁿ उपसमुच्चय होते हैं। इसीलिए दस सिक्कों वाली प्रायिकता के हर में बैठा 1024 सीधे पंक्ति 10 से आता है।

इस त्रिभुज में फ़िबोनाची संख्याएँ कहाँ से आती हैं?

तिरछी पंक्तियों से। ऊपर और बाईं ओर जाती किसी रेखा के साथ संख्याएँ जोड़िए — जैसे 1, फिर 4, फिर 3 — और चलते-चलते जोड़ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 बनते हैं। ये फ़िबोनाची संख्याएँ हैं, जिनमें हर एक अपने से पहले वाली दो का योग होती है। वजह यह है कि तिरछी पंक्ति की हर प्रविष्टि ख़ुद अपने ऊपर की दो प्रविष्टियों से बनती है, जिनमें एक उसी तिरछी पंक्ति पर होती है और दूसरी उसके बग़ल वाली पर, इसलिए तिरछी पंक्तियों को फ़िबोनाची का नियम सीधे विरासत में मिल जाता है। अगर आप इसे आगे तक देखना चाहें तो फ़िबोनाची कैलकुलेटर उस क्रम को अलग से समझाता है।

• Pascal's Triangle — the array of binomial coefficients, its additive rule, and the identities that fall out of it — Wolfram MathWorld (United States)
• Binomial Coefficient — what C(n, k) counts, the factorial formula, and why the additive rule gives the same values — Wolfram MathWorld (United States)
• Binomial Theorem — the expansion of (x + y)^n, whose coefficients are the rows of the triangle — Wolfram MathWorld (United States)