अनुक्रम कैलकुलेटर

समांतर — a(n) = a(1) + (n - 1) * d S(n) = n * (a(1) + a(n)) / 2 गुणोत्तर — a(n) = a(1) * r^(n - 1) S(n) = a(1) * (r^n - 1) / (r - 1) और r = 1 पर S(n) = n * a(1)

n

कौन-सा पद, 1 से गिनकर। यही संख्या योग में पदों की गिनती भी है, इसीलिए एक ही खाना दोनों सवालों का जवाब दे देता है — दसवाँ पद a(10) लिखा जाता है और पहले दस पदों का योग S(10)। ऊपर की हद 1000 है, और वह किसी सुविधा की वजह से नहीं: गुणोत्तर अनुक्रम में सौ गुना का अनुपात कुछ ही सौ पदों में दोहरे परिशुद्धता की हद तक पहुँच जाता है।

a(1)

पहला पद, वह जगह जहाँ से अनुक्रम शुरू होता है। बाक़ी सब इसी से निकलता है, इसलिए ऋणात्मक पहला पद गुणोत्तर अनुक्रम में हर दूसरे पद का चिह्न पलट देता है और समांतर अनुक्रम को बस कुछ नीचे से शुरू करा देता है। यह शून्य भी हो सकता है: तब गुणोत्तर अनुक्रम का हर पद शून्य होता है, और छपा हुआ सूत्र सिकुड़कर a(n) = 0 बन जाता है।

d

सामान्य अंतर, जो समांतर अनुक्रम इस्तेमाल करता है: हर कदम पर जितना जोड़ा जाता है। यह ऋणात्मक हो सकता है, तब अनुक्रम उतरने लगता है, और शून्य भी — तब हर पद पहले पद के बराबर रहता है और छपा हुआ सूत्र सिकुड़कर a(n) = 6 जैसा बन जाता है। सूत्र में इसकी जगह ऋणात्मक होने पर जोड़ के बजाय घटाव छपता है, इसलिए 100, 93, 86, … लिखा जाता है a(n) = 100 - 7(n - 1)।

r

सामान्य अनुपात, जो गुणोत्तर अनुक्रम इस्तेमाल करता है: वह संख्या जिससे हर पद गुणा होता है। 0 और 1 के बीच का अनुपात पदों को शून्य की तरफ़ सिकोड़ता जाता है, ऋणात्मक अनुपात हर पद का चिह्न पलटता रहता है, और ठीक 1 हर पद को पहले पद के बराबर कर देता है। ऋणात्मक अनुपात सूत्र में कोष्ठकों में छपता है — a(n) = (-1)^(n - 1) — क्योंकि बिना कोष्ठक के वह पढ़ा जाता कि ऋण चिह्न घात के बाहर है।

S(n)

पहले n पदों का योग — यह अनुक्रम और बस इतना ही। समांतर अनुक्रम में यह पहले और आख़िरी पद का औसत, n से गुणा — वही जोड़ी बनाने की तरकीब जो 1 + 2 + … + 100 पर गाउस ने लगाई थी। यह कभी किसी अनंत श्रेणी का योग नहीं है: n बढ़ाइए तो जोड़ बढ़ता जाता है। हाँ, अगर अनुपात 1 से छोटा है तो जोड़ अपनी सीमा की तरफ़ सरकता रहता है — और उतना ही करीब पहुँचकर छह दशमलव पर उसी जैसा दिखने भी लगता है, पर उस तक पहुँचता कभी नहीं।

जब भी कोई मात्रा किसी तय नियम से बढ़ती या घटती हो और आपको सूची में कहीं दूर का मान चाहिए, तब यह पेज उठाइए — हर साल एक ही जमा के बाद तीस साल का बैलेंस, बीसवीं उछाल के बाद की ऊँचाई, या वह कुल दूरी जिसमें हर कदम पिछले का एक तय हिस्सा है। दोनों तरह के अनुक्रम में फ़ैसला करने वाली चीज़ें बस दो हैं: कदम और उसका चिह्न, इसलिए सबसे काम की आदत यह है कि पहले तीन पद हाथ से निकालकर नीचे की तुलना तालिका से मिला लीजिए। अगर सूची घात की तरह तेज़ी पकड़ रही हो और सवाल सिर्फ़ यह हो कि कब दुगुनी होगी, तो दुगुना होने का समय निकालने वाला पेज सीधा जवाब देता है, और प्रतिशत वाला सवाल हो तो चरघातांकी वृद्धि वाला पेज। जब असल में जोड़ चाहिए न कि किसी एक पद का मान, तो योग वाला निकालने के लिए किसी दूसरे औज़ार की ज़रूरत नहीं — नीचे की तालिका हर पंक्ति तक का जोड़ भी दिखाती है।

1. 3, 7, 11, … — दसवाँ पद और पहले दस पदों का योग

   1. कदम 4 है, इसलिए पद हैं 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39
   2. दसवाँ पद 3 + 9 × 4 = 39 है
   3. पदों को बाहर से अंदर की तरफ़ जोड़िए: 3 + 39 = 42, 7 + 35 = 42, 11 + 31 = 42, और इसी तरह
   4. ऐसी पाँच जोड़ियाँ बनती हैं, हर एक 42 के बराबर
   5. 5 × 42 = 210

   यही जोड़ी बनाना पूरा योग-सूत्र है: n पदों में पहले और आख़िरी का औसत (3 + 39) ÷ 2 = 21, और 21 × 10 वही 210। जवाब के बग़ल में छपा सूत्र इस अनुक्रम का नहीं, नियम का है — a(n) = 3 + 4(n - 1) हर पद को अकेले n से दोबारा बना देता है, इसलिए n = 1 से 3 लौटता है और n = 10 से 39, बिना कोई सूची लिखे।

2. 8, 4, 2, 1, 0.5 — सिकुड़ता हुआ गुणोत्तर अनुक्रम

   1. अनुपात 0.5 है, इसलिए हर पद पिछले का आधा है: 8, 4, 2, 1, 0.5
   2. पाँचवाँ पद 8 × 0.5⁴ = 8 × 0.0625 = 0.5 है
   3. जोड़िए: 8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 = 15.5

   सिकुड़ते गुणोत्तर अनुक्रम का योग 16 की तरफ़ बढ़ता है पर उसे पार नहीं करता — 8 ÷ (1 − 0.5)। यह पेज माँगे गए पाँच पदों का जोड़ देता है, 15.5, वह सीमा नहीं, और यही फ़र्क़ पदों की गिनती को एक इनपुट बनाए रखता है।

3. 1 + 2 + … + 1000, जहाँ सूत्र जोड़ने से तेज़ पड़ता है

   1. कदम 1 है, इसलिए हज़ारवाँ पद 1 + 999 = 1000 है
   2. पहले को आख़िरी के साथ जोड़िए: 1 + 1000 = 1001
   3. ऐसी 500 जोड़ियाँ हैं, क्योंकि 1000 पदों से 500 जोड़ियाँ बनती हैं
   4. 500 × 1001 = 500500

   यहाँ किसी पद को लिखने की ज़रूरत नहीं पड़ती, और यही योग-सूत्र की बात है। पैनल का यह जोड़ 5,00,500 छपता है — दशमलव वाली पंक्ति में भारतीय अंक-समूहों के साथ, क्योंकि संख्या वहाँ साधारण संख्या है; नीचे की तालिका में वही जोड़ 500500 लिखा मिलेगा, क्योंकि तालिका के ख़ाने कच्चे मान छापते हैं। यह वही हिसाब है जो कहा जाता है कि गाउस को सज़ा के तौर पर मिला था, और ऊपर की जोड़ी बनाना वही है जो कहा जाता है कि उसने इसके बदले किया।

यह पेज दो तरह के अनुक्रम ही जानता है: समांतर, जिसमें कदम जोड़ा जाता है, और गुणोत्तर, जिसमें वह गुणा किया जाता है। बाक़ी सब — वर्ग संख्याएँ, घन, फ़िबोनाची, या वह अनुक्रम जो अपने ही पिछले दो पदों से बनता है — यहाँ डालने के लिए कोई नियम नहीं है और उनका अपना औज़ार चाहिए। पदों की गिनती 1 से 1000 तक की पूर्ण संख्या होनी चाहिए; दशमलव वाली या ऋणात्मक गिनती ठुकरा दी जाती है, गोल नहीं की जाती, क्योंकि 2.5 पदों का कोई जवाब होता ही नहीं। जोड़ सिर्फ़ पहले n पदों का है, कभी किसी अनंत श्रेणी का नहीं, इसलिए 1 से छोटे अनुपात में जोड़ अपनी सीमा की तरफ़ सरकता रहता है और उस तक पहुँचता नहीं — पर यह बात सिर्फ़ हिसाब की है, दिखने की नहीं: शुरुआती मान 8 और अनुपात 0.5 रखिए तो n = 100 तक पहुँचते-पहुँचते पैनल का योग 16.000000 छापने लगता है, जबकि वह सीमा 16 से अब भी करीब 10⁻²⁹ नीचे है। जवाब छह दशमलव तक गोल होकर छपते हैं, और गुणोत्तर अनुक्रम गिनती की हद से बहुत पहले हिसाब की हद छू लेता है: अनुपात 10 रखिए तो 303 पद तक सब ठीक चलता है, अनुपात 100 पर 152 पद, और अनुपात 10,00,000 पर सिर्फ़ 51 पद — उसके बाद पेज जवाब देने के बजाय साफ़-साफ़ बताता है कि जोड़ा नहीं जा सका। यह हद सिर्फ़ गुणोत्तर पर है; समांतर अनुक्रम के तीनों खाने अपनी-अपनी हद पर खड़े हों तब भी जोड़ 5,00,50,00,00,000 ही बनता है, जो दोहरे परिशुद्धता की सीमा से बहुत दूर है। कदम और पहला पद, दोनों निरपेक्ष मान में दस लाख तक सीमित हैं, और यह दिखाने की हद है, गणित की नहीं। छपा हुआ सूत्र गणित की लिपि है, इसलिए उसमें संख्याएँ अंक-समूहों में नहीं बँटतीं: पहला पद 10,00,000 रखने पर संख्या वाली पंक्तियाँ 10,00,999.000000 छापती हैं और सूत्र की पंक्ति a(n) = 1000000 + (n - 1) — दोनों एक ही संख्या हैं, पर लिपि और साधारण संख्या की लिखावट अलग है। पेज अनुक्रम के चार सवालों में से दो का जवाब देता है: nवाँ पद क्या है और पहले n पदों का जोड़ क्या है। यह उलटा नहीं करता — दो पद दिए जाएँ तो नियम नहीं निकालता और जोड़ दिया जाए तो n नहीं निकालता — और कोई इकाई नहीं छापता, क्योंकि अनुक्रम संख्याओं की सूची होता है।

nवाँ पद और योग में क्या फ़र्क़ है?

nवाँ पद एक अकेली संख्या है — जो nवीं जगह पर बैठी है, जो 3, 7, 11, … में n = 10 पर 39 है। योग उस तक के सब पदों का जोड़ है, यानी उसी अनुक्रम में 210। दोनों अलग-अलग पंक्तियों में छपते हैं क्योंकि दोनों दो अलग सवालों के जवाब हैं, और क्योंकि लोगों को अक्सर योग ही चाहिए होता है: कोई बैलेंस, कोई तय की गई कुल दूरी, कोई जमा हुई गिनती।

पहले n पदों का योग कैसे निकलता है?

पदों को बाहर से अंदर की तरफ़ जोड़ियों में बाँधकर। 3, 7, 11, … में पहले दस पदों का पहला और आख़िरी पद मिलकर 42 बनाते हैं, और ऐसी हर जोड़ी 42 ही बनाती है, इसलिए दस पद पाँच जोड़ियाँ बनाते हैं — 210। सामान्य रूप में यह n गुणा पहले और आख़िरी पद का औसत है, n × (a(1) + a(n)) ÷ 2। गुणोत्तर वाले योग की निकासी और उसका रूप दोनों अलग हैं, इसीलिए दोनों सूत्र अलग-अलग छपते हैं।

कदम ऋणात्मक, शून्य या भिन्न हो सकता है?

तीनों हो सकते हैं। ऋणात्मक सामान्य अंतर से अनुक्रम उतरने लगता है, जैसे 100, 93, 86, … और ऋणात्मक सामान्य अनुपात से एक-एक पद का चिह्न बदलता रहता है, जैसे 1, -1, 1, -1। 0.5 का अनुपात वही सिकुड़ता अनुक्रम बनाता है जो दूसरे उदाहरण में है। दो जगहों पर ठहरकर देखना बनता है: शून्य अंतर और एक अनुपात, जहाँ हर पद पहले पद के बराबर हो जाता है और छपा हुआ सूत्र ठीक-ठीक सिकुड़कर a(n) = 6 जैसा बन जाता है।

यह जोड़ पूरे अनंत अनुक्रम का है?

नहीं — यह पहले n पदों का योग है, जहाँ n वह गिनती है जो आपने डाली। यह फ़र्क़ सिर्फ़ सिकुड़ते गुणोत्तर अनुक्रम में दिखता है, जहाँ जोड़ एक सीमा की तरफ़ बढ़ता है (8, 4, 2, 1, 0.5, … के लिए 16) पर उस तक पहुँचता नहीं। कभी-कभी लोगों को वही सीमा चाहिए होती है, और वह अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग है — दूसरा हिसाब, दूसरा सूत्र।

कितने पद माँग सकते हैं?

1 से 1000 तक कोई भी पूर्ण संख्या। ऊपर की हद मनमानी नहीं है, पर वह उतनी दूर भी नहीं जितनी लगती है: 10 के अनुपात पर 303 पद तक सब ठीक चलता है, 100 के अनुपात पर 152 पद, और 10,00,000 के अनुपात पर सिर्फ़ 51 पद। उसके बाद गुणा इतना बड़ा हो जाता है कि हिसाब की हद छूट जाती है, और पेज उसे जवाब के बजाय एक साफ़ संदेश बताकर लौटाता है, ऐसा जवाब नहीं देता जो चुपचाप ग़लत हो।

सूत्र में a(n) लिखा है, a के नीचे छोटा n क्यों नहीं?

क्योंकि a(n) हर भाषा और हर फ़ॉन्ट में पढ़ा जा सकता है, और नीचे लगने वाला छोटा अक्षर नहीं — वह कुछ सिस्टम पर ख़ाली खाना बनकर छपता है। बाक़ी लिपि वही है जो आम है: घात के लिए ^, गुणा के लिए *, और ऋणात्मक अनुपात के चारों तरफ़ कोष्ठक, ताकि चिह्न बदलने वाला अनुक्रम a(n) = (-1)^(n - 1) पढ़ा जाए, ऐसा नहीं जो ऋण चिह्न को घात के बाहर रखा हुआ दिखे।

• Arithmetic progression — the rule, the nth-term formula and the sum used on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Geometric progression — the same three questions when the step is a multiplier rather than an addend — Wolfram MathWorld (United States)
• OEIS A000217, the triangular numbers — 1, 3, 6, 10, … the running totals of 1 + 2 + … + n, which is the third example on this page — OEIS Foundation (United States)