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फ़िबोनाची कैलकुलेटर

सीमा: 2 – 78

नतीजा

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

पद (F(1) से F(n) तक)

nवाँ पद
55
स्वर्ण अनुपात का अनुमान
1.61764706

फ़िबोनाची अनुक्रम दो 1 से शुरू होता है, और उसके बाद हर पद अपने से पहले वाले दो पदों का योग होता है: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 और आगे। यह पेज पहले n पद बनाता है, nवाँ पद अलग से दिखाता है, और आख़िरी पद का उससे पहले वाले पद से अनुपात भी देता है। यही आख़िरी नतीजा इस पेज को किसी तालिका से ज़्यादा काम का बनाता है। अनुपात पहले डगमगाते हैं — 2, फिर 1.5, फिर 1.6667, फिर 1.6 — और फिर तेज़ी से एक ही संख्या पर बैठ जाते हैं, 1.6180339887…, जो स्वर्ण अनुपात है। बीसवें पद तक यह अनुपात दस लाखवें हिस्से तक सही हो चुका होता है। परिभाषा में कहीं उस संख्या का ज़िक्र नहीं है; वह इस जोड़ से ख़ुद निकलती है, और उसे निकलते हुए देखना ही असली मज़ा है। यह पेज 1 से गिनता है, इसलिए F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2 और F(10) = 55। आम इस्तेमाल में एक दूसरी परिपाटी भी है जो F(0) = 0 से शुरू होती है, और उसके हिसाब से वही पाँचवाँ पद 5 होता है जहाँ यह पेज 8 देता है। दोनों सही हैं, पर पेज को एक चुनना पड़ता है, और इन दोनों को मिला देना ही फ़िबोनाची के जवाब ग़लत होने का सबसे आम रास्ता है। 78 पदों की छत विचार की सीमा नहीं, अंकगणित की है: ये पद F(79) पर उससे आगे निकल जाते हैं जो दोहरी परिशुद्धता वाली संख्या ठीक-ठीक रख सकती है, इसलिए पेज उस बिंदु से एक पद पहले रुक जाता है जहाँ जवाब अनुमान बनने लगते। अनुक्रम के बारे में एक बात कहने लायक है, क्योंकि यह उन गिने-चुने उदाहरणों में है जो दो अलग दिशाओं से आते हैं। एक है खरगोशों की समस्या: एक जोड़े से शुरू कीजिए, हर जोड़े को बड़ा होने में एक महीना दीजिए और उसके बाद हर महीने एक नया जोड़ा पैदा करने दीजिए — हर महीने के जोड़ों की गिनती ठीक यही संख्याएँ निकलती हैं। दूसरी है ऊपर की परिभाषा — पिछले दो जोड़ दीजिए — और यह साफ़ नहीं है कि ये दोनों एक ही चीज़ हैं, और इसीलिए यह अनुक्रम ऐसी जगहों पर निकलता है जिनका एक-दूसरे से कोई ताल्लुक़ नहीं। सूरजमुखी के बीजों का सर्पिल, चीड़ के शंकु की शल्कें, और तने के चारों ओर पत्तों की बनावट — सब इन्हीं संख्याओं पर चलते हैं, और वजह हमेशा वही स्वर्ण अनुपात होती है जिस पर ये अनुपात जाकर बैठते हैं। जो यह अनुक्रम नहीं है, वह प्रकृति का कोई नियम या रचना का कोई सिद्धांत है — यह एक पुनरावृत्ति संबंध है जो संयोग से सबसे अपरिमेय संख्या के सबसे क़रीब बैठता है, और प्रकृति उसे उन जगहों पर इस्तेमाल करती है जहाँ वह निकटता काम आती है।

पहले दस पद, हर पद का उससे पहले वाले पद से अनुपात के साथ

nपदपिछले पद से अनुपात
11—
211.00000000
322.00000000
431.50000000
551.66666667
681.60000000
7131.62500000
8211.61538462
9341.61904762
10551.61764706

दाईं ओर का कॉलम ऊपर से नीचे पढ़िए और आप एक संख्या को अपना मन बनाते हुए देख रहे हैं। वह 2 से शुरू होता है — दूसरा पद 1 है और पहला 1, पर 2 ÷ 1 = 2 — फिर 1.5 पर गिरता है, वापस 2 तक उछलता है, 1.667 पर आता है, और फिर झूलों का दायरा तेज़ी से घटने लगता है: 1.6, 1.625, 1.615, 1.619, 1.617647। यही झूला असली बात है। अनुपात 1.618 की ओर एक ही तरफ़ से नहीं बढ़ता; वह बारी-बारी ऊपर-नीचे जाता है, और हर झूला पिछले से क़रीब-क़रीब आधा रहता है — इसीलिए दसवीं पंक्ति तक छपा हुआ मान दो दशमलव स्थानों तक सही हो चुका होता है। असली स्वर्ण अनुपात 1.6180339887 से शुरू होता है, इसलिए दसवीं पंक्ति तक बची ग़लती तीसरे दशमलव में है। पहली पंक्ति में अनुपात की जगह एक डैश है क्योंकि वहाँ भाग देने को कोई पिछला पद ही नहीं — ठीक उसी वजह से पेज अकेले पद की माँग ख़ाली जगह छापने के बजाय ठुकरा देता है।

फ़ॉर्मूला

F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n − 1) + F(n − 2) ⇒ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …; आसन्न दो पदों का अनुपात → φ = (1 + √5) / 2 = 1.6180339887…

F(1) = F(2) = 1
दोनों शुरुआती मान, और वह चुनाव जिसे यह पेज खुलकर बता देता है। 1 से गिनने का मतलब है कि F(1) और F(2) दोनों 1 हैं और F(10) = 55 है। दूसरी आम परिपाटी F(0) = 0 और F(1) = 1 रखती है, जो हर सूचकांक को एक क़दम खिसका देती है — उसके हिसाब से F(5) = 5 होता है, 8 नहीं। कोई भी ग़लत नहीं है, पर वे हर एक सूचकांक पर असहमत हैं
F(n) = F(n − 1) + F(n − 2)
पुनरावृत्ति संबंध, जो पूरी परिभाषा है। हर पद अपने से पहले वाले दो का योग है: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8। दो शुरुआती मानों से आगे बढ़ते जाना ही वजह है कि यह पेज हज़ार पद उतनी ही आसानी से बना देता है जितने दस — हल करने को कोई सूत्र नहीं है, बस एक जोड़ बार-बार दोहराना है
n
आपको कितने पद चाहिए, 2 से 78 तक। निचली सीमा 1 के बजाय 2 है क्योंकि अनुपात वाले नतीजे को एक पद और उससे पहले वाला पद चाहिए, इसलिए अकेले पद के पास भाग देने को कुछ नहीं होगा; पेज उसे ठुकरा देता है, ख़ाली अनुपात छापने के बजाय। ऊपरी सीमा वह बिंदु है जहाँ पद साधारण फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित में ठीक-ठीक रहना बंद कर देते हैं
F(78) = 8944394323791464
वह आख़िरी पद जहाँ तक यह पेज पहुँचेगा, और वहाँ रुकने की वजह। F(79) = 14472334024676221 है, जो उस सबसे बड़ी पूर्ण संख्या से आगे है जिसे कोई double ठीक-ठीक रख सकता है — 9007199254740991 — इसलिए वहाँ से आगे छपे अंक अनुक्रम नहीं, कोई अनुमान होंगे। पेज 79 ठुकरा देता है, ऐसा पद छापने के बजाय जो लगभग सही हो
F(n) / F(n − 1)
अनुपात वाला नतीजा। यह स्वर्ण अनुपात नहीं है और पेज ऐसा दावा भी नहीं करता: पाँचवें पद पर 1.6667 आता है, जो 1.618 से बहुत दूर है। यह एक अनुमान है जो तेज़ी से सुधरता है — बीसवाँ पद आठ दशमलव स्थानों तक सही हो चुका होता है, और पेज उतनी ही परिशुद्धता छापता है
φ = 1.6180339887…
स्वर्ण अनुपात, वह संख्या जिस पर ये अनुपात जाकर बैठते हैं। यह x² = x + 1 का धनात्मक हल है, जो वही पुनरावृत्ति संबंध समीकरण के रूप में लिखा हुआ है — यह संयोग नहीं है, यही वजह है कि फ़िबोनाची के अनुपात उसी पर उतरते हैं। ध्यान दीजिए कि छपा हुआ अनुमान ज़्यादा से ज़्यादा 1.61803399 है: पेज आठ दशमलव दिखाता है, और असली मान उनसे आगे भी चलता रहता है

किसी पद की जाँच करना इसका सीधा इस्तेमाल है: कोई पहेली दसवाँ फ़िबोनाची पद पूछती है, या किताब का कोई क्रम उससे आगे चला जाता है जहाँ तक हाथ से जोड़ना ठीक लगता है — पेज वह मान भी देता है और उस तक पहुँचने वाले पदों की क़तार भी। अनुपात वाला नतीजा एक अलग सवाल का जवाब है, और वह सवाल यह है कि स्वर्ण अनुपात आता कहाँ से है। 2, 1.5, 1.6667, 1.6, 1.625, 1.615 को 1.618 की ओर बैठते हुए देख लेना इस जुड़ाव को समझने का रास्ता किसी प्रमाण को पढ़ने से कहीं छोटा है, और इस पेज की संदर्भ तालिका ठीक उसी पढ़त के लिए सजी है। तीसरा इस्तेमाल प्रोग्रामिंग और कोर्सवर्क में है, जहाँ यह पुनरावृत्ति संबंध रिकर्शन का मानक पहला उदाहरण है, और यह अनुक्रम उस मानक उदाहरण के तौर पर भी चलता है कि ऐसी पुनरावृत्त परिभाषा जिसे लौटकर नहीं, फेर में चलाकर गिनना कहीं सस्ता पड़ता है — इस पेज का फेर वही फेरी वाला रूप है, और इसीलिए 78 पदों पर कुछ ख़र्च नहीं होता। ये संख्याएँ उन अनुमान के सवालों में भी आती हैं जहाँ बढ़ोतरी ख़ुद पर चढ़ती जाती है: किसी पट्टी को वर्गों और दो-खानों वाली ईंटों से भरने के तरीक़ों की गिनती, सीढ़ी पर एक-एक या दो-दो क़दम रखकर चढ़ने के रास्तों की गिनती, और हर मौसम में बँटने वाले किसी पौधे की शाखाओं की गिनती — सब इसी पुनरावृत्ति संबंध पर चलती हैं। जब सवाल अनुक्रम का नहीं, अनुपात का हो, तो golden-ratio कैलकुलेटर उसे अपने अधिकार में एक संख्या की तरह सँभालता है, अपने गुणों के साथ; और जब सवाल बढ़ोतरी के ढंग का हो, तो exponential-growth कैलकुलेटर उसी चीज़ का चिकना रूप ढक लेता है जिसे ये पद क़दम-क़दम भरते हैं।

हल किए हुए उदाहरण

  1. पहले दस पद: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

    1. 1 और 1 से शुरू कीजिए, यानी उन दो शुरुआती मानों से जो यह पेज इस्तेमाल करता है
    2. 1 + 1 = 2, फिर 1 + 2 = 3, फिर 2 + 3 = 5, फिर 3 + 5 = 8
    3. आगे बढ़िए: 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, 21 + 34 = 55
    4. दस पद, इसलिए दसवाँ पद 55 है; आख़िरी दो का अनुपात 55 ÷ 34 = 1.61764706

    यही डिफ़ॉल्ट इनपुट है। ध्यान दीजिए कि दसवाँ पद 55 है और 55 बटा 34 का अनुपात 1.61764706 है — स्वर्ण अनुपात के क़रीब, पर तीसरे दशमलव स्थान पर अब भी साफ़ अलग। यही इस अनुक्रम को सिर्फ़ देख लेने के बजाय देखते जाने लायक बनाता है: निकटता तेज़ है पर तुरंत नहीं, और छपे हुए आठ दशमलवों तक 1.61803399 पर पहुँचने के लिए दस पद अभी काफ़ी नहीं हैं।

  2. सबसे छोटी क़तार: दो पद

    1. दो पद इस पेज की सबसे छोटी स्वीकार्य माँग है
    2. अनुक्रम बस वही दो शुरुआती मान हैं: 1 और 1
    3. दूसरा पद 1 है, इसलिए nवाँ पद वाला नतीजा 1 है
    4. अनुपात 1 ÷ 1 = 1 — स्वर्ण अनुपात से इस पेज की सबसे बड़ी दूरी

    निचली सीमा, और यह 1 के बजाय 2 क्यों है। अनुपात वाला नतीजा बनने के लिए दो पद चाहिए; अकेले पद के साथ भाग देने को कुछ नहीं बचता, इसलिए पेज 1 को ठुकरा देता है, ख़ाली या शून्य छापने के बजाय। 1 वाला अनुपात पूरी निकटता की शुरुआत भी है: हर बाद का अनुपात उससे एक क़दम दूर है, और 1 से 1.618 तक की यह यात्रा ही नीचे की तालिका पद-दर-पद खोलती है।

  3. अनुपात जहाँ बैठता है: बीस पद

    1. दसवें पद से आगे पुनरावृत्ति जारी रखिए: 34 + 55 = 89, 55 + 89 = 144, और इसी तरह
    2. बीसवाँ पद 6765 है, और उन्नीसवाँ 4181
    3. 6765 ÷ 4181 = 1.61803396317…
    4. पेज जो आठ दशमलव छापता है, उन तक गोल करने पर 1.61803396

    बीस पद काफ़ी हैं। असली स्वर्ण अनुपात 1.6180339887 से शुरू होता है, और यहाँ का अनुमान उससे सात दशमलव स्थानों तक मिलता है — फ़र्क़ अब आठवें स्थान पर है, जो छपने वाला आख़िरी स्थान है। इसकी तुलना दस पद वाले मामले से कीजिए, जहाँ ग़लती तीसरे दशमलव पर ही दिख रही थी। यही वह बात है जिसके लिए यह पेज बना है: परिभाषा में इस पुनरावृत्ति संबंध का स्वर्ण अनुपात से कोई ताल्लुक़ नहीं, और फिर भी यह उसे बना देती है — जल्दी, और सिर्फ़ जोड़ से।

सीमाएँ

पदों की संख्या 2 से 78 के बीच कोई पूर्ण संख्या होनी चाहिए। एक ठुकरा दिया जाता है क्योंकि अनुपात वाले नतीजे को दो पद चाहिए, और 79 इसलिए ठुकरा दिया जाता है क्योंकि वहाँ से पद ठीक-ठीक रहना बंद कर देते हैं: F(78) = 8944394323791464, जो दोहरी परिशुद्धता वाले मान में ठीक-ठीक बैठने वाला आख़िरी फ़िबोनाची पद है, और F(79) उस 9007199254740991 की छत के पार है। पेज अनुमानित पद लौटाने के बजाय माँग ठुकरा देता है, क्योंकि लगभग सही पर सोलह अंकों में छपी संख्या ठीक वैसी ही दिखती है जैसी सही वाली। गिनती 1 से शुरू होती है और यह पेज F(1) = F(2) = 1 इस्तेमाल करता है। दूसरी व्यापक परिपाटी F(0) = 0 और F(1) = 1 रखती है, जो हर सूचकांक एक क़दम खिसका देती है — उसके हिसाब से पाँचवाँ पद 5 है, और यहाँ वह 8 है। किताबों और सॉफ़्टवेयर, दोनों में दोनों परिपाटियाँ चलती हैं, इसलिए अगर आप इस पेज की तुलना किसी दूसरे स्रोत से करें और मान एक स्थान खिसके हुए मिलें, तो वजह यही है, कोई ग़लती नहीं। अनुपात वाला नतीजा एक अनुमान है और आठ दशमलव स्थानों तक छपता है; पदों की कोई भी सीमित संख्या उसे ठीक-ठीक स्वर्ण अनुपात नहीं बनाती, हालाँकि अठहत्तरवें पद तक छपा हुआ मान और स्वर्ण अनुपात एक ही आठ अंक हो जाते हैं। पद ख़ुद अल्पविराम से अलग की गई सूची में छपते हैं, किसी समूह-विभाजक के बिना, इसलिए दसवाँ पद 55 पढ़ता है और अठहत्तरवाँ 8944394323791464 — लंबे पदों को बोलकर पढ़ना सूची का काम नहीं, nवाँ पद वाले नतीजे का काम है। अंत में, संदर्भ तालिका पहले दस पदों पर स्थिर है और आपके इनपुट का पीछा नहीं करती; वह अनुपात को बैठते हुए दिखाने के लिए है, आपने जो टाइप किया उसका जवाब देने के लिए नहीं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अनुक्रम F(0) से शुरू होता है या F(1) से?
यह पेज F(1) से शुरू होता है, इसलिए F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2, और दसवाँ पद 55 है। दूसरी व्यापक परिपाटी F(0) = 0 और F(1) = 1 रखती है, जो हर सूचकांक एक क़दम खिसका देती है — उसके हिसाब से पाँचवाँ पद 5 है, जबकि यहाँ वह 8 है। दोनों किताबों में और सॉफ़्टवेयर में चलती हैं, और कोई भी ग़लती नहीं है। पर अगर आप इस पेज की तुलना किसी दूसरे स्रोत से करें और मान एक स्थान खिसके हुए मिलें, तो वजह यही है; फ़िबोनाची का जवाब ग़लत होने का यह सबसे आम रास्ता है।
अनुपात तुरंत बैठने के बजाय बदलता क्यों रहता है?
क्योंकि यह एक सीमा है, कोई सर्वसमिका नहीं। हर पद अपने से पहले वाले दो का योग है, इसलिए आसन्न पदों का अनुपात अपने ही एक तय नियम से चलता है, और वह चलन लक्ष्य के ऊपर-नीचे बारी-बारी होता है, हर झूला पिछले से क़रीब-क़रीब आधा। इस पेज की तालिका यह दिखाती है: 2, 1.5, 2, 1.667, 1.6, 1.625, फिर सिकुड़ते हुए 1.615 और 1.619। दस पद क़रीब पहुँचा देते हैं, बीस पेज के छपे आठ दशमलवों के लिए काफ़ी हैं, और पदों की कोई भी सीमित संख्या ठीक-ठीक स्वर्ण अनुपात नहीं देती — बस उसके और क़रीब पहुँचा देती है।
स्वर्ण अनुपात क्या है, और यह अनुक्रम उसे बनाता क्यों है?
स्वर्ण अनुपात 1.6180339887… है, जो x² = x + 1 का धनात्मक हल है। वह समीकरण फ़िबोनाची का पुनरावृत्ति संबंध ही दूसरे ढंग से लिखा हुआ है — अगर ये अनुपात किसी संख्या पर बैठते हैं, तो उस संख्या को यह समीकरण पूरा करना ही पड़ेगा — और इसीलिए यह अनुक्रम वहीं जाकर बैठता है, और इसीलिए यह निकटता न कोई संयोग है न कोई कौतूहल। यह अनुपात भिन्नों से जताने में सबसे मुश्किल संख्या भी है, क्योंकि उसका सतत भिन्न पूरा एक-एक का है, और पौधे पत्तों तथा बीजों को उसी के हिसाब से जमाते हैं।
मैं 78 से ज़्यादा पद क्यों नहीं माँग सकता?
क्योंकि F(79) उस सबसे बड़ी पूर्ण संख्या से बड़ा है जिसे दोहरी परिशुद्धता वाला मान ठीक-ठीक रख सकता है, यानी 9007199254740991। F(78) = 8944394323791464 है और ठीक-ठीक है; F(79) = 14472334024676221 है और उसके क़रीब कुछ रखा जाएगा, पर उसके बराबर नहीं। पेज अनुमान छापने के बजाय माँग ठुकरा देता है, क्योंकि सोलह अंकों में छपा पद ठीक वैसा ही दिखता है जैसा सही वाला — नतीजे से ग़लती दिख ही नहीं सकती। पदों की गिनती की यह छत फ़्लोटिंग-पॉइंट का तथ्य है, गणित का नहीं; अनुक्रम ख़ुद अनंत तक चलता है।
इसमें खरगोश की समस्या कहाँ से आती है?
फ़िबोनाची ने यह अनुक्रम एक पहेली के साथ पेश किया था: खरगोशों का एक जोड़ा लीजिए, हर जोड़े को बड़ा होने में एक महीना दीजिए और उसके बाद हर महीने एक नया जोड़ा पैदा करने दीजिए, और हर महीने के शुरू में जोड़ों की गिनती कीजिए। गिनती 1, 1, 2, 3, 5, 8 और इसी तरह निकलती है, क्योंकि पिछले महीने के सारे बड़े जोड़े अब भी मौजूद हैं और इस महीने के नए जोड़े उनसे आते हैं जो एक महीना पहले बड़े हुए थे — यानी वही पुनरावृत्ति संबंध, बिलकुल दूसरी दिशा से पहुँचा हुआ। यह जानने लायक है क्योंकि यह दिखाता है कि यह अनुक्रम किसी एक इस्तेमाल से परिभाषित नहीं होता।
क्या सारे पिछले पद गिने बिना nवाँ पद निकाल सकता हूँ?
सिद्धांत में हाँ, और पेज का nवाँ पद वाला नतीजा आपको वह संख्या अपनी अलग पंक्ति पर दे भी देता है, पर वह किसी छोटे रास्ते से नहीं, उसी फेर से बनती है। वजह परिशुद्धता है: एक बंद सूत्र है, बिने का सूत्र, जो स्वर्ण अनुपात से सीधे nवाँ फ़िबोनाची पद दे देता है, पर उसमें अपरिमेय संख्याओं की घात लगती है, और फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित में बड़े n पर वह असली पूर्ण संख्या से खिसक जाता है। पूर्ण संख्याएँ जोड़ना ठीक-ठीक रहता है जहाँ वह सूत्र नहीं रहता, इसलिए पेज जोड़ता है। दो शुरुआती मानों से आगे बढ़ते जाना ही यह भी तय करता है कि 78 पदों पर कुछ ख़र्च न हो — हल करने को कोई सूत्र नहीं, बस 76 बार दोहराया गया एक जोड़।

संदर्भ

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