समानुपात कैलकुलेटर

A ÷ B = C ÷ D क्रॉस गुणा करने पर: A × D = B × C छूटा हुआ पद = (भरी हुई जोड़ी का गुणनफल) ÷ छूटे पद के आमने-सामने वाला पद

पहला पद (A)

बाएँ अनुपात की पहली संख्या: 3 : 4 = 12 : 16 में 3। इसे ख़ाली भी छोड़ा जा सकता है, और तब यही वह पद है जिसे यह पेज हल करता है — जवाब उसी पंक्ति पर छपता है, चाहे कोई भी ख़ाना ख़ाली हो। यह ऋणात्मक हो सकता है, पर शून्य नहीं।

दूसरा पद (B)

बाएँ अनुपात की दूसरी संख्या: उसी समानुपात में 4। अनुपात का दूसरा सदस्य वही होता है जिससे तुलना की जाती है, इसलिए यहाँ शून्य किसी चीज़ का बयान नहीं करता — 3 : 0 कोई अनुपात है ही नहीं। ऋणात्मक मान चलते हैं।

तीसरा पद (C)

दाएँ अनुपात की पहली संख्या: उदाहरण में 12। यह ख़ाली छूट सकता है और ऋणात्मक भी हो सकता है। यहाँ भी शून्य ठुकराया जाता है, क्योंकि तब C ÷ D हर D के लिए शून्य होता, और शून्य को किसी ग़ैर-शून्य अनुपात के बराबर कोई D नहीं बनाता।

चौथा पद (D)

दाएँ अनुपात की दूसरी संख्या: उदाहरण में 16, और सबसे आम तौर पर यही ख़ाना ख़ाली छोड़ा जाता है क्योंकि पहले तीन तो हम भर ही देते हैं। इसी पद को लोग सबसे ज़्यादा खोजते हैं, और यह बाक़ी तीनों की तरह ही हल होता है: दूसरी जोड़ी को गुणा कीजिए, आमने-सामने वाले पद से भाग दीजिए।

छूटा हुआ पद

जो भी पद ख़ाली छूटा था, वही हल किया हुआ: 3 : 4 = 12 : ? के लिए 16। यह एक ही पंक्ति पर छपता है, चाहे चारों में से कोई भी ख़ाना ख़ाली हो, क्योंकि किसी एक जगह के नाम पर रखी गई पंक्ति चार में से तीन बार ग़लत ख़ाने की तरफ़ इशारा करती। जवाब कभी शून्य नहीं होता: वह दो गुणनफलों में से एक है जिसे एक ग़ैर-शून्य साथी से भाग दिया गया।

क्रॉस गुणनफल

आपने जो जोड़ी भरी थी उसका गुणनफल: 3 : 4 = 12 : ? के लिए 48, यानी 4 × 12 से। क्रॉस गुणा यह कहने का ही दूसरा नाम है कि दोनों गुणनफल बराबर हैं, इसलिए यह वह संख्या है जो बराबरी के चिह्न के दोनों तरफ़ बैठती है और जिसे हाथ से परखा जा सकता है। कौन-सी जोड़ी दिखेगी यह इस पर निर्भर है कि कौन-सा ख़ाना ख़ाली था, और वह हमेशा पूरी जोड़ी होती है — वह जिसे हल किए गए मान की ज़रूरत नहीं पड़ती, जो ख़ुद एक गोल किया हुआ आँकड़ा है।

मापक गुणक

C बटा A: 3 : 4 = 12 : 16 के लिए 4, क्योंकि दूसरा अनुपात पहले का ही रूप है जिसमें हर पद चार गुना है। यह किसी भी अनुपात का मान नहीं है — वे परिभाषा से बराबर होते हैं, समानुपात यही कहता है — यह इतना बताता है कि दूसरा अनुपात पहले को कितने गुना बढ़ाता है, और जवाब को आँख से परखने का सबसे तेज़ तरीक़ा यही है।

पहला इस्तेमाल किताबी है: समानुपात के तीन पद पता हैं और चौथा चाहिए — चाहे वह नक़्शे का पैमाना हो, कोई पाक-विधि हो, कोई मिश्रण हो या तय दर पर मुद्रा का हिसाब। दूसरा हल किए हुए समानुपात को परखना है: क्रॉस गुणनफल वही गुणा है जो आप हाथ से करते, और मापक गुणक उसी जाँच का एक-नज़र वाला रूप है। तीसरा वह समानुपात है जिसका पहला पद अज्ञात है — कुछ औज़ार इसे दिखा ही नहीं पाते क्योंकि वे मान लेते हैं कि जवाब हमेशा आख़िरी ख़ाने में आएगा; यहाँ आप बस पहला ख़ाना ख़ाली छोड़ देते हैं। चौथा वे जोड़े हैं जिनमें दशमलव आते हैं, जैसे 1.5 : 4.5 = 2.5 : 7.5, जहाँ जवाब दशमलव में आता है और यह पेज नतीजे को भिन्न में बदलने के बजाय दशमलव में ही छापता है। पाँचवाँ इकाई दर से सरहद है: 12 : 5 = ? : 1 वही हिसाब है जो एक चीज़ का दाम निकालने में लगता है, और यह पेज उसे हल कर देगा, जबकि इकाई दर वाला पेज वह है जो दूसरे पद को ठीक 1 मानने पर ज़ोर देता है।

1. 3 : 4 = 12 : ?

   1. चौथा पद ख़ाली छोड़ा गया है, इसलिए वही हल होगा
   2. क्रॉस गुणा: 3 × D = 4 × 12, यानी 3 × D = 48
   3. दोनों तरफ़ 3 से भाग: D = 48 ÷ 3 = 16
   4. मापक गुणक से जाँच: 12 ÷ 3 = 4, और 4 × 4 = 16, यानी दोनों अनुपात एक ही हैं

   बिना कुछ बदले चलने वाला जोड़ा, और वही रूप जिसके साथ ज़्यादातर लोग आते हैं: पहले तीन पद दिए हैं और आख़िरी चाहिए। बाक़ी दो आँकड़े जाँच के दो हिस्से हैं — क्रॉस गुणनफल 48 वह संख्या है जो समीकरण के दोनों तरफ़ बैठती है, और मापक गुणक 4 बताता है कि दूसरा अनुपात पहले को किससे गुणा करता है। ध्यान दीजिए कि हल किया हुआ पद वही है जो दोनों अनुपातों को 0.75 के बराबर बनाता है: 3 ÷ 4 और 12 ÷ 16। यही बराबरी समानुपात की पूरी सामग्री है, और यह पेज बस उसे इधर-उधर कर रहा है।

2. ? : 4 = 12 : 16

   1. इस बार पहला पद ख़ाली है, और तरीक़े में इसके अलावा कुछ नहीं बदलता
   2. क्रॉस गुणा: A × 16 = 4 × 12, यानी A × 16 = 48
   3. दोनों तरफ़ 16 से भाग: A = 48 ÷ 16 = 3
   4. क्रॉस गुणनफल फिर भी 48 है, क्योंकि वह उस जोड़ी से आता है जो भरी गई थी

   वही समानुपात, बस जवाब आख़िरी ख़ाने के बजाय पहले ख़ाने में — और हर आँकड़ा वही है: 3, 48, 4। यही वह सवाल है जिसका जवाब चार ख़ानों वाला रूप दे पाता है और तय आउटपुट ख़ाने वाला फ़ॉर्म नहीं दे सकता: अज्ञात वहीं है जहाँ आपने छेद छोड़ा। यहाँ क्रॉस गुणनफल पर नज़र रखने लायक़ बात है, क्योंकि वह A × 16 नहीं बल्कि 4 × 12 है — पेज उस जोड़ी को गुणा करता है जो आपने भरी थी, न कि उस जोड़ी को जिसमें अभी-अभी हल किया गया पद पड़ गया। अगर वह हल किए गए मान को लेता, तो हाथ से जाँच करता पाठक एक गोल किए हुए अंक से गुणा कर रहा होता।

3. 3 : ? = 12 : 16

   1. ख़ाली ख़ाना दूसरी जगह है, और तरीक़ा फिर वही है
   2. क्रॉस गुणा: 3 × 16 = B × 12, यानी 48 = B × 12
   3. दोनों तरफ़ 12 से भाग: B = 48 ÷ 12 = 4
   4. इस बार क्रॉस गुणनफल पूरी जोड़ी से आता है, 3 × 16 = 48

   ख़ाली ख़ाना दूसरी जगह पर खिसका, और यही वह जगह है जहाँ दोनों जोड़ियाँ आपस में बदल जाती हैं: पहला पद छूटा हो तो पूरी जोड़ी B और C की बनती है, और दूसरा पद छूटा हो तो A और D की। यहाँ छपा हुआ गुणनफल दोनों हालतों में 48 है, पर यह इन चार संख्याओं का इत्तेफ़ाक़ है, कोई नियम नहीं — नियम यह है कि पेज उसी जोड़ी को गुणा करता है जो आपने भरी थी, इसलिए पैनल का आँकड़ा आपकी लिखी संख्याओं से हाथ से हमेशा निकाला जा सकता है। 12 से गुणा करने के बजाय उससे भाग देना वह चरण है जिसे लोग सबसे ज़्यादा उलटा करते हैं।

4. 12 : 5 = ? : 1

   1. ख़ाली ख़ाना तीसरा पद है: 12 : 5 बराबर होना चाहिए C : 1
   2. क्रॉस गुणा: 12 × 1 = 5 × C, यानी 12 = 5 × C
   3. दोनों तरफ़ 5 से भाग: C = 12 ÷ 5 = 2.4
   4. मापक गुणक 2.4 ÷ 12 = 0.2 है, एक से नीचे क्योंकि दूसरा अनुपात छोटा है

   यह वही हिसाब है जो पाँच चीज़ें बारह की हों तो एक चीज़ का दाम निकालने में लगता है, और जवाब पूरी संख्या के बजाय दशमलव में आता है। यह पेज वह दशमलव छापता है और उसे भिन्न में नहीं बदलता, और यह जान-बूझकर खींची गई सरहद है: किसी नतीजे को सबसे छोटे रूप में लाना भिन्न वाले पेजों का काम है, और जिनके पद दशमलव हों ऐसे समानुपात का कोई साफ़ भिन्न हो भी नहीं सकता। एक से नीचे का मापक गुणक यहाँ काम की चेतावनी है — वह कहता है कि दूसरा अनुपात पहले का एक अंश भर है, जिसे जवाब बड़ा आने की उम्मीद में ग़लती समझ लेना आसान है।

5. -3 : 4 = -12 : ?

   1. ख़ाली ख़ाना चौथा पद है, और पद ऋणात्मक हो सकते हैं
   2. क्रॉस गुणा: -3 × D = 4 × (-12), यानी -3 × D = -48
   3. दोनों तरफ़ -3 से भाग: D = -48 ÷ -3 = 16
   4. क्रॉस गुणनफल ऋणात्मक है और मापक गुणक धनात्मक, और दोनों सही हैं

   ऋणात्मक पद चलते हैं, क्योंकि अनुपात ऋणात्मक हो सकता है और -0.75 = -0.75 एक सच्चा समानुपात है। यहाँ बाक़ी दो आँकड़े उलटी दिशाओं में इशारा करते हैं और यह कोई विरोधाभास नहीं है: क्रॉस गुणनफल -48 समीकरण के एक तरफ़ के दोनों पदों का गुणनफल है, जबकि मापक गुणक 4 यानी -12 ÷ -3, और एक ऋणात्मक को दूसरे ऋणात्मक से भाग देने पर धनात्मक आता है। अगर कभी लगे कि पेज कोई चिह्न बेतरतीब लौटा रहा है, तो यही वह मामला है जिसे देखना चाहिए — चिह्न उसी गुणनफल या भागफल का होता है जो छप रहा है, पूरे समानुपात का नहीं।

ठीक एक ख़ाना ख़ाली छोड़ा जाता है। चारों भर दीजिए और पेज मना कर देता है, भले ही चारों संख्याएँ सचमुच एक सही समानुपात बनाती हों जैसे 3 : 4 = 12 : 16 — जब कोई ख़ाना ख़ाली ही नहीं है तो हल करने के लिए कोई पद नहीं बचता, और उनमें से एक को जवाब बनाकर छाप देना यह होता कि पेज चुपचाप आपके लिए चुन रहा है। इसी वजह से जो समानुपात आप सही मानते हैं उसे परखने का तरीक़ा भी यही है: एक पद ख़ाली छोड़िए और देखिए कि हल किया हुआ मान वही निकलता है जो आपके मन में था या नहीं। तीन से कम भरे ख़ाने भी ठुकरा दिए जाते हैं, क्योंकि तब हल करने को कुछ बचता ही नहीं। शून्य चारों में से किसी भी ख़ाने में नहीं आ सकता, और चारों हालतें एक ही कारण पर उतर आती हैं: A × D = B × C में शून्य पद या तो समीकरण को अनसुलझा कर देता है या उसे हर मान के लिए सच कर देता है, इसलिए पेज जवाब चुनने के बजाय उसे ठुकरा देता है। दूसरे या चौथे पद का शून्य सबसे साफ़ मामला है, क्योंकि शून्य के सामने लिखा अनुपात अनुपात होता ही नहीं। ऋणात्मक पद चलते हैं और जवाब भी ऋणात्मक हो सकता है, इसलिए ऋण चिह्न को ग़लती मत समझिए। चारों आँकड़े चार दशमलव स्थानों तक गोल होते हैं, और यह तब मायने रखता है जब कोई पद पूरा-पूरा न बँटे: 1.5 : 4.5 = 2.5 : 7.5 का हल 2.5 आता है और मापक गुणक 1.6667। नतीजे दशमलव में छपते हैं, भिन्न में कभी नहीं — यह पेज कुछ भी सरल नहीं करता, और जिनके पद दशमलव हों ऐसे समानुपात का कोई ठीक भिन्न हो भी नहीं सकता। चारों पदों के साथ कोई इकाई नहीं चलती, क्योंकि समानुपात एक ही तरह की राशियों की तुलना करता है और कोई भी इकाई जोड़ देने से बाक़ी हर तरह की राशि बाहर हो जाती; अगर अनुपात की दोनों तरफ़ इकाइयाँ हों, तो वह इकाई दर वाले पेज का काम है। पेज एक बार में एक ही समानुपात हल करता है और संयुक्त या शृंखलाबद्ध समानुपात नहीं देता।

समानुपात कैसे हल किया जाता है?

क्रॉस गुणा कीजिए, फिर भाग दीजिए। 3 : 4 = 12 : ? के लिए सूत्र 3 × D = 4 × 12 देता है, यानी 3 × D = 48 और D = 16। शब्दों में: जो जोड़ी आपने भरी थी उसे गुणा कीजिए, फिर जिस पद को हल कर रहे हैं उसके आमने-सामने वाले पद से भाग दीजिए। यही एक तरीक़ा चारों जगहों पर चलता है: छूटा हुआ पद कोई भी हो, बस क्रॉस गुणा करें और भाग दें।

क्या मैं आख़िरी के बजाय पहला पद निकाल सकता हूँ?

हाँ, और चारों में से कोई भी। जिस ख़ाने को हल करना है उसे ख़ाली छोड़िए और बाक़ी तीन भर दीजिए — कोई अलग मोड नहीं है और कोई मेन्यू नहीं पूछता कि आपका मतलब कौन-सा पद है। ? : 4 = 12 : 16 का जवाब 3 है, और पैनल वैसा ही दिखता है जैसा ख़ाली ख़ाना आख़िर में होने पर दिखता है।

अगर मैं चारों पद भर दूँ तो क्या होगा?

पेज मना कर देता है, भले ही चारों संख्याएँ सही समानुपात बनाती हों। जब कोई ख़ाना ख़ाली ही नहीं है तो हल करने के लिए कोई पद नहीं बचता, और उनमें से एक को छाप देना यह होता कि पेज आपके लिए चुन रहा है। अगर आप जिस समानुपात को सही मानते हैं उसे परखना चाहते हैं, तो एक पद ख़ाली छोड़िए और देखिए कि हल किया हुआ मान आपके मन के अंक से मेल खाता है या नहीं।

क्या पद ऋणात्मक या शून्य हो सकते हैं?

ऋणात्मक पद ठीक हैं: -3 : 4 = -12 : 16 एक सच्चा समानुपात है। शून्य चारों में से किसी भी ख़ाने में ठुकरा दिया जाता है। A × D = B × C में शून्य पद या तो समीकरण को अनसुलझा कर देता है या हर मान के लिए सच, और 3 : 0 जैसा अनुपात अनुपात होता ही नहीं। हल किया हुआ पद ख़ुद कभी शून्य नहीं होता।

क्रॉस गुणनफल की पंक्ति क्या दिखा रही है?

आपने जो जोड़ी भरी थी उसका गुणनफल — 3 : 4 = 12 : ? के लिए 48, यानी 4 × 12 से। समानुपात का क्रॉस गुणा यह कहता है कि दोनों गुणनफल बराबर हैं, इसलिए यह वह संख्या है जो बराबरी के चिह्न के दोनों तरफ़ बैठती है और जिसे हाथ से परखना बनता है। कौन-सी जोड़ी छपेगी यह इस पर निर्भर है कि कौन-सा ख़ाना ख़ाली था, इसलिए वह हमेशा आपकी लिखी संख्याओं से गुणा की जा सकने वाली जोड़ी होती है।

मापक गुणक का क्या मतलब है?

यह बताता है कि दूसरा अनुपात पहले को कितने गुना बढ़ाता है: 3 : 4 = 12 : 16 के लिए 4, क्योंकि 12 यानी 3 × 4 और 16 यानी 4 × 4। यह ख़ुद अनुपात का मान नहीं है — दोनों अनुपात परिभाषा से बराबर हैं, समानुपात यही कहता है। यह एक नज़र में यह परखने का सबसे तेज़ तरीक़ा है कि जवाब सही आकार का है या नहीं।

• Proportional — the relation between two quantities whose ratio is constant, which is what a proportion states and what this page solves for its missing term — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear Equation — an equation in which each term is a constant or a constant multiple of a single variable, which is the form cross-multiplication reduces a proportion to before the missing term is divided out — Wolfram MathWorld (United States)
• Ratio — the quotient of two numbers, which is what each side of a proportion is and what the scale factor line measures the change in — Wolfram MathWorld (United States)
• Least Common Multiple — used on this page's neighbour, the ratio reducer; listed here because reducing a ratio and solving a proportion are the two operations most often confused with each other — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the divisor behind reducing a ratio to its simplest form, which this page does not do because it returns decimals rather than a reduced ratio — Wolfram MathWorld (United States)