क्रमगुणित कैलकुलेटर

n! = 1 × 2 × … × n अंक = ⌊log₁₀(n!)⌋ + 1 अंत के शून्य = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …

n

वह संख्या जिसका क्रमगुणित चाहिए: 0 से 170 तक कोई पूर्ण संख्या। यही गुणनखंडों की गिनती भी है, क्योंकि गुणनफल 1 से n तक चलता है। ऊपरी सीमा प्रदर्शन का चुनाव नहीं है — 171 का क्रमगुणित उससे बड़ा है जितना एक द्विगुण परिशुद्धता वाला मान रख सकता है, इसलिए 170 से ऊपर किसी भी इनपुट का कोई जवाब ही नहीं

n!

क्रमगुणित ख़ुद, यानी 1 से n तक हर पूर्ण संख्या का गुणनफल। यह चक्रवृद्धि से भी तेज़ बढ़ता है: 5 का क्रमगुणित 120 है जबकि 10 का पहले ही 3,628,800। मान दस लाख से ऊपर जाते ही छपा हुआ जवाब वैज्ञानिक संकेतन बन जाता है, जो सौ अंक छापे बिना भी परिमाण पढ़ने लायक़ रखता है — 20 का क्रमगुणित 2.432902 × 10¹⁸ दिखता है, उसके उन्नीस अंक नहीं

अंक

क्रमगुणित में कितने दशमलव अंक हैं। यह लघुगणक जोड़कर निकाला जाता है, छपे हुए मान के अक्षर गिनकर नहीं, इसलिए दायरे के ऊपरी सिरे पर भी ठीक रहता है — जहाँ छपा हुआ क्रमगुणित सिर्फ़ सात सार्थक अंक ढोता है। 100 के क्रमगुणित के लिए यह 158 है और 170 के लिए 307, हालाँकि दोनों की पूरी अंक-श्रृंखला कहीं छपती ही नहीं

अंत के शून्य

क्रमगुणित के अंत में कितने शून्य बैठते हैं। हर अंतिम शून्य के लिए एक 10 चाहिए, और एक 10 के लिए एक 2 और एक 5; क्रमगुणित में दो वालों की गिनती पाँच वालों से कहीं ज़्यादा होती है, इसलिए पूरा फ़ैसला पाँच करते हैं — 5 का हर गुणज एक जोड़ता है, 25 का हर गुणज दूसरा, 125 का हर गुणज तीसरा। इसीलिए यह गिनती एक-एक नहीं, छलाँगों में बढ़ती है: 24 के क्रमगुणित में 4 शून्य हैं, 25 के क्रमगुणित में 6, और 124 से 125 पर 28 से 31

जब मान ख़ुद जवाब हो तब इस पेज पर आइए: किसी पूरे समुच्चय को कितने तरीक़ों से जमाया जा सकता है, किसी श्रेणी का कोई पद, या किसी गुणनफल का आकार। n में से r चीज़ें चुनने के लिए संचय और क्रमचय वाले पेज एक क्रमगुणित को दूसरे पर बाँटते हैं, गुणा नहीं करते। जब जवाब का परिमाण ही सवाल हो — 「यह संख्या कितनी बड़ी है」 — तो अंकों की गिनती और अंत के शून्य वह जानकारी देते हैं जो छपा हुआ मान नहीं दे पाता, क्योंकि वह 20 के बाद अनुमान बन जाता है। और जब संभावना में किसी घटना के लगातार होने का हिसाब लगाना हो तो भी यही पेज पहला क़दम है, क्योंकि वहाँ भी गुणनखंडों की गिनती ही सवाल होती है।

1. 5 का क्रमगुणित

   1. ऊपर की ओर गुणा: 1 × 2 = 2
   2. 2 × 3 = 6
   3. 6 × 4 = 24
   4. 24 × 5 = 120
   5. 120 में तीन अक्षर हैं और अंत में एक शून्य, इसलिए दोनों पढ़ाइयाँ 3 और 1 हैं

   सबसे छोटा ऐसा मामला जिसमें तीनों पढ़ाइयाँ आँख से जाँची जा सकती हैं। गुणनफल इतना छोटा है कि पूरा पढ़ा जाए, और अंकों की गिनती तथा अंत के शून्य दोनों उसे देखकर ही दिख जाते हैं — यही वजह है कि पेज इसी मान पर खुलता है।

2. जहाँ पढ़ाई वैज्ञानिक संकेतन में बदलती है

   1. 1 से 20 तक गुणा कीजिए, जो ठीक-ठीक 2,432,902,008,176,640,000 है
   2. वह उन्नीस अंकों का है, इसलिए अंकों की पढ़ाई 19 है
   3. उनमें से चार अंक अंत में शून्य हैं, जिनका हिसाब 5, 10, 15 और 20 के पाँच वाले करते हैं
   4. पैनल गुणनफल को 2.432902 × 10¹⁸ छापता है, पूरे उन्नीस अंकों की संख्या नहीं

   यह वह बिंदु है जहाँ छपा हुआ मान ठीक-ठीक मान रहना बंद कर देता है। दिखने वाले अंक उसी संख्या के पहले सात सार्थक अंक हैं जिसका बखान बाक़ी दो पढ़ाइयाँ कर रही हैं, इसलिए तीनों नतीजे आपस में मेल खाते हैं, चाहे उनमें से छपने लायक़ सिर्फ़ एक ही हो। और ध्यान दीजिए कि वैज्ञानिक संकेतन 21 पर नहीं, दस लाख की सीमा पर लगता है: 9 का क्रमगुणित अभी 3,62,880.000000 है।

3. 100 के क्रमगुणित के अंत में कितने शून्य

   1. 100 तक 5 के गुणज गिनिए: 20
   2. 25 के गुणज जोड़िए, जो दूसरा पाँच ढोते हैं: 4
   3. 125 के गुणज जोड़िए — एक भी नहीं, क्योंकि 125 सौ से आगे है
   4. 20 + 4 = 24 अंतिम शून्य
   5. क्रमगुणित ख़ुद 158 अंकों का है, जो 9.332622 × 10¹⁵⁷ के रूप में छपता है

   यहाँ पढ़ने लायक़ तथ्य शून्यों की गिनती है, और वह संख्या से नहीं, अकेले पाँच वालों से निकलती है। 100 के क्रमगुणित में 158 अंक हैं, इसलिए उसका अंत आँख से देखा जा ही नहीं सकता, चाहे सारे अंक छाप दिए जाएँ।

सिर्फ़ 0 से 170 तक की पूर्ण संख्याएँ ली जाती हैं। ऋणात्मक इनपुट ठुकरा दिए जाते हैं क्योंकि उन पर क्रमगुणित की परिभाषा ही नहीं है — गामा फलन, जो क्रमगुणित को दूसरी संख्याओं तक बढ़ाता है, हर ऋणात्मक पूर्णांक पर ध्रुव रखता है। भिन्न भी इसी वजह से ठुकराए जाते हैं: 2.5 का क्रमगुणित कोई चीज़ नहीं है, और पेज उसे गोल करके 2 नहीं बना देता। 170 से ऊपर गुणनफल द्विगुण परिशुद्धता से बाहर चला जाता है, इसलिए 171 और उससे ऊपर का इनपुट नाम लेकर मना कर दिया जाता है, अनंत छापकर जवाब नहीं दिया जाता। अंकों की गिनती और अंत के शून्य हर स्वीकार किए गए इनपुट पर ठीक-ठीक हैं, और वे छपे हुए क्रमगुणित से निकाले भी नहीं जाते — इसलिए जहाँ छपा हुआ मान अनुमान है वहाँ भी ये दोनों सच रहते हैं: 170 का क्रमगुणित 7.257416 × 10³⁰⁶ छपता है, जबकि असल में वह 307 अंकों का है जो 41 शून्यों पर ख़त्म होता है। शून्य की गिनती में एक बात ध्यान रखने लायक़ है: वह हर पाँच के गुणज पर एक-एक नहीं बढ़ती — 24 के क्रमगुणित में 4 शून्य हैं और 25 के क्रमगुणित में सीधे 6, क्योंकि 25 दो पाँच देता है; इसी तरह 124 से 125 पर गिनती 28 से 31 हो जाती है। यह पेज द्विपद गुणांक या क्रमचय सीधे नहीं निकालता — वह क्रमगुणित देता है जिन पर वे पेज बने हैं। और एक चीज़ जो यह पेज नहीं करता: वह अंकों की सूची नहीं दिखाता, इसलिए 「आख़िरी अंक क्या है」 जैसा सवाल यहाँ से निकलने वाले मानों पर काम नहीं करता।

क्रमगुणित क्या होता है?

1 से लेकर आपकी दी हुई संख्या तक हर पूर्ण संख्या का गुणनफल। 5 का क्रमगुणित 1 × 2 × 3 × 4 × 5 यानी 120 है। यह बताता है कि उतनी अलग-अलग चीज़ों के समुच्चय को कितने तरीक़ों से जमाया जा सकता है, इसीलिए यह माप-जोख में नहीं, प्रायिकता और गिनती के सवालों में आता है।

शून्य का क्रमगुणित 1 क्यों होता है?

क्योंकि वह ख़ाली गुणनफल है — गुणा करने को कुछ है ही नहीं, और गुणनफल को जो मान बदले बिना छोड़ता है वह 1 है। यह परिपाटी मनमानी नहीं: इसी से गिनती की व्याख्या चलती है (कुछ भी न जमाने का ठीक एक तरीक़ा है) और इसी से n! = n × (n−1)! वाला नियम n = 1 पर भी सच रहता है।

कैलकुलेटर 170 पर क्यों रुक जाता है?

क्योंकि 171 का क्रमगुणित उससे बड़ा है जितना द्विगुण परिशुद्धता वाला मान रख सकता है, इसलिए गणना अनंत लौटाती। यह प्रदर्शन का चुनाव नहीं: 170 से ऊपर के किसी भी इनपुट का कोई निरूपणीय जवाब ही नहीं है। 170 का क्रमगुणित ख़ुद करीब 7.26 × 10³⁰⁶ है, यानी 307 अंकों की संख्या जो 41 शून्यों पर ख़त्म होती है।

अंत के शून्य कैसे गिने जाते हैं?

क्रमगुणित में पाँच के गुणनखंड गिनकर। एक अंतिम शून्य के लिए 10 चाहिए, और 10 के लिए एक 2 तथा एक 5; दो वाले बहुतायत में होते हैं, इसलिए फ़ैसला पाँच करते हैं। 5 का हर गुणज एक शून्य जोड़ता है, 25 का हर गुणज दूसरा, 125 का हर गुणज तीसरा। 100 के क्रमगुणित के लिए यह 20 + 4 = 24 शून्य बनता है, और 124 से 125 पर गिनती 28 से 31 हो जाती है।

क्रमगुणित वैज्ञानिक संकेतन में क्यों छपता है?

क्योंकि जवाब में इतने अंक हो जाते हैं कि नतीजे के पैनल में वे पढ़े नहीं जा सकते — 100 के क्रमगुणित में 158 अंक हैं, पर वैज्ञानिक संकेतन परिमाण पढ़ने लायक़ बनाए रखता है। ठीक-ठीक संख्या फिर भी वही है जिसका बखान बाक़ी दो पढ़ाइयाँ करती हैं: अंकों की गिनती बताती है कि वह कितनी लंबी है, और अंत के शून्य बताते हैं कि वह कैसे ख़त्म होती है।

किसी बड़े क्रमगुणित में कितने अंक होते हैं?

अंकों की पढ़ाई हर उस इनपुट पर इसका ठीक-ठीक जवाब देती है जो पेज स्वीकार करता है। वह लघुगणक जोड़कर निकलती है, किसी छपी हुई श्रृंखला को नापकर नहीं, इसलिए छपे हुए मान के अनुमान होने पर भी उसकी सटीकता नहीं घटती। यह गिनती हमेशा अंत के शून्यों की संख्या से कम से कम एक ज़्यादा होती है।

• Factorial — the definition, the empty product convention that makes 0! equal 1, and the rate at which the value grows — Wolfram MathWorld (United States)
• A000142 — the factorial numbers 1, 1, 2, 6, 24, 120 … as a catalogued sequence, with exact values far beyond the range a double can hold — OEIS Foundation (United States)
• Combination — the binomial coefficient, written as one factorial divided by two others, which is where factorials are most often needed — Wolfram MathWorld (United States)