स्वर्ण अनुपात कैलकुलेटर

बड़ा हिस्सा ÷ छोटा हिस्सा = फ़ाई पूरी रेखा ÷ बड़ा हिस्सा = फ़ाई छोटा हिस्सा = बड़ा हिस्सा ÷ फ़ाई बड़ा हिस्सा = छोटा हिस्सा × फ़ाई पूरी रेखा = बड़ा हिस्सा + छोटा हिस्सा

आपको कौन-सा हिस्सा पता है

तीन में से एक चुनाव: बड़ा हिस्सा, छोटा हिस्सा या पूरी रेखा। यह तय करता है कि कौन-सा ख़ाना आपका इनपुट है और कौन-से दो आँकड़े उससे निकलेंगे। बिना कुछ चुने पूरी रेखा चलती है, क्योंकि सीधे नापी जा सकने वाली लंबाई ही इस सवाल में आने का सबसे आम रास्ता है।

जो लंबाई आपको पता है

उस हिस्से की लंबाई: 100, या 1920, या 0.5। यह शून्य से बड़ी होनी चाहिए, क्योंकि शून्य का कोई स्वर्ण विभाजन नहीं होता — दोनों हिस्से शून्य हो जाते — और ऋणात्मक लंबाई लंबाई ही नहीं है। इसे पूरी संख्या होना भी ज़रूरी नहीं, और इसके साथ कोई इकाई नहीं चलती: पिक्सेल, मिलीमीटर और इंच — तीनों एक ही तरह काम करते हैं।

बड़ा हिस्सा

विभाजन का बड़ा टुकड़ा, और मुख्य आँकड़ा। पूरी रेखा पता हो तो यह पूरी रेखा बटा फ़ाई है; छोटा हिस्सा पता हो तो यह उसका फ़ाई गुना है; और यही पता हो तो यह वही संख्या है जो आपने लिखी।

छोटा हिस्सा

छोटा टुकड़ा। पूरी रेखा पता हो तो यह बड़ा हिस्सा निकालने पर जो बचता है; बड़ा हिस्सा पता हो तो यह उसका फ़ाई से भाग; और यही पता हो तो यह आपकी लिखी संख्या। ध्यान दीजिए कि यह घटाकर निकाला जाता है, दूसरी बार भाग देकर नहीं — इसीलिए दोनों टुकड़े जुड़कर ठीक वही लंबाई लौटाते हैं जो आपने डाली थी।

पूरी रेखा

दोनों टुकड़ों का जोड़, यानी वही लंबाई जिससे आपने शुरू किया था — जब वही आपका इनपुट ख़ाना था। यही वह आँकड़ा है जो बाक़ी दो को बाँधता है: बड़ा जमा छोटा हमेशा इसे लौटाता है, और यह जोड़ ही तीनों पंक्तियों के मेल की जाँच है।

पूर्णांकन

तीनों आँकड़े चार दशमलव स्थानों तक छापे जाते हैं, क्योंकि फ़ाई ख़ुद कभी ख़त्म नहीं होता। तीनों एक ही जोड़ी संख्याओं से निकलते हैं, इसलिए जब आपकी डाली हुई लंबाई चार-दशमलव की ग्रिड पर हो, तब छपी हुई तीनों पंक्तियाँ जुड़कर ठीक-ठीक उतना ही देती हैं: 61.8034 + 38.1966 यानी 100।

पहला इस्तेमाल लेआउट है: कोई पेज, कैनवास, तस्वीर या फ़्रेम जिसे स्वर्ण विभाजन पर बाँटना है, जहाँ पूरी चौड़ाई पता है और दोनों टुकड़े चाहिए। दूसरा उलटी दिशा है, जो उतनी ही आम है — आपने बड़ा हिस्सा बना ही लिया है और अब छोटा चाहिए, या छोटा तय है और बड़ा उससे निकालना है। तीसरा किसी और के बनाए विभाजन को परखना है: बड़ा हिस्सा डालिए और देखिए कि उससे जो पूरी रेखा निकलती है वही ड्रॉइंग पर लिखी है या नहीं। चौथा एक ही डिज़ाइन के बड़े और छोटे रूप पर लगाया गया वही अनुपात है; अनुपात बेमाप है, इसलिए दोनों के बीच कुछ बदलना नहीं पड़ता। पाँचवाँ वह इस्तेमाल है जिसके साथ लोग संख्या के बजाय नाम लेकर आते हैं: यह देखना कि 100 की रेखा 61.8 और 38.2 बन जाती है, परिभाषा को ठोस कर देता है, और नीचे की तालिका यही बात कुछ जानी-पहचानी चौड़ाइयों के लिए दोहराती है, जिससे छोटा-बड़ा करने का असर एक ही कॉलम में पढ़ा जा सके। चुनाव का एक ही नियम याद रखिए: दोनों टुकड़ों की लंबाई की गणना एक ही अनुपात से होती है, चाहे आपने किसी भी हिस्से से शुरू किया हो।

1. 100 की पूरी रेखा

   1. बड़ा हिस्सा: 100 ÷ 1.6180339887 = 61.8034
   2. छोटा हिस्सा: 100 − 61.8034 = 38.1966
   3. जाँच: 61.8034 + 38.1966 = 100, यानी वही लंबाई जिससे शुरू किया था
   4. और अनुपात: 61.8034 ÷ 38.1966 = 1.618

   बिना कुछ चुने चलने वाला मामला, और सबसे साफ़ भी: गोल-मटोल 100 अंदर गया, दो बेतुके से आँकड़े बाहर आए, और दोनों जुड़कर ठीक 100 ही बने। आख़िरी बात इत्तेफ़ाक़ नहीं है — छोटा हिस्सा दूसरी बार भाग देकर नहीं, घटाकर निकाला जाता है, इसलिए छपी हुई दोनों पंक्तियाँ आपकी डाली हुई लंबाई से झगड़ नहीं सकतीं। चौथा चरण परिभाषा को उलटा चलाना है, और वह एक बार ज़रूर करने लायक़ है: बड़े हिस्से को छोटे से भाग देने पर वापस वही फ़ाई आना चाहिए।

2. बड़ा हिस्सा 100 पता है

   1. छोटा हिस्सा: 100 ÷ 1.6180339887 = 61.8034
   2. पूरी रेखा: 100 + 61.8034 = 161.8034
   3. यानी 100 का बड़ा हिस्सा 161.8034 लंबी रेखा का हिस्सा है

   यह वह दिशा है जो डिज़ाइन में बड़ा किनारा पहले से बना होने पर चाहिए: बड़ा हिस्सा तय है और बाक़ी रेखा को उसी के पीछे चलना है। ध्यान दीजिए कि यहाँ मुख्य आँकड़ा बस वही संख्या है जो आपने लिखी — पैनल बड़े हिस्से को पहली पंक्ति में ही रखता है, चाहे आपने कौन-सी डाल डाली हो, इसलिए जवाब हमेशा एक ही जगह मिलता है। और दूसरी पंक्ति वही 61.8034 है जो ऊपर के मामले में थी, और यही पूरी बात है: 100 का बड़ा हिस्सा वही छोटा हिस्सा माँगता है, चाहे वह 161.8 की रेखा से आया हो या 100 की रेखा को किसी और तरह बाँटने से।

3. छोटा हिस्सा 100 पता है

   1. बड़ा हिस्सा: 100 × 1.6180339887 = 161.8034
   2. पूरी रेखा: 100 + 161.8034 = 261.8034
   3. यानी 100 का छोटा हिस्सा 261.8034 लंबी रेखा का हिस्सा है

   तीसरी डाल, और वही जो गुणा की दिशा तय कर देती है: छोटे हिस्से से बड़े पर जाते हुए फ़ाई से गुणा होता है, और बड़े से छोटे पर जाते हुए फ़ाई से भाग। दोनों दिशाएँ ऊपर के मामलों में मौजूद हैं, और दोनों को साथ देख लेना याद रखने का सबसे तेज़ तरीक़ा है कि यह स्थिरांक किस तरफ़ लगता है। 100 का छोटा हिस्सा अपनी लंबाई से ढाई गुना से भी लंबी रेखा माँगता है, और यही व्यावहारिक चेतावनी है: स्वर्ण विभाजन का छोटा हिस्सा हमेशा रेखा में उतना ही छोटा लगता है जितना वह दिखता है, पर रेखा उससे कहीं लंबी निकलती है।

4. 1920 पिक्सेल की चौड़ाई

   1. बड़ा हिस्सा: 1920 ÷ 1.6180339887 = 1186.6253
   2. छोटा हिस्सा: 1920 − 1186.6253 = 733.3747
   3. जाँच: 1186.6253 + 733.3747 = 1920

   किसी स्क्रीन की चौड़ाई, और असल काम में यही हिसाब सबसे ज़्यादा बार लगता है: कोई कैनवास या कॉलम जिसे स्वर्ण विभाजन पर बाँटना है। दोनों टुकड़े चार दशमलव स्थानों पर बैठते हैं, और पिक्सेल में इसका मतलब है पिक्सेल का एक अंश — इन्हें पूरे पिक्सेल में गोल कर दीजिए तो भी विभाजन उतना ही स्वर्ण रहता है, आँख जितना फ़र्क़ देख सकती है उससे कहीं कम। यही वह मामला है जो दिखाता है कि आँकड़े दो दशमलव के बजाय चार तक क्यों छपते हैं: इस आकार पर दो दशमलव दोनों टुकड़ों को लगभग पूरी संख्याओं पर पटक देते और यह छिपा देते कि दोनों में से कोई भी ठीक-ठीक नहीं है।

5. 2 की पूरी रेखा

   1. बड़ा हिस्सा: 2 ÷ 1.6180339887 = 1.2361
   2. छोटा हिस्सा: 2 − 1.2361 = 0.7639
   3. जाँच: 1.2361 + 0.7639 = 2

   सबसे छोटी पूरी संख्या जिसका विभाजन दशमलव के दोनों तरफ़ अंक दिखाता है, और वह मामला जो इस अनुपात की अजीबियत सामने लाता है: 2 की रेखा का बड़ा हिस्सा उसके आधे से ज़्यादा है, जैसा वह हमेशा होता है, और छोटा हिस्सा चार दहाई से कुछ कम। इसी रेखा को दस गुना करने पर 20 मिलता है, और दोनों हिस्से भी साथ-साथ दस गुना हो जाते हैं — अनुपात में न कोई इकाई है न कोई पैमाना, सिर्फ़ उन दो टुकड़ों का फ़ासला जो आपने नापे।

जो लंबाई आप डालते हैं वह शून्य से बड़ी होनी चाहिए। शून्य ठुकरा दिया जाता है क्योंकि उसका स्वर्ण विभाजन दो शून्य होता, जो कुछ कहता ही नहीं; और ऋणात्मक लंबाई इसलिए ठुकराई जाती है कि वह छोटी लंबाई नहीं, ऐसी लंबाई है जिसका कोई वजूद नहीं। एक बार में एक ही लंबाई ली जाती है, और पेज आपके कहीं और किए गए विभाजन की जाँच नहीं करता: अगर आपके पास दो टुकड़े पहले से कटे हैं, तो उनमें से एक डालने पर वह विभाजन लौटता है जिसका वह टुकड़ा हिस्सा है — आपकी जोड़ी की पुष्टि नहीं। तीनों आँकड़े चार दशमलव स्थानों तक छपते हैं, इसलिए संख्याएँ कभी ठीक-ठीक नहीं होतीं — फ़ाई का कोई ठीक दशमलव रूप है ही नहीं, और पेज हर पंक्ति पर गोल कर रहा है; जब पूरी रेखा और बड़ा हिस्सा दोनों ग्रिड पर हों तो छपी हुई पंक्तियाँ फिर भी ठीक-ठीक जुड़ती हैं, पर पाँच या ज़्यादा दशमलव वाली लंबाई आख़िरी अंक एक इधर-उधर छोड़ सकती है, और वह छपाई की बात है, हिसाब की नहीं। लंबाइयाँ जान-बूझकर बेमाप हैं, यानी पेज यह नहीं बता सकता कि दोनों टुकड़े मिलीमीटर हैं या मील, और यह भी नहीं बताएगा कि पिक्सेल में किया गया विभाजन बनाने लायक़ होने के लिए पूरे पिक्सेल में गोल करना पड़ेगा। पेज सिर्फ़ अनुपात लगाता है, और कुछ नहीं: यह नहीं बताता कि स्वर्ण विभाजन आपके काम के लिए सही अनुपात है या नहीं, और न ही वह लघुगणकीय सर्पिल बनाता है जिसके साथ क्रमागत स्वर्ण आयतें आम तौर पर खींची जाती हैं।

स्वर्ण अनुपात ठीक-ठीक क्या है?

एक जमा पाँच का वर्गमूल, बटा दो — यानी 1.6180339887498948482, जो कभी ख़त्म नहीं होता और दोहराता नहीं। यह वह अकेला अनुपात है जो कटने पर भी बचा रहता है: इन भुजाओं वाला आयत लीजिए, उसमें से सबसे बड़ा वर्ग काटिए, और बचा हुआ आयत फिर वही अनुपात दिखाता है। यूक्लिड ने इसे अत्यंत और मध्य अनुपात में रेखा बाँटना कहा था, और यह पेज वही काम करता है।

किसी लंबाई को स्वर्ण अनुपात में कैसे बाँटते हैं?

पूरी रेखा को 1.6180339887 से भाग दीजिए, बड़ा हिस्सा मिल जाएगा; फिर उसे पूरी रेखा में से घटाइए, छोटा हिस्सा मिल जाएगा। 100 की रेखा 61.8034 और 38.1966 बनती है। दूसरी बार भाग देने के बजाय घटाना जान-बूझकर चुना गया है: इससे पक्का हो जाता है कि दोनों टुकड़े जुड़कर वही लंबाई लौटाएँगे जो आपने डाली थी।

मुझे पूरी रेखा नहीं, कोई एक टुकड़ा पता है। क्या यह पेज काम आएगा?

हाँ — पहले ख़ाने में चुन लीजिए कि आपको कौन-सा हिस्सा पता है, और उसकी लंबाई डाल दीजिए। बड़ा हिस्सा पता हो तो छोटा उसका फ़ाई से भाग है और पूरी रेखा दोनों का जोड़; छोटा हिस्सा पता हो तो बड़ा उसका फ़ाई गुना है। तीनों डालें एक ही हिसाब के तीन रूप हैं, और पैनल हमेशा वही तीन पंक्तियाँ छापता है।

आँकड़े चार दशमलव स्थानों तक ही क्यों आते हैं?

क्योंकि फ़ाई कभी ख़त्म नहीं होता, इसलिए इस पेज का कोई भी आँकड़ा ठीक-ठीक हो ही नहीं सकता — चार स्थान वह जगह है जहाँ गोल करना रोका गया है, और तीनों पंक्तियों के लिए वही जगह है। जब आपकी डाली हुई लंबाई में ज़्यादा से ज़्यादा चार दशमलव हों, तब छपी हुई तीनों पंक्तियाँ फिर भी ठीक-ठीक जुड़ती हैं, क्योंकि छोटा हिस्सा घटाकर निकाला जाता है। पाँच या ज़्यादा दशमलव वाली लंबाई आख़िरी अंक एक इधर-उधर छोड़ सकती है।

इससे फ़र्क़ पड़ता है कि मैं कौन-सी इकाई इस्तेमाल कर रहा हूँ?

नहीं, और इसीलिए पेज पर कहीं कोई इकाई नहीं दिखती। स्वर्ण अनुपात दो लंबाइयों के बीच का फ़ासला है, ख़ुद कोई लंबाई नहीं, इसलिए पिक्सेल, मिलीमीटर, इंच और सादे भाग — सब एक जैसा बर्ताव करते हैं, और जो लंबाई आप डालते हैं उसी अनुपात से तीनों आँकड़े बढ़ते-घटते हैं। इसका एक नतीजा यह भी है कि पेज यह नहीं बता सकता कि जवाब को बनाने लायक़ होने के लिए पूरे पिक्सेल में गोल करना पड़ेगा।

क्या 1.618 से काम चल जाएगा?

कार्ड का टुकड़ा काटने के लिए हाँ, परिभाषा के लिए नहीं। स्वर्ण अनुपात 1.618 नहीं है — वह एक जमा पाँच का वर्गमूल, बटा दो है, जो सिर्फ़ इन अंकों से शुरू होता है। चार अंकों वाला 1.618 हर जगह इस्तेमाल करने से 100 की रेखा का बड़ा हिस्सा लगभग हज़ारवें हिस्से जितना खिसक जाता है, जो ज़्यादातर काम में दिखता नहीं, पर स्वर्ण विभाजन भी नहीं है। यह पेज अपने पास जितनी सटीकता है उतनी इस्तेमाल करता है और सिर्फ़ छपने वाला हिस्सा गोल करता है।

क्या यह अनुपात कैलकुलेटर या समानुपात कैलकुलेटर जैसा ही है?

नहीं, और फ़र्क़ यह है कि आपको क्या देना पड़ता है। अनुपात कैलकुलेटर आपकी दी हुई दो संख्याएँ लेता है और उन्हें सरल करता है, और समानुपात कैलकुलेटर आपके लिखे कथन में छूटे हुए पद को हल करता है। इस पेज का अनुपात आप चुन नहीं सकते: वह फ़ाई पर जमा है, और आप जो डालते हैं वह एक लंबाई है। तीन पेज, तीन अलग सवाल।

• Golden Ratio — the definition of phi as the unique ratio which survives cutting a rectangle into a square and a remainder, its exact value of one plus the square root of five over two, its other names (divine proportion, golden mean, golden section), and Euclid's equivalent definition by extreme and mean ratio — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Ratio Conjugate — the smaller quantity, equal to phi minus one and to one over phi, which is the ratio of the short piece to the long piece on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Rectangle — the rectangle whose sides are in the golden ratio and which keeps that ratio when a square is cut from it, the figure that makes the definition of phi unique — Wolfram MathWorld (United States)
• Fibonacci Number — the sequence whose terms are connected to the golden ratio, and whose neighbouring pairs approach the same proportion this page applies — Wolfram MathWorld (United States)
• Ratio — the relation between two quantities of the same kind, written as a quotient, which is the form both of the equalities in the expression above take — Wolfram MathWorld (United States)